文档内容
2021-2022学年四川省达州市开江县七年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．2022 C．﹣ D．﹣2022
2．（3分）下列单项式中，与a2b3是同类项的是（ ）
A．﹣a3b2 B．a2b C．ab3 D．32a2b3
3．（3分）如图，正方体纸盒三个面上印有文字“十、四、运”，将该纸盒沿着某些棱剪开，能
展开的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解我校七（1）班学生校服的尺码情况
B．检测一批电灯泡的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．调查达州新闻《全搜索》栏目的收视率
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．7ab﹣3ab＝4 B．2a+3b＝5ab
C．a﹣2b+3c＝a﹣（2b+3c） D．x2y﹣2x2y＝﹣x2y
6．（3分）如图，在下列说法中错误的是（ ）
第1页（共27页）A．射线OA的方向是正西方向
B．射线OB的方向是东北方向
C．射线OC的方向是南偏东60°
D．射线OD的方向是南偏西55°
7．（3分）“双十一”期间，某电商决定对网上销售的某种服装按成本价提高40%后标价，又
以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利27元，则这种服装每件的成
本是（ ）
A．210元 B．215元 C．220元 D．225元
8．（3分）有理数a在数轴上的位置如图所示，则关于a，﹣a，1的大小关系表示正确的是（
）
A．a＜1＜﹣a B．a＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．﹣a＜a＜1
9．（3分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，我们发现第1次输出的结果为
18，第2次输出的结果为9，…则第2022次输出的结果为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
10．（3分）如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们
沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知正方
形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2022次追上甲时的位置（ ）
第2页（共27页）A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．AD上
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）第三十一届大运会将于2022年在成都举行，成都大运会志愿者注册人数已突破
100万．100万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2021＝ ．
13．（3分）如图，M，N是线段AB的三等分点，C是NB的中点，若AB＝10cm，则CM的长度
为 cm．
14．（3分）若关于x的方程（3a+2）x2+4xb﹣2﹣5＝0是一元一次方程，则关于x的方程ax+b＝0
的解是 ．
15．（3分）由若干相同大小的小正方体组成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，则
组成该几何体最少需要 个小正方体，最多需要 个小正方体．
16．（3分）如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中
“ ”的个数为a ，第2幅图中“ ”的个数▱为a ，第3幅图中“ ”的个数为a …，以
1 2 3
▱ ▱ ▱
此类推， 的值为 ．
第3页（共27页）三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（12分）计算或解方程：
（1） ；
（2）﹣12﹣|﹣8|+（ ﹣ ）×24；
（3） ．
18．（5分）先化简，再求值．
3（﹣2x2+5+4x）﹣（5x﹣4﹣7x2），其中x＝﹣2．
19．（7分）为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校1500名学生都参加的“安全知
识”考试，考题共10题．考试结束后，学校随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进
行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统
计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次抽查的样本容量是 ；在扇形统计图中，m＝ ，n＝ ，“答对
10题”所对应扇形的圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对超过7题的学生人数．
20．（6分）小明为一个矩形娱乐场所提供了如下的设计方案，其中半圆形休息区和矩形游泳
池以外的地方都是绿地．
（1）游泳池和休息区的面积各是多少？
（2）绿地的面积是多少？
（3）如果这个娱乐场所需要有一半以上的绿地，小明设计的m，n分别是a，b的 ，当a＝
70米，b＝40米时，他的设计方案符合要求吗？（ 取值为3）
π
第4页（共27页）21．（6分）已知如图1，∠AOB＝40°．
（1）如图1．若∠AOC＝ ∠BOC，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，∠AOC＝30°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且
3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值．
22．（9分）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂
每天能加工这种校服20件，乙工厂每天能加工这种校服25件．且单独加工这批校服甲厂
比乙厂要多用12天．在加工过程中，学校每天需付甲厂费用100元、每天需付乙厂费用
125元．
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工
了，而乙工厂每天的生产速度也提高20%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工
作时间是甲工厂工作时间的2倍还多5天，求乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂按原生产速度单独完成；方案二：由乙厂原
生产速度单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需
要一名工程师进行技术指导，并由学校每天为每个工程师提供10元的午餐补助费，请你
通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．
23．（9分）已知，线段AB上有三个点C、D、E，AB＝36，AC＝2BC，D、E为动点（点D在点E
的左侧），并且始终保持DE＝16．
第5页（共27页）（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2．点F为线段BC的中点，AF＝3AD，求AE的长；
（3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单
位长度，当运动时间t为多少秒时，使AD、BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两
倍．
24．（8分）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣
3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把
（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：5③＝ ，（﹣ ）④＝ ．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘
法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）⑤＝ ；5⑧
＝ ；（ ）⑩＝ ．
（3）算一算：﹣92÷（ ）⑤×（﹣ ）④﹣（﹣ ）4÷5④．
25．（10分）如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点，且AB＝20．动点P从点A
第6页（共27页）出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数 ，点P表示的数 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时
出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生
变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
第7页（共27页）2021-2022学年四川省达州市开江县七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2022的绝对值是（ ）
A． B．2022 C．﹣ D．﹣2022
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：﹣2022的绝对值是：2022．
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
2．（3分）下列单项式中，与a2b3是同类项的是（ ）
A．﹣a3b2 B．a2b C．ab3 D．32a2b3
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此判断即可．
【解答】解：A、字母a的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
B、字母b的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
C、字母a的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
D、有相同的字母，相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，正方体纸盒三个面上印有文字“十、四、运”，将该纸盒沿着某些棱剪开，能
展开的平面图形是（ ）
A． B．
第8页（共27页）C． D．
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判
断．
【解答】解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是C．
故选：C．
【点评】本题考查正方体的平面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位
置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
4．（3分）在下列调查中，适宜采用普查的是（ ）
A．了解我校七（1）班学生校服的尺码情况
B．检测一批电灯泡的使用寿命
C．了解全国中学生的视力情况
D．调查达州新闻《全搜索》栏目的收视率
【分析】根据全面调查、抽样调查的意义，结合具体的问题情境和可行性综合进行判断即
可．
【解答】解：A．了解我校七（1）班学生校服的尺码情况，宜采取全面调查，因此选项A符合
题意；
B．检测一批电灯泡的使用寿命，宜采取抽样调查，因此选项B不符合题意；
C．了解全国中学生的视力情况，宜采取抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查达州新闻《全搜索》栏目的收视率，宜采取抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义以及可行性是正
确判断的前提．
5．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．7ab﹣3ab＝4 B．2a+3b＝5ab
C．a﹣2b+3c＝a﹣（2b+3c） D．x2y﹣2x2y＝﹣x2y
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A、D；根据同类项的定义和可以B；根据加括号法
则可以判断C．
【解答】解：7ab﹣3ab＝4ab，故选项A错误，不符合题意；
第9页（共27页）2a+3b不能合并，故选项B不符合题意；
a﹣2b+3c＝a﹣（2b﹣3c），故选项C错误，不符合题意；
x2y﹣2x2y＝﹣x2y，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确合并同类项的方法和加括号的法则．
6．（3分）如图，在下列说法中错误的是（ ）
A．射线OA的方向是正西方向
B．射线OB的方向是东北方向
C．射线OC的方向是南偏东60°
D．射线OD的方向是南偏西55°
【分析】根据方位角的确定方法分别把各个选项中对应的方位角确定即可判断正误．
【解答】解：根据图示可知
A、射线OA的方向是正西方向，正确；
B、射线OB的方向是东北方向，正确；
C、射线OC的方向是南偏东30°，错误；
D、射线OD的方向是南偏西55°，正确．
故选：C．
【点评】主要考查了方位角的确定．注意角的度数是指的哪个夹角．
7．（3分）“双十一”期间，某电商决定对网上销售的某种服装按成本价提高40%后标价，又
以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利27元，则这种服装每件的成
本是（ ）
A．210元 B．215元 C．220元 D．225元
【分析】这种服装每件的成本是x元，根据利润＝售价﹣成本，即可得出关于x的一元一次
方程，解之即可得出结论．
第10页（共27页）【解答】解：设这种服装每件的成本是x元，
依题意，得：80%×（1+40%）x﹣x＝27，
解得：x＝225．
答：这种服装每件的成本是225元．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
8．（3分）有理数a在数轴上的位置如图所示，则关于a，﹣a，1的大小关系表示正确的是（
）
A．a＜1＜﹣a B．a＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．﹣a＜a＜1
【分析】a和﹣a互为相反数，首先表示﹣a的位置，然后再根据当数轴方向朝右时，右边的
数总比左边的数大进行比较．
【解答】解：如图所示：
由数轴可得：a＜1＜﹣a，
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握互为相反的两个数在原点的两侧，
到原点的距离相等．
9．（3分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，我们发现第1次输出的结果为
18，第2次输出的结果为9，…则第2022次输出的结果为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【分析】根据运算程序依次进行计算，从而不难发现，从第4次开始，偶数次输出的结果是
6，奇数次输出的结果是3，然后解答即可．
【解答】解：第1次输出的结果为18，
第2次输出的结果为9，
第11页（共27页）第3次输出的结果为9+3＝12，
第4次输出的结果为 ×12＝6，
第5次输出的结果为 ×6＝3，
第6次输出的结果为3+3＝6，
第7次输出的结果为 ×6＝3，
…，
则从第4次开始，以6，3循环出现，
∵（2022﹣3）÷2＝1009……1，
∴第2022次输出的结果为6．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出从第4次开始，
偶数次输出的结果是6，奇数次输出的结果是3是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们
沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知正方
形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2022次追上甲时的位置（ ）
A．AB上 B．BC上 C．CD上 D．AD上
【分析】根据题意列一元一次方程，然后观察规律，四次一循环，即可求得结论．
【解答】解：设乙走x秒第一次追上甲，
根据题意，得5x﹣x＝4，
解得x＝1，
∴乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是AB上；
设乙再走y秒第二次追上甲，
根据题意，得5y﹣y＝8，解得y＝2，
∴乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是BC上；
第12页（共27页）同理：乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是CD上；
同理乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是DA上；
乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上；
∴2022÷4＝505......2，
∴乙在第2022次追上甲时的位置是BC上．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是寻找规律确定位置．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）第三十一届大运会将于2022年在成都举行，成都大运会志愿者注册人数已突破
100万．100万用科学记数法表示为 1×1 0 6 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：100万＝1000000＝1×106．
故答案是：1×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则（x+y）2021＝ ﹣ 1 ．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，代入计算即可得出答案．
【解答】解：∵|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得：x＝2，y＝﹣3，
故（x+y）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．
13．（3分）如图，M，N是线段AB的三等分点，C是NB的中点，若AB＝10cm，则CM的长度
为 5 cm．
【分析】根据已知得出AM＝MN＝BN，AB＝3BN，BN＝2CN，根据AB＝10cm求出BN和
CN，由CM＝MN+CN即可求出答案．
【解答】解：∵M、N是线段AB的三等分点，
第13页（共27页）∴AM＝MN＝BN，AB＝3BN，
∵C是BN的中点，
∴BN＝2CN，
∵AB＝10cm，
∴BN＝ cm，CN＝ cm，
∴CM＝MN+CN＝ + ＝5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了求两点之间的距离的应用，掌握中点与等分点的意义以及线段的和与
差是解决问题的关键．
14．（3分）若关于x的方程（3a+2）x2+4xb﹣2﹣5＝0是一元一次方程，则关于x的方程ax+b＝0
的解是 x ＝ ．
【分析】根据一元一次方程的定义求出a，b的值，然后代入方程ax+b＝0的中，解一元一次
方程即可解答．
【解答】解：由题意得：
3a+2＝0，b﹣2＝1
∴a＝﹣ ，b＝3，
把a＝﹣ ，b＝3代入ax+b＝0的中，
﹣ x+3＝0，
解得：x＝ ，
故答案为：x＝ ．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解，根据一元一次方程的定义
求出a，b的值是解题的关键．
15．（3分）由若干相同大小的小正方体组成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，则
组成该几何体最少需要 8 个小正方体，最多需要 1 0 个小正方体．
第14页（共27页）【分析】利用俯视图，画出最多，最少的情形，可得结论．
【解答】解：最多有：3+2+2+2+1＝10（个），最少有：3+2+1+1+1＝8（个）．
故答案为：8，10．
【点评】本题考查三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题
型．
16．（3分）如图所示，将形状大小完全相同的“ ”按照一定规律摆成如图图形，第1幅图中
“ ”的个数为a ，第2幅图中“ ”的个数▱为a ，第3幅图中“ ”的个数为a …，以
1 2 3
▱ ▱ ▱
此类推， 的值为 ．
【分析】先根据已知图形得出a ＝n（n+1），代入再利用 ＝ − 裂项化简可
n
得答案．
【解答】解：由图形知a ＝1×2，a ＝2×3，a ＝3×4，
1 2 3
∴a ＝n（n+1），
n
∴原式＝ + + +…+ +
第15页（共27页）＝2×（1﹣ + ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ + ﹣ ）
＝2×（1﹣ ）
＝2×
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出a ＝n（n+1）及
n
＝ − ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（12分）计算或解方程：
（1） ；
（2）﹣12﹣|﹣8|+（ ﹣ ）×24；
（3） ．
【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算，有括号先算括号里；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣3 +1 ﹣（﹣2）
＝﹣2+2
＝0；
（2）﹣12﹣|﹣8|+（ ﹣ ）×24
＝﹣1﹣8+ ×24﹣ ×24
＝﹣9+33﹣32
第16页（共27页）＝﹣8；
（3） ，
2（2x﹣3）+6＝3（3x+1）﹣6x，
4x﹣6+6＝9x+3﹣6x，
4x+6x﹣9x＝3+6﹣6，
x＝3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
18．（5分）先化简，再求值．
3（﹣2x2+5+4x）﹣（5x﹣4﹣7x2），其中x＝﹣2．
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
【解答】解：原式＝﹣6x2+15+12x﹣5x+4+7x2
＝x2+7x+19，
当x＝﹣2时，
原式＝（﹣2）2+7×（﹣2）+19
＝4﹣14+19
＝9．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不
变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变
号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
19．（7分）为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校1500名学生都参加的“安全知
识”考试，考题共10题．考试结束后，学校随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进
行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统
计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次抽查的样本容量是 5 0 ；在扇形统计图中，m＝ 1 6 ，n＝ 3 0 ，“答对10
第17页（共27页）题”所对应扇形的圆心角为 7 2 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对超过7题的学生人数．
【分析】（1）先读图，根据图形中的信息逐个求出即可；
（2）求出人数，再画出即可；
（3）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），
本次抽查的样本容量是50， ＝0.16＝16%，1﹣10%﹣16%﹣24%﹣20%＝30%，
即m＝16，n＝30，
360°×20%＝72°，
故答案为：50，16，30，72；
（2）条形图如图所示：
；
（3）解：该校答对超过7题的学生有（24%+30%+20%）×1500＝1110（人）．
答：该校答对超过7题的学生人数有1110人．
【点评】本题考查了条形统计图，总体、样本、个体、样本容量等知识点，能根据图形得出正
确信息是解此题的关键．
20．（6分）小明为一个矩形娱乐场所提供了如下的设计方案，其中半圆形休息区和矩形游泳
池以外的地方都是绿地．
（1）游泳池和休息区的面积各是多少？
（2）绿地的面积是多少？
（3）如果这个娱乐场所需要有一半以上的绿地，小明设计的m，n分别是a，b的 ，当a＝
70米，b＝40米时，他的设计方案符合要求吗？（ 取值为3）
π
第18页（共27页）【分析】（1）根据图形所标字母列式计算；
（2）根据绿地面积等于矩形场地面积减去游泳池与休息区的面积列式即可；
（3）将a＝70米，b＝40代入（2）题结果，再和场地面积的 比较大小即可．
【解答】解：（1）由题意可得，游泳池的面积是：mn，休息区的面积是： ＝ ，
答：游泳池和休息区的面积各是mn和 ；
（2）由题意得，绿地面积是：ab﹣mn﹣ ，
答：绿地的面积是ab﹣mn﹣ ；
（3）由题意得，70×40﹣ × ﹣
≈2800﹣700﹣50×3
＝2800﹣700﹣150＝1950（平方米），
∵ ×70×40＝1400＜1950，
∴他的设计方案符合要求，
答：他的设计方案符合要求．
【点评】此题考查了根据实际问题列代数式的能力，关键是能准确理解题目间的数量关系．
21．（6分）已知如图1，∠AOB＝40°．
（1）如图1．若∠AOC＝ ∠BOC，则∠BOC＝ 60 ° 或 30 ° ；
（2）如图2，∠AOC＝30°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且
3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值．
第19页（共27页）【分析】（1）由题意知要分成两种情况：当OC在∠AOB外部时和当OC在∠AOB内部时，
结合图形可知∠BOC的度数；
（2）设∠CON＝ ，则由题意知∠AON＝30°﹣ ，故4∠AON+∠COM＝4（30°﹣ ）+4 ＝
120°． α α α α
【解答】解：（1）如图①，当OC在∠AOB外部时，
，
∴ ，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝40°+20°＝60°；
如图②，当OC在∠AOB内部时，
，
∴ ，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝40°﹣10°＝30°，
故答案为：60°或30°．
（2）设∠CON＝ ，
∵ON是∠MOC四α等分线，
∴∠MOC＝4 ，
∵3∠CON＝∠αNOM，
∴∠MON＝3∠CON＝3 ，
∵∠AOC＝30°， α
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝30°﹣ ，
∴4∠AON+∠COM＝4（30°﹣ ）+4α ＝120°．
α α
第20页（共27页）【点评】本题考查了与角有关的计算及角的代换，关键是结合图形求解．
22．（9分）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂
每天能加工这种校服20件，乙工厂每天能加工这种校服25件．且单独加工这批校服甲厂
比乙厂要多用12天．在加工过程中，学校每天需付甲厂费用100元、每天需付乙厂费用
125元．
（1）求这批校服共有多少件？
（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工
了，而乙工厂每天的生产速度也提高20%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工
作时间是甲工厂工作时间的2倍还多5天，求乙工厂共加工多少天？
（3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂按原生产速度单独完成；方案二：由乙厂原
生产速度单独完成；方案三：按（2）问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需
要一名工程师进行技术指导，并由学校每天为每个工程师提供10元的午餐补助费，请你
通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案．
【分析】（1）设这批校服共有x件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用12天得： ﹣
＝12，即可解得答案；
（2）设甲工厂加工a天，根据题意可得：（20+25）a+25×（1+20%）（2a+5﹣a）＝1200，即可
解得答案；
（3）分别计算三种方案的耗时及费用，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）设这批校服共有x件，
由题意得： ﹣ ＝12，
解得：x＝1200，
答：这批校服共有1200件；
（2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工（2a+5）天，
第21页（共27页）根据题意得：（20+25）a+25×（1+20%）（2a+5﹣a）＝1200，
解得a＝14，
∴2a+5＝2×14+5＝28+5＝33，
答：乙工厂共加工33天；
（3）①方案一：由甲厂单独加工时，耗时为1200÷20＝60天，需要费用为：60×（10+100）＝
6600（元）；
②方案二：由乙厂单独加工时，耗时为1200÷25＝48天，需要费用为：48×（125+10）＝
6480（元）；
③方案三：由两加工厂共同加工时，耗时为33天，需要费用为：14×（100+10）+33×
（10+125）＝5995（元）．
∴按方案三方式完成既省钱又省时间．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
23．（9分）已知，线段AB上有三个点C、D、E，AB＝36，AC＝2BC，D、E为动点（点D在点E
的左侧），并且始终保持DE＝16．
（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
（2）如图2．点F为线段BC的中点，AF＝3AD，求AE的长；
（3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单
位长度，当运动时间t为多少秒时，使AD、BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两
倍．
【分析】（1）由AB＝36，AC＝2BC，可得AC＝24，BC＝12，而E为BC中点，得BE＝ BC
＝6，即可得AD＝AB﹣BE﹣DE＝14；
（2）由F为BC中点，得BF＝ BC＝6，即知AF＝AB﹣BF＝30，又AF＝3AD，故AD＝10，
即得AE＝AD+DE＝26；
（3）根据点D从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，可得AD＝2t，BE＝36﹣2t﹣
第22页（共27页）16，当BE＝2AD时，36﹣2t﹣16）＝2×2t，当AD＝2BE时，2t＝2×（36﹣2t﹣16），解方程即
可得到答案．
【解答】解：（1）∵AB＝36，AC＝2BC，
∴AC＝36× ＝24，BC＝36× ＝12，
∵E为BC中点，
∴BE＝ BC＝6，
∵DE＝16，
∴AD＝AB﹣BE﹣DE＝36﹣6﹣16＝14；
（2）∵F为BC中点，
∴BF＝ BC＝6，
∴AF＝AB﹣BF＝36﹣6＝30，
∵AF＝3AD，
∴AD＝10，
∵DE＝16，
∴AE＝AD+DE＝10+16＝26；
（3）∵点D从A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，
∴AD＝2t，BE＝36﹣2t﹣16，
当BE＝2AD时，36﹣2t﹣16）＝2×2t，
解得t＝ ；
当AD＝2BE时，2t＝2×（36﹣2t﹣16），
解得t＝ ，
∴当运动时间t为 或 秒时，AD、BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及线段的和差倍分等知识，解题的关键是熟练
掌握线段的和差倍分，根据题意列方程．
24．（8分）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷
（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣
第23页（共27页）3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把
（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：5③＝ ，（﹣ ）④＝ 9 ．
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘
法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）⑤＝ （﹣ ） 3
；5⑧＝ （ ） 6 ；（ ）⑩＝ 2 8 ．
（3）算一算：﹣92÷（ ）⑤×（﹣ ）④﹣（﹣ ）4÷5④．
【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；
（2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；
（3）根据aⓝ的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果．
【解答】解：（1）5③＝5÷5÷5＝ ，
（﹣ ）④＝（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）÷（﹣ ）
＝ ×3×3×3
＝9．
故答案为： ，9；
（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）
第24页（共27页）＝（﹣3）×（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣ ）×（﹣ ）
＝（﹣ ）3，
5⑧＝5÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5
＝5× × × × × × ×
＝（ ）6，
（ ）⑩＝ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
＝ ×2×2×2×2×2×2×2×2×2
＝28，
故答案为：（﹣ ）3；（ ）6；28；
（3）由a的圈n次方＝（ ）n﹣2，
∴原式＝﹣92÷（ ）⑤×（﹣ ）④﹣
（﹣ ）4÷5④．
＝﹣81÷（﹣27）×16﹣（﹣ ）4÷（ ）2
＝48﹣
＝47 ．
【点评】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和
有理数的混合运算是解决本题的关键．
25．（10分）如图，已知数轴上点A表示的数为12，B是数轴上一点，且AB＝20．动点P从点A
出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数 ﹣ 8 ，点P表示的数 1 2 ﹣ 5 t （用含t的代数式表
第25页（共27页）示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时
出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生
变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【分析】（1）由点A表示的数为12，B在A点左边，AB＝20，即得点B表示的数是﹣8，根据
动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t秒，
直接可得点P表示的数是12﹣5t．
（2）设点P运动x秒追上点Q，根据题意得：12﹣5x＝﹣8﹣3x，即可解得答案；
（3）根据点A表示的数为12，点P表示的数是12﹣5t，M为AP的中点，知M表示的数是
12﹣ t，同理N表示的数是2﹣ t，即得MN＝10．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为12，B在A点左边，AB＝20，
∴点B表示的数是12﹣20＝﹣8，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t（t
＞0）秒，
∴点P表示的数是12﹣5t．
故答案为：﹣8，12﹣5t；
（2）设点P运动x秒追上点Q，Q表示的数是﹣8﹣3t，
根据题意得：12﹣5x＝﹣8﹣3x，
解得：x＝10，
∴点P运动10秒时追上点Q；
（3）线段MN的长度不发生变化，都等于10；理由如下：
∵点A表示的数为12，点P表示的数是12﹣5t，M为AP的中点，
∴M表示的数是 ＝12﹣ t，
∵点B表示的数是﹣8，点P表示的数是12﹣5t，N为PB的中点，
∴N表示的数是 ＝2﹣ t，
第26页（共27页）∴MN＝（12﹣ t）﹣（2﹣ t）＝10．
【点评】本题考查数轴上的点表示的数，涉及一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上
两点距离的计算方法及中点公式．
第27页（共27页）
