文档内容
专题十三 《解析几何》讲义
13.2 圆的方程
知识梳理 . 圆的方程
1.圆的方程：
（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的
方程，叫做圆的标准方程．
（2）圆的一般方程：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
圆心为，半径长为．
2．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
量化
几何观点 dr dr dr
（1）圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y)的圆的切线方程为(x －a)(x－a)＋(y －b)(y
0 0 0 0
－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy
0 0 0 0
＝r2.
（2）有关弦长问题的2种求法
几
何 直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2
法
代
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即
数
可求得弦长|AB|＝·|x－x|＝或|AB|＝·|y－y|＝
法 1 2 1 2
3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2
相离 外切 相交 内切 内含
图形|r－r|＜d＜
量的关系 d＞r＋r d＝r＋r 1 2 d＝|r－r| d＜|r－r|
1 2 1 2 r＋r 1 2 1 2
1 2
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的
关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
题型一 . 圆的方程、轨迹方程
1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），
则圆C的标准方程为 ．
2．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2＝1 B．x2+（y+1）2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+y2＝1
3．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上
方），且|AB|＝2．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
4．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）
1
的距离之比为 ．
2
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；5．在平面直角坐标系xOy中，已知点B（2，0），C（﹣2，0），设直线AB，AC的斜率
1
分别为k ，k ，且k k =− ，记点A的轨迹为E．
1 2 1 2
2
（1）求E的方程；
6．若AB=2，AC=√2BC，则S△ABC 的最大值 ．
题型二 . 直线与圆的位置关系
1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（
）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范
围为 ．
3．已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，则C上各点到l距离的最小
值为（ ）
A．√2−1 B．√2+1 C．√2 D．2√2
题型三 . 切线问题
1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切
线，切点为A，B．
（1）求切线PA，PB的方程；
（2）求过P点的圆的切线长；
（3）求直线AB的方程．
2．（2008•山东）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴相切，
则该圆的标准方程是（ ）
7
A．(x−3) 2+(y− ) 2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
3
3
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1 D．(x− ) 2+(y−1) 2=1
2
3．（2014•大纲版）直线l 和l 是圆x2+y2＝2的两条切线．若l 与l 的交点为（1，3），
1 2 1 2
则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2
4．（2014•新课标Ⅱ）设点M（x ，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝
0
45°，则x 的取值范围是（ ）
0
1 1 √2 √2
A．[﹣1，1] B．[− ， ] C．[−√2，√2] D．[− ， ]
2 2 2 25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2＝2，点A是x轴上的一个动点，
AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是（ ）
2√7 2√14 2√5 2√3
A．[ ，2√2） B．[ ，2√2） C．[ ，2√3） D．[ ，2√5）
3 3 3 3
6．（2002•北京）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0
的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为
．题型四 . 弦长问题
1．直线l：kx+y+4＝0（k R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A
（0，k）作斜率为1的直线m∈，则直线m被圆C所截得的弦长为（ ）
√2
A． B．√2 C．√6 D．2√6
2
2．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN＜2√3，则k的取
值范围是 ．
3．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则
直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．2√5 B．4√5 C．6√3 D．8√3
4．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形
ABCD的面积的最大值为 ．
题型五 . 圆与圆之间的位置关系
1．（多选）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m R）恒过定点（﹣3，﹣3）
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直
∈
线l：x﹣y+√2=0的距离都等于1
C．曲线C ：x2+y2+2x＝0与曲线C ：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4
1 2
x y
D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线 + =1上一动点，过点P向圆C引两条切线
4 2
1 1
PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( ， )
4 2
2．已知圆C ：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2√2，则圆C 与圆
1 1
C ：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（ ）
2
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
3．已知圆 与圆 相外切，则ab的最大
C ：(x−a) 2+(y+2) 2=4 C ：(x+b) 2+(y+1) 2=1
1 2
值为（ ）
9
A．2 B．√17 C． D．4
4
4．已知圆 ，圆 ，M，N 分别是圆
C ：(x−2) 2+(y−3) 2=1 C ：(x−3) 2+(y−4) 2=9
1 2
C ，C 上动点，P是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（ ）
1 2A．5√2+4 B．√2 C．5√2 D．√2+4
题型六 . 直线与圆综合问题
1．直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（
）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．0＜m＜1 D．m＜1
2．过直线y＝x上一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2的两条切线l ，l ，当l ，l 关于直线y
1 2 1 2
＝x对称时，l ，l 的夹角的大小为 ．
1 2
3．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2√2．则
直线l的倾斜角的取值范围是 ．
4．（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）
（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有
→ ⋅ → 2，那么k的取值范围是（ ）
OA OB≥−
A．（√3，+∞） B．[√2，2 √2） C．[√2，+∞） D．[√3，2 √2）
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0与x轴交于A，B两点，若
动直线 l与圆C相交于 M，N两点，且△CMN的面积为 4，若P为MN的中点，则
△PAB的面积最大值为 ．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x
−√3y+2＝0相切．
（1）求圆C的方程；
√2
（2）在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|= |PO|，其中，点Q的坐标是Q（﹣1，
2
0）．若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
（3）若在圆C上存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交不
同两点A，B，求m的取值范围．并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的
△OAB的面积．
8．如图，已知 C的圆心在原点，且与直线x+3y+4√2=0相切．
（1）求 C⊙的方程；
（2）点⊙P在直线x＝8上，过点P引 C的两条切线PA、PB，切点为A、B．
⊙①求四边形OAPB面积的最小值；
②求证：直线AB过定点．
9．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点
C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
10．（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C ：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，
1
B．
（1）求圆C 的圆心坐标；
1
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，
求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
11．如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．
（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作
一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝
∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．课后作业 . 直线与圆
1．已知圆C的圆心在x轴上，点M(0，√5)在圆C上，圆心到直线2x﹣y＝0的距离
4√5
为 ，则圆C的方程为（ ）
5
A．（x﹣2）2+y2＝3 B．（x+2）2+y2＝9
C．（x±2）2+y2＝3 D．（x±2）2+y2＝9
2．已知动直线l与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，
→ 5 → → →
且满足CB= CA，若M是线段AB的中点，则 的值为（ ）
2
OC⋅OM
A．3 B．2√3 C．2 D．﹣3
3．已知两圆 x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三条公切线，若 a R，
∈
1 1
b R，且ab≠0，则 + 的最小值为（ ）
a2 b2
∈
4 1
A．3 B．1 C． D．
9 9
4．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0
的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
√21
A．3 B． C．2√2 D．2
2
5．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0
的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？
6．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆
M截x轴所得的弦长恒为4，过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x+y
﹣10＝0距离最大值为 ．
2
7．已知圆 C 过坐标原点 O，且与 x轴，y轴分别交于点 A，B，圆心坐标 C（t， ）
t
（t R，t≠0）
（1∈）求证：△AOB的面积为定值；
（2）直线2x+y﹣4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PB|+|
PQ|的最小值及此时点P的坐标．
8．（2015·全国1）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若 → • → 12，其中O为坐标原点，求|MN|．
OM ON=
1
9．已知点A(0，2)，B(0， )，点P为曲线Γ上任意一点且满足|PA|＝2|PB|．
2
（1）求曲线Γ的方程；
（2）设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线
MR、NR分别交直线 l：y＝3于点F、G．试问在y轴上是否存在一个定点 S，使得
→ → ，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
SF⋅SG=0？
