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专题十三 《解析几何》讲义
13.2 圆的方程
知识梳理 . 圆的方程
1.圆的方程：
（1）圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的
方程，叫做圆的标准方程．
（2）圆的一般方程：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
圆心为，半径长为．
2．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
量化
几何观点 dr dr dr
（1）圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y)的圆的切线方程为(x －a)(x－a)＋(y －b)(y
0 0 0 0
－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy
0 0 0 0
＝r2.
（2）有关弦长问题的2种求法
几
何 直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2
法
代
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即
数
可求得弦长|AB|＝·|x－x|＝或|AB|＝·|y－y|＝
法 1 2 1 2
3．圆与圆的位置关系(两圆半径为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2
相离 外切 相交 内切 内含
图形|r－r|＜d＜
量的关系 d＞r＋r d＝r＋r 1 2 d＝|r－r| d＜|r－r|
1 2 1 2 r＋r 1 2 1 2
1 2
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的
关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
题型一 . 圆的方程、轨迹方程
1．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），
则圆C的标准方程为 （ x + 1 ） 2 + （ y + 2 ） 2 ＝ 1 0 ．
【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，
t），
圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+
（t+5）2，
解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），
圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，
故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；
故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．
2．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2＝1 B．x2+（y+1）2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+y2＝1
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1．
点（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
则所求圆的方程为（x+1）2+y2＝1．故选：D．
3．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上
方），且|AB|＝2．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
【解答】解：（1）由题意，圆的半径为√1+1=√2，圆心坐标为（1，√2），
∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y−√2）2＝2；
4．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）
1
的距离之比为 ．
2
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
|PM| 1
【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），依题意得： = ，
|PN| 2
又M（1，0），N（4，0），
∴2√(x−1) 2+ y2=√(x−4) 2+ y2，
化简得：x2+y2＝4，
则动点P轨迹W方程为x2+y2＝4；
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点B（2，0），C（﹣2，0），设直线AB，AC的斜率
1
分别为k ，k ，且k k =− ，记点A的轨迹为E．
1 2 1 2 2
（1）求E的方程；
y y 1
【解答】解：（1）设A（x，y），则k k = ⋅ =− ，
1 2 x−2 x+2 2
整理，得x2+2y2＝4（x≠±2），
即E的方程为x2+2y2＝4（x≠±2）；
6．若AB=2，AC=√2BC，则S△ABC 的最大值 2√2 ．
【解答】解：设BC＝x，则AC=√2x，1 1
根据面积公式得S△ABC =
2
AB•BCsinB =
2
×2x×√1−cos2B，
AB2+BC2−AC2 4+x2−(√2x) 2 4−x2
又根据余弦定理得cosB= = = ，
2AB⋅BC 4x 4x
代入上式得：
√ 4−x2 2 √128−(x2−12) 2
S△ABC ＝x 1−( ) = ，
4x 16
{√2x+x＞2
由三角形三边关系有： ，
x+2＞√2x
解得：2√2−2＜x＜2√2+2．
√128
所以当x＝2√3时，x2﹣12＝0，此时S△ABC 取得最大值 =√8=2√2．
16
故答案为：2√2
题型二 . 直线与圆的位置关系
1．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外，则直线ax+by＝1与圆O的位置关系是（
）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2＝1外，
∴a2+b2＞1，
1
∴圆O（0，0）到直线ax+by＝1的距离d = ＜1＝r，
√a2+b2
则直线与圆的位置关系是相交．
故选：B．
2．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范
√3 √3
围为 [− ， ] ．
3 3
【解答】解：设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0
∵直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，
∴圆心到直线l的距离小于等于半径|2k−4k| √3 √3
即 ≤ 1，解得− ≤k≤
√k2+1 3 3
√3 √3
∴直线l的斜率的取值范围为[− ， ]
3 3
√3 √3
故答案为[− ， ]
3 3
3．已知直线l：x﹣y+4＝0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，则C上各点到l距离的最小
值为（ ）
A．√2−1 B．√2+1 C．√2 D．2√2
|1−1+4|
【解答】解：由于圆心C（1，1）到直线l：x﹣y+4＝0的距离为d = = 2√2，
√2
而圆的半径为√2，故C上各点到l距离的最小值为2√2−√2=√2，
故选：C．
题型三 . 切线问题
1．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切
线，切点为A，B．
（1）求切线PA，PB的方程；
（2）求过P点的圆的切线长；
（3）求直线AB的方程．
【解答】解：（1）根据题意，分析易得切线斜率存在，则设切线的斜率为k，
又由切线过点P（2，﹣1），则切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，
又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径r=√2，
|k−2−2k−1|
则有
=√2，
√1+k2
解可得k＝7或k＝﹣1，
则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；
（2）根据题意，圆心C到P的距离d=√(2−1) 2+(2+1) 2=√10，
则切线长为√(√10) 2−(√2) 2=√8=2√2，
（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①
由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，
可得x﹣3y+3＝0．
2．（2008•山东）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴相切，
则该圆的标准方程是（ ）
7
A．(x−3) 2+(y− ) 2=1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
3
3
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1 D．(x− ) 2+(y−1) 2=1
2
|4a−3| 1
【解答】解：设圆心为（a，1），由已知得d= =1，∴a=2(舍− )．
5 2
故选：B．
3．（2014•大纲版）直线l 和l 是圆x2+y2＝2的两条切线．若l 与l 的交点为（1，3），
1 2 1 2
4
则l 与l 的夹角的正切值等于 ．
1 2 3
【解答】解：设l 与l 的夹角为2 ，由于l 与l 的交点A（1，3）在圆的外部，
1 2 1 2
且点A与圆心O之间的距离为OAθ=√10，
圆的半径为r=√2，
√2
∴sin = ，
√10
θ
2√2 1
∴cos = ，tan = ，
√10 2
θ θ
1 4
= =
∴tan2 1 3，
1−
4
θ
4
故答案为： ．
3
4．（2014•新课标Ⅱ）设点M（x ，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝
0
45°，则x 的取值范围是（ ）
0
1 1 √2 √2
A．[﹣1，1] B．[− ， ] C．[−√2，√2] D．[− ， ]
2 2 2 2
【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x ，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，
0
使得∠OMN＝45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，
∴x 的取值范围是[﹣1，1]．
0
故选：A．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣3）2＝2，点A是x轴上的一个动点，
AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是（ ）
2√7 2√14 2√5 2√3
A．[ ，2√2） B．[ ，2√2） C．[ ，2√3） D．[ ，2√5）
3 3 3 3
【解答】解：设AC＝x，则x≥3，
由PC⊥AP可知AP=√AC2−PC2=√x2−2，
∵AC垂直平分PQ，
PC⋅AP √2⋅√x2−2 √ 2
∴PQ＝2 =2• =2√2• 1− ．
AC x x2
√ 2 2√14
∴当x＝3时，PQ取得最小值2√2• 1− = ．
9 3
√ 2
又 1− ＜1，
x2
∴PQ＜2√2．
2√14
∴ ≤PQ＜2√2．
3
故选：B．6．（2002•北京）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0
的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 2√2 ．
【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0
∴圆心C（1，1）、半径r为：1
根据题意，若四边形面积最小
当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，
切线长PA，PB最小
圆心到直线的距离为d＝3
∴|PA|＝|PB|=√d2−r2=2√2
1
∴s =2× |PA|r=2√2
PACB 2
故答案为：2√2
题型四 . 弦长问题
1．直线l：kx+y+4＝0（k R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一条对称轴，过点A
（0，k）作斜率为1的直线m∈，则直线m被圆C所截得的弦长为（ ）
√2
A． B．√2 C．√6 D．2√6
2
【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2 ＝2，
表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于√2的圆．
由题意可得，直线l：kx+y+4＝0经过圆C的圆心（﹣2，2），
故有﹣2k+2+4＝0，∴k＝3，点A（0，3）．
|−2−2+3| 1
直线m：y＝x+3，圆心到直线的距离d = = ，
√2 √2
√ 1
∴直线m被圆C所截得的弦长为2 2− =√6．
2故选：C．
2．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若MN＜2√3，则k的取
−3−2√6 3 −3+2√6
值范围是 { k | ＜k≤− ，或 0 ≤ k＜ } ．
5 4 5
|3k−2+3|
【解答】解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，则d = ＜2，
√k2+1
MN 2 |3k−2+3|
由于( ) =4﹣d2，且MN＜2√3，求得 d≥1，∴1≤d＜2，即 [1，
2 √k2+1
∈
2），
3 −3−2√6 −3+2√6
由d≥1求得k≤− ，k≥0，由d＜2 求得 ＜d＜ ，
4 5 5
−3−2√6 3 −3+2√6
即k的取值范围是{k| ＜k≤− ，或0≤k＜ }，
5 4 5
−3−2√6 3 −3+2√6
故答案为：{k| ＜k≤− ，或0≤k＜ }．
5 4 5
3．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则
直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．2√5 B．4√5 C．6√3 D．8√3
【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心坐标为C（1，2），半径为5．
由直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，
{2x+ y−7=0 {x=3
联立 ，解得 ．
x+ y−4=0 y=1
∴直线l过定点P（3，1），
点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．
此时|PC|=√(1−3) 2+(2−1) 2=√5．
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2√52−(√5) 2=4√5．
故选：B．
4．已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形
ABCD的面积的最大值为 5 ．
【解答】解：如图连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEMF为矩形
已知OA＝OC＝2 OM=√3，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d 、d ，
1 2
则d 2+d 2＝OM2＝3．
1 2
1
四边形ABCD的面积为：s= •|AC|（|BM|+|MD|），
2
从而：
1
s= |AC|⋅|BD|=2√(4−d2 )(4−d2 )≤8−(d2+d2 )=5，
2 1 2 1 2
当且仅当d 2＝d 2时取等号，
1 2
故答案为：5．
题型五 . 圆与圆之间的位置关系
1．（多选）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m R）恒过定点（﹣3，﹣3）
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直∈线l：x﹣y+√2=0的距离都等于1
C．曲线C ：x2+y2+2x＝0与曲线C ：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4
1 2
x y
D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线 + =1上一动点，过点P向圆C引两条切线
4 2
1 1
PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( ， )
4 2
【解答】解：由（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，得3x+4y﹣3+m（x+3）＝0，
{ x+3=0 {x=−3
联立 ，解得 ，
3x+4 y−3=0 y=3
∴直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m R）恒过定点（﹣3，3），故A错误；
∈∵圆心（0，0）到直线l：x﹣y+√2=0的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为
2，
故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线l：x﹣y+√2=0的距离等于1，故B正确；
两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线C ：x2+y2+2x＝0化为标准式（x+1）2+y2＝1，
1
曲线C ：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化为标准式（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0，
2
圆心距为√(2+1) 2+42=5=1+√20−m，解得m＝4，故C正确；
m n
设点P的坐标为（m，n），∴ + =1，以OP为直径的圆的方程为x2+y2﹣mx﹣ny＝
4 2
0，
y
两圆的方程作差得直线AB的方程为：mx+ny＝1，消去n得，m（x− ）+2y﹣1＝0，
2
y 1 1 1 1
令x− =0，2y﹣1＝0，解得x= ，y= ，故直线AB经过定点（ ， ），故D正确．
2 4 2 4 2
故选：BCD．
2．已知圆C ：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2√2，则圆C 与圆
1 1
C ：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（ ）
2
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【解答】解：圆C ：x2+(y−a2 ) 2=a4 的圆心为C （0，a2），半径r ＝a2，a≠0，
1 1 1
由圆C ：x2+(y−a2 ) 2=a4 的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2√2，
1
|0−a2−2|
可得 =2√2，解得a＝±√2，
√2
可得圆C 的圆心为（0，2），半径为2，
1
而圆C ：x2+ y2−2x−4 y+4=0的圆心为（1，2），半径为r ＝1，
2 2
由|C C |＝1＝r ﹣r ＝2﹣1，
1 2 1 2
可得两圆的位置关系为内切．
故选：B．
3．已知圆C ：(x−a) 2+(y+2) 2=4与圆C ：(x+b) 2+(y+1) 2=1相外切，则ab的最大
1 2
值为（ ）9
A．2 B．√17 C． D．4
4
【解答】解：圆C ：（x﹣a）2+（y+2）2＝4的圆心为C （a，﹣2），半径r ＝2；
1 1 1
圆C ：（x+b）2+（y+1）2＝1的圆心为C （﹣b，﹣1），半径r ＝1；
2 2 2
由圆C 与圆C 相外切，得|C C |＝r +r ，
1 2 1 2 1 2
即√(a+b) 2+(−2+1) 2=2+1，
∴（a+b）2＝8；
由基本不等式，得
a+b 2 8
ab≤( ) = =2，
2 4
当且仅当a＝b＝±√2时取“＝”，
∴ab的最大值为2．
故选：A．
4．已知圆C ：(x−2) 2+(y−3) 2=1，圆C ：(x−3) 2+(y−4) 2=9，M，N 分别是圆
1 2
C ，C 上动点，P是x轴上动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（ ）
1 2
A．5√2+4 B．√2 C．5√2 D．√2+4
【解答】解：圆C ：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圆心为C ：（2，3），半径等于1，
1 1
C ：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9的圆心C （3，4），半径等于3，
2 2
则|PN|﹣|PM|≤（|PC |+3）﹣（|PC |﹣1）＝4+|PC |﹣|PC |．
2 1 2 1
则4+|PC
2
|﹣|PC
1
|≤|C
1
C
2
|+4＝4+√(3−2) 2+(4−3) 2=4+√2．
故选：D．
题型六 . 直线与圆综合问题
1．直线x﹣y+m＝0与圆x2+y2﹣2x﹣1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（
）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．0＜m＜1 D．m＜1
【解答】解：联立直线与圆的方程得：
{ x−y+m=0
，
x2+ y2−2x−1=0
消去y得：2x2+（2m﹣2）x+m2﹣1＝0，由题意得：△＝（2m﹣2）2﹣8（m2﹣1）＝﹣4（m+1）2+16＞0，
变形得：（m+3）（m﹣1）＜0，
解得：﹣3＜m＜1，
∵0＜m＜1是﹣3＜m＜1的一个真子集，
∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．
故选：C．
2．过直线y＝x上一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2的两条切线l ，l ，当l ，l 关于直线y
1 2 1 2
π
＝x对称时，l ，l 的夹角的大小为 ．
1 2 3
【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2的圆心（5，1），过（5，1）与y＝x垂直的直
线方程：x+y﹣6＝0，
它与y＝x的交点N（3，3），N到（5，1）距离是2√2，两条切线l ，l ，它们之间的
1 2
夹角为60°．
故答案为：60°．
3．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax+by＝0的距离为2√2．则
π 5π
直线l的倾斜角的取值范围是 [ ， ] ．
12 12
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0化简为标准方程，可得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝
18，
∴圆心坐标为C（2，2），半径r＝3√2，
∵在圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by＝0的距离为2√2，
∴圆心到直线的距离应小于或等于r−2√2=√2，
|2a+2b|
由点到直线的距离公式，得 ≤√2，
√a2+b2
a a
∴（2a+2b）2≤2（a2+b2），整理得(− ) 2−4(− )+1≤0，
b b
b
解之得2−√3≤− ≤2+√3，
a
a
∵直线l：ax+by＝0的斜率k=− [2−√3，2+√3]
b
∈
π 5π
∴设直线l的倾斜角为 ，则tan [2−√3，2+√3]，即tan ≤tan ≤tan ．
12 12
α α∈ απ 5π
由此可得直线l的倾斜角的取值范围是[ ， ]．
12 12
π 5π
故答案为：[ ， ]
12 12
4．（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）
（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，
∵圆心C到O（0，0）的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
1
可得PO= AB＝m，故有m≤6，
2
故选：B．
5．已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有
→ →
OA⋅OB≥−2，那么k的取值范围是（ ）
A．（√3，+∞） B．[√2，2 √2） C．[√2，+∞） D．[√3，2 √2）
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，设圆心到直线x+y
﹣k＝0的距离为d；
|k| k
若直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，则d = = ＜
√1+1 √2
2，则有k＜2√2；
→ →
设
OA
与
OB
的夹角即∠OAB＝ ，
θ1 2π
→ →
若 OA⋅OB≥−2，即|OA|×|OB|×cos ≥﹣2，变形可得cos ≥− ，则 ≤ ，
2 3
θ θ θ
2π
当 = 时，d＝1，
3
θ
2π k
若 ≤ ，则d = ≥1，解可得k≥√2，
3 √2
θ
则k的取值范围为[√2，2√2）；
故选：B．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0与x轴交于A，B两点，若
动直线 l与圆C相交于 M，N两点，且△CMN的面积为 4，若P为MN的中点，则
△PAB的面积最大值为 8 ．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0得x＝﹣1或x＝3，即A（﹣1，0），B（3，
0），
圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8，则圆心C（1，2），半径R=√8=2√2，
△CMN的面积为4，
1
即S= ×2√2×2√2sin∠MCN＝4，
2
则sin∠MCN＝1，即∠MCN＝90°，
1
则MN=√2CN=√2×2√2=4，则CP= MN＝2，
2
要使△PAB的面积最大，
则CP⊥AB，
此时三角形的高为PD＝2+2＝4，
AB＝3﹣（﹣1）＝4，
1
则△PAB的面积S= ×4×4=8，
2
故答案为：8．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知半径为2的圆C，圆心在x轴正半轴上，且与直线x−√3y+2＝0相切．
（1）求圆C的方程；
√2
（2）在圆C上，是否存在点P，满足|PQ|= |PO|，其中，点Q的坐标是Q（﹣1，
2
0）．若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
（3）若在圆C上存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交不
同两点A，B，求m的取值范围．并求出使得△OAB的面积最大的点M的坐标及对应的
△OAB的面积．
【解答】解：（1）设圆心是（a，0），（a＞0），它到直线x−√3y+2＝0的距离是d
|a+2|
= =2，
√1+3
解得a＝2或a＝﹣6（舍去），所以，所求圆C的方程是（x﹣2）2+y2＝4．（4分）
√2
（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA= PO，得x2+y2+4x+2＝0．（6分）
2
即，点P在圆D：（x+2）2+y2＝2上，点P也在圆C：（x﹣2）2+y2＝4上．
因为|CD|=4＞r +r =2+√2，所以圆C与圆D外离，圆C与圆D没有公共点．
c d
所以，不存在点P满足条件．（8分）
（3）存在，理由如下：因为点M（m，n），在圆C上，所以（m﹣2）2+n2＝4，
即n2＝4﹣（m﹣2）2＝4m﹣m2且0≤m≤4．
1 1 1
因为原点到直线l：mx+ny＝1的距离h = = ＜1，解得 ＜m≤4 （10
√m2+n2 √4m 4
分）
而|AB|＝2√1−ℎ 2，
1 √ 1 1 √ 1 1 1
所以S△OAB =
2
|AB|h=√ ℎ 2−ℎ 4=
4m
−(
4m
) 2= −(
4m
−
2
) 2+
4
，
1 1 1 1 1 1
因为
16
≤
4m
＜1，所以当
4m
=
2
，即m =
2
时，S△OAB 取得最大值
2
，
1 √7 1 √7 1
此时点M的坐标是（ ， ）或（ ，− ），△OAB的面积的最大值是 ．（12
2 2 2 2 2
分）
8．如图，已知 C的圆心在原点，且与直线x+3y+4√2=0相切．
⊙（1）求 C的方程；
（2）点⊙P在直线x＝8上，过点P引 C的两条切线PA、PB，切点为A、B．
①求四边形OAPB面积的最小值； ⊙
②求证：直线AB过定点．
【解答】（1）解：依题意得：圆心（0，0）到直线x+3y+4√2=0的距离d＝r，
|4√2| 4√5
∴r＝d= = ，
√10 5
16
∴圆C的方程为x2+y2= ；
5
（2）①解：连接OA，OB，
∵PA，PB是圆C的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
1 1 4√5√ 16
∴S =2S = OA⋅PA= × PO2−
四 边 形OAPB△OAP 2 2 5 5
2√5√ 16
= PO2− ．
5 5
2√5√ 16 8√19
∴当PO取最小值为8时，(S ) = 64− = ；
四 边 形OmAiPnB 5 5 5
②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上，
设点P的坐标为（8，b），b R，
∈b
则线段OP的中点坐标为（4， ），
2
b b2
∴以OP为直径的圆方程为(x−4) 2+(y− ) 2=16+ ，
2 4
即x2+y2﹣8x﹣by＝0．
∵AB为两圆的公共弦，
{ x2+ y2= 16
16 2
∴联立 5 得：直线AB的方程为8x+by = ，b R，即8（x− ）+by
5 5
x2+ y2−8x−by=0
∈＝0，
2
则直线AB恒过定点（ ，0）．
5
9．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点
C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【解答】解：（1）曲线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，
可设A（x ，0），B（x ，0），
1 2
由韦达定理可得x x ＝﹣2，
1 2
若AC⊥BC，则k •k ＝﹣1，
AC BC
1−0 1−0
即有 •
=−
1，
0−x 0−x
1 2
即为x x ＝﹣1这与x x ＝﹣2矛盾，
1 2 1 2
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y＝0时，x2+Dx+F＝0与x2+mx﹣2＝0等价，
可得D＝m，F＝﹣2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2＝0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
则由相交弦定理可得|OA|•|OB|＝|OC|•|OH|，
即有2＝|OH|，
再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，
解得y＝1或﹣2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
10．（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C ：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的两点A，
1
B．
（1）求圆C 的圆心坐标；
1
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数 k，使得直线L：y＝k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，
求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵圆C ：x2+y2﹣6x+5＝0，
1
整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2＝4，
∴圆C 的圆心坐标为（3，0）；
1
（2）设当直线l的方程为y＝kx、A（x ，y ）、B（x ，y ），
1 1 2 2
{(x−3) 2+ y2=4
联立方程组 ，
y=kx
消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5＝0，
4
由△＝36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜
5
6
由韦达定理，可得x +x = ，
1 2 1+k2
3
{x=
1+k2 2√5 2√5
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为 ，其中− ＜k＜ ，
3k 5 5
y=
1+k2
3 9 5
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x− ）2+y2= ，其中 ＜x≤3；
2 4 3
2√5 2√5 3 3
（3）结论：当k （− ， ）∪{− ， }时，直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C
7 7 4 4
∈
只有一个交点．
理由如下：
{ (x− 3 ) 2+ y2= 9
联立方程组 2 4，
y=k(x−4)
消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2＝0，3
令△＝（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2＝0，解得k＝± ，
4
5 2√5 2√5
又∵轨迹C的端点（ ，± ）与点（4，0）决定的直线斜率为± ，
3 3 7
∴当直线L：y＝k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，
2√5 2√5 3 3
k的取值范围为[− ， ]∪{− ， }．
7 7 4 4
11．如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．
（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；
（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作
一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM＝
∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．
{ y=0
【解答】（Ⅰ）因为由 可得x2﹣（1+a）x+a＝0，
x2−(1+a)x+ y2−ay+a=0
由题意得△＝（1+a）2﹣4a＝（a﹣1）2＝0，所以a＝1，
故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1＝0．
（Ⅱ）令y＝0，得x2﹣（1+a）x+a＝0，即（x﹣1）（x﹣a）＝0，求得x＝1，或x＝
a，
所以M（1，0），N（a，0）．
假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），
代入x2+y2＝4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，2k2 k2−4
设A（x ，y ），B（x ，y ），从而x +x = ，x x = ．
1 1 2 2 1 2 1+k2 1 2 1+k2
y y k[(x −1)(x −a)+(x −1)(x −a)]
因为NA、NB的斜率之和为 1 + 2 = 1 2 2 1 ，
x −a x −a (x −a)(x −a)
1 2 1 2
而（x ﹣1）（x ﹣a）+（x ﹣1）（x ﹣a）＝2x x ﹣（a+1）（x +x ）+2a
1 2 2 1 1 2 2 1
k2−4 2k2 2a−8
=2 −(a+1) +2a= ，
1+k2 1+k2 1+k2
y y
因为∠ANM＝∠BNM，所以，NA、NB 的斜率互为相反数， 1 + 2 =0，即
x −a x −a
1 2
2a−8
=0，得a＝4．
1+k2
当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM＝∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．
综上，存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM．
课后作业 . 直线与圆
1．已知圆C的圆心在x轴上，点M(0，√5)在圆C上，圆心到直线2x﹣y＝0的距离
4√5
为 ，则圆C的方程为（ ）
5
A．（x﹣2）2+y2＝3 B．（x+2）2+y2＝9
C．（x±2）2+y2＝3 D．（x±2）2+y2＝9
【解答】解：设圆C的圆心（a，0）在x轴正半轴上，则圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2
（a＞0），
4√5
由点M（0，√5）在圆上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为 ，
5
{
a2+5=r2
得 |2a| 4√5，解得a＝2，r＝3．
=
√5 5
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝9．
同理设圆C的圆心（a，0）在x轴负半轴上，则圆的方程为（x+a）2+y2＝r2（a＜0），∴圆C的方程为：（x+2）2+y2＝9．
综上，圆C的方程为：（x±2）2+y2＝9．
故选：D．
2．已知动直线l与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，点C为直线l上一点，
→ 5 → → →
且满足CB=
2
CA，若M是线段AB的中点，则
OC⋅OM
的值为（ ）
A．3 B．2√3 C．2 D．﹣3
【解答】解：动直线l与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，且满足|AB|＝2，
则△OAB为等边三角形，
于是可设动直线l为y=√3（x+2），
根据题意可得B（﹣2，0），A（﹣1，√3），
∵M是线段AB的中点，
3 √3
∴M（− ， ）
2 2
设C（x，y），
→ 5 →
∵CB= CA，
2
5
∴（﹣2﹣x，﹣y）= （﹣1﹣x，√3−y），
2
5
{−2−x= (−1−x)
2
∴ ，
5
−y= (√3−y)
2
1
{x=−
3
解得 ，
5√3
y=
3
1 5√3
∴C（− ， ），
3 3
∴
O
→
C⋅O
→ M=（−
3
1 ， 5
3
√3 ）•（− 3
2
， √
2
3 ）= 1
2
+ 5
2
= 3，
故选：A．3．已知两圆 x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三条公切线，若 a R，
∈
1 1
b R，且ab≠0，则 + 的最小值为（ ）
a2 b2
∈
4 1
A．3 B．1 C． D．
9 9
【解答】解：两圆的标准方程为（x+2a）2+y2＝4和x2+（y﹣b）2＝1，
圆心为（﹣2a，0），和（0，b），半径分别为2，1，
若两圆恰有三条公切线，
则等价为两圆外切，
则满足圆心距√(−2a) 2+b2=2+1＝3，
即4a2+b2＝9，
4 1
则 a2+ b2＝1，
9 9
1 1 1 1 4 1 4 1 4 a2 1 b2 5 √4a2 b2 5 4
则 + =（ + ）（ a2+ b2）= + + + ≥ +2 ⋅ = + =
a2 b2 a2 b2 9 9 9 9 9 b2 9 a2 9 9b2 9a2 9 9
1，
故选：B．
4．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0
的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
√21
A．3 B． C．2√2 D．2
2
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0的圆心（0，1），半径是r＝1，
由圆的性质知：S四边形PACB ＝2S△PBC ，四边形PACB的最小面积是2，1
∴S△PBC 的最小值＝1 =
2
rd（d是切线长）∴d最小值 ＝2
5
圆心到直线的距离就是PC的最小值，
√12+22= =√5
√1+k2
∵k＞0，∴k＝2
故选：D．
5．已知点P（x，y）是直线kx+y+4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0
的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为多少？
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y＝0 x2+（y﹣1）2＝1，圆心C（0，1），半径为1；…
（2分） ⇒
如图，∵PA＝PB，CB⊥PB，CA⊥PA，
1
∴S =2⋅ ⋅PA⋅CA=PA⋯（4分）．
PACB 2
∵S ≥2，∴PA≥2…（6分）．
PACD
∵PC2＝PA2+CA2＝PA2+1，∴PC2≥5
即点C到直线的距离为√5⋯（8分）
|1+4|
所以d= =√5，…（11分）
√k2+1
解得：k＝±2（负舍）…（12分）
所以k＝2…（13分）
6．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆
M截x轴所得的弦长恒为4，过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x+y
﹣10＝0距离最大值为 3√5 ．→ →
【解答】解：设M（3，t），P（x
0
，y
0
），因为OP⊥PM，所以 OP⋅PM=0，
可得x 2+y 2﹣3x ﹣ty ＝0 ①又圆M截x轴所得的弦长为4，
0 0 0 0
所以4+t2＝（x ﹣3）2+（y ﹣t）2，
0 0
整理得x 2+y 2﹣6x ﹣2ty +5＝0 ②
0 0 0 0
由①②得x 2+y 2＝5，即点P在圆x2+y2＝5上，
0 0
10
于是P到直线2x+y﹣10＝0距离的最大值为 +√5=3√5．
√5
故答案为：3√5．
2
7．已知圆 C 过坐标原点 O，且与 x轴，y轴分别交于点 A，B，圆心坐标 C（t， ）
t
（t R，t≠0）
（1∈）求证：△AOB的面积为定值；
（2）直线2x+y﹣4＝0与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PB|+|
PQ|的最小值及此时点P的坐标．
2 4
【解答】（1）证明：由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y− ）2＝t2+ ，
t t2
4
化简得x2﹣2tx+y2− y＝0，
t
当y＝0时，x＝0或2t，则A（2t，0）；
4 4
当x＝0时，y＝0或 ，则B（0， ），
t t
1 1 4
∴S△AOB =
2
|OA|•|OB| =
2
|2t|•|
t
|＝4为定值．
解：（2）∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，
2
则直线OC的斜率k t 2 1，
= = =
t t2 2
∴t＝2或t＝﹣2．
∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5或（x+2）2+（y+1）2＝5，
由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2＝5时，直线2x+y﹣4＝0到圆心的距离d＞r，此时
不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．
（3）点B（0，2）关于直线x+y+2＝0的对称点为B′（﹣4，﹣2），
则|PB|+|PQ|＝|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圆上点Q的最短距离为
|B′C|﹣r=√(−6) 2+32−√5=3√5−√5=2√5．
1
故|PB|+|PQ|的最小值为2√5，直线B′C的方程为y= x，
2
4 2
则直线B′C与直线x+y+2＝0的交点P的坐标为（− ，− ）．
3 3
8．（2015·全国1）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2
＝1交于点M、N两点．
（1）求k的取值范围；
→ →
（2）若
OM
• ON=12，其中O为坐标原点，求|MN|．
【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y＝kx+1，即：kx﹣y+1＝0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．
|2k−3+1|
故由 ＜ 1，
√k2+1
4−√7 4+√7
故当 ＜k＜ ，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1相
3 3
交于M，N两点．
（2）设M（x ，y ）；N（x ，y ），
1 1 2 2由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y
﹣3）2＝1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0，
4(1+k) 7
∴x +x = ，x •x = ，
1 2 1+k2 1 2 1+k2
∴y •y ＝（kx +1）（kx +1）＝k2x x +k（x +x ）+1
1 2 1 2 1 2 1 2
7 4(1+k) 12k2+4k+1
= •k2+k• + 1= ，
1+k2 1+k2 1+k2
12k2+4k+8
由 O → M • O → N=x 1 •x 2 +y 1 •y 2 = 1+k2 =12，解得 k＝1，
故直线l的方程为 y＝x+1，即 x﹣y+1＝0．
圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．
所以|MN|＝2．
1
9．已知点A(0，2)，B(0， )，点P为曲线Γ上任意一点且满足|PA|＝2|PB|．
2
（1）求曲线Γ的方程；
（2）设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线
MR、NR分别交直线 l：y＝3于点F、G．试问在y轴上是否存在一个定点 S，使得
→ →
SF⋅SG=0？ ，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设P（x，y），
1
∵点A(0，2)，B(0， )，点P为曲线Γ上任意一点且满足|PA|＝2|PB|．
2
√ 1
∴√x2+(y−2) 2=2 x2+(y− ) 2，
2
整理得：x2+y2＝1，
∴曲线Γ的方程为x2+y2＝1．
（2）由题意得M（0，1），N（0，﹣1），
设点R（x ，y ），（x ≠0），∵点R在曲线Γ上，∴x 2+ y 2=1，
0 0 0 0 0y −1
直线RM的方程y﹣1= 0 x，
x
0
2x
0
∴直线RM与直线y＝3的交点为F（ ，3），
y −1
0
y +1
直线RN的方程为y+1= 0 x，
x
0
4x
0
∴直线RN与直线y＝3的交点为G（ ，3），
y +1
0
→ →
假设存在点S（0，m），使得 SF⋅SG=0成立，
2x 4x
→ 0 → 0
则 SF=（
y −1
，3﹣m）， SG=（
y +1
，3﹣m），
0 0
2x 4x
∴ 0 • 0 +（3﹣m）2＝0，
y −1 y +1
0 0
∵x 2+ y 2=1，∴﹣8+（3﹣m）2＝0，
0 0
解得m＝3±2√2，
→ →
∴存在点S，使得 SF⋅SG=0成立，
∴S点的坐标为（0，3±√2）．
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日期：2021/8/18 22:59:47；用户：15942715433；邮箱：15942715433；学号：32355067
