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2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试
卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+ ＝1
2．（3分）一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．4x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x+4＝0 D．2x2+5x＝﹣2
5．（3分）下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C． ＝ D．AB2＝AD•AC
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红
通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
7．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐
年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量
的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
第1页（共32页）C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
9．（3分）已知点A（﹣1，y ）、B（﹣3，y ）、C（ ，y ）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系正确的是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 1 2
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形
ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若 ＝ ，则 ＝ ．
12．（4分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的
相似比为 ．
13．（4分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值 ．
14．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，
OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面
积为4cm2．则OC的长为 cm．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣15＝0；
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角
∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
第2页（共32页）求证：四边形ADCE为矩形；
17．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己
的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边
DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
18．（8分）2021年6月，天府国际机场正式通航．天府国际机场是4F级国际机场、国际航空
枢纽、丝绸之路经济带中等级最高的航空港之一、成都国际航空枢纽的主枢纽．目前，市
民出行到天府国际机场，通常可以选择地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行
方式，小明通过调查统计附近居民的出行方式绘制了如下两幅不完整统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
第3页（共32页）（1）本次被调查的市民有 人；
（2）求出m的值，并补全条形统计图；
（3）小明和小亮分别乘坐交通工具去往天府国际机场，请用画树状图或列表的方法，求出
两人恰好选到同一种交通工具的概率．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数y ＝ （m＞
1 2
0）的图象交于点A（2，5），B（﹣5，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤ 的解集．
20．（10分）如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接
EF．
（1）求证：EB＝ED；
（2）若∠DEF＝∠ABC＝120°；
①求证：ED＝EF；
②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）反比例函数y＝ 的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k
的取值范围是 ．
22．（4分）设x ，x 是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x 2﹣4x x +x 2的值为
1 2 1 1 2 2
第4页（共32页）．
23．（4分）方程x2﹣bx+c＝0中，系数b、c可以在1、2、3、4中任取一值（b、c可以取相同的
值），则b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是 ．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，
且AE＝AB，AD•AC＝25，则△ABE的面积为 ．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是双曲线y＝ （x＞0）上一动点，将线段
OM饶O点逆时针旋转45°并延长，使OM'＝ OM，已知点N的坐标为（1，1），当
∠M′NO＝90°时，M的坐标为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄
本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x
（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
第5页（共32页）27．（10分）已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，
连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．
（1）如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
（2）如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象
交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一动
点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接
AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶
点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
第6页（共32页）第7页（共32页）2021-2022学年四川省成都市天府新区九年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+ ＝1
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．
【解答】解：A、x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2﹣2＝0，是一元二次方程，符合题意；
C、x＝2x3﹣3，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
D、3x+ ＝1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（3分）一个物体的主视图是三角形，这个物体可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别对每一项进行判断即可．
【解答】A、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
B、圆柱体的主视图是长方形，故此选项错误；
C、立方体的主视图是长方形，故此选项错误；
D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，主视图是从物体正面看所得到的图形，同时也
体现了对空间想象能力方面的考查．
第8页（共32页）3．（3分）下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：正方形是中心对称图形，也是轴对称，A错误；
矩形是中心对称图形，也是轴对称，B错误；
菱形是中心对称图形，也是轴对称，C错误；
平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重
合．
4．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．4x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x+4＝0 D．2x2+5x＝﹣2
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别
式的意义进行判断即可得到答案．
【解答】解：A．x2﹣2x＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根；
B．4x2﹣4x+3＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×4×3＝﹣32＜0，方程有没有的实数根；
C．x2+4x+4＝0，Δ＝42﹣4×1×4＝0，方程有两个相等的实数根；
D．2x2+5x＝﹣2可化为2x2+5x+2＝0，Δ＝52﹣4×2×2＝9＞0，两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣
4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的
实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
5．（3分）下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C． ＝ D．AB2＝AD•AC
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两
个三角形相似，分别判断得出即可．
第9页（共32页）【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、∵AB2＝AD•AC，∴ ，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对
应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红
通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以
从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得 ＝0.3，
解得x＝15，则白球可能有50﹣15＝35个．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率
公式列方程求解得到黄球的个数．
7．（3分）a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则线段d的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】利用比例线段的定理得到3：2＝6：d，然后利用比例的性质求d即可．
【解答】解：根据题意得a：b＝c：d，即3：2＝6：d，
所以d＝ ＝4（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的
长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比
例线段，简称比例线段．
8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐
年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量
第10页（共32页）的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．500（1+x）＝800 B．500（1+2x）＝800
C．500（1+x2）＝800 D．500（1+x）2＝800
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020
年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于x的
一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）已知点A（﹣1，y ）、B（﹣3，y ）、C（ ，y ）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，则y 、
1 2 3 1
y 、y 的大小关系正确的是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 1 2
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，
y ），B（﹣3，y ），C（ ，y ）所在的象限，确定y 、y 、y ，大小关系．
1 2 3 2 1 3
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝﹣ 的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（﹣1，y ），B（﹣3，y ）在第二象限，而C（ ，y ）在第四象限，
1 2 3
∴0＜y ＜y ，y ＜0，
2 1 3
∴y ＞y ＞y ，
1 2 3
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的
关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形
ABCD的周长为8，则OH的长为（ ）
第11页（共32页）A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用正方形的周长为8，求出BC，再利用正方形的性质得出O是BD中点，OH是
△BCD的中位线，得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的周长为8，
∴BC＝2，
又∵O是正方形对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵H是CD边的中点，
∴OH是△DBC的中位线，
∴OH＝ BC＝1．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，关键是三角形中位线定理的应用．
二、填空（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）若 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】由 ＝ ，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．（4分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的
相似比为 1 ： 3 ．
第12页（共32页）【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是
解题的关键．
13．（4分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值 ﹣ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得到关于P的一元一
次方程，然后解此方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的
值叫一元二次方程的解．
14．（4分）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，
OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面
积为4cm2．则OC的长为 4 cm．
【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半
列式计算即可得解．
【解答】解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴ AB•OC＝ ×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故答案为：4．
第13页（共32页）【点评】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定
出四边形OACB是菱形是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣15＝0；
（2）解方程：（x+3）2＝2x+6．
【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
则x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣3；
1 2
（2）（x+3）2＝2x+6，
（x+3）2＝2（x+3），
移项，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，
则（x+3）（x+1）＝0，
∴x+3＝0或x+1＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤
是解题的关键．
16．（6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角
∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
第14页（共32页）∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（8分）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己
的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边
DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．
【分析】方法一：根据DE和EF的值求出tan∠EDF的值，根据三角函数求出BC即可得出
AB的长；
方法二：证△DCB∽△DEF，根据线段比例关系求出BC，然后求出AB长即可．
【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，
∴tan∠EDF＝ ＝ ＝ ，
在Rt△BCD中，CD＝6m，
∵tan∠BDC＝tan∠EDF，
∴ ＝ ，
∴BC＝3.6m，
∵AC＝0.8m，
第15页（共32页）∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m；
方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，
∴△DCB∽△DEF，
∴ ，
∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，
∴ ＝ ，
解得：BC＝3.6，
∵AC＝0.8m，
∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），
答：树高AB为4.4m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关
键．
18．（8分）2021年6月，天府国际机场正式通航．天府国际机场是4F级国际机场、国际航空
枢纽、丝绸之路经济带中等级最高的航空港之一、成都国际航空枢纽的主枢纽．目前，市
民出行到天府国际机场，通常可以选择地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行
方式，小明通过调查统计附近居民的出行方式绘制了如下两幅不完整统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的市民有 8 0 人；
（2）求出m的值，并补全条形统计图；
（3）小明和小亮分别乘坐交通工具去往天府国际机场，请用画树状图或列表的方法，求出
第16页（共32页）两人恰好选到同一种交通工具的概率．
【分析】（1）由选择专线大巴交通工具出行方式的人数除以所占百分比即可；
（2）求出选择地铁交通工具出行方式的人数所占的百分比得出m的值，再求出选择自驾
交通工具出行方式的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的
结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次被调查的市民有：12÷15%＝80（人），
故答案为：80；
（2）∵m%＝48÷80×100%＝60%，
∴m＝60，
∵选择出租车交通工具出行方式的人数为：80×10%＝8（人），
∴选择自驾交通工具出行方式的人数为：80﹣48﹣12﹣8＝12（人），
补全条形统计图如下：
（3）把地铁、专线大巴、自驾、出租车四种交通工具出行方式分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的结果有4种，
∴小明和小亮两人恰好选到同一种交通工具的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及腾讯听听和扇形统计图．树状图法
第17页（共32页）可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注
意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx+b的图象与反比例函数y ＝ （m＞
1 2
0）的图象交于点A（2，5），B（﹣5，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≤ 的解集．
【分析】（1）通过待定系数法求解即可．
（2）设直线AB交y轴于C，求得C的坐标，然后由S△OAB ＝S△BOC +S△AOC 求解．
（3）通过观察图象中直线不在曲线上方的x的取值范围求解．
【解答】解：（1）把A（2，5）代入y ＝ （m＞0）得5＝ ，
2
解得m＝10，
∴反比例函数y ＝ ，
2
把B（﹣5，n）代入y ＝ 得，n＝ ＝﹣2，
2
∴B（﹣5，﹣2），
∵一次函数y ＝kx+b的图象过点A（2，5），B（﹣5，﹣2）．
1
∴ ，解得 ，
∴一次函数y ＝x+3；
1
（2）设直线AB交y轴于C，
在y＝+3中令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
第18页（共32页）∴S△OAB ＝S△BOC +S△AOC ＝ ＝ ；
（3）由图象可知：关于x的不等式kx+b≤ 的解集是x≤﹣5或0＜x≤2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数
解析式，掌握函数与方程及不等式的关系，掌握坐标系内求图形面积的方法．
20．（10分）如图，点E是菱形ABCD对角线AC上一点，连接DE，BE，点F在边BC上，连接
EF．
（1）求证：EB＝ED；
（2）若∠DEF＝∠ABC＝120°；
①求证：ED＝EF；
②试探究CF+CD与CE的关系，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ECB≌△ECD，可得BE＝DE；
（2）①由全等三角形的性质可得DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，由四边形内角和定理可得
∠EFB＝∠EBC，可证BE＝EF＝DE；
②由“SAS”可证△EDM≌△EFC，可得∠M＝∠ECF，由直角三角形的性质可得CM＝
CE，可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠ECB＝∠ECD，
在△ECB和△ECD中，
第19页（共32页），
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB＝ED；
（2）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ACD＝60°，
∵△ECB≌△ECD，
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∵∠DCB+∠DEF+∠CDE+∠EFC＝360°，
∴∠CDE+∠CFE＝180°，
∵∠CFE+∠EFB＝180°，
∴∠EFB＝∠CDE，
∴∠EFB＝∠EBC，
∴BE＝EF，
∴EF＝DE；
②CF+CD＝ CE，理由如下：
延长CD至M，使DM＝CF，过点E作EN⊥CD，连接EM，
∵∠MDE+∠EDC＝180°，∠EDC+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝∠MDE，
在△EDM和△EFC中，
，
∴△EDM≌△EFC（SAS），
∴∠M＝∠ECF，
第20页（共32页）∵∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝∠ACD＝ ∠BCD＝30°，
∴∠M＝∠ACD＝30°，
∴CN＝ EC，CM＝2CN，
∴CM＝ CE，
∵CF+CD＝DM+CD＝CM，
∴CF+CD＝ CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质等知识，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）反比例函数y＝ 的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k
的取值范围是 k ＞ 1 ．
【分析】先根据反比例函数的性质得出1﹣k＜0，再解不等式求出k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，
k＞1．
故答案为k＞1．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；
当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而
减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
22．（4分）设x ，x 是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x 2﹣4x x +x 2的值为
1 2 1 1 2 2
15 ．
【分析】由根与系数的关系可求出x +x 以及x x 的值，然后根据x 2﹣x x +x 2＝（x +x ）2﹣
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
3x x 进一步代值求解．
1 2
【解答】解：∵x 、x 是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝3，x •x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴x 2﹣4x x +x 2＝（x +x ）2﹣6x •x ＝32﹣6×（﹣1）＝15．
1 1 2 2 1 2 1 2
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是
第21页（共32页）一种经常使用的解题方法．
23．（4分）方程x2﹣bx+c＝0中，系数b、c可以在1、2、3、4中任取一值（b、c可以取相同的
值），则b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是 ．
【分析】列表得出Δ＝b2﹣4c的值的所有等可能结果，从中找到使△≥0的结果是，利用概
率公式计算可得．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
1 ﹣3 0 5 12
2 ﹣7 ﹣4 1 8
3 ﹣11 ﹣8 ﹣3 4
4 ﹣15 ﹣12 ﹣7 0
由表可知，Δ＝b2﹣4c的值共有16种等可能结果，其中△≥0的有7种结果，
所以b、c所取的值使方程x2﹣bx+c＝0有实数根的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查概率公式及根的判别式，解题的关键是利用树状图或列表法得出所
有等可能结果及随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结
果数．
24．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，D是AC上一点，∠CBD的平分线交AC于点E，
且AE＝AB，AD•AC＝25，则△ABE的面积为 ．
【分析】通过证明△ABD∽△ACB，可求AB＝AE＝5，即可求解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
第22页（共32页）∵BE平分∠CBD，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC＝25，
∴AE＝AB＝5，
∵∠BAC＝30°，BH⊥AC，
∴BH＝ ，
∴△ABE的面积＝ ×5× ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形相似是解
题的关键．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是双曲线y＝ （x＞0）上一动点，将线段
OM饶O点逆时针旋转45°并延长，使OM'＝ OM，已知点N的坐标为（1，1），当
∠M′NO＝90°时，M的坐标为 （ ， ） ．
第23页（共32页）【分析】如图，连接ON，NM′，过点M作MJ⊥x轴于点J，设NM′交y轴于点T．证明
△M′NO∽△MJO，推出 ＝ ＝ ，可得结论．
【解答】解：如图，连接ON，NM′，过点M作MJ⊥x轴于点J，设NM′交y轴于点T．
∵N（1，1），
∴ON＝ ，∠NOT＝90°，
∵∠MOM′＝45°，
∴∠NOT＝∠M′OM，
∴∠TOM′＝∠NOM，
∵∠NOJ＝∠NOT＝45°，
∴∠NOM′＝∠MOJ，
∵∠ONM′＝∠MJO＝90°，
∴△M′NO∽△MJO，
∴ ＝ ＝ ，
∴OJ＝ ，
∵点M在y＝ 的图象上，
∴M（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
第24页（共32页）【点评】本题考查反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）2022年冬奥会即将在北京召开，某文化用品店购进了一批以冬奥会为主题的手抄
本进行销售，手抄本的进价每本3元，已知这种手抄本每天销售量y（本）与销售单价x
（元）（3≤x≤9）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若销售这款手抄本每天所获得的利润仅为120元，求销售单价应为多少元？
【分析】（1）结合图像利用待定系数法确定函数的解析式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意：设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（3，70），（9，10）代人得：
，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+100；
（2）由题意得：（x﹣3）y＝120，
第25页（共32页）即（x﹣3）（﹣10x+100）＝120，
解得：x＝6或x＝7，
∴销售单价应为6元或7元．
【点评】考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列一次函数的解析式的知识，解题的
关键是找到等量关系并列出一元二次方程，难度不大．
27．（10分）已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，
连接AF，G是线段AF上一点，连接BG，DG．
（1）如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
（2）如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．
【分析】（1）①可求得∠ACD＝∠DAC＝45°，进而求得结果；
②连接GE，根据中位线定理证得EG＝ ，进而得出EG＝ ，进一步命题得证；
（2）连接EG，可证得EG＝DE＝BE＝AE，所以点A、G、D、B、C共圆，从而得出∠FGD＝
∠ACD，进而证得△FDG∽△FAC，进一步求得结果．
【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠ACF＝45°，∠ADF＝∠ADC＝90°，
∵CF＝CA，
∴∠FAC＝∠F＝ ，
∴∠FAD＝∠FAC﹣∠DAC＝67.5°﹣45°＝22.5°；
②证明：如图1，
第26页（共32页）连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，AE＝CE，BE＝DE＝ ，
∵AC＝CF，
∴CF＝BD，
∵AG＝FG，AE＝CE，
∴EG＝ ，
∴EG＝ ，
∴GE＝BE＝DE，
∴∠EGD＝∠EDG，∠EGB＝∠EBG，
∵∠EGD+∠EDG+∠EGB+∠EBG＝180°，
∴∠EGD+∠EGB＝90°，
∴∠BGD＝90°，
∴BG⊥DG；
（2）解：如图2，
连接EG，
∵BG⊥DG，BE＝DE，
∴GE＝BE＝DE，
第27页（共32页）∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝CE＝ ，BE＝DE＝ ，AC＝BD，
∴AE＝CE＝BE＝DE，
∴点A、G、D、C、B在以E为圆心，AE为半径的圆上，
∴∠DGF＝∠ACD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDG∽△FAC，
∴ ，
∴FD•FC＝FG•FA，
设FD＝x，则AF＝ ，FC＝x+4，
∵FG＝2AG，
∴FG＝ ，
∴x•（x+4）＝ ，
∴x ＝2 ﹣6，x ＝﹣2 ﹣6（舍去），
1 2
∴FD＝2 ﹣6．
【点评】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，确定圆的条件，三角形中位线定理，相
似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，找出相似三角形的条件．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝ （x＞0）的图象
交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝ （x＞0）的图象上一动
点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接
AP，BP．
（1）求k，b的值．
（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．
（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶
点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
第28页（共32页）【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；
（2）表示出PQ的长，根据 PQ•（x ﹣x ）＝3求得t，进而得出点P的坐标；
A B
（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，
点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得
出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），
∴0+b＝﹣2，
∴b＝﹣2，
∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），
∴n＝3﹣2＝1，
∴A（3，1），
∵y＝ 过点A（3，1），
∴k＝xy＝3×1＝3；
（2）∵P（t， ），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），
∴PQ＝ ，
∵S△APB ＝S△APQ +S△BPQ ＝ （x
A
﹣x
B
），
∴ ×3＝3，
∴t＝ ，
∴P（ ， ）；
第29页（共32页）（3）如图1，
∵P（t， ），Q（t，t﹣2），
∴C（t， ），
当BC是边，点D在x轴正半轴上，
作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，
∴∠BFC＝∠G＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG+∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝∠DCG，
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△CGD（AAS），
∴CF＝DG，
∵OF＝DG，
∴OF＝CF，
∴ ，
∴t ＝1，t ＝﹣3（舍去），
1 2
∴P（1，3）
如图2，
第30页（共32页）当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：BG＝DF＝2，
∴t＝2，
∴P（2， ），
当BC是对角线时，
当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，
∴ ＝2﹣t，
∴t＝1，
∴P（1，3），
如图4，
第31页（共32页）CG＝DF＝2，DG＝BF，
∴t+2＝ ，
∴t ＝2 ﹣3，t ＝﹣2 ﹣3（舍去），
1 2
当t＝2 ﹣3时，y＝ ＝2 +3，
∴P（2 ﹣3，2 +3），
综上所述：P（2， ）或（1，3），（2 ﹣3，2 +3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全
等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等
量关系．
第32页（共32页）
