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专题十三 《解析几何》讲义
13.5 抛物线
知识梳理 . 抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛
物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
焦点到顶点以及顶点到准线的
方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离
距离均为
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
|PF|＝x＋ |PF|＝－x＋ |PF|＝y＋ |PF|＝－y＋
0 0 0 0
P(x，y))
0 0
题型一 . 抛物线定义及其性质
1
1．已知抛物线y= x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，
2
若|MN|=√2|NF|，则|MF|＝ ．
2．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点
C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2=√3x
3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的
动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=√2|
AF|，则△AFK的面积为 ．
5．在直角坐标系xoy中，曲线C 上的点均在圆C ：（x﹣5）2+y2＝9外，且对C 上任意一
1 2 1
点M，M到直线x＝﹣5的距离等于该点与圆C 上点的距离的最小值，则曲线C 的方程
2 1
为 ．
6．（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的
点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比
是（ ）
A．|BF|−1 B．|BF|2−1
|AF|−1 |AF|2−1
C．|BF|+1 D．|BF|2+1
|AF|+1 |AF|2+1题型二 . 定义转化求值
1．已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y
轴的距离为d ，到直线l的距离为d ，则d +d 的最小值为 ．
1 2 1 2
2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣5）2＝1上，
则|MA|+|MF|的最小值是 ．
3．（2016·四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，
M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
√3 2 √2
A． B． C． D．1
3 3 2
题型三 . 焦点弦八个常用结论
1．（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，
若 → → → →，则 → → → 的值为（ ）
FA+FB+FC=0 |FA|+|FB|+|FC|
A．3 B．4 C．6 D．9
2．（2016•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线 C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，
经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果 → • → 12，那么抛物线C的方程为
OA OB=−
（ ）
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
3．（2009•黑龙江）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，
F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（ ）
1 √2 2 2√2
A． B． C． D．
3 3 3 3
4．（2020•青岛模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物
|AF|
线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则 的值为（ ）
|BF|
3 4
A．3 B．2 C． D．
2 3
5．（2015•陕西一模）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l
与C交于 A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（ ）
1 3
A． B． C．1 D．2
2 26．（2021春•孝南区校级月考）已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴
的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于
B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为 ．
7．（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的
一点， → 与x轴正向的夹角为60°，则 → 为 ．
FA |OA|
8．（2018•一模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l ，l ，直
1 2
线l 与抛物线C交于A、B两点，直线l 与抛物线C交于D、E两点，若l 与l 的斜率的
1 2 1 2
平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
9．（2012•安徽）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原
点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
√2 3√2
A． B．√2 C． D．2√2
2 2
10．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝
5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
11．（2013•宁波模拟）直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两
点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M
为RS的中点，则|MF|＝（ ）
a+b 1
A．a+b B． C．√ab D． √ab
2 2
12．（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率
为k的直线与C交于A，B两点，若 → • → 0，则k＝（ ）
MA MB=
√2 1
A．√2 B． C． D．2
2 2
13．（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C
在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 3题型四 . 过 x 轴定点问题
1．已知 F 为抛物线 y2＝x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
→ → （其中 O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
OA⋅OB=2
．
2．已知抛物线C方程为x2＝4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，
且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则|AP|•|BQ|的取值范围为（
）
1
A．( ，+∞) B．[2，+∞） C．（2，+∞） D．[0，2）
2
题型五 . 切线问题
3．已知点A（3，﹣2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛
物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
课后作业 . 抛物线
1．已知点M（1，2），点P在抛物线y2＝8x上运动，点Q在圆（x﹣2）2+y2＝1上运
动，则|PM|+|PQ|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，若抛物线C上存在一点
B使|AB|=√2|BF|，则|AB|＝（ ）
A．8√2 B．8 C．4√2 D．4
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的x2 y2 右支与焦点为F的抛
− =1(a＞0，b＞0)
a2 b2
物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
√2 √3
A．y=± x B．y=±√2x C．y=± x D．y=±√3x
2 2
4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线
C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为 A、B、E、F，则抛物线 C的方程为|EF|
， = ．
|AB|
|PA|
5．焦点为F的抛物线C：x2＝4y的准线与坐标轴交于点A，点P在抛物线C上，则
|PF|
的最大值为 ．
6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若
→ → ，则弦长|AB|＝ ．
PQ=FB
