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专题 22.8 实际问题与二次函数之六大题型
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【题型一 拱桥问题】........................................................................................................................................1
【题型二 销售问题】........................................................................................................................................6
【题型三 投球问题】......................................................................................................................................11
【题型四 喷水问题】......................................................................................................................................19
【题型五 图形问题】......................................................................................................................................27
【题型六 图形运动问题】..............................................................................................................................33
【典型例题】
【题型一 拱桥问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续
单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋 可视
为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度 为120米，
与 中点O相距30米处有一高度为27米的系杆 ．以 所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建
立如图②所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)正中间系杆 的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一
根系杆的长度恰好是 长度的 ？请说明理由．【变式训练】
1．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽 为
，拱顶内高 ．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是 的中点）．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽 ，高 的大型
货运卡车是否可以通过？为什么？
2．（2023·河南郑州·校考三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度 为20米时，拱顶点O距
离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，
宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表
示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高
点E到 的距离为 ．
(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户
，点G、M在 上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/ ．已知 ，求每个B
型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户 的成本）
【题型二 销售问题】
例题：（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了
得到日销售量 （千克）与销售价格 （元/千克）之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：
3 4
销售价格 （元/千克） 35 45 50
0 0
6 3
日销售量 （千克） 45 15 0
0 0
(1)请直接写出 与 之间的函数关系式______；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)超市每销售1千克这种农产品需支出 元（ ）的相关费用，当 时，农经公司的日获利的
最大值为243元，求 的值．
【变式训练】
1．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质
新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调
查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到
市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会
增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？
(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多
少元？（其他成本忽略不计）
(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
2．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克
20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系： ．
设这种产品每天的销售利润为w元
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销
售价应定为每千克多少元？3．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）2022年北京冬奥会期间，吉祥物“冰墩墩”和
“雪容融”受到人们的广泛欢迎．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，
销售单价经过两次调整，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．
(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
(2)预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，该网店需尽快将这批冰墩墩和雪容融售出，因此决定降价出售．经
过市场调查发现：销售单价每降低10元，每天可多卖出两套当销售单价降低m元时，每天的利润为W．
求当m为何值时利润最大最大利润是多少？
【题型三 投球问题】
例题：（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1
是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 与水平距离 之间的函数关
系如图2所示．掷出时，起点处高度为 ．当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处．(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于
时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·河南安阳·统考一模）小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编
程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为 的点 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛
物线 ，其最高点的坐标为 ．弹跳球落到倾斜角为 的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线
，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线 的 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)若斜面被坐标平面截得的截图与 轴的交点 的坐标为 ，求抛物线 的对称轴．2．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这
道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 处将沙包（看成点）抛出，并运
动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动
路线为抛物线 的一部分．
(1)写出 的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求符合条件的n
的整数值．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽
了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截
面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 为 的高度，将乒乓球向正前方击打到对
面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为 （单位： ），乒乓球运行的水平距离记为 （单位： ）．测得如下
数据：
水平距离x/
竖直高度y/
(1)在平面直角坐标系 中，描出表格中各组数值所对应的点 ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的
大致图象；
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始
点的水平距离是__________ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度 ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，
又能落在对面球台上，需要计算出 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 为
274 ，球网高 为15.25 ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 的值约为1.27 ．请你
计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 的值（乒乓球大小忽略不计）．4．（2023·河南信阳·校考三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线
可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球
运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），
实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直
角坐标系．
(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．
(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球
能否得满分．
(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 ．记小军
第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为 ，则
______ （填“＞”“＜”“＝”）．
【题型四 喷水问题】
例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑 安装喷水装
置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面 ，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直
角坐标系．若喷出的水柱轨迹 上，任意一点与支柱 的水平距离x（单位： ）与广场地面的垂直高度为y（单位： ）满足关系式 ，且点 在抛物线 上
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求水柱落地点与雕塑 的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为
，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到 的距离）控制在7 到14 之间，请
探究改建后喷水池水柱的最大高度
【变式训练】
1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运
动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 的高度 与离起跳点A的水平距离 之间的函数关系如图
所示，运动员离起跳点A的水平距离为 时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为 时离水面
的距离为 ．(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 的长．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图 ，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为 米 如
图 ，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截
面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左
平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 米，高出喷水口 米，灌溉车到绿化带的距离
为 米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 ；
(2)求下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围．
3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，
该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线 ．用该灌溉装置
灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数
关系式为 ，其图像如图②所示．已知坡地 所在直线经过点 ．
(1) 的值为______；
(2)若 ，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；
(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______；
(4)若 时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置
水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．【题型五 图形问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地
铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工
区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长 的砖墙，然后打算用长 的铁皮围栏
靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于 ）的长方形施工区域．
(1)设施工区域的一边 为 ，施工区域的面积为 ．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量
x的取值范围；
(2)当围成的施工区域面积为 时， 的长是多少？
(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/ ，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断
项目方的拨款能否够用．
【变式训练】
1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中 分别靠现
有墙 （墙 长为27米，墙 足够长），其余用篱笆围成．篱笆 将游乐场隔成等腰直角
和长方形 两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设 的长为x米．(1)则 的长为 米（用含x的代数式表达）；
(2)当 多长时，游乐场的面积为320平方米？
(3)直接写出当 为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？
2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人
们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，
这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 和抛物线 构成，其中
， ，取 中点O，过点O作线段 的垂直平分线 交抛物线 于点E，若以O点
为原点， 所在直线为x轴， 为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线 的顶点 ，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 ， ，若
，求两个正方形装置的间距 的长；(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 ，求 的长．
【题型六 图形运动问题】
例题：（2023·江苏·模拟预测）如图，在 中， ， ， ．点P从点A出
发，以 的速度沿 运动：同时，点Q从点B出发，以 的速度沿 运动．当点Q到达点C
时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．(1)当t为何值时， 的面积为 ；
(2)求四边形 面积的最小值．
【变式训练】
1．（2023秋·四川宜宾·九年级统考期中）如图，等腰三角形 的直角边 ，点P，Q分
别从A，C两点同时出发，均以每秒1个单位的速度做匀速运动，已知点P沿射线 运动，点Q沿射线
运动， 的连线与直线 相交于点D．设点P运动的时间为 ， 的面积为S．
(1)求S关于的函数关系式．
(2)当t为多少时， 的面积与 的面积相等？
(3)当点P在边 上运动时，过点P作 于点E．在点P，Q运动过程中，线段 的长度是否为定
值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
2．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发以 的速度向点C运动，到点C停止，过点P作 交 点Q，以线段 的中点为对称
中心将 旋转 得到 ，点A的对应点为点D，设点P的运动时间为 ， 与
重合部分的面积为S（ ）．
(1)求当点D落在 边上时t的值；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)直接写出当 是等腰三角形时t的值．
