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专题十三 《解析几何》讲义
13.6 弦长面积
知识梳理 . 弦长面积
1．弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x ，y)，B(x ，y)两个不同
1 1 2 2
的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x－x|；
1 2
②|AB|＝ |y－y|(k≠0)；
1 2
2．弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也
很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定
点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大
忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落
横轴，斜率倒数作参数”．
题型一 . 轨迹方程
1．已知O为坐标原点，圆M：x2+y2﹣2x﹣15＝0，定点F（﹣1，0），点N是圆M
上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
【解答】解：（Ⅰ）由题意知|MQ|+|FQ|＝|MN|＝4，
又|MF|＝2＜4，
∴由椭圆定义知动点Q的轨迹为以M、F为焦点、长轴长为4的椭圆，
故2a＝4，2c＝2，
x2 y2
∴曲线C的方程是 + =1．
4 32．从抛物线y2＝4x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P．
（Ⅰ）求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；
【解答】解：（Ⅰ）设抛物线y2＝4x上的任意一点为（x ，y ），垂线段的中点为（x，
0 0
y），
{x=x
则 y 0 ，即{ x 0 =x ，代入抛物线方程，可得（2y）2＝4x，即y2＝x．
y= 0 y =2y
2 0
1
故曲线P的方程为y2＝x，曲线P是焦点为（ ，0）的抛物线；
4
3．在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2＝4上一动点，PD⊥x轴于点D．记满足
→ 1 → →
OM= (OP+OD)的动点M的轨迹为C．
2
（1）求点M的轨迹C的方程．
【解答】解：（1）点 P 是圆 x2+y2＝4 上一动点，PD⊥x 轴于点 D．记满足
→ 1 → →
OM= (OP+OD)的动点M的轨迹为C．
2
设点M（x，y），¿，D（x ，0）．
0
¿
x2
则¿，由于x 2+ y 2=4，整理得 + y2=1．
0 0 4
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题型二 . 中点弦——点差法
x2 y2
1．已知：椭圆 + =1，求：
16 4
（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
【解答】解：（1）设弦的端点 A（x ，y ），B（x ，y ），可得： x2 y2 1，
1 1 2 2 1 + 1=
16 4x2 y2
1，
2 + 2=
16 4
(x +x )(x −x ) (y + y )(y −y )
相减可得： 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =0，
16 4
把x +x 2，y + y 1，k y −y 代入可得：k 1．
1 2= 1 2=− = 1 2 =
2 2 x −x 2
1 2
1
∴以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程为：y+1= （x﹣2），化为：x﹣2y﹣4＝
2
0．
（2）设直线方程为：y＝2x+m，弦的端点A（x ，y ），B（x ，y ），中点M（x，
1 1 2 2
y）．
{y=2x+m
联立 ，化为：17x2+16mx+4m2﹣16＝0，
x2 y2
+ =1
16 4
△＝256m2﹣68（4m2﹣16）＞0，化为：m2＜68．
16m 8m
∴x +x =− =2x，化为：x=− ．
1 2
27 17
8m m
y＝2×(− )+m= ．
17 17
1 16√17 16√17
∴y=− x(− ＜x＜ )．
8 17 17
y2
2．已知斜率为k （k ≠0）的直线l与椭圆x2+ =1交于A，B两点，线段AB的中点为
1 1
9
C，直线OC（O为坐标原点）的斜率为k ，则k •k ＝（ ）
2 1 2
1 1
A．﹣3 B．− C．− D．﹣9
3 9
x +x y + y
【解答】解：设点A（x ，y ），B（x ，y ），则C（ 1 2， 1 2），
1 1 2 2
2 2
∴ x2+ y 1 2 =1 ， x2+ y 2 2 =1 ，∴ y 1 2−y 2 2 =−9 ，
1 9 2 9 x2−x2
1 2y + y
1 2−0
y −y 2 y + y
又k = 1 2 ，k = = 1 2 ，
1 x −x 2 x +x x +x
1 2 1 2−0 1 2
2
y2−y2
∴ k k = 1 2=− 9，
1 2 x2−x2
1 2
故选：D．
3．设F ，F 分别为椭圆 x2 y2 的左右焦点，点A，B分别为椭圆C
1 2 C： + =1(a＞b＞0)
a2 b2
的右顶点和下顶点，且点F 关于直线AB的对称点为M．若MF ⊥F F ，则椭圆C的离
1 2 1 2
心率为（ ）
√3−1 √3−1 √5−1 √2
A． B． C． D．
2 3 2 2
【解答】解：F 、F 分别是椭圆C：x2 y2 的左、右焦点，点A，B分
1 2 + =1(a＞b＞0)
a2 b2
别为椭圆C的右顶点和下顶点，
点F 关于直线AB：bx﹣ay＝ab的对称点M，且MF ⊥F F ，可得MF 的方程为x＝c，
1 2 1 2 2
a 2ac
MF 的方程y=− (x+c)，可得M（c，− ），
1
b b
ac c
MF 的中点为（0，− ），代入直线bx+ay＝ab，可得：ac＝b2＝a2﹣c2，e= ＞1，
1
b a
可得e2+e﹣1＝0，
√5−1
解得e= ．
2
故选：C．
题型三 . 弦长问题1．已知椭圆x2 y2 1的离心率为√6，以椭圆的2个焦点与1个短轴端
+ =1(a＞b＞0)=
a2 b2 3
点为顶点的三角形的面积为2√2．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A，B两点，以线段AB
为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为√5，求直线l的方程．
c √6 1
【解答】解：（1）由题意可得： = ， •2cb＝2√2，a2＝b2+c2．
a 3 2
联立解得：a2＝6，b2＝2，c＝2．
x2 y2
∴椭圆的方程为： + =1．
6 2
（2）设直线l方程为：y＝k（x﹣2），A（x ，y ），B（x ，y ），AB的中点为：M
1 1 2 2
（x ，y ）．
0 0
联立{y=k(x−2)，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，
x2+3 y2=6
∴x +x 12k2 ，x x 12k2−6，
1 2= 1 2=
1+3k2 1+3k2
|AB| |x ﹣x |
2√6(1+k2
)．
=√1+k2 1 2=√1+k2√(x +x ) 2−4x x =
1 2 1 2 1+3k2
∴x 6k2 ，点M到直线x＝1的距离为d＝|x ﹣1|＝| 6k2 1| |3k2−1|．
0= 0 − =
1+3k2 1+3k2 1+3k2
|AB| √5
以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为√5，得( ) 2−d2=( ) 2，∴
2 2√6(1+k2 ) 3k2−1 √5 ，
[ ]
2−(
)
2=(
)
2
1+3k2 1+3k2 2
解得k＝±1．
∴直线l的方程为：y＝±（x﹣2）．
2．（2014·陕西）已知椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）经过点（0， ），离心率为1，左右焦
+ = √3
a2 b2 2
点分别为F （﹣c，0），F （c，0）．
1 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
1
（Ⅱ）若直线l：y=− x+m与椭圆交于A、B两点，与以F F 为直径的圆交于C、D两
1 2
2
|AB| 5√3
点，且满足 = ，求直线l的方程．
|CD| 4
{
b=√3
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 c 1 ，
=
a 2
a2=b2+c2
解得b=√3，c＝1，a＝2．
x2 y2
∴椭圆的方程为 + =1．
4 3
（Ⅱ）由题意可得以F F 为直径的圆的方程为x2+y2＝1．
1 2
2|m|
∴圆心到直线l的距离d= ，
√5
√5
由d＜1，可得|m|＜ ．（*）
2
∴|CD|＝2 √ 4m2 2 ．
√1−d2=2 1− = √5−4m2
5 √5
设A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 21
{y=− x+m
联立 2 ，
x2 y2
+ =1
4 3
化为x2﹣mx+m2﹣3＝0，
可得x +x ＝m， ．
1 2 x x =m2−3
1 2
√ 1 √15
∴|AB|= [1+(− ) 2 ][m2−4(m2−3)]= √4−m2．
2 2
由|AB| 5√3，得√ 4−m2 ，
= =1
|CD| 4 5−4m2
√3
解得m=± 满足（*）．
3
1 √3
因此直线l的方程为y=− x± ．
2 3
3．如图，已知椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的离心率为1，过椭圆右焦点F 作两条互相垂
+ = 2
a2 b2 2
直的弦AB与CD，当直线AB的斜率为0时，|AB|+|CD|＝7．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求|AB|+|CD|的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当直线AB的斜率为0时，直线CD垂直于x轴，
2b2 2b2
∴|AB|＝2a，|CD|= ，即 |AB|+|CD|=2a+ =7，
a a
c 1
∵e= = ，且a2＝b2+c2，解得：a=2，b=√3，
a 2
x2 y2
所以椭圆方程为 + =1；
4 3
（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意可知，|AB|+|CD|＝7；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
1
设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），则直线CD的方程为y=− (x−1)，
k
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得：
（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
∴
8k2 4k2−12，
x +x = ，x x =
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
∴
12(k2+1)，
|AB|=√1+k2|x −x |=
1 2 3+4k2
1
12( +1)
k2 12(k2+1)
同理，|CD|= = ，
4 3k2+4
3+
k2
∴
12(k2+1) 12(k2+1) 84(k2+1) 2
，
|AB|+|CD|= + =
3+4k2 3k2+4 (3+4k2 )(3k2+4)
令t＝k2+1，则t＞1，
84t2 84t2 84
∴|AB|+|CD|= = = ，
(4t−1)(3t+1) 12t2+t−1 1 1 2 49
−( − ) +
t 2 4
1
∵t＞1，∴0＜ ＜1，
t
4 1 1
1 1 49 49 ≤ ＜
∴12＜−( − ) 2+ ≤ ，∴49 1 1 2 49 12，
t 2 4 4 −( − ) +
t 2 4
48 84
≤ ＜7 48
∴ 7 1 1 2 49 ，∴ ≤|AB|+|CD|＜7，
−( − ) + 7
t 2 4
48
综合①②可知，|AB|+|CD|的取值范围为：[ ，7]．
7
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题型四 . 面积问题1．已知直线l与直线x+y﹣1＝0垂直，其纵截距b=−√3，椭圆C的两个焦点为F （﹣1，
1
0），F （1，0），且与直线l相切．
2
（1）求直线l，椭圆C的方程；
（2）过F 作两条互相垂直的直线l 、l ，与椭圆分别交于P、Q及M、N，求四边形
1 1 2
PMQN面积的最大值与最小值．
【解答】解：（1）∵直线l与直线x+y﹣1＝0垂直，其纵截距b=−√3，
∴直线l的方程为y＝x−√3，
设椭圆方程为x2 y2
，a＞b＞0，
+ =1
a2 b2
{x2 y2
+ =1
由 a2 b2 ，得 (a2+b2 )x2−2√3a2x+3a2−a2b2=0 ，
y=x−√3
∴△＝（﹣2√3a2）2﹣4（a2+b2）（3a2﹣a2b2）＝0，即a2+b2＝3，
又∵焦点为F （﹣1，0），F （1，0），∴a2﹣b2＝1，
1 2
联立上式解得a2＝2，b2＝1，
x2
∴椭圆方程为 + y2=1．
2
（2）若PQ斜率不存在（或为0）时，
√ 1
2√2×2 1−
S四边形PMQN= |PQ|⋅|MN|
=
2
=
2，
2 2
1
若PQ斜率存在时，设为k，（k≠0），则MN的斜率为− ，
k
直线PQ的方程为y＝kx+k，P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
{x2
由 + y2=1，得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
2
y=kx+k
则
−4k2
，
2k2−2，
x +x = x x =
1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
∴|PQ|
=√1+k2|x −x |
1 21
= √(1+k2 )[16k4−8(k2−1)(2k2+1)]
2k2+1
＝2 • k2+1 ，
√2
2k2+1
同理，得|MN|＝2 •k2+1，
√2
2+k2
∴S四边形PMNQ= |PQ|⋅|MN|
=
4• (k2+1) 2
2 (2+k2 )(2k2+1)
＝4• k4+2k2+1 2•2k4+4k2+2
=
2k4+5k2+2 2k4+5k2+2
1
k2 −
＝2（1− ）＝2（1 2 ），
2k4+5k2+2 2k2+ +5
k2
∵ 2k2+ 2 +5≥ 2√ 2k2 ⋅ 2 +5= 9，
k2 k2
当且仅当k2＝1时取等号，
1
1
∴
2k2+
2
+5
（0，
9
]，
k2
∈
16
∴S四边形PMQN [ ，2）．
9
∈
16
综上所述，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 ．
9
2．（2016·全国1）设圆x2+y2+2x﹣15＝0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重
合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆
1 1
A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15＝0即为（x+1）2+y2＝16，
可得圆心A（﹣1，0），半径r＝4，
由BE∥AC，可得∠C＝∠EBD，由AC＝AD，可得∠D＝∠C，
即为∠D＝∠EBD，即有EB＝ED，
则|EA|+|EB|＝|EA|+|ED|＝|AD|＝4＞|AB|，
故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
且有2a＝4，即a＝2，c＝1，b ，
=√a2−c2=√3
x2 y2
则点E的轨迹方程为 + =1（y≠0）；
4 3
x2 y2
（Ⅱ）椭圆C ： + =1，设直线l：x＝my+1，
1
4 3
由PQ⊥l，设PQ：y＝﹣m（x﹣1），
由{ x=my+1 可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
3x2+4 y2=12
设M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
6m 9
可得y +y =− ，y y =− ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
则|MN| •|y ﹣y | •√ 36m2 36
=√1+m2 1 2=√1+m2 +
(3m2+4) 2 3m2+4
•√36(4m2+4)
12•
1+m2
，
=√1+m2 =
3m2+4 3m2+4
A到PQ的距离为d |−m(−1−1)| |2m| ，
= =
√1+m2 √1+m2
|PQ|＝2 2√ 4m2 4√3m2+4，
√r2−d2= 16− =
1+m2 √1+m2
则四边形MPNQ面积为S 1|PQ|•|MN| 1•4√3m2+4•12• 1+m2
= =
2 2 √1+m2 3m2+4
＝24•
√1+m2
24
√ 1
，
= 1
√3m2+4 3+
1+m21 √3
当m＝0时，S取得最小值12，又 ＞0，可得S＜24• =8√3，
1+m2 3
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8√3）．
3．已知P（2，0）为椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，
+ =
a2 b2
过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直
1
线PA，PB的斜率之积为− ．
4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若 → 2 → ，求△OAB面积的最大值．
AM= MB
【解答】解：（1）设A（x 1 ，y 1 ），B（﹣x 1 ，﹣y 1 ），则k PA •k PB= y 1 2 =− 1．
x2−4 4
1
又x2 y2 1，代入上式可得： b2 1，
1+ 1= − =−
a2 b2 a2 4
又a＝2，解得b＝1．
x2
∴椭圆C的标准方程为： +y2＝1．
4
（2）设直线AB的方程为：x＝ty+m（t≠0），（﹣2≤m≤2）．
A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2联立{ x=ty+m ，化为：（4+t2）y2+2mty+m2﹣4＝0，
x2+4 y2=4
∴y +y 2mt ，y y m2−4，
1 2=− 1 2=
4+t2 4+t2
∵ → 2 → ，∴y ＝﹣2y ，
AM= MB 1 2
∴y y 5，代入可得：m2 4t2+16．
1+ 2=− =
y y 2 9t2+4
2 1
1 3
∴△OAB的面积S= |m（y ﹣y ）|= |my |，
1 2 2
2 2
∴S2 = 9m2• y2= 9 × 4t2+16 × 16t2 = 9 × 16t2 ．
4 2 4 9t2+4 (4+t2 )(9t2+4) (9t2+4) 2
12|t| 12
= = ≤ 4
∴S 9t2+4 4 1，当且仅当t2= 时取等号．
9|t|+ 9
|t|
∴△OAB面积的最大值为1．
课后作业 . 弦长面积
x2
1．已知椭圆G： + y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2＝1的切线I交椭圆G于A，B两
4
点．
（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
【解答】解：（I）由题意得a＝2，b＝1，所以c=√3
c √3
∴椭圆G的焦点坐标(−√3，0)(√3，0) 离心率e= = ．
a 2
（II）由题意知：|m|≥1，
√3 √3
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A（1， ） 点B（1，− ） 此时|AB|=√3；
2 2
当m＝﹣1时，同理可得|AB|=√3；{y=k(x−m)
当|m|＞1时，设切线 l的方程为：y＝k（x﹣m），由 （1+4k2）x2﹣
x2
+ y2=1
4 ⇒
8k2mx+4k2m2﹣4＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ）则x +x 8k2m 4k2m2−4
1 1 2 2 1 2= ，x ⋅x =
1+4k2 1 2 1+4k2
又由l与圆x2+y2＝1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即|km| 1 m2 1+k2，
= =
√1+k2 k2
⇒
所以|AB|
=√(x −x ) 2+(y −y ) 2=√(1+k2 )[(x +x ) 2−4x ⋅x ]
1 2 1 2 1 2 1 2
=
√
(1+k2 )⋅[
64k4m2
−
4(4k2m2−4)]= 4√3|m| ，由于当m＝±1时，|AB|
=√3
，
(1+4k2
)
2 1+4k2 m2+3
4√3|m|
当m≠±1时，|AB| = ，此时m （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
m2+3
∈
4√3|m| 4√3
= = ≤
又|AB| m2+3 3 2（当且仅当m＝±√3时，|AB|＝2），
|m|+
|m|
所以，|AB|的最大值为2．
故|AB|的最大值为2．
x2 1
2．已知椭圆 + y2=1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx+ 对称．
2 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
【解答】解：（1）由题意，可设直线 AB 的方程为 x＝﹣my+n，代入椭圆方程
x2
+ y2=1，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2＝0，
2
设A（x ，y ），B（x ，y ）．由题意，△＝4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）＝8（m2﹣
1 1 2 2n2+2）＞0，
设线段AB的中点P（x ，y ），则 y + y mn ．x ＝﹣m mn n 2n ，
0 0 y = 1 2= 0 × + =
0 2 m2+2 m2+2 m2+2
1 mn 2mn 1
由于点P在直线y＝mx+ 上，∴ = + ，
2 m2+2 m2+2 2
m2+2
∴n=− ，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，
2m
2 √6 √6
解得m2＞ ，∴m＜− 或m＞ ．
3 3 3
（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，
∴S△OAB=
1
|n||y −y |=
1
|n|• ⋅
√8(m2−n2+2)
=√2
√n2 (m2−n2+2)，
2 1 2 2 m2+2 (m2+2) 2
n2+m2−n2+2 (m2+2) 2
由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）≤( ) 2= ，
2 4
√1 √2 m2+2
∴S△AOB ≤√2×
4
=
2
，当且仅当n2＝m2﹣n2+2，即2n2＝m2+2，又∵n=−
2m
，
解得m=±√2，
√2
当且仅当m=±√2时，S△AOB 取得最大值为 ．
2
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