文档内容
专题十三 《解析几何》讲义
13.1 直线方程
知识梳理 . 直线方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所
成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P(x，y)，P(x，y)在直线l上，且x≠x，则l的斜率 k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含垂直于x轴的直线
0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x(x≠x)和直线y＝y(y≠y)
1 1 2 1 1 2
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用
4．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
②当直线l 1 ，l 2 不重合且斜率都不存在时，l 1 ∥l 2 . ⇔
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k·k＝－1.
1 2 1 2 1 2 1 2
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0⇔时，l
1
⊥l
2
.
5．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式为|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
(2)点到直线的距离公式
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝ .
1 2
题型一 . 倾斜角与斜率之间的关系
1．直线sin •x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
θ π 3π
A．[0， ） B．[0， ]∪[ ，π)
4 4
π
π π π
C．[0， ] D．[0， ]∪( ，π)
4 4 2
【解答】解：直线sin •x﹣y+1＝0的斜率k＝sin [﹣1，1]，
设直线的倾斜角为 ，θ θ∈
则﹣1≤tan ＜0或0α≤tan ≤1，
3π α πα
∴ ≤α＜π或0≤α≤ ．
4 4
π 3π
∴直线sin •x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0， ]∪[ ， ）．
4 4
θ π
故选：B．
π
2．若0＜ ＜ ，则经过两点P （0，cos ），P （sin ，0）的直线的倾斜角为（ ）
1 2
2
α α α
π
A． B． + C． ﹣ D．﹣
2
α α π α α−cosα
【解答】解：经过两点P （0，cos ），P （sin ，0）的直线的斜率为： =−
1 2
sinα
α α
π
cot .0＜ ＜ ，
2
α α
π
∴直线的倾斜角为 ．tan ＝﹣cot ＝tan（ + ）．
2
β β α α
π
∴ = + ．
2
β α
故选：B．
3．已知直线l过点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3）、B（3，0）为端点的线段相交，
1
求直线l的斜率的取值范围是 （﹣∞，− ] ∪ [5 ， + ∞） ．
2
【解答】解：∵点P（﹣1，2）、A（﹣2，﹣3），
−3−2 1
∴直线AP的斜率k = =5．同理可得直线BP的斜率k =− ．
1 −2+1 2 2
设直线l与线段AB交于M点，
当直线的倾斜角为锐角时，随着M从A向B移动的过程中，l的倾斜角变大，
l的斜率也变大，直到PM平行y轴时l的斜率不存在，此时l的斜率k≥5；
当直线的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到
1
直线BP的斜率，此时l的斜率k≤− ．
2
1
综上所述，可得直线l的斜率取值范围为：（﹣∞，− ]∪[5，+∞）．
2
1
故答案为：（﹣∞，− ]∪[5，+∞）
2
题型二 . 直线方程
1．直线l过点A（1，1），且l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线l的
斜率的取值范围为 （﹣ 1 ， 1 ） ．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），化为：y＝kx+1﹣k，
由题意可得：0＜1﹣k＜2，
解得﹣1＜k＜1．
∴直线l的斜率的取值范围为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是 3 ．
【解答】解：∵A（3，0），B（0，4），
x y
∴直线AB的方程是： + =1，即4x+3y﹣12＝0，
3 4
3
设 P（x，y），则x＝3− y，
4
3 3
∴xy＝3y− y2=− （y﹣2）2+3≤3．
4 4
3
当且仅当y＝2，x= 时，取等号，
2
∴xy的最大值是3．
故答案为：3．
3．已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的
距离乘积的最大值．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，依题意，作图如下：
BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b ，
=√42−32=√7
设点P（0，m）（0＜m＜√7），
x y
∵直线AC的方程为 + =1，即√7x+3y﹣3√7=0，
3 √7
∴点P（0，m）到直线√7x+3y﹣3√7=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d
= |3m−3√7| = 3 |m −√7 | = 3（ √7− m），
√ (√7) 2+32 4 4
又点P（0，m）到BC的距离为m，
∴点 P 到 AC、BC 的距离乘积 f（m）＝m•3（ m） 3• m+(√7−m) 2 3•
√7− ≤ ( ) =
4 4 2 47 21 √7
= （当且仅当m= 时取“＝”）．
4 16 2
21
∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为 ．
16
题型三 . 直线的平行与垂直关系
1．k＝5是直线l ：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l ：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的（
1 2
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】①当k＝5时，
直线l ：2x﹣y+1＝0与l ：4x﹣2y+3＝0平行；
1 2
②若直线l ：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l ：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，
1 2
则（k﹣3）（﹣2）﹣（4﹣k）2（k﹣3）＝0，
解得，k＝3或k＝5．
故k＝5是直线l ：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l ：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行的充分
1 2
不必要条件．
故选：A．
2．已知直线l ：ax+4y﹣2＝0与直线l ：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则
1 2
a+b+c的值为 ﹣ 4 ．
【解答】解：∵直线l 与直线l 互相垂直，
1 2
∴2a+4×（﹣5）＝0，解得a＝10，
∴l ：10x+4y﹣2＝0，
1
∵垂足（1，c）在l 上，
1
∴10+4c﹣2＝0，解得c＝﹣2，
再由垂足（1，﹣2）在l 上可得2+10+b＝0，
2解得b＝﹣12，
∴a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4
故答案为：﹣4
3．已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为
（1，2），
（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）∵三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，
已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，
1
{x=−
解方程组：{ x+ y=0 得： 5，
2x−3 y+1=0 1
y=
5
1 1
∴△ABC的垂心坐标（− ， ）；
5 5
（2）∵点A的坐标为（1，2），
根据直线方程的两点式得：
y−2 x−1
=
1 1
−2 − −1
5 5
即：3x﹣2y+1＝0．
∴BC边上的高所在直线的方程3x﹣2y+1＝0．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
题型四 . 距离问题
1．已知点A（﹣1，2），B（1，4），若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离
相等，则直线l的方程为（ ）
1
A．y＝x或x＝0 B．y＝x或y＝0 C．y＝x或y＝﹣4x D．y＝x或y= x
2
4−2
【解答】解：①当直线l与直线AB平行时，直线AB的斜率为 =1，
1−(−1)
此时直线l的方程为y＝x；
②当直线l过线段AB的中点时，AB中点的坐标为（0，3），
此时直线l的方程为x＝0．
故选：A．5
2．P、Q分别为3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为是 ．
2
【解答】解：∵3x+4y﹣10＝0与6x+8y+5＝0是平行线，
5
即3x+4y﹣10＝0与3x+4y+ =0
2
5
| +10|
∴|PQ|的最小值d 2 5，
= =
√32+42 2
5
故答案为： ．
2
3．直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．
①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．
②当|PA|•|PB|最小时，求l的方程．
【解答】解：①∵直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，
∴直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣1），
4
则A（− +1，0），B（0，﹣k+4），
k
4
∴|OA|+|OB|=− +1+(−k+4)
k
4 √ 4
＝（− −k）+5≥2 (− )⋅(−k)+5＝9，
k k
当且仅当k＝﹣2时取等号，∴l的方程为y﹣4＝﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣6＝0．
√ 4
②由①知|PA|•|PB|= (− +1−1) 2+42•√12+(−k+4−4) 2
k
√16(k2+1) 2 4 4（ 1 ）≥4 √ 1 8，
= =− (k2+1)= − −k ⋅2 (− )⋅(−k)=
k2 k k k
当且仅当k＝﹣1时取等号，
∴l的方程为y﹣4＝﹣（x﹣1），即x+y﹣5＝0．
题型五 . 对称问题
1．在平面直角坐标系中，点 A（1，2）关于直线 l：x+y＝0 对称的点的坐标为
（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：设点A（1，2）关于直线 x+y＝0 对称点为 B（m，n），
n−2 n+2 m+1
则 =1 且 + =0，
m−1 2 2
解得m＝﹣2，n＝﹣1，
则点A（1，2）关于直线l：x+y＝0 的对称点B为 （﹣2，﹣1），
故选：D．
2．直线x+3y﹣1＝0关于直线x﹣y+1＝0对称的直线方程是 3 x + y + 1 ＝ 0 ．
1
{x=−
【解答】解：联立{x+3 y−1=0，解得 2．其交点为M 1 1 ．
(− ， )
x−y+1=0 1 2 2
y=
2
在直线x+3y﹣1＝0上取一点P（1，0），设点P关于直线x﹣y+1＝0的对称点为Q
m+1 n
{ − +1=0
（m，n），则 2 2 解得{m=−1，即Q（﹣1，2）．
n n=2
×1=−1
m−1
1
−2
2
∴直线MQ的方程为y−2= (x+1)，化为3x+y+1＝0，即为所求．
1
− −(−1)
2
故答案为3x+y+1＝0．
3．若直线l ：y＝k（x﹣4）与直线l 关于点（2，1）对称，则直线l 恒过定点 （ 0 ， 2 ）
1 2 2
．
【解答】解：∵直线l ：y＝k（x﹣4）经过定点M（4，0），而点M关于点（2，1）对
1
称点为N（0，2），
又直线l ：y＝k（x﹣4）与直线l 关于点（2，1）对称，则直线l 恒过定点N（0，
1 2 2
2），
故答案为（0，2）．
4．过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l ：2x﹣y﹣2＝0与l ：x+y+3＝0之间的线
1 2
段AB恰被点P平分，则此直线的方程为 8 x ﹣ y ﹣ 2 4 ＝ 0 ．
【解答】解：设点A（x，y）在l 上，
1由题意知：线段AB的中点为P（3，0），
∴点B（6﹣x，﹣y），
解方程组{ 2x−y−2=0 ，
(6−x)−y+3=0
11
{x=
解得 3 ，
16
y=
3
16
3
∴k= =8．
11
−3
3
∴所求的直线方程为y＝8（x﹣3），即8x﹣y﹣24＝0．
故答案是：8x﹣y﹣24＝0．
5．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射
到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2√10 B．6 C．3√3 D．2√5
【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y
﹣4＝0的对称点P″（a，b）
b−0
{ ×(−1)=−1
∴ a−2 ，解得{a=4，
a+2 b+0 b=2
+ −4=0
2 2
∴光线所经过的路程|P′P″|＝2√10，
故选：A．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/18 22:04:18；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
课后作业 . 直线方程
1．若直线l：y=kx−√3与直线x+y﹣3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜
角的取值范围是（ ）
A．（00，600） B．（300，600） C．（300，900） D．（600，900）
【解答】解：联立两直线方程{y=kx−√3，
x+ y−3=0
3+√3 3k−√3
解得：x= ，y= ，
1+k 1+k
3+√3 3k−√3
∴两直线的交点坐标为（ ， ），
1+k 1+k
∵两直线的交点在第一象限，
{
3+√3
＞0
∴ 1+k ，
3k−√3
＞0
1+k
√3
解得：k＞ ，
3
√3
设直线l的倾斜角为 ，则tan ＞ ，
3
θ θ
∴ （30°，90°）．
故θ选∈：C．
2．过点P（1，2）的直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程
为 4 x + y ﹣ 6 ＝ 0 或 3 x + 2 y ﹣ 7 ＝ 0 ．
【解答】解：当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝1，不成立；
当直线l的斜率不存在时，
设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0，
∵直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，
∴|2k−3−k+2| |4k+5−k+2|，
=
√k2+1 √k2+13
解得k＝﹣4或k=− ，
2
3 3
∴直线l的方程为﹣4x﹣y+4+2＝0或− x﹣y+ +2=0，
2 2
整理，得：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．
故答案为：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．
3．若直线l被4x+y+6＝0和3x﹣5y﹣6＝0两条直线截得的线段的中点恰好是坐标原点，求
直线l的方程．
【解答】解：设所求直线l与已知两直线的交点分别是A、B，设A（x ，y ），
0 0
∵A、B关于原点对称，
∴B（﹣x ，﹣y ）．
0 0
又∵A、B分别在两直线上，
∴{ 4x 0 + y 0 +6=0 ，解得x 0 +6y 0 ＝0，即点A在直线x+6y＝0上，又直线x+6y＝0过
−3x +5 y −6=0
0 0
原点，
∴直线l的方程是x+6y＝0．
4．已知m，n，a，b R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则 的最小值
√(m−a) 2+(n−b) 2
∈
为（ ）
1
A．√3 B．√2 C．1 D．
2
【解答】解：此题可理解为点A（m，n）与点B（a，b）分别在直线l ：3x+4y＝6与直
1
线l ：3x+4y＝1上，求A、B两点间的距离的最小值，
2
∵l ∥l ，
1 2
∴ |6−1| ．
|AB| = =1
min √32+42
故选：C．
5．已知b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，则ab的最小值等
于（ ）
A．1 B．2 C．2√2 D．2√3
【解答】解：b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，1 b2+1 1
∴a≠0， •（− ）＝﹣1，化为：ab＝b+ ≥2，当且仅当b＝1，a＝2时取等号．
b2 a b
则ab的最小值等于2．
故选：B．
6．设定点A（3，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小
值是（ ）
A．√5 B．2√5 C．3√5 D．√10
【解答】解：作出点A（3，1）关于y＝x的对称点A′（1，3），
关于x轴的对称点A″（3，﹣1），
连结A′A″，交直线y＝x于点C，交x轴于点B，
则AC＝A′C，AB＝A''B，
∴△ABC周长的最小值为：
|A′A″| 2 ．
=√(1−3) 2+(3+1) 2= √5
故选：B．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/18 22:07:10；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
