文档内容
2021-2022学年四川省达州市开江县九年级（上）期末数学试卷
一、单选题（每题3分，满分30分）
1．（3分）若 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
3．（3分）当x＜0时，反比例函数y＝ 的图象在（ ）
A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限
4．（3分）中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的4000多年间，不同朝代有不同形
状和材质的“权”作为衡量的量具．下面是一个“C”形增砣砝码，其俯视图如图所示，
则其主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
6．（3分）关于反比例函数y＝ ，有下列结论：①当x＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②图象经过点（1，﹣3）；③若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在图象上，且x ＜x ，则y ＜y ．其
1 1 2 2 1 2 1 2
中正确的是（ ）
A．①②③ B．仅①③ C．仅②③ D．仅①②
7．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点
B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
第1页（共33页）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，以AC，BC为边向外作正方形ACDE
和正方形BCFG，N为BC上一点，连接FN并延长，交EA的延长线于点M，则 的值是（
）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，点A在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，且A是线段OB的中点，过点A作
AD⊥x轴于点D，连接BD交反比例函数的图象于点C，连接AC．若BC：CD＝2：1，S△ACD
＝3．则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
10．（3分）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地可以
第2页（共33页）用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片
ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点
B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝
0的一个正根的线段是（ ）
A．线段BM B．线段AM C．线段BE D．线段AE
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是 ．
12．（3分）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球
除颜色外其余均相同）的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通
票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子
中白球的数量是 个．
13．（3分）一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为
cm3．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，
则DE＝ ．
15．（3分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出
第3页（共33页）的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，
但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走
出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（x＞0）的反比例函数，其图
象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之
差最多是 厘米．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从A开始沿折线
AC→CB→BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l
从与AC重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保
持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t
秒，当点P第一次回到点A时，点P与直线l同时停止运动．当点P在BA边上运动时，作
点P关于直线EF的对称点，记为点Q，若形成的四边形PEQF为菱形，则t＝ ．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）解方程：（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
18．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2），以原点O
为位似中心，在第四象限内画出△ABC的位似图形△A B C ，且△A B C 的面积为8．
1 1 1 1 1 1
第4页（共33页）19．（7分）某校数学社团以“舌尖上的开江﹣﹣我最喜爱的开江小吃”为主题对该校学生进
行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）：A．任市板鸭；B．开
江豆笋；C．甘棠馓子；D．羊肉格格，该社团将调查得到的数据整理后绘制成如图两幅不
完整的统计图：
根据统计图中的信息，解决下列问题：
（1）甘棠馓子所在扇形的圆心角的度数为 °，将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有1200名同学，估计最喜爱羊肉格格的同学有 名；
（3）若甲、乙两名同学分别从A，B，C，D这四种开江小吃中随机选择一种品尝，请你用画
树状图或列表的方法，求两名同学选到“任市板鸭”和“开江豆笋”的概率．
20．（7分）小明将一圆柱形器皿放置在水平桌面上，AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，
CD＝4．在距离水平桌面高为6处有一点光源P（PP'垂直于水平桌面，且PP'＝6），圆柱形
器皿在点光源P下的投影如图所示，点D的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即
第5页（共33页）点B处，点A的投影为点A'．已知点A'，B，C，P'在同一条直线上，求圆柱形器血在桌面上
的投影A'B的长．
21．（8分）近年来，开江县创新“稻田+“产业发展模式，全面助力乡村振兴、某工厂为种植
示范区提供加工工具，按供需要求分为十个档次，若生产第一档次（最低档次）的工具，一
天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量
将减少4件，设工具的档次（每天只生产一个档次的工具）为x，请解答下列问题：
（1）一天生产的工具件数为 件，每件工具的利润为 元（用含x的代数式
表示）；
（2）若工厂生产该工具一天的总利润为1080元，求这天生产工具的档次x的值．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，连接AE，CE，过
点C作CF∥AE交AD于点F，且CF＝ BD，连接EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若S△BCD ＝6，求四边形AECF的面积．
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象相交于A（﹣
4， ），B（﹣1，m）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．
（1）求一次函数的表达式；
（2）直接写出关于x的不等式组kx+b＞﹣ ＞0的解集；
（3）若P是线段AB上一动点，连接PC，PD，且△PAC和△PBD的面积相等，求此时点P
的坐标．
第6页（共33页）24．（10分）【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点
B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写
出BF与DE的数量关系与位置关系： ；
【类比探究】
（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和
Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且 ，其他条件不变．
①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
25．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4），（﹣
5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图②，将△OAB沿y轴向下平移得到△O'A'B'，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移
过程中ΔO'A'B'与△OAB重叠部分的面积为S．若点B的对应点B'恰好落在反比例函数y
第7页（共33页）＝ （k≠0）的图象上，求m的值及此时S的值；
（3）如图③，连接BC交AO于点D，已知P是反比例函数y＝ （k≠0）的图象上一点，在
x轴上是否存在点Q，使得以O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写
出所有满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第8页（共33页）2021-2022学年四川省达州市开江县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，满分30分）
1．（3分）若 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设 ＝ ＝t，则可用t表示a、b得到a＝3t，b＝2t，然后把它们代入分式中约分即
可．
【解答】解：设 ＝ ＝t，则a＝3t，b＝2t，
所以 ＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质：运用比例性质用一个字母分别表示a、b，然后利用分式的
性质计算．
2．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；
C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；
D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
3．（3分）当x＜0时，反比例函数y＝ 的图象在（ ）
A．第三象限 B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限
【分析】利用反比例函数的性质，k＞0，且x＜0，则图象位于第三象限，y随x的增大而减小，
第9页（共33页）据此选出正确选项．
【解答】解：根据反比例函数的性质当x＜0时，反比例函数y＝ ，图象在第三象限内，y随
x的增大而减小．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k
＜0时，图象分别位于第二、四象限，②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减
小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
4．（3分）中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的4000多年间，不同朝代有不同形
状和材质的“权”作为衡量的量具．下面是一个“C”形增砣砝码，其俯视图如图所示，
则其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图和正面看到的图形即可得出主视图．
【解答】解：该几何体的主视图是矩形，里面有两条用虚线，
所以其主视图为A；
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的
棱画实线，看不到的棱画虚线．
5．（3分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【分析】分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案．
【解答】解：A．方程x2+x+3＝0中Δ＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，此方程无实数根；
B．方程x2+2x+1＝0中Δ＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
C．方程x2﹣2＝0中Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程x2﹣2x﹣3＝0中Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
第10页（共33页）故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac
有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（3分）关于反比例函数y＝ ，有下列结论：①当x＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②图象经过点（1，﹣3）；③若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在图象上，且x ＜x ，则y ＜y ．其
1 1 2 2 1 2 1 2
中正确的是（ ）
A．①②③ B．仅①③ C．仅②③ D．仅①②
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否
正确．
【解答】解：∵反比例函数y＝ ，
∴该函数的图象分布在第二、四象限，当x＞0时，y随x的增大而增大，故①正确；
当x＝1时，y＝﹣3，故②正确；
若点A（x ，y ），B（x ，y ）都在图象上，且x ＜x ，则点A和点B都在第二象限或都在第四
1 1 2 2 1 2
象限时y ＜y ，点A在第二象限，点B在第四象限时y ＞y ，故③错误；
1 2 1 2
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性
质解答．
7．（3分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点
B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
第11页（共33页）D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个
四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与
点B重合时是矩形．
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边
形→矩形．
故选：B．
【点评】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与
AC的位置关系即可求解．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，以AC，BC为边向外作正方形ACDE
和正方形BCFG，N为BC上一点，连接FN并延长，交EA的延长线于点M，则 的值是（
）
A． B． C． D．
【分析】利用正方形的性质可得EM∥DB，从而证明A字模型相似三角形△FCN∽△FAM，
利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵四边形ACDE是正方形，
∴AE∥DC，
即EM∥DB，
∴∠BCF＝∠MAF，
∵四边形BCFG是正方形，
∴BC＝CF，
∵BC＝2AC，
∴CF＝2AC，
第12页（共33页）∴ ＝ ，
∵∠AFM＝∠CFN，
∴△FCN∽△FAM，
∴ ＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三
角形是解题的关键．
9．（3分）如图，点A在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，且A是线段OB的中点，过点A作
AD⊥x轴于点D，连接BD交反比例函数的图象于点C，连接AC．若BC：CD＝2：1，S△ACD
＝3．则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．15 D．18
【分析】由BC：CD＝2：1，S△ACD ＝3，可得S△ABC ＝6，从而可得S△ABD ＝9，再由A是线段
OB的中点可得S△DOA ＝S△ABD ＝9，进而求解．
【解答】解：∵BC：CD＝2：1，S△ACD ＝3，
∴S△ABC ＝6，
∴S△ABD ＝S△ACD +S△ABC ＝9，
∵A是线段OB的中点，
∴S△DOA ＝S△ABD ＝9，
∵k＞0，
∴k＝2S△DOA ＝18，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是掌握反比例函数图象上点的
坐标特征，掌握等高三角形面积比的问题．
第13页（共33页）10．（3分）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地可以
用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片
ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点
B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝
0的一个正根的线段是（ ）
A．线段BM B．线段AM C．线段BE D．线段AE
【分析】设正方形的边长为1，AF＝AM＝x，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：设正方形的边长为1，AF＝AM＝x，
则BE＝EF＝ ，AE＝x+ ，
在Rt△ABE中，
∴AE2＝AB2+BE2，
∴（x+ ）2＝1+（ ）2，
∴x2+x﹣1＝0，
∴AM的长为x2+x﹣1＝0的一个正根，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题
型．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是 ﹣ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到把x＝1代入方程即可得到a+b的值．
【解答】解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是1，
∴1+b+a＝0，
∴a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
第14页（共33页）一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一
元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12．（3分）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球
除颜色外其余均相同）的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通
票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子
中白球的数量是 2 4 个．
【分析】设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
【解答】解：设袋中共有m个红球，则摸到红球的概率P（红球）＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝24，
经检验：m＝24是分式方程的解，且符合题意，
所以估计袋子中白球的数量是24个，
故答案为：24．
【点评】考查利用样本估计总体和频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用
到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）一个长方体的三种视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为
144 cm3．
【分析】根据对角线为6cm，俯视图是一个正方形，则底面面积为6×6÷2＝18（cm2），再根据
长方体体积计算公式即可解答．
【解答】解：∵俯视图为正方形，根据主视图可得：正方形对角线为6cm，长方体的高为
8cm，
∴长方体的体积为：6×6÷2×8＝144（cm3）．
故答案为：144．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三视图的基本知识以及长方体
第15页（共33页）体积计算公式．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，
则DE＝ ﹣ 1 ．
【分析】过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求
出DE的长．
【解答】解：设AC、BD交于点O，过E作EF⊥DC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF，
在Rt△COE和Rt△CFE中
，
∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），
∴CO＝FC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝ ，
∴CO＝ AC＝ ，
∴CF＝CO＝ ，
∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣ ，
∴DE＝ ＝ ﹣1，
另法：因为四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，
第16页（共33页）∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，
∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝67.5°，
∴BE＝BC，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BC＝1，
∴BE＝1，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝ ，
∴DE＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查了正方形的性质：对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组
对角、角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．
15．（3分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出
的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，
但实际上走出的是一个大圆圈，这就是有趣的“瞎转圈”现象，经研究，某人蒙上眼睛走
出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）（x＞0）的反比例函数，其图
象如图所示．若此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之
差最多是 0. 4 厘米．
【分析】先求出y与x之间的函数表达式，再根据y≥35代入函数关系式解答即可．
第17页（共33页）【解答】解：设y与x之间的函数表达式为y＝ ，
∴7＝ ，
∴k＝14，
∴y与x之间的函数表达式为y＝ ；
当y≥35时，即 ≥35，
∴x≤0.4，
∴此人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4
厘米．
故答案为：0.4．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从A开始沿折线
AC→CB→BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l
从与AC重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保
持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t
秒，当点P第一次回到点A时，点P与直线l同时停止运动．当点P在BA边上运动时，作
点P关于直线EF的对称点，记为点Q，若形成的四边形PEQF为菱形，则t＝ ．
【分析】首先结合题意画出图形，然后根据菱形的性质和相似三角形的性质当P在AB上
时去分析求解，即可求得t的值．
【解答】解：如图，当P在AB上时（4＜t＜6），
∵四边形PFQE是菱形，
∴PE＝PF，
第18页（共33页）∴∠PFE＝∠PEF，
∵EF∥AC，∠C＝90°，
∴∠FEB＝∠FEP+∠PEB＝90°，
∴∠B+∠EFB＝90°，
∴∠B+∠FEP＝90°，
∴∠PEB＝∠B，
∴PE＝PB．
∵PB＝5（t﹣4），
∴BF＝10（t﹣4），
∵sin∠B＝ ＝ ，
∴ ，
∴EF＝6t﹣24
∵CE＝ t，
∴BE＝8﹣ t，
∵△FEB∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴EF＝6﹣t．
∴6﹣t＝6t﹣24
解得t＝ ；
故答案为： ．
第19页（共33页）【点评】此题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质、矩
形的判定与性质以及三角函数等知识．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）解方程：（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
【分析】首先移项，把等号右边的式子变成0，然后把等号左边的式子分解因式，根据几个
因式的乘积是0，则至少有一个是0，即可转化成一元一次方程，从而求解．
【解答】解：移项得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
即：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0，
则（x﹣2）（x﹣5）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣5＝0，
则方程的解是：x ＝2，x ＝5．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解方程的依据是：几个因式的
乘积是0，则至少有一个是0，解题的关键是正确分解因式．
18．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2），以原点O
为位似中心，在第四象限内画出△ABC的位似图形△A B C ，且△A B C 的面积为8．
1 1 1 1 1 1
第20页（共33页）【分析】先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，并结合两个三角形的面积求出两
相似三角形的相似比，继而利用位似图形的性质作出三个顶点的对应点，首尾顺次连接即
可．
【解答】解：根据题意知△ABC∽△A
1
B
1
C
1
，且S△ABC ＝ ×2×2＝2， ＝8，
∴ ＝ ，
∴△ABC与△A B C 的相似比为1：2，
1 1 1
如图所示，即为所求：
【点评】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质及相似
三角形的性质．
19．（7分）某校数学社团以“舌尖上的开江﹣﹣我最喜爱的开江小吃”为主题对该校学生进
行随机调查，并给出四种选择（每人只能从中选择且只能选择一种）：A．任市板鸭；B．开
江豆笋；C．甘棠馓子；D．羊肉格格，该社团将调查得到的数据整理后绘制成如图两幅不
完整的统计图：
根据统计图中的信息，解决下列问题：
（1）甘棠馓子所在扇形的圆心角的度数为 10 8 °，将条形统计图补充完整；
（2）若该校共有1200名同学，估计最喜爱羊肉格格的同学有 12 0 名；
（3）若甲、乙两名同学分别从A，B，C，D这四种开江小吃中随机选择一种品尝，请你用画
树状图或列表的方法，求两名同学选到“任市板鸭”和“开江豆笋”的概率．
第21页（共33页）【分析】（1）根据喜欢开江豆笋的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，用360°乘以
喜欢甘棠馓子的人数所占的百分比，求出甘棠馓子所在扇形的圆心角的度数，再用总人数
乘以喜欢任市板鸭所占的百分比，求出喜欢任市板鸭的人数，从而补全统计图；
（2）用该校的总人数乘以最喜欢羊肉格格的同学所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两位同学选到A、B小吃的情况
数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）调查的总人数有：20÷40%＝50（人），
甘棠馓子所在扇形的圆心角的度数为： ＝108°；
喜欢任市板鸭的人数有：50×20%＝10（人），
补全统计图如下：
（2）估计最喜爱羊肉格格的同学有：1200× ＝120（名）；
故答案为：120；
（3）根据题意画图如下：
第22页（共33页）共有16中等可能的情况数，其中两位同学选到A、B小吃的有2种，
则两名同学选到“任市板鸭”和“开江豆笋”的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（7分）小明将一圆柱形器皿放置在水平桌面上，AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，
CD＝4．在距离水平桌面高为6处有一点光源P（PP'垂直于水平桌面，且PP'＝6），圆柱形
器皿在点光源P下的投影如图所示，点D的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即
点B处，点A的投影为点A'．已知点A'，B，C，P'在同一条直线上，求圆柱形器血在桌面上
的投影A'B的长．
【分析】根据相似三角形△APD∽△A′PB的对应边成比例进行解答．
【解答】解：根据题意，得△APD∽△A′PB．
由相似三角形对应边上的高的比等于相似比，得 ＝ ，即 ＝ ．
所以A'B＝9．
答：圆柱形器血在桌面上的投影A'B的长为9．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利
用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意
的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
21．（8分）近年来，开江县创新“稻田+“产业发展模式，全面助力乡村振兴、某工厂为种植
第23页（共33页）示范区提供加工工具，按供需要求分为十个档次，若生产第一档次（最低档次）的工具，一
天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量
将减少4件，设工具的档次（每天只生产一个档次的工具）为x，请解答下列问题：
（1）一天生产的工具件数为 （ 8 0 ﹣ 4 x ） 件，每件工具的利润为 （ 8+ 2 x ） 元（用含x
的代数式表示）；
（2）若工厂生产该工具一天的总利润为1080元，求这天生产工具的档次x的值．
【分析】（1）每件的利润为10+2（x﹣1），生产件数为76﹣4（x﹣1）；
（2）由一天生产工具的数量×每件工具的利润＝1080列出方程，求出x的实际值即可．
【解答】解（1）一天生产的工具件数为[76﹣4（x﹣1）]＝（80﹣4x）件，
每件工具的利润为[10+2（x﹣1）]＝（8+2x）元，
故答案为：（80﹣4x），（8+2x）；
（2）当利润是1080元时，即：[10+2（x﹣1）][76﹣4（x﹣1）]＝1080，
整理得：x2﹣16x+55＝0，
解得x ＝5，x ＝11，
1 2
因为x＝11＞10，不符合题意，舍去．
因此取x＝5，
答：这天生产工具的档次x的值为5．
【点评】此题考查的是一元二次方程的应用，难度一般，注意，在市场营销问题中，一件的
利润和件数，一个量增加的同时，另一个量会减少，要根据题意，正确使用，先根据总利润
＝产品总量×单件产品利润确定一元二次方程，再进行求解，同时要根据题目限定条件取
舍答案．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，连接AE，CE，过
点C作CF∥AE交AD于点F，且CF＝ BD，连接EF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若S△BCD ＝6，求四边形AECF的面积．
第24页（共33页）【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得AE＝ BD＝DE，CE＝ BD，则AE＝CE，
再证CF＝AE，则四边形AECF是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据E是BD的中点，得到S△CDE ＝ S△BCD ＝ 6＝3，根据菱形的性质得到
AF∥EC，求得S△CEF ＝S△CDE ＝3，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BCD＝∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝ BD＝DE，CE＝ BD，
∴AE＝CE，
∵CF＝ BD，
∴CF＝AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵E是BD的中点，
∴S△CDE ＝ S△BCD ＝ 6＝3，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF∥EC，
∴S△CEF ＝S△CDE ＝3，
∴四边形AECF的面积＝2S△CEF ＝6．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的
中线性质、熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形AECF为菱形是解题的关
键．
23．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ （x＜0）的图象相交于A（﹣
4， ），B（﹣1，m）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．
（1）求一次函数的表达式；
第25页（共33页）（2）直接写出关于x的不等式组kx+b＞﹣ ＞0的解集；
（3）若P是线段AB上一动点，连接PC，PD，且△PAC和△PBD的面积相等，求此时点P
的坐标．
【分析】（1）把点B（﹣1，m）代入反比例函数y＝ （x＜0）的图象中求出m＝2，然后利
用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）连接PC、PD，如图，设P（x， x+ ），利用三角形面积公式得到 × （x+4）＝ ×|﹣1|
×（2﹣ x﹣ ），解方程求出x，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ （x＜0）的图象过点B（﹣1，m），
∴m＝﹣ ＝2，
∴B（﹣1，2），
把A（﹣4， ），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得 ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝ x+ ；
（2）由图形可知，关于x的不等式组kx+b＞﹣ ＞0的解集为﹣4＜x＜﹣1；
第26页（共33页）（3）连接PC、PD，如图，设P（x， x+ ），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴ × （x+4）＝ ×|﹣1|×（2﹣ x﹣ ），
解得x＝﹣ ，
当x＝﹣ 时，y＝ x+ ＝ ，
∴P点坐标是（﹣ ， ）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反
比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
24．（10分）【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点
B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写
出BF与DE的数量关系与位置关系： BF ＝ DE ， BF ⊥ DE ；
【类比探究】
（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和
Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且 ，其他条件不变．
①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．
第27页（共33页）【分析】（1）先证明△BCF≌△DCE，得出BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，进而证明BF⊥DE；
（2）①由∠BCD＝∠ECF＝90°得∠BCF＝∠DCE，且 ，得△BCF∽△DCE，即
可得出BF与DE的关系；
②利用相似三角形的性质求出CF、BC的长度及∠CBF＝∠CDE，进而得出BE⊥DF，再
利用勾股定理及等量代换得出DF2+BE2＝DB2+EF2，即可求出DF2+BE2的值．
【解答】解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，
∴CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，
∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，
∴∠CDE+∠DMF＝90°，
∴∠BND＝90°，
∴BF⊥DE，
故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；
第28页（共33页）（2）①如图③， ，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ECF＝90°，
∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCE，
∵ ，
∴△BCF∽△DCE，
∴ ＝ ；
②如图③，连接BD，
∵△BCF∽△DCE，
∴∠CBF＝∠CDE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝12，
∵CE＝6， ，
∴ ＝ ，
∴CF＝8，BC＝16，
∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，
∴∠BOD＝90°，
∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，
在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
第29页（共33页）在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，
在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，
∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，
在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，
∴BD2+EF2＝400+100＝500，
∴DF2+BE2＝500．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质，勾股定理，灵活应用这些性质是解决问题的关键．
25．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，4），（﹣
5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图②，将△OAB沿y轴向下平移得到△O'A'B'，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移
过程中ΔO'A'B'与△OAB重叠部分的面积为S．若点B的对应点B'恰好落在反比例函数y
＝ （k≠0）的图象上，求m的值及此时S的值；
（3）如图③，连接BC交AO于点D，已知P是反比例函数y＝ （k≠0）的图象上一点，在
x轴上是否存在点Q，使得以O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写
出所有满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由菱形的性质可求点C坐标，即可求解；
（2）先求m的值，通过证明△ANP∽△A'B'O'，由相似三角形的性质可求解；
第30页（共33页）（3）分OD为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABOC是菱形，
∴AC∥BO，且A点坐标（﹣2，4），AC＝AB＝5，
∴点C（3，4）．
∵点C恰好落在反比例函数y＝ （k≠0）的图象上，
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数表达式为y＝ ；
（2）∵将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，
∴点B'的横坐标为﹣5，
∴y＝﹣ ，
∴m＝ ，
连接AA'，并延长AA'交BO于点E，
∴AE＝4，AA'＝ ，
∴A'E＝ ，
∵S△ABO ＝ ×5×4＝10，且将△OAB沿y轴向下平移得到△O′A′B′，
∴S△A'B'O '＝10，
∵BO∥B'O'，
∴△ANP∽△A'B'O'，
第31页（共33页）∴ ＝（ ）2，
∴S＝10× ＝ ；
（3）∵四边形ABOC是菱形，
∴AD＝OD，
∵A（﹣2，4），点O（0，0），
∴点D（﹣1，2），
若OD为边，则点P在纵坐标为2或﹣2，
∴y＝ ＝6或y＝ ＝﹣6，
∴点P（6，2）或（﹣6，﹣2），
如图3，当P（6，2）时，
∵四边形ODPQ是平行四边形，
∴DP＝OQ＝7，
∴点Q（7，0），
如图4，当P（﹣6，﹣2）时，
第32页（共33页）∵四边形ODQP是平行四边形，
∴OQ与PD互相平分，
∴点H（﹣ ，0）
∴点Q（﹣7，0），
若DO为对角线，
∵四边形QOPD是平行四边形，
∴PQ与OD互相平分，
∵OD中点坐标（﹣ ，1），
∴点P纵坐标为2，
∴点P坐标为（6，2）．
∴点Q坐标为（﹣7，0）．
综上所述：当点P（6，2），点Q为（7，0）或（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是
平行四边形，当点P（﹣6，﹣2），点Q（﹣7，0）时，以点O，D，P，Q为顶点的四边形是平行
四边形．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，菱形的判定和性质，平行
四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
第33页（共33页）
