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专题十三 《解析几何》讲义
13.5 抛物线
知识梳理 . 抛物线
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛
物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
焦点到顶点以及顶点到准线的
方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离
距离均为
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
|PF|＝x＋ |PF|＝－x＋ |PF|＝y＋ |PF|＝－y＋
0 0 0 0
P(x，y))
0 0
题型一 . 抛物线定义及其性质
1
1．已知抛物线y= x2 的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，
2
若|MN|=√2|NF|，则|MF|＝ √2 ．
【解答】解：作N到准线的垂线NH交准线于H点．
根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，
所以在△NOM中，|NM|=√2|NH|，所以∠NMH＝45°．
所以在△MFO（O为准线与y轴交点）中，∠FMO＝45°，所以|MF|=√2|FO|．而|FO|即为准焦距为1．
所以|MF|=√2
故答案为：√2
2．如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点
C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2=√3x
【解答】解：如图，分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，
设|BF|＝a，由已知可得|BC|＝2a，
由抛物线的定义可得|BD|＝a，则∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6+3a，2|AE|＝|AC|，
所以6+3a＝12，解得a＝2，|FC|＝3a＝6，
1
所以p= |FC|＝3，因此抛物线的方程为y2＝6x．
2
故选：B．
3．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的
动点，若△FPM为边长是6的等边三角形，则此抛物线的方程为 y 2 ＝ 6 x ．
p
【解答】解：根据题意，设抛物线的准线为l，与x轴交点为N，则N（− ，0），FN
2
＝p，
若△FPM为边长是6的等边三角形，即有PF＝PM，
则PM⊥l，
又由∠PMF＝60°，则∠PMN＝90°﹣60°＝30°，
△MNF为直角三角形，故PM＝2p，
又由△FPM为边长是6的等边三角形，即PM＝6，
则有2p＝6；
即此抛物线的方程为y2＝6x；
故答案为：y2＝6x．
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=√2|
AF|，则△AFK的面积为 8 ．
【解答】解：F（2，0），K（﹣2，0），过A作AM⊥准线，
则|AM|＝|AF|∴|AK|=√2|AM|，∴△AFK的高等于|AM|，
设A（m2，2√2m）（m＞0），
1
则△AFK的面积＝4×2√2m⋅ =4√2m，
2
又由|AK|=√2|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，
三角形APK为等腰直角三角形，所以m=√2，
1
∴△AFK的面积＝4×2√2m⋅ =8，
2
故答案为：8
5．在直角坐标系xoy中，曲线C 上的点均在圆C ：（x﹣5）2+y2＝9外，且对C 上任意一
1 2 1
点M，M到直线x＝﹣5的距离等于该点与圆C 上点的距离的最小值，则曲线C 的方程
2 1
为 y 2 ＝ 2 0 x ．
【解答】解：由题设知，曲线C 上任意一点M到圆心C （5，0）的距离等于它到直线
1 2
x＝﹣5的距离，
因此，曲线C 是以（5，0）为焦点，直线x＝﹣5为准线的抛物线，
1
故其方程为y2＝20x．
故答案为y2＝20x．6．（2015·浙江）如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的
点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比
是（ ）
A．|BF|−1 B．|BF|2−1
|AF|−1 |AF|2−1
C．|BF|+1 D．|BF|2+1
|AF|+1 |AF|2+1
【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x＝﹣1，
过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，
由抛物线的定义知BF＝BD，AF＝AE，
则|BM|＝|BD|﹣1＝|BF|﹣1，
|AN|＝|AE|﹣1＝|AF|﹣1，
则S |BC| |BM| |BF|−1 ，
△BCF = = =
S |AC| |AN| |AF|−1
△ACF
故选：A．
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题型二 . 定义转化求值
1．已知抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，在抛物线上有一动点P到y
轴的距离为d ，到直线l的距离为d ，则d +d 的最小值为 3√2−1 ．
1 2 1 2
【解答】解：∵抛物线方程y2＝4x，直线l的方程为x﹣y+5＝0，∴F（1，0）准线为x＝﹣1，
∵在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d ，到直线l的距离为d ，
1 2
∴根据抛物线的定义可知：d +d 的最小值为焦点到直线l的距离减去1，
1 2
|1−0+5|
∴最小值为 −1＝3√2−1，
√2
故答案为：3√2−1
2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣5）2＝1上，
则|MA|+|MF|的最小值是 5 ．
【解答】解：如图所示：
利用抛物线的定义知：|MP|＝|MF|，
当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小
即：CM⊥x轴，
此时|MA|+|MF|＝|AP|＝|CP|﹣1＝6﹣1＝5，
故答案为：5．3．（2016·四川）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点，
M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
√3 2 √2
A． B． C． D．1
3 3 2
【解答】解：由题意可得F（p，0），设P（y 2，y ），
0 0
2 2p
显然当y ＜0，k ＜0；当y ＞0，k ＞0．
0 OM 0 OM
要求k 的最大值，设y ＞0，
OM 0
→ → → → 1 → → 1 → →
则OM=OF+FM=OF+ FP=OF+ （ ）
OP−OF
3 3
1 → 2 → （y 2 p，y ），
= OP+ OF= 0 + 0
3 3 6p 3 3
y
0
3 2 2 √2
可得k OM = = ≤ = ，
y 0 2 + p y 0+ 2p 2 √ y 0 ⋅ 2p 2
6p 3 p y p y
0 0
当且仅当y 2＝2p2，取得等号．
0
故选：C．
题型三 . 焦点弦八个常用结论
1．（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，
若 → → → →，则 → → → 的值为（ ）
FA+FB+FC=0 |FA|+|FB|+|FC|
A．3 B．4 C．6 D．9
【解答】解：设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ）
1 1 2 2 3 3
抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x＝﹣1
∵ → → → →，
FA+FB+FC=0
∴点F是△ABC重心
则x +x +x ＝3
1 2 3
y +y +y ＝0
1 2 3
而|FA|＝x ﹣（﹣1）＝x +1
1 1|FB|＝x ﹣（﹣1）＝x +1
2 2
|FC|＝x ﹣（﹣1）＝x +1
3 3
∴|FA|+|FB|+|FC|＝x +1+x +1+x +1＝（x +x +x ）+3＝3+3＝6
1 2 3 1 2 3
故选：C．
2．（2016•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线 C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，
经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果 → • → 12，那么抛物线C的方程为
OA OB=−
（ ）
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
p
【解答】解：设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），焦点坐标为（ ，0），∴直线AB的
2
p
方程为y＝k（x− ），
2
1
由直线与抛物线方程联立，得k2x2﹣（pk2+2p）x+ p2k2＝0，
4
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
2p 1
则x +x ＝p + ，x •x = p2，
1 2 k2 1 2 4
p p p 1
y •y ＝k（x − ）•k（x − ）＝k2[x •x − （x +x ）+ p2]＝﹣p2，
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 4
1
∴ → • → x •x +y •y = p2﹣p2＝﹣12，
OA OB= 1 2 1 2
4
∴p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
故选：C．
3．（2009•黑龙江）已知直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，
F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝（ ）
1 √2 2 2√2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【解答】解：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝﹣2
直线y＝k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，
1
则|OB|= |AF|，
2
∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，
2√2−0 2√2
故点B的坐标为(1，2√2)∴k= = ，
1−(−2) 3
故选：D．
4．（2020•青岛模拟）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物
|AF|
线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则 的值为（ ）
|BF|
3 4
A．3 B．2 C． D．
2 3
p
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（ ，0），
2
∵直线l倾斜角为60°，
p
∴直线l的方程为：y﹣0=√3（x− ）．
2
设直线与抛物线的交点为A（x ，y ）、B（x ，y ），
1 1 2 2
p p
∴|AF|＝x + ，|BF|＝x + ，
1 2
2 2
联立方程组，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，
3p p
解得x = ，x = ，
1 2
2 6
p p 2p
∴|AF|＝x + =2p，|BF|＝x + = ，
1 2
2 2 3
∴|AF|：|BF|＝3：1，|AF|
∴ 的值为3．
|BF|
故选：A．
5．（2015•陕西一模）已知直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，l
与C交于 A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为（ ）
1 3
A． B． C．1 D．2
2 2
【解答】解：由{x−y−m=0得：x2﹣（2m+2p）x+m2＝0，
y2=2px
设A（x ，y ），B（x ，y ），则x +x ＝2m+2p；
1 1 2 2 1 2
p
又直线l：x﹣y﹣m＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（ ，0），
2
p p
∴ −0﹣m＝0，解得：m= ．
2 2
p p
又|AB|＝（x + ）+（x + ）＝x +x +p＝2m+3p＝4p＝6，
1 2 1 2
2 2
3
∴p= ．
2
故选：B．
6．（2021春•孝南区校级月考）已知曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴
的距离大2，直线l：y＝kx+2与曲线M交于A，D两点，与圆N：x2+y2﹣4y+3＝0交于
B，C两点（A，B在第一象限），则|AC|+4|BD|的最小值为 2 3 ．
【解答】解：∵曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离比到x轴的距离大2，
∴曲线M上任意一点P到点F（0，2）的距离与到直线y＝﹣2的距离相等，
则曲线M为抛物线，其方程为x2＝8y，焦点为F（0，2），
则直线y＝kx+2过抛物线的焦点F，
1 1 1
当k＝0时，|AF|＝|DF|＝4，则 + = ，
|AF| |DF| 2
当k≠0时，如图，过A作AK⊥y轴于K，设抛物线的准线交y周于E，
p
则|EK|＝|EF|+|FK|＝p+|AF|cos∠AFK＝|AF|，得|AF|= ，
1−cos∠AFK
1 1−cos∠AFK 1 1+cos∠AFK
则 = ，同理可得 = ，
|AF| p |DF| p1 1 2 1
∴ + = = ，
|AF| |DF| p 2
化圆N：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，则圆N的圆心为F，半径为1，
|AC|+4|BD|＝|AF|+1+4（|DF|+1）＝|AF|+4|DF|+5
1 1 |AF| 4|DF|
＝2（|AF|+4|DF|）×（ + ）+5＝2（5+ + ）+5
|AF| |DF| |DF| |AF|
√|AF| 4|DF|
≥2(5+2 ⋅ )+5=23．
|DF| |AF|
当且仅当|AF|＝2|DF|时上式等号成立．
∴|AC|+4|BD|的最小值为23，
故答案为：23．
7．（2007•山东）设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的
→ → √21
一点，
FA
与x轴正向的夹角为60°，则
|OA|
为 p ．
2
【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，令FD＝m，则FA＝2m，p+m＝2m，m＝p．
∴ √ p 2 √21 ．
OA= ( +p) +(√3p) 2= p
2 2
√21
故答案为： p
2
8．（2018•一模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l ，l ，直
1 2
线l 与抛物线C交于A、B两点，直线l 与抛物线C交于D、E两点，若l 与l 的斜率的
1 2 1 2
平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．32
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线l ：y＝k （x﹣1），直线
1 1
l ：y＝k （x﹣1），
2 2由题意可知，则 ，
k 2+k 2=1
1 2
联立{y=k
1
(x−1)，整理得：k
1
2x2﹣（2k
1
2+4）x+k
1
2＝0，
y2=4x
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则x 1 +x 2= 2k 1 2+4 =2+ 4 ，
k 2 k 2
1 1
设D（x
3
，y
3
），E（x
4
，y
4
），同理可得：x
3
+x
4
＝2+ 4 ，
k 2
2
由抛物线的性质可得：|AB|＝x
1
+x
2
+p＝4+ 4 ，|DE|＝x
3
+x
4
+p＝4+ 4 ，
k 2 k 2
1 2
4 4 4(k 2+k 2 ) 4 4
∴|AB|+|DE|＝8
+ + =8+ 1 2 =8+ ≥8+ =24，
k 2 k 2 k 2k 2 k 2k 2 k 2+k 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
( )
2
1
当且仅当k 2=k 2= 时，上式“＝”成立．
1 2 2
∴|AB|+|DE|的最小值24，
故选：C．
9．（2012•安徽）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原
点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（ ）
√2 3√2
A． B．√2 C． D．2√2
2 2
【解答】解：设直线AB的倾斜角为 （0＜ ＜ ）及|BF|＝m，
∵|AF|＝3， θ θ π
∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3
∴2+3cos ＝3
1θ
∴cos =
3
θ
∵m＝2+mcos（ ﹣ ）
2 π3 θ
∴m= =
1+cosθ 21 1 3 2√2 3√2
∴△AOB的面积为S= ×|OF|×|AB|×sinθ= ×1×(3+ )× =
2 2 2 3 2
故选：C．
10．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝
5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），
p p
∴焦点F坐标为（ ，0），可得|OF|= ，
2 2
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF| √ p √ p2，
= 22+( ) 2= 4+
2 4
p
∴sin∠OAF= |OF|
=
2 ，
|AF| √ p2
4+
4
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
p
∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF= |AF|
=
2 ，
|MF| √ p2
4+
4
∵|MF|＝5，|AF| √ p2
= 4+
4
√ p2 p
4+
∴ 4
=
2 ，整理得4
+
p2
=
5p，解之可得p＝2或p＝8
5 √ p2 4 2
4+
4
因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．方法二：
p
∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（ ，0），
2
p p
设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x+ =5，可得x＝5− ，
2 2
p p
5− +
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 2 2 5，
=
2 2
5
由已知圆半径也为 ，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则
2
M点纵坐标为4，
p
即M（5− ，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8．
2
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x．
故选：C．
11．（2013•宁波模拟）直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于P，Q两
点，由P，Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R，S，如果|PF|＝a，|QF|＝b，M
为RS的中点，则|MF|＝（ ）
a+b 1
A．a+b B． C．√ab D． √ab
2 2
【解答】解：①PQ与x轴不垂直时，如图所示，
由抛物线的定义可得|QF|＝|QS|，|PF|＝|PR|．
∴∠QFS＝∠QSF，∠PFR＝∠PRF，
由题意可得QS∥FG∥PR，∴∠SFG＝∠QSF，∠RFG＝∠PRF．
1
∴∠SFG+∠RFG＝90°，∴|MF|= |RS|．
2
过点P作PN⊥QS交于点N，则|PN|＝|RS|．在Rt△PQN中，|PN| 2 ．
=√|PQ|2−|QN|2=√((a+b) 2−(b−a) 2= √ab
∴|MF|=√ab．
②当PQ⊥x轴时，也可|MF|＝p＝a＝b=√ab．
综上可知：|MF|=√ab．
故选：C．
12．（2013•大纲版）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率
为k的直线与C交于A，B两点，若 → • → 0，则k＝（ ）
MA MB=
√2 1
A．√2 B． C． D．2
2 2
【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y＝k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，△＞0，
设A（x ，y ），B（x ，y ）．
1 1 2 2
8
∴x +x ＝4 + ，x x ＝4．
1 2 k2 1 2
8
∴y +y = ，y y ＝﹣16，
1 2 1 2
k
又 → → 0，
MA⋅MB=
16 16
∴ M → A⋅M → B= （x 1 +2，y 1 ﹣2）•（x 2 +2，y 2 ﹣2）= k2 − k +4= 0
∴k＝2．
故选：D．
13．（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C
在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 3
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，
即准线方程为：x＝﹣2，
p
∴p＞0，− =−2即p＝4，
2
∴抛物线C：y2＝8x，在第一象限的方程为y＝2√2√x，
设切点B（m，n），则n＝2√2√m，
1 1 √2
又导数y′＝2√2⋅ ⋅ ，则在切点处的斜率为 ，
2 √x √m
n−3 √2
∴ = 即√2m+2√2=2√2m−3√m，
m+2 √m
√2
解得√m=2√2（− 舍去），
2
∴切点B（8，8），又F（2，0），
8−0 4
∴直线BF的斜率为 = ，
8−2 3
故选：D．
题型四 . 过 x 轴定点问题
1．已知 F 为抛物线 y2＝x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
→ → √2
OA⋅OB=2
（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是
4
．
【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x ，y ），B（x ，y ），直线AB与
1 1 2 2
x轴的交点为M（m，0），
x＝ty+m代入y2＝x，可得y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y •y ＝﹣m，
1 2
∵ → → ，∴x •x +y •y ＝2，从而（y •y ）2+y •y ﹣2＝0，
OA⋅OB=2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y •y ＝﹣2，故m＝2．
1 2
不妨令点A在x轴上方，则y ＞0，
1
1
又F（ ，0），
4∴S△BFO +S△AFO= 1•1•y
1+
1•1•|y
2
|
=
1
(y +
2
)≥
√2
2 4 2 4 8 1 y 4
1
2
当且仅当y = ，即y =√2时，取“＝”号，
1 y 1
1
√2
∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是 ，
4
√2
故答案为：
4
2．已知抛物线C方程为x2＝4y，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，
且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则|AP|•|BQ|的取值范围为（
）
1
A．( ，+∞) B．[2，+∞） C．（2，+∞） D．[0，2）
2
【解答】解：由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F（0，1），则l：y＝
kx+1．
设A（x ，x 2 ），B（x ，x 2 ），由{y=kx+1消去y得，x2﹣4kx﹣4＝0，
1 1 2 2
4 4 x2=4 y
∴x +x ＝4k，x x ＝﹣4．
1 2 1 2
由于抛物线C也是函数y 1x2的图象，且y′ 1x，则PA：y x 2 1x （x﹣x ）．
= = − 1 = 1 1
4 2 4 2
1 1 1
令y＝0，解得x= x ，∴P（ x ，0），从而|AP|= √x 2 (4+x 2 )．
2 1 2 1 4 1 1
1
同理可得，|BQ|= √x 2 (4+x 2 )，
4 2 2
∴ |AP|• |BQ|
1 1
= √(x x ) 2 (4+x 2 )(4+x 2 )= √(x x ) 2 [16+4(x 2+x 2 )+(x x ) 2 ]=2 √1+k2
16 1 2 1 2 16 1 2 1 2 1 2
．
∵k2≥0，∴|AP|•|BQ|的取值范围为[2，+∞）．
故选：B．
题型五 . 切线问题3．已知点A（3，﹣2）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线上，过点A的直线与抛物线在
第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
p
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y=− ，
2
p 1
∵点A（3，﹣2）在准线上，∴− =−2即p＝4，抛物线的方程为x2＝8y即y= x2．
2 8
m2
设点B的坐标为(m， )，m＞0，
8
1 1 1
对y= x2求导可得，y'= x，∴直线AB的斜率为 m，
8 4 4
m2
m2 +2
由A（3，﹣2）、B(m， )可知， 8 1 ，解之得，m＝8或﹣2（舍负），
8 k = = m
AB m−3 4
∴点B（8，8），
4
由抛物线的定义可知，|BF|＝8+ =10．
2
故选：C．
课后作业 . 抛物线
1．已知点M（1，2），点P在抛物线y2＝8x上运动，点Q在圆（x﹣2）2+y2＝1上运
动，则|PM|+|PQ|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线l：x＝﹣2，
圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为F（2，0），半径r＝1，
过点P作PB垂直于准线l，垂足为B，抛物线的定义可知|PB|＝|PF|，
则|PM|+|PQ|≥|PM|+|PF|﹣r＝|PM|+|PB|﹣1，
当点M，P，B三点共线时，|PM|+|PB|取得最小值，
所以|PM|+|PQ|≥|PM|+|PB|﹣1≥（1+2）﹣1＝2，
即有|PM|+|PQ|取得最小值2．
故选：A．2．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，若抛物线C上存在一点
B使|AB|=√2|BF|，则|AB|＝（ ）
A．8√2 B．8 C．4√2 D．4
【解答】解：由抛物线的方程可得：焦点坐标F（4，0），准线方程为x＝﹣4，所以A
（﹣4，0），
过B作BB'垂直于准线交于B'，由抛物线的性质可得|BF|＝|BB'|，
因为|AB|=√2|BF|，所以|AB|=√2|BB'|，所以可得∠B'AB＝45°，
进而可得∠BAO＝45°，所以直线 AB 的方程为：y＝x+4，代入抛物线的方程可得
{y=x+4，整理可得y2﹣16y+64＝0，解得y＝8，
y2=16x
代入直线可得x＝4，即B（4，8），所以|BF|＝8，
所以|AB|＝8√2，
故选：A．
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的x2 y2 右支与焦点为F的抛
− =1(a＞0，b＞0)
a2 b2物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
√2 √3
A．y=± x B．y=±√2x C．y=± x D．y=±√3x
2 2
【解答】解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线x2 y2 （a＞0，b＞0），
− =1
a2 b2
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，
∴y +y 2pb2，
A B=
a2
p p
∵|AF|+|BF|＝4|OF|，∴y +y +2× =4× ，
A B
2 2
∴2pb2
p，
=
a2
b √2
∴ = ．
a 2
√2
∴该双曲线的渐近线方程为：y＝± x．
2
故选：A．
4．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线
C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为 x 2 ＝ 4 y
|EF|
， = 1 6 ．
|AB|
p
【解答】解：由抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，得− =−1，即p＝
2
2．
∴抛物线C的方程为x2＝4y；
圆x2+y2﹣2y＝0为x2+（y﹣1）2＝1，
则圆心与抛物线的焦点M重合，圆的半径为1．
如图，联立{ x2=4 y ，得4y2﹣17y+4＝0．
3x−4 y+4=0
1
解得：y = ，y ＝4．
A 4 F
1
∴|AB|＝|AM|﹣1＝|AA |﹣1= ；
1
4
|EF|＝|MF|﹣1＝|FB |﹣1＝4，
1
|EF| 4
= =16
则|AB| 1 ．
4
故答案为：x2＝4y；16．
|PA|
5．焦点为F的抛物线C：x2＝4y的准线与坐标轴交于点A，点P在抛物线C上，则
|PF|
的最大值为 √2 ．
【解答】解：由题意可得，焦点F（0，1），A（0，﹣1），准线方程为y＝﹣1
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|，
|PA| |PA| 1
则 = = ，∠PAM为锐角．
|PF| |PM| sin∠PAM
|PA|
故当∠PAM最小时，则 最大，
|PF|
|PA|
故当PA和抛物线相切时， 最大
|PF|
a2
可设切点P（a， ），
4
1
a2−1
则PA的斜率为k 4 ，
=
ax2 x
而函数y= 的导数为y′= ，
4 2
1
a2−1
则有a 4 ，解得a＝±2，可得P（2，1）或（﹣2，1），
=
2 a
则|PM|＝2，|PA|＝2√2，
|PM| √2
即有sin∠PAM= = ，
|PA| 2
|PA|
则 =√2，
|PF|
故答案为：√2
6．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于点A、B，交准线于点P，交y轴于点Q，若
9
→ →
，则弦长|AB|＝ ．
PQ=FB
2
【解答】解：设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立{y=k(x−1)得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，∴ 2k2+4，
x +x =
y2=4x 1 2 k2
把x＝﹣1代入y＝k（x﹣1）得y＝﹣2k，∴P（﹣1，﹣2k），
把x＝0代入y＝k（x﹣1）得y＝﹣k，∴Q（0，﹣k），
∵ → → ，∴（1，k）＝（x 2 ﹣1，y 2
），解得{x
2
=2
，
PQ=FB
y =k
2
∵点B在抛物线上，∴ ，∴ ，
y2=4×2 k2= y2=8
2 2
而 2k2+4 2×8+4 5，
x +x = = =
1 2 k2 8 25 9
由抛物线的定义可知，|AB|=x +x +p= +2= ．
1 2 2 2
9
故答案为： ．
2
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