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专题13 等差数列和等比数列的计算和性质
【练基础】
一、单选题
1．（2021秋·广东深圳·高三深圳市龙华中学校考阶段练习）记 为等差数列 的前n项和．已知
，则
A． B． C． D．
2．（2021·云南·统考二模）已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·福建莆田·高三校考期中）等差数列 的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则 前
6项的和为（ ）
A． B． C．3 D．8
4．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，满足 ，
则 （ ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确
的是（ ）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则D．若数列 单调递增，则
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 和 ，且 ，那么
的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，
2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是
20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的
激活码是
A．440 B．330
C．220 D．110
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前 项和，则（ ）
A． B．
C． ， ， 成等差数列 D． ， ， 成等差数列
10．（2022秋·河北沧州·高三统考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列
的前 项和为 ， ，则下列选项正确的为（ ）
A．数列 是等比数列B．数列 是等差数列
C．数列 的通项公式为
D．
11．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知数列 满足 ， ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 的通项公式为
C． 为递增数列 D． 的前n项和
12．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 对于
恒成立，若定义 ， ，则以下说法正确的是（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D．存在 使得
三、填空题
13．（2022·湖南常德·临澧县第一中学校考一模）已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列
的公差 _________．
14．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的各项均为正数，且 ，则
___________.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前20项和
为___________.
16．（2022·全国·高三专题练习）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今
有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代
数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被 除余 ，被 除余 ，被 除余 ，则在不超过 的正整数
中，所有满足条件的数的和为___________.
四、解答题
17．（2019·湖北·校联考高考模拟）等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
19．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数
列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明【提能力】
一、单选题
21．（2019·湖南长沙·宁乡一中校考模拟预测）（2017新课标全国I理科）记 为等差数列 的前 项和．若
， ，则 的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，记等差数列 的前n项和为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C．2022 D．4044
23．（2022秋·北京·高三北京八中校考开学考试）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若
则 的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
24．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免
疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触
过程中传染的概率决定．对于 ，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途
径．假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天（初始感染者传染 个人为第一轮传染，经过一
个周期后这 个人每人再传染 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据： ， ）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不相等的实数 ， ， 成等比数列，
， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列 的首项是 ，前 项和为 ，且
，设 ，若存在常数 ，使不等式 恒成立，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列 中， ， ，则数列
的前10项和 （ ）
A． B． C． D．2
28．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）设 是公差 的等差数列，如果 ，那么
（ ）
A． B． C． D．二、多选题
29．（2023·全国·高三专题练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中
国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列 满足 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．数列 的前 项和为
30．（2022·河北·模拟预测）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数
学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段
，记为第1次操作：再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为
第2次操作： ；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的
区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
31．（2022·全国·高三专题练习）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项
的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列
1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第 次得到数列1， ，2；…记
，数列 的前 项为 ，则（ ）A． B． C． D．
32．（2023·全国·高三）已知三棱锥S-ABC的底面是边长为a的正三角形，SA 平面ABC，P为平面ABC内部一
动点（包括边界）.若SA= ，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为 ，点P到AB，AC，
BC的距离分别为 ，那么（ ）
A． 为定值 B． 为定值
C．若 成等差数列，则 为定值 D．若 成等比数列，则 为定值
三、填空题
33．（2022秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）在正项等比数列 中，若 ，则
______．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，设
， ．则 __________．
35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，等差数列 满足 ，则
__________．
36．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知数列 的前 项和 ，若不等式 ，对恒成立，则整数 的最大值为______．
四、解答题
37．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 前n项积为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求证： ．
39．（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前100项的和 .
40．（2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）已知数列 是等比数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ，并证明： .
