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专题十三 《解析几何》讲义
13.4 双曲线
知识梳理 . 双曲线
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|FF|)的点P的轨迹叫
1 2 1 2
做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F(－c,0)，F(c,0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
线段AA，BB 分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，
1 2 1 2
轴
虚轴长为2b
焦距 |FF|＝2c
1 2
e是表示双曲线开
离心率 e＝＝ ∈(1，＋∞) 口大小的一个量，
e越大开口越大.
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 a2＝c2－b2
题型一 . 双曲线及其性质
x2 y2
1．过双曲线 − =1左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F 为其右焦
2
4 3
点，则|MF |+|NF |﹣|MN|的值为 ．
2 2
2．设双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为 F ，F ，过F 的直线与双曲线C交于
C： − =1 1 2 1
8 b2
M，N两点，其中M在左支上，N在右支上，若点F 在线段MN的中垂线上，则MN＝
2
（ ）A．8√2 B．8 C．4√2 D．4
3．过双曲线 x2 y2 的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A，若以C的
C： − =1
a2 b2
右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方
程是 ．
x2 y2
4．P是双曲线 − =1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝
9 16
1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为 ．
y2
5．已知F是双曲线C：x2− =1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6√6）．当
8
△APF周长最小时，该三角形的面积为 ．
题型二 . 焦点三角形
1．已知点F ，F 分别为双曲线 x2 y2 的左、右焦点，过
1 2 C： − =1(a＞0，b＞0)
a2 b2
F 的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF |＝3，|BF |＝5，|AB|＝4，则△BF F
1 2 2 1 2
的面积为 ．
2．已知F ，F 是双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上任意
1 2 − =
a2 b2
一点，M是线段PF 的中点，则以PF 为直径的圆与圆x2+y2＝a2的位置关系是（ ）
1 1
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
x2
3．已知双曲线C： −y2=1的左右焦点为F 、F ，点M为双曲线C上任一点，则|MF |
1 2 1
2
•|MF |的最小值为（ ）
2
A．1 B．√2 C．2 D．3
4．从双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长
− =
a2 b2
FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）
A．c﹣a B．b﹣a C．a﹣b D．c﹣b
题型三 . 渐近线性质
1．过双曲线C：x2 y2 1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．
− =
a2 b2
若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C
的方程为（ ）
x2 y2 x2 y2
A． − =1 B． − =1
12 4 7 9
x2 y2 x2 y2
C． − =1 D． − =1
8 8 4 12
2．设F ，F 是双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F
1 2 − = 2
a2 b2
作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，若|PF |=√6|OP|，则 C 的离心率为
1
．
3．已知斜率为1的直线l与双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，且AB的
− =
a2 b2
中点为M（1，3），则双曲线的渐近线方程为（ ）
1 √3
A．y＝±3x B．y＝±√3x C．y＝± x D．y＝± x
3 3
4．已知双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分
− =
a2 b2
别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是 ．题型四 . 构建等量关系求离心率
1．设双曲线x2 y2 的右焦点是F，左、右顶点分别是A ，A ，
− =1(a＞0，b＞0) 1 2
a2 b2
过 F 做 x 轴的垂线交双曲线于 B，C 两点，若 A B⊥A C，则双曲线的离心率为
1 2
．
2．过双曲线M：x2 y2 1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线
− =
b2
分别相交于B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
√10 √5
A．√10 B．√5 C． D．
3 2
3．已知F 、F 是双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段 F F 为边作正
1 2 − = 1 2
a2 b2
△MF F ，若边MF 的中点在双曲线时，双曲线的离心率e＝ ．
1 2 1
4．(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为
C： − =1(a＞0，b＞0)
a2 b2
F ，F ，过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点．若 → → ，
1 2 1 F A=AB
1
→ → ，则双曲线C的离心率为（ ）
F B⋅F B=0
1 2
2√3
A． B．√2 C．2 D．√3
3
题型五 . 离心率的取值范围
1．设点P在双曲线x2 y2 的右支上，双曲线的左、右焦点分别
− =1(a＞0，b＞0)
a2 b2
为F ，F ，若|PF |＝4|PF |，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
1 2 1 2
5 5
A．(1， ] B．（1，2] C．[ ，+∞) D．[2，+∞）
3 32．已知双曲线 x2 y2 （a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F ，F ，O为坐标原点，
C： − =1 1 2
a2 b2
点M为双曲线右支上一点，若|F F |＝2|OM|，tan∠MF F ≥2，则双曲线C的离心率的
1 2 2 1
取值范围为 ．
3．F ，F 是双曲线x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线上存在点 P满足
1 2 − =
a2 b2
→ → a2，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
PF ⋅PF =−
1 2
A．[√3，+∞） B．[√2，+∞） C．（1，√3] D．（1，√2]课后作业 . 双曲线
1．已知F ，F 是双曲线E：x2 y2 （a＞0，b＞0）的左右焦点，F 与抛物线C：
1 2 − =1 2
a2 b2
y2＝4√3x的焦点重合，点M在E上，MF 与x轴垂直，|MF |＝2，则E的离心率为（
2 2
）
3
A．√2 B． C．√3 D．2
2
x2
2．已知M（x ，y ）是双曲线C： −y2＝1上的一点，F 、F 是C上的两个焦点，若
0 0 1 2
2
∠F MF 为钝角，则y 的取值范围是 ．
1 2 0
3．设F 、F 分别为双曲线 x2 y2 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F 的直线l
1 2 C： − =1 1
a2 b2
与圆O：x2+y2＝a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF ⊥x轴，则双
2
曲线的离心率等于（ ）
A．√3 B．2 C．2√2 D．4
4．已知双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F ，F ，点O为坐标原点，
− = 1 2
a2 b2
点P在双曲线的右支上，且满足|F F |＝2|OP|．若直线PF 与双曲线C只有一个交点，
1 2 2
则双曲线C的离心率为（ ）
A．√2 B．√3 C．√5 D．√6
5．已知双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近
− =
a2 b2
线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|
＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（ ）
√3 1
A．y=±√3x B．y=± x C．y＝±2x D．y=± x
3 2
6．过双曲线x2 y2 的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
− =1(a＞0，b＜0)
a2 b2
5
两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥ |CD|，则双曲线离心率的取值范
13围为 ．
