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专题十三 《解析几何》讲义
13.4 双曲线
知识梳理 . 双曲线
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|FF|)的点P的轨迹叫
1 2 1 2
做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F(－c,0)，F(c,0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
线段AA，BB 分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，
1 2 1 2
轴
虚轴长为2b
焦距 |FF|＝2c
1 2
e是表示双曲线开
离心率 e＝＝ ∈(1，＋∞) 口大小的一个量，
e越大开口越大.
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 a2＝c2－b2
题型一 . 双曲线及其性质
x2 y2
1．过双曲线 − =1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F 为其右焦
2
4 3
点，则|MF |+|NF |﹣|MN|的值为 8 ．
2 2
【解答】解：根据双曲线定义有|MF |﹣|MF|＝2a，|NF |﹣|NF|＝2a，
2 2
两式相加得|MF |+|NF |﹣|MN|＝4a＝8．
2 2
答案：8．2．设双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为 F ，F ，过F 的直线与双曲线C交于
C： − =1 1 2 1
8 b2
M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F 在线段MN的中垂线上，则MN＝
2
（ ）
A．8√2 B．8 C．4√2 D．4
【解答】解：如图，由双曲线方程可得a=2√2．
由双曲线的定义可知：|F M|﹣|F M|＝2a＝4√2，
2 1
|F N|﹣|F N|＝2a＝4√2，
1 2
∴|F M|＝|F M|+4√2，|F N|＝|F N|+4√2，
2 1 1 2
∵点F 在线段MN的中垂线上，∴|F M|＝|F N|，
2 2 2
∴|F N|＝|F M|+8√2，
1 1
∴|MN|＝|F N|﹣|F M|＝8√2．
1 1
故选：A．
3．过双曲线 x2 y2 的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的
C： − =1
a2 b2
右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方
y2
程是 x 2− = 1 ．
3
【解答】解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），
b
由x＝a和一条渐近线y= x，可得A（a，b），
a
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），
则|AF|＝|OF|＝c＝2，
即有 2，
√(a−c) 2+b2=c2＝a2+b2＝4，
解得a＝1，b=√3，
y2
即有双曲线的方程为x2− =1，
3
y2
故答案为：x2− =1．
3
x2 y2
4．P是双曲线 − =1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝
9 16
1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为 9 ．
x2 y2
【解答】解：双曲线 − =1中，
9 16
∵a＝3，b＝4，c＝5，
∴F （﹣5，0），F （5，0），
1 2
∵|PF |﹣|PF |＝2a＝6，
1 2
∴|MP|≤|PF |+|MF |，|PN|≥|PF |﹣|NF |，
1 1 2 2
∴﹣|PN|≤﹣|PF |+|NF |，
2 2
所以，|PM|﹣|PN|≤|PF |+|MF |﹣|PF |﹣|NF |
1 1 2 2
＝6+1+2
＝9．
故答案为：9．
y2
5．已知F是双曲线C：x2− =1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6√6）．当
8
△APF周长最小时，该三角形的面积为 1 2√6 ．
【解答】解：由题意，设 F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|+|AP|+|PF|＝|AF|+|AP|+|
PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
x y y2
直线AF′的方程为 + =1与x2− =1联立可得y2+6√6y﹣96＝0，
−3 6√6 8
∴P的纵坐标为2√6，
1 1
∴△APF周长最小时，该三角形的面积为 ×6×6√6− ×6×2√6=12√6．
2 2
故答案为：12√6．题型二 . 焦点三角形
1．已知点F ，F 分别为双曲线 x2 y2 的左、右焦点，过
1 2 C： − =1(a＞0，b＞0)
a2 b2
F 的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF |＝3，|BF |＝5，|AB|＝4，则△BF F
1 2 2 1 2
9
的面积为 ．
2
【解答】解：|AF |＝3，|BF |＝5，|AB|＝4，
2 2
可得三角形ABF 为直角三角形，∠BAF ＝90°，
2 2
设|AF |＝m，|BF |＝n，可得m+n＝4，
1 1
3﹣m＝5﹣n＝2a，解得m＝1，n＝3，
1 1 9
则△BF F 的面积为S❑ −S❑ = ×3×4− ×1×3= ．
1 2 △ABF 2 △AF 1 F 2 2 2 2
9
故答案为： ．
2
2．已知F ，F 是双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意
1 2 − =
a2 b2
一点，M是线段PF 的中点，则以PF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（ ）
1 1
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
【解答】解：∵P在双曲线右支上，∴|PF |﹣|PF |＝2a，
1 2
1
∵M是线段PF 的中点，∴|M F |=|PM|= |PF |，
1 1 2 1
1
∵O是线段F F 的中点，∴|MO|= |PF |，
1 2 2 2
1 1
∴ |PF |− |PF |=a⇒|M F |−|OM|=a⇒|OM|=|M F |−a，
2 1 2 2 1 1
即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段PF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是相内切．
1
故选：B．
x2
3．已知双曲线C： −y2=1的左右焦点为F 、F ，点M为双曲线C上任一点，则|MF |
1 2 1
2
•|MF |的最小值为（ ）
2
A．1 B．√2 C．2 D．3
【解答】解：根据题意可得F （−√3，0），F （√3，0），设M（x，y），其中x（﹣
1 2
x2
∞，−√2]∪[√2，+∞），则y2= −1，
2
则 |MF |• |MF | • √ x2 •
1 2=√(x+√3) 2+ y2 √(x−√3) 2+ y2= (x+√3) 2+ −1
2
√ x2 √ 3 ，
(x−√3) 2+ −1= ( x2−2) 2
2 2
3
因为x （﹣∞，−√2]∪[√2，+∞），所以 x2≥3，
2
∈
则当x＝± 时，|MF |•|MF |取最小值，最小值 1，
√2 1 2 =√(3−2) 2=
故选：A．
4．从双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长
− =
a2 b2
FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（
）A．c﹣a B．b﹣a C．a﹣b D．c﹣b
【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．
∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，
1 1 1
由三角形中位线定理得到：|OM|= |PF′|= （|PF|﹣2a）= |PF|﹣a
2 2 2
＝|MF|﹣a，
∴|OM|﹣|MT|＝|MF|﹣|MT|﹣a＝|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，
则OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，
∴|FT| b．
=√丨OF丨2−丨OT丨2=
∴|OM|﹣|MT|＝b﹣a．
故选：B．
题型三 . 渐近线性质
1．过双曲线C：x2 y2 1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．
− =
a2 b2
若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C
的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
A． − =1 B． − =1
12 4 7 9x2 y2 x2 y2
C． − =1 D． − =1
8 8 4 12
【解答】解：∵以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），
∴半径R＝c＝4，则圆的标准方程为（x﹣4）2+y2＝16，
b
设B（a，0），y= ⋅a=b，即A（a，b），
a
则（a﹣4）2+b2＝16，
即a2﹣8a+16+b2＝16，
即c2﹣8a＝0，即8a＝16，
则a＝2，b2＝16﹣4＝12，
x2 y2
则双曲线C的方程为 − =1，
4 12
故选：D．
2．设F ，F 是双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F
1 2 − = 2
a2 b2
作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF |=√6|OP|，则C的离心率为 √3 ．
1
【解答】解：双曲线C：x2 y2 1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y b ，
− = = x
a2 b2 a
∴点F 到渐近线的距离d bc ，即|PF |＝b，
2 = =b 2
√a2+b2
b
∴|OP|=√|OF |2−|PF |2=√c2−b2=a，cos∠PF O= ，
2
2 2 c
∵|PF |=√6|OP|，
1
∴|PF |=√6a，
1
在三角形F PF 中，由余弦定理可得|PF |2＝|PF |2+|F F |2﹣2|PF |•|F F |COS∠PF O，
1 2 1 2 1 2 2 1 2 2
b
∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c× =4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），
c
即3a2＝c2，得e=√3，
故答案为：√3．3．已知斜率为1的直线l与双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的
− =
a2 b2
中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（ ）
1 √3
A．y＝±3x B．y＝±√3x C．y＝± x D．y＝± x
3 3
【解答】解：设A（x ，y ），B（x ，y ），则x 2 y 2 ，x 2 y 2
1 1 2 2 1 − 1 =1 2 − 2 =1
a2 b2 a2 b2
两式相减可得：(x +x )(x −x ) (y + y )(y −y ) 0，
1 2 1 2 − 1 2 1 2 =
a2 b2
∵斜率为1的直线l与双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中
− =
a2 b2
点为M（1，3），
∴k•k b2 3，
OM= =
a2
b
∴y=± x＝±√3x．
a
故选：B．
4．已知双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分
− =
a2 b2
别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是 （ 2 ， + ∞） ．
【解答】解：依题意，斜率为 的直线l过双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）
√3 − =
a2 b2
的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，
b
双曲线的一条渐近线的斜率 必大于√3，
a
b
即 ＞√3，
a
c √ b
因此该双曲线的离心率e= = 1+( ) 2＞√1+3=2．
a a
故答案为：（2，+∞）．
题型四 . 构建等量关系求离心率
1．设双曲线x2 y2 的右焦点是F，左、右顶点分别是A ，A ，
− =1(a＞0，b＞0) 1 2
a2 b2
过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A B⊥A C，则双曲线的离心率为 √2 ．
1 2
【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是A （﹣a，0），A （a，0），
1 2
b2
当x＝c时，代入双曲线方程，解得：y＝± ，
a
b2 b2
设B（c， ），C（c，− ），
a a
b2
−0
则直线A B的斜率k a b2 ，
1 1= =
c−(−a) a(c+a)
b2
− −0
直线A C的斜率k a b2 ，
2 2= =−
c−a a(c−a)
由A B⊥A C，则k ×k ＝﹣1，即 b2 b2 1，
1 2 1 2 × =
a(c+a) a(c−a)则b2
1，
=
a2
双曲线的离心率e c √ b2 ，
= = 1+ =√2
a a2
故答案为：√2．
2．过双曲线M：x2 y2 1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线
− =
b2
分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
√10 √5
A．√10 B．√5 C． D．
3 2
【解答】解：过双曲线
M：x2−
y2
=1
的左顶点A（﹣1，0）作斜率为1的直线l：y＝
b2
x+1，
若l与双曲线M的两条渐近线 y2 分别相交于点B（x ，y ），C（x ，y ），
x2− =0 1 1 2 2
b2
{
y2
联立方程组
x2− =0
b2
y=x+1
代入消元得（b2﹣1）x2﹣2x﹣1＝0，
2
{x +x =
∴
1 2 b2−1，
1
x x =
1 2 1−b2
∴x +x ＝﹣2x x ，
1 2 1 2
又|AB|＝|BC|，则B为AC中点，2x ＝﹣1+x ，
1 2
1
{x =−
代入解得 1 4，
1
x =
2 2c
∴b2＝9，双曲线M的离心率e= =√10，
a
故选：A．
3．已知F 、F 是双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段 F F 为边作正
1 2 − = 1 2
a2 b2
△MF F ，若边MF 的中点在双曲线时，双曲线的离心率e＝ √3+1 ．
1 2 1
【解答】解：以线段F F 为边作正△MF F ，则M在y轴上，
1 2 1 2
可设|F F |＝2c，则M（0，√3c），
1 2
c √3
又F （﹣c，0），则边MF 的中点为（− ， c），
1 1
2 2
代入双曲线方程，可得，
c2 3c2 1，由于b2＝c2﹣a2，e c，
− = =
4a2 4b2 a
则有e2 3e2 4，即有e4﹣8e2+4＝0，
− =
e2−1
解得，e2＝4±2√3，由于e＞1，即有e＝1+√3．
故答案为：1+√3．
4．(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为
C： − =1(a＞0，b＞0)
a2 b2
F ，F ，过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点．若 → → ，
1 2 1 F A=AB
1
→ → ，则双曲线C的离心率为（ ）
F B⋅F B=0
1 2
2√3
A． B．√2 C．2 D．√3
3
【解答】解：∵ → → ，OF ＝OF ，∠BF F ＝∠BF F ，
F A=AB 1 2 1 2 1 2
1
∴△AF O∽△BF F ，
1 1 2
又∵ → → ，
F B⋅F B=0
1 2
∴OA⊥F B，
1b a
∴k ⋅(− )=−1，即k = ，
F 1 B a F 1 B b
a
∴直线F B的方程为y= (x+c)，
1
b
a
{y= (x+c)
联立直线F B与渐近线y b ，即 b ，解得 a2c abc ，
1 = x B( ， )
a b b2−a2 b2−a2
y= x
a
1
∵OB= F F =c，
2 1 2
∴ a4c2
+
a2b2c2 =c2，化简可得b2＝3a2，
(b2−a2
)
2 (b2−a2
)
2
由双曲线的性质，可得c2﹣a2＝b2＝3a2，即c2＝4a2，
∴c＝2a，
c
∴e= =2．
a
故选：C．
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题型五 . 离心率的取值范围
1．设点P在双曲线x2 y2 的右支上，双曲线的左、右焦点分别
− =1(a＞0，b＞0)
a2 b2
为F ，F ，若|PF |＝4|PF |，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
1 2 1 2
5 5
A．(1， ] B．（1，2] C．[ ，+∞) D．[2，+∞）
3 3
【解答】解：∵|PF |＝4|PF |，
1 2
∴由双曲线的定义可得|PF |﹣|PF |＝3|PF |＝2a，
1 2 2
2
∴|PF |= a，
2
3
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF |≥c﹣a，
2
2 5
∴ a≥c﹣a，即 a≥c，
3 3
c 5
∴e= ≤ ，
a 3∵e＞1，
5
∴1＜e≤ ，
3
5
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1， ]．
3
故选：A．
2．已知双曲线 x2 y2 （a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F ，F ，O为坐标原点，
C： − =1 1 2
a2 b2
点M为双曲线右支上一点，若|F F |＝2|OM|，tan∠MF F ≥2，则双曲线C的离心率的
1 2 2 1
取值范围为 （ 1 ， √5 ] ．
π
【解答】解：法一：∵|F F |＝2|OM|，∴∠F M F = ，
1 2 1 2 2
∴ ， |M F | ，
4c2=|M F |2+|M F |2 tan∠M F F = 1
1 2 2 1 |M F |
2
∵|MF |﹣|MF |＝2a，
1 2
|M F |2+|M F |2
1 2
4c2 |M F |2+|M F |2 |M F |2
∴e2= = 1 2 = 2 ，
4a2 (|M F |−|M F |) 2 |M F |2−2|M F ||M F |+|M F |2
1 2 1 1 2 2
|M F |2
2
t2+1 2
|M F | e2= =1+
设 1 =t≥2，则 t2−2t+1 1 ，
|M F | t+ −2
2 t
1 1 5
∴t+ ≥2+ = ，∴1＜e2≤5，∴1＜e≤√5．
t 2 2
π
法二：∵|F F |＝2|OM|，∴∠F M F = ，令|MF |＝r ，|MF |＝r ，
1 2 1 2 2 1 1 2 2
∠MF F ＝ ，tan ≥2，r ＝2csin ，r ＝2ccos ，
2 1 1 2
θ θ θ θ 1
∴ 2a ＝ r ﹣ r ＝ 2c （ sin ﹣ cos ） ， ∴ e= ， ∴
1 2
sinθ−cosθ
θ θ
1 1 1
e2= = = ≤5
(sinθ−cosθ) 2 1−sin2θ 2tanθ ，
1−
1+tan2θ
∴1＜e≤√5．故答案为：（1，√5]．
3．F ，F 是双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线上存在点 P满足
1 2 − =
a2 b2
→ → a2，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
PF ⋅PF =−
1 2
A．[√3，+∞） B．[√2，+∞） C．（1，√3] D．（1，√2]
【解答】解：设PF ＝r ，PF ＝r ，则 → → a2 r r cos∠F PF ＝﹣a2，
1 1 2 2 PF ⋅PF =− 1 2 1 2
1 2
⇔
再根据余弦定理得r
1
r
2
•r
1
2+r
2
2−4c2
=−
a2，即r
1
2+r
2
2＝4c2﹣2a2，①，
2r r
1 2
又由双曲线的定义可得：|r ﹣r |＝2a，即r 2+r 2﹣2r r ＝4a2，②
1 2 1 2 1 2
又r +r ≥2c，即r 2+r 2+2r r ≥4c2，③
1 2 1 2 1 2
②+③得2（r 2+r 2）≥4a2+4c2，将①代入得：2（4c2﹣2a2）≥4a2+4c2，
1 2
化简得：c2≥2a2，∴e2≥2，∴e≥√2．
故选：B．
课后作业 . 双曲线
1．已知F ，F 是双曲线E：x2 y2 （a＞0，b＞0）的左右焦点，F 与抛物线C：
1 2 − =1 2
a2 b2
y2＝4√3x的焦点重合，点M在E上，MF 与x轴垂直，|MF |＝2，则E的离心率为（
2 2
）
3
A．√2 B． C．√3 D．2
2
【解答】解：F 与抛物线C：y2＝4√3x的焦点重合，
2
则F （√3，0），
2
即c=√3，
∴|F F |＝2c＝2√3，
1 2
∵MF 与x轴垂直，|MF |＝2，
2 2
∴|MF |＝2a+2，
1
∴（2a+2）2＝22+（2√3）2，解得a＝1，
c
∴e= =√3，
a
故选：C．
x2
2．已知M（x ，y ）是双曲线C： −y2＝1上的一点，F 、F 是C上的两个焦点，若
0 0 1 2
2
√3 √3
∠F MF 为钝角，则y 的取值范围是 (− ，0)∪(0， ) ．
1 2 0
3 3
【解答】解：由题意，∵∠F MF 为钝角，
1 2
∴ M F → • M F → = （ −√3− x 0 ，﹣y 0 ）•（ √3− x 0 ，﹣y 0 ）＝x 0 2﹣3+y 0 2＝3y 0 2﹣1＜0，且
1 2
3y 2﹣1≠﹣1
0
√3 √3
∴− ＜y＜ 且y ≠﹣1．
0 0
3 3
√3 √3
∴y 的取值范围是(− ，0)∪(0， )．
0
3 3
√3 √3
故答案为：(− ，0)∪(0， )．
3 3
3．设F 、F 分别为双曲线 x2 y2 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F 的直线l
1 2 C： − =1 1
a2 b2
与圆O：x2+y2＝a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF ⊥x轴，则双
2
曲线的离心率等于（ ）
A．√3 B．2 C．2√2 D．4
【解答】解：依题意双曲线的渐近线方程：ax﹣by＝0，因为PF ⊥x轴，可得
2
bc
bc b
P（c， ），直线PF ：的斜率为：k a b ，直线方程为：y= （x+c），直线
a 1 = = 2a
c+c 2a与圆x2+y2＝a2相切，
bc
2a
所以 = a，
√ b
1+( ) 2
2a
整理得：
（bc）2＝a2（4a2+b2），则c4﹣2a2c2﹣3a4＝0，即e4﹣2e2﹣3＝0，
e＞1，
解得e=√3，
故选：A．
4．已知双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F ，F ，点O为坐标原点，
− = 1 2
a2 b2
点P在双曲线的右支上，且满足|F F |＝2|OP|．若直线PF 与双曲线C只有一个交点，
1 2 2
则双曲线C的离心率为（ ）
A．√2 B．√3 C．√5 D．√6
【解答】解：双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F ，F ，点O为
− = 1 2
a2 b2
坐标原点，点P在双曲线的右支上，
且满足|F F |＝2|OP|．可得PF ⊥PF ，直线PF 与双曲线C只有一个交点，
1 2 1 2 2
b m b
可得PF 的斜率：− ，设PF ＝m，PF ＝n，可得 = ，m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，
2 1 2
a n a
消去m，n，可得： a2 ，解得b＝2a，即c2﹣a2＝4a2，
=1
(b−a) 2
c
所以双曲线的离心率为：e= =√5．
a故选：C．
5．已知双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近
− =
a2 b2
线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|
＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（ ）
√3 1
A．y=±√3x B．y=± x C．y＝±2x D．y=± x
3 2
【解答】解：设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩
形，
∴S△ABF ＝S△ABF '，
即bc＝8，
{x2+ y2=c2
由 x2 y2 ，可得y＝±
b2
，
− =1 c
a2 b2
2b2
则|MN|= =2，即b2＝c，
c
∴b＝2，c＝4，
∴a 2 ，
=√c2−b2= √3
√3
∴C的渐近线方程为y＝± x，
3
故选：B．
6．过双曲线x2 y2 的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
− =1(a＞0，b＜0)
a2 b25
两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥ |CD|，则双曲线离心率的取值范
13
13
围为 [ ，+∞) ．
12
2b2 b 2bc
【解答】解：易知|AB|= ，因为渐近线y=± x，所以 |CD|= ，
a c a
2b2 5 2bc 5 25
由 ≥ ⋅ 化简得b≥ c，即b2≥ c2 ，
a 13 a 13 169
25 c 169
所以c2−a2≥ c2，从而( ) 2≥ ，
169 a 144
c 13
解得 ≥ ．
a 12
13
故答案为：[ ，+∞)．
12
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