文档内容
2021-2022学年四川省成都市锦江区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有
且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分.
1．（3分）如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（ ）
A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
5．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC ＝4，则S△DEF ＝
（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
6．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其他完全
相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，
第1页（共38页）则布袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．6
7．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边
OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S ，△CON的
1
面积为S ，若正方形的边长AB＝10，S ＝16，则S 的大小为（ ）
2 1 2
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（3分）个税改革新政出台后，锦江税务迅速组织干部多形式多途径进行个税专项培训，对
个税新政进行讲解和辅导．2019年全年某企业员工享受个税红利共计约200万，2021年
全年该企业员工享受个税红利共计约450万，且该企业员工享受个税红利总额的年增长
率相同．设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x，根据题意列方程，则下列方程
正确的是（ ）
A．200x2＝450
B．450（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝450
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝450
9．（3分）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则
点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．（2，2）
第2页（共38页）10．（3分）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正
方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB
边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（ ）
A． B．
C．3 或5 或 D． 或
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 ．
12．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是 ．
13．（4分）若点A（﹣2，y ）、B（﹣1，y ）在反比例函数y＝ 图象上，则y 、y 大小关系是
1 2 1 2
．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为
圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以
BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝ ．
三、解答题（共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算： ．
（2）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x．
第3页（共38页）16．（6分）“垃圾分类”进校园，锦江教育出实招．锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指
导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋
投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明
和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是 .（请将正确答案的序号填
写在横线上）
①必然事件
②不可能事件
③随机事件
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率．
17．（8分）在 ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：▱BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝2，GF＝5，求
AH的长．
18．（8分）2021年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也
让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更
是刷爆了朋友圈（如图1）．小颖同学在欣赏美景时，想要通过测量及计算了解双子塔CD
的大致高度（如图2所示，塔CD在水中的倒影为C'D，点B，D，F在同一条直线上）．在大
楼AB的楼顶A处测得塔顶C的仰角为45°，测得塔顶C的倒影C'的俯角为60°，大楼高
第4页（共38页）AB＝75m，试计算双子塔CD的高．（提示：物体在水中的倒影和物体关于水平线对称，
≈1.41， ≈1.73，结果保留整数）
19．（10分）如图，正比例函数y ＝2x与反比例函数 的图象交于A，B两点，点A的横坐
1
标为2．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P是x轴上一点，连接PA，PB，若S△PAB ＝20，求点P的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式 的解集．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
第5页（共38页）②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF＝ ，求CF的
长．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+3m的值为 ．
22．（4分）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足
为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为 ．
23．（4分）新定义：任意两数m，n，按规定y＝ ﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数
m，n的“愉悦数”．则当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x
的值是 ．
24．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，DC＝2，AC⊥BC且AC＝BC，点E是AB的中点，
连接DE，当DE取最大值时，AC的长为 ．
第6页（共38页）25．（4分）如图，直线y＝﹣ x+5与坐标轴交于A，B两点，交反比例y＝ （x＞0）的图象于
C，D两点，且CD＝3AC，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角
三角形OEF，∠OEF＝90°，∠OFE＝∠ABO，若边OF交反比例函数图象于点G，OG＝
GF，则k值为 ，点E的坐标是 ．
二、解答题（共3个小题，满分30分）
26．（8分）某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现
场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的
函数关系如图所示．
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
27．（10分）【探究】（1）如图1，四边形ABCD是矩形，以对角线AC为直角边作等腰直角三角
形EAC，且∠EAC＝90°．请证明：EC2＝2AB2+2BC2；
第7页（共38页）【应用】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P是AD上一点，且0＜AP＜4，连
接PC，以PC为直角边作等腰直角三角形EPC，∠EPC＝90°，设AP＝x，EC＝y，请求出y
与x的函数关系式；
【拓展】（3）在（2）的条件下，连接BE，若点P在线段AD上运动，在点P的运动过程中，当
△EBC是等腰三角形时，求AP的长．
28．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A，B两点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE＝45°，求 的值；
（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y＝ （x＞0）的图
象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值．
第8页（共38页）2021-2022学年四川省成都市锦江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）在下列小题中，均给出四个答案，其中有
且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分.
1．（3分）如图所示的几何体是由一个正方体和一个圆锥搭建而成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据简单组合体的三视图的定义画出从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：这个组合体从左面看所得到的图形如下：
故选：C．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的形状
是正确判断的前提．
2．（3分）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据 ＝ 设y＝2a，x＝3a，再把x＝3a，y＝2a代入 求出即可．
第9页（共38页）【解答】解：设y＝2a，x＝3a，
所以
＝
＝
＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
3．（3分）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】计算出根的判别式的值，根据正负即可确定出方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2 ）2﹣4×1×5
＝12﹣20
＝﹣8＜0，
∴一元二次方程 没有实数根．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2
﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实
数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解本题的关键．
4．（3分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，则d＝（ ）
A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴ad＝cb，
∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，
∴d＝8（cm），
第10页（共38页）故选：A．
【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是
比例的基本性质．
5．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC ＝4，则S△DEF ＝
（ ）
A．9 B．12 C．16 D．36
【分析】根据位似变换的性质得到BC∥EF，得到△OBC∽△OEF，求出 ，根据相似三角
形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵S△ABC ＝4，
∴S△DEF ＝36，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面
积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外其他完全
相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，
则布袋中白色球的个数可能是（ ）
A．24 B．18 C．16 D．6
【分析】利用频率估计概率得到摸到红色球、黑色球的概率分别为0.15和0.45，则摸到白
球的概率为0.4，然后根据概率公式求解．
【解答】解：∵多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在 0.15和
第11页（共38页）0.45，
∴摸到红色球、黑色球的概率分别为0.15和0.45，
∴摸到白球的概率为1﹣0.15﹣0.45＝0.4，
∴口袋中白色球的个数可能为0.4×60＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋
势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，
随实验次数的增多，值越来越精确．
7．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边
OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S ，△CON的
1
面积为S ，若正方形的边长AB＝10，S ＝16，则S 的大小为（ ）
2 1 2
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，
推出∠EOB＝∠COF，证出△OBM≌△OCN可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠COF．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S
1
+S
2
＝S△OAB ＝ ×10×10＝25，
∴S ＝25﹣16＝9，
2
第12页（共38页）故选：D．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，
能证出△OBM≌△OCN是解此题的关键．
8．（3分）个税改革新政出台后，锦江税务迅速组织干部多形式多途径进行个税专项培训，对
个税新政进行讲解和辅导．2019年全年某企业员工享受个税红利共计约200万，2021年
全年该企业员工享受个税红利共计约450万，且该企业员工享受个税红利总额的年增长
率相同．设该企业员工享受个税红利总额的年增长率为x，根据题意列方程，则下列方程
正确的是（ ）
A．200x2＝450
B．450（1﹣x）2＝200
C．200（1+x）2＝450
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝450
【分析】利用2021年全年该企业员工享受个税红利的人数＝2019年全年该企业员工享受
个税红利的人数×（1+年增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：200（1+x）2＝450．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则
点C的坐标为（ ）
第13页（共38页）A． B． C． D．（2，2）
【分析】过C作CD⊥OA于D，由菱形的性质得OC＝OA＝4，再由含30°角的直角三角形
的性质得OD＝ OC＝2，然后由勾股定理得CD＝2 ，即可得出点C的坐标．
【解答】解：过C作CD⊥OA于D，如图：
则∠ODC＝90°，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝4，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝30°，
∴OD＝ OC＝2，
∴CD＝ ＝ ＝2 ，
∴点C的坐标为（2，2 ），
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股
定理等知识，熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
第14页（共38页）10．（3分）如图，在10×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正
方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．点E是格点四边形ABCD的AB
边上一动点，连接ED，EC，若格点△DAE与△EBC相似，则DE+EC的长为（ ）
A． B．
C．3 或5 或 D． 或
【分析】可设AE＝x，则EB＝8﹣x，根据勾股定理可得DE，EC．再分两种情况：①如果
△DAE∽△EBC，②如果△DAE∽△CBE，进行讨论即可求解．
【解答】解：设AE＝x，则EB＝8﹣x，
根据勾股定理可得，DE＝ ＝ ＝ ，
EC＝ ＝ ＝ ．
若格点△DAE与△EBC相似，分两种情况：
①如果△DAE∽△EBC，那么 ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
解得x ＝2，x ＝6．
1 2
当x＝2时，DE＝ ＝ ，EC＝ ＝2 ，
∴DE+EC＝ +2 ＝3 ；
当x＝6时，DE＝ ＝3 ，EC＝ ＝2 ，
∴DE+EC＝3 +2 ＝5 ；
②如果△DAE∽△CBE，那么 ＝ ＝ ，
第15页（共38页）即 ＝ ＝ ，
解得x＝ ．
当x＝ 时，DE＝ ＝ ，EC＝ ＝ ，
∴DE+EC＝ + ＝ ．
综上所述，DE+EC的长为3 或5 或 ．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确看图．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）方程x2﹣3x＝0的解是 x ＝ 0 ， x ＝ 3 ．
1 2
【分析】x2﹣3x有公因式x可以提取，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：原式为x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x ＝0，x ＝3．
1 2
∴方程x2﹣3x＝0的解是x ＝0，x ＝3．
1 2
【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际
情况选择最合适快捷的解法．
12．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是 3 ﹣ ．
【分析】由黄金分割点的定义求出BC的长，即可得出答案．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，
∴BC＝ AB＝ ﹣1，
∴AC＝AB﹣BC＝2﹣（ ﹣1）＝3﹣ ，
故答案为：3﹣ ．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义，求出BC的长是解题的关键．
13．（4分）若点A（﹣2，y ）、B（﹣1，y ）在反比例函数y＝ 图象上，则y 、y 大小关系是 y
1 2 1 2 1
＞ y ．
2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所在的象限，再由A、B两点横坐标
的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝1＞0，
第16页（共38页）∴此函数图象的两个分支分别分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减
小．
∵﹣2＜﹣1，
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：y ＞y ．
1 2
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解答
此题的关键．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步骤作图：①分别以点A，B为
圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点E，F；②作直线EF；③以点B为圆心，以
BA为半径画弧交直线EF于点G；④连接BG交AC于点P．则∠APB＝ 75 ° ．
【分析】连接AG，如图，由作法得EF垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质可证明
△ABG为等边三角形，则∠ABG＝60°，然后根据三角形内角和可计算出∠APB的度数．
【解答】解：连接AG，如图，
由作法得EF垂直平分AB，
∴GA＝GB，
∵BG＝BA，
∴AB＝BG＝AG，
∴△ABG为等边三角形，
∴∠ABG＝60°，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75°．
第17页（共38页）【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分
线的性质和等腰直角三角形的性质．
三、解答题（共6个小题，满分54分）
15．（12分）（1）计算： ．
（2）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x．
【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂、零指数幂，再计算加减可得答
案；
（2）先把方程变形得到2x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）原式＝2 ﹣2+5﹣2 ﹣1
＝2；
（2）2x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x+1）＝0，
x﹣1＝0或2x+1＝0，
所以x ＝1，x ＝﹣ ．
1 2
【点评】本题主要考查实数的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方
程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合
适、简便的方法是解题的关键．
16．（6分）“垃圾分类”进校园，锦江教育出实招．锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指
导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋
投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明
和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是 ③ .（请将正确答案的序号填
第18页（共38页）写在横线上）
①必然事件
②不可能事件
③随机事件
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率．
【分析】（1）根据随机事件和必然事件及不可能事件的概念求解即可；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是③，
故答案为：③．
（2）画树状图如图所示：
由图可知，共有16种等可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结
果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
17．（8分）在 ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：▱BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝2，GF＝5，求
AH的长．
第19页（共38页）【分析】（1）结合平行四边形的性质，利用AAS证明△AED≌△FEC可证明结论；
（2）根据平行线的性质及∠DAF＝∠GAF可求得AG＝GF＝5，再利用CG＝2可得AD＝
CF＝7，通过证明△AHD∽△GHC列比例式可求得 ，进而求解AH的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是DC的中点，
∴CE＝DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC，
∴BC＝CF；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵∠GAF＝∠DAF，
∴∠GAF＝∠F，
∴AG＝GF＝5，
∵CG＝2，
∴AD＝CF＝7，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠AHD＝∠GHC，
∴△AHD∽△GHC，
第20页（共38页）∴ ，
∴ ，
∴AH＝ ．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定
与性质，证明△AED≌△FEC是解题的关键．
18．（8分）2021年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也
让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更
是刷爆了朋友圈（如图1）．小颖同学在欣赏美景时，想要通过测量及计算了解双子塔CD
的大致高度（如图2所示，塔CD在水中的倒影为C'D，点B，D，F在同一条直线上）．在大
楼AB的楼顶A处测得塔顶C的仰角为45°，测得塔顶C的倒影C'的俯角为60°，大楼高
AB＝75m，试计算双子塔CD的高．（提示：物体在水中的倒影和物体关于水平线对称，
≈1.41， ≈1.73，结果保留整数）
【分析】根据直角三角形的边角关系，轴对称的性质，得出AM＝MC，MC′＝ AM，DC
＝DC′，列方程求出AM，进而求出CD．
【解答】解：作AM⊥CD于M，设AM＝x米，
由题意得∠CAM＝45°，则CM＝AM＝x米，CD＝（x+75）米，MC′＝（x+150）米，
又∵∠C′AM＝60°，
∴C′M＝ x米，
∴ x＝x+150，
第21页（共38页）解得x＝75 +75，
∴CD＝x+75
＝75 +75+75
＝75 +150
≈280（米），
答：双子塔CD的高约为280米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，
构造直角三角形是解决问题的关键．
19．（10分）如图，正比例函数y ＝2x与反比例函数 的图象交于A，B两点，点A的横坐
1
标为2．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P是x轴上一点，连接PA，PB，若S△PAB ＝20，求点P的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式 的解集．
第22页（共38页）【分析】（1）把点A的横坐标代入正比例函数解析式可得点A的纵坐标，把点A的坐标代
入反比例函数解析式即可求得k的值，根据正比例函数和反比例函数的中心对称性即可
求得B的坐标；
（2）设P（m，0），根据题意得到S△PAB ＝ ×|m|×（4+4）＝20，解方程求得m的值，即可求得
P的坐标；
（3）根据图形，找出正比例函数y ＝2x图象在反比例函数 的图象下方的x的取值范
1
围即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，由y＝2x得y＝4，
∵A（2，4），
∴4＝ ，即k＝8，
∴y ＝ ，
2
∵正比例函数y ＝2x与反比例函数 的图象交于A，B两点，
1
∴A、B关于原点对称，
∴B（﹣2，﹣4）；
（2）点P是x轴上一点，设P（m，0），
∴S△PAB ＝S△PAO +S△PBO ＝ ×|m|×（4+4）＝20，
第23页（共38页）解得m＝±5，
∴P（5，0）或（﹣5，0）；
（3）由图形可知，不等式 的解集是x≥2或﹣2≤x＜0．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式求出待
定系数是确定函数关系式的基本方法，理解两个函数图象的交点坐标与不等式的解集之
间的关系是正确判断的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，连接AD．
（1）如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：△BCE∽△ACD；
②猜想∠CAE和∠ADE的关系，并说明理由；
（2）如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若AC＝2BC＝8，EF＝ ，求CF的
长．
【分析】（1）①由旋转的性质知， ，∠ECB＝∠DCA，从而证明结论；
②由①知，∠B＝∠DAC＝∠ADC，由∠CAB+∠B＝90°，则∠CAE+∠ADC＝
∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，从而得出答案；
（2）分两种情形，当线段BE交AC于F或当射线BE交AC于F时，设BE＝x，作CH⊥AD
于H，则AH＝ ，利用△AHC∽△BCF，可求出x的值，从而解决问题．
【解答】（1）①证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴EC＝BC，DC＝AC，∠ECB＝∠DCA，
第24页（共38页）∴ ，∠ECB＝∠DCA，
∴△BCE∽△ACD；
②解：2∠CAE+∠ADE＝90°，理由如下：
∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵△BCE∽△ACD，CE＝CB，CD＝CA，
∴∠B＝∠DAC＝∠ADC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAE+∠ADC＝∠CAE+∠CDE+∠ADE＝90°，
∴2∠CAE+∠ADE＝90°；
（2）设BE＝x，作CH⊥AD于H，则∠CHA＝∠BCF＝90°，
∵AC＝2BC，△BCE∽△ACD，
∴AD＝2x，
∵∠CHA＝∠BCF＝90°，
∴△AHC∽△BCF，
∴ ，
∵CD＝CA，CH⊥AD，
∴AH＝ ，
当线段BE交AC于F时，
∴ ，
第25页（共38页）解得：x＝ 或﹣5（舍去），
∴FC＝ ＝ ＝ ＝3；
②当射线BE交AC于F时，
，
解得：x＝﹣ （舍）或5，
∴FC＝ ＝ ＝ ＝ ，
综上所述，CF的长为3或 ．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三
角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键，对学生的识图能
力要求较高，属于中考压轴题．
一、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）
21．（4分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2021﹣m2+3m的值为 202 2
．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到m2﹣3m＝﹣1，然后把2021﹣m2+3m变形为2021
﹣（m2﹣3m），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣3x+1＝0得m2﹣3m+1＝0，
所以m2﹣3m＝﹣1，
所以2021﹣m2+3m＝2021﹣（m2﹣3m）＝2021+1＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
第26页（共38页）一元二次方程的解．
22．（4分）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足
为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为 4 9 ．
【分析】连接AE可得AE＝CE，勾股定理求出EF，DF＝EF，求出AD可得答案．
【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝EC＝5，
∵EF⊥AD，若AF＝3，
∴EF＝ ＝4，
∴DF＝4，AD＝4+3＝7，
∴正方形ABCD的面积为49，
故答案为：49．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
23．（4分）新定义：任意两数m，n，按规定y＝ ﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数
m，n的“愉悦数”．则当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x
第27页（共38页）的值是 2 ．
【分析】根据新定义内容结合分式加减混合运算的运算法则化简y，然后根据y和x均为正
整数求值．
【解答】解：当m＝2x+1，n＝x﹣1，且y为数m，n的“愉悦数”时，
y＝ ﹣（2x+1）+（x﹣1）
＝ ﹣ +
＝
＝
＝
＝ +
＝﹣x+1﹣ ，
∵x和y均为正整数，
∴1＜x＜4，
当x＝2时，y＝3，
当x＝3时，y＝﹣ （不合题意，舍去），
故答案为：2．
【点评】本题考查分式加减混合运算，因式分解的应用，理解新定义内容，掌握分式加减混
合运算的运算法则以及完全平方公式是解题关键．
24．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，DC＝2，AC⊥BC且AC＝BC，点E是AB的中点，
连接DE，当DE取最大值时，AC的长为 2 ．
第28页（共38页）【分析】以AD为斜边在AD的右边作等腰直角△ADT，连接ET，CE．利用相似三角形的性
质证明DC＝ TE，求出TE＝ ，由DE≤DT+ET＝3 ，推出DE的最大值为3 ，此
时D，T，E共线，利用勾股定理求出AE，可得结论．
【解答】解：以AD为斜边在AD的右边作等腰直角△ADT，连接ET，CE．
∵AC＝CB，AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，∠CAB＝45°，
∵AE＝EB，
∴EC⊥AB，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴AC＝ AE，
∵AD＝ AT，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠DAT＝∠CAE＝45°，
∴∠DAC＝∠TAE，
∴△DAC∽△TAE，
∴ ＝ ＝
∵AD＝4，CD＝2，
∴AT＝DT＝2 ，TE＝ ，
第29页（共38页）∴DE≤DT+ET＝3 ，
∴DE的最大值为3 ，此时D，T，E共线，
∴AE＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝ AE＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（4分）如图，直线y＝﹣ x+5与坐标轴交于A，B两点，交反比例y＝ （x＞0）的图象于
C，D两点，且CD＝3AC，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角
三角形OEF，∠OEF＝90°，∠OFE＝∠ABO，若边OF交反比例函数图象于点G，OG＝
GF，则k值为 8 ，点E的坐标是 （ ， ） ．
【分析】根据题意，首先根据直线表达式以及坐标轴上点的特征求出A（0，5），B（10，0）；
设点C的坐标为（a，b），过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，则
△AMC∽△AND，由相似三角形的性质，结合CD＝3AC求出出点D的坐标为（4a，4b﹣
15），根据反比例函数上点的坐标之积相等，即可求出k值；连接BF，结合已知可得O、B、
F、E四点共圆，所以点G是圆心，OF是直径，∠OBF＝90°；接下来求出点G的坐标，进而
即可得到点F的坐标，设出点E的坐标，再利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：直线y＝﹣ x+5与坐标轴交于A，B两点，
∴A（0，5），B（10，0），
设点C的坐标为（a，b），过点C作CM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，
第30页（共38页）∴b＝﹣ a+5，CM＝a，AM＝5﹣b，△AMC∽△AND，
∴ ＝ ，
又∵CD＝3AC，AD＝AC+CD，
∴ ＝ ，
∴AN＝4（5﹣b），
∴ON＝OA﹣AN＝5﹣4（5﹣b）＝4b﹣15，
∴点D的坐标为（4a，4b﹣15），
∵点C、D在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝ab＝4a （4b﹣15），
解得，b＝4，
将b＝4代入b＝﹣ a+5，得a＝2，
∴k＝4×2＝8．
如图，连接BF．
∵∠OFE＝∠ABO，
∴O、B、F、E四点共圆，
∵∠OEF＝90°，OG＝GF，
∴点G是圆心，OF是直径，
∴∠OBF＝90°．
∵B （10，0），
∴点G的横坐标为5，
第31页（共38页）当x＝5时，y＝ ＝ ，
∴点G的坐标为（5， ）．
∵OG＝GF，
∴点F的坐标为（10， ）．
设点E的坐标为（x，﹣ x+5），
由勾股定理可得OE2+EF2＝OF2，
∴x2+（﹣ x+5）2+（10﹣x）2+（﹣ x+5﹣ ）2＝102+（ ）2，
解得x＝ 或x＝10（舍去），
∴点E的坐标为（ ， ）．
故答案为：8；（ ， ）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，四点共圆，直径所对的圆周用是
直用，勾股疋理，二用V日队的升足nI，解决本题的关键是作辅助线，证明O、B、F、E四点
共圆．
二、解答题（共3个小题，满分30分）
26．（8分）某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现
场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的
函数关系如图所示．
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
第32页（共38页）【分析】（1）观察函数图象，根据图象上给出的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间
的函数表达式；
（2）利用销售总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之
即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将（20，60），（80，0）代入y＝kx+b得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣x+80（20≤x≤80）．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x ＝40，x ＝60．
1 2
答：销售单价应定为40元/个或60元/个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）利用待
定系数法求出y与x之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27．（10分）【探究】（1）如图1，四边形ABCD是矩形，以对角线AC为直角边作等腰直角三角
形EAC，且∠EAC＝90°．请证明：EC2＝2AB2+2BC2；
【应用】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，点P是AD上一点，且0＜AP＜4，连
接PC，以PC为直角边作等腰直角三角形EPC，∠EPC＝90°，设AP＝x，EC＝y，请求出y
与x的函数关系式；
【拓展】（3）在（2）的条件下，连接BE，若点P在线段AD上运动，在点P的运动过程中，当
△EBC是等腰三角形时，求AP的长．
第33页（共38页）【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理得出函数解析式即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC是对角线，
∴∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵以AC为直角边作等腰直角三角形EAC，且∠EAC＝90°，
∴EC2＝2AC2＝2AB2+2BC2；
（2）解：∵以PC为直角边作等腰直角三角形EPC，∠EPC＝90°，
∴EC2＝2PC2＝2PD2+2DC2＝2[（AD﹣AP）2+DC2）]，
∴y＝ ；
（3）过点E作EF⊥BC于点F，交AD于点Q，
∵△EPC是等腰直角三角形，
∴EP＝PC，∠EPC＝90°，
∵EF⊥BC，BC∥AD，
第34页（共38页）∴EF⊥AD，
∴∠EPQ+∠DPC＝∠EPQ+∠PEQ＝90°，
∴∠DPC＝∠PEQ，
∴△EPQ≌△PCD（AAS），
∵AP＝x，AD＝6，AB＝2，
∴EF＝8﹣x，BF＝x+2，CF＝4﹣x，
①EC＝BC时， ，
解得： （舍去），
②BE＝BC，（8﹣x）2+（x+2）2＝62，无解，不存在，
③BE＝EC时，点E在BC的垂直平分线上，作EM⊥BC交AD于M，
则△PEM≌△CPD（AAS），
∴PM＝CD＝2，AM＝3，
∴AP＝1，
综上所述，AP＝1或6﹣ 时，△EBC是等腰三角形．
【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．
28．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与反比例函数y＝ （x＞0）的图象交于A，B两点．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若∠AOE＝45°，求 的值；
（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数y＝ （x＞0）的图
象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于m2，求m的值．
第35页（共38页）【分析】（1）联立直线y＝﹣x+3与反比例函数y＝ （x＞0）求得点A和点B；
（2）先由直线解析式求得点C的坐标，求得线段OA、OC、AC的长，再过点A作AH⊥x轴
于点H，得到△AHC是等腰直角三角形，从而得到∠ACO＝∠AOE＝45°，然后结合∠OAC
是△AOE和△ACO的公共角得到△AOE∽△ACO，然后利用相似三角形的性质求得OE
和AE的长，进而求得EC的长，最后求得结果；
（3）先由点A和点B的坐标求得线段AB的长，再通过直线的平移求得直线PQ的解析式，
进而联立直线PQ的解析式和反比例函数的解析式求得点P和点Q的坐标，从而用含有
m的式子表示线段PQ的长，然后结合平移的距离和直线的倾斜角为45°求得两直线间的
距离，最后根据四边形ABQP的面积为m2列出方程求得m的值．
【解答】解：（1）联立直线y＝﹣x+3与反比例函数y＝ （x＞0），得
，解得： 或 ，
∴点A（1，2），点B（2，1）．
（2）对直线y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，
∴x＝3，
∴点C的坐标为（3，0），
∴OA＝ ，OC＝3，AC＝2 ，
如图1，过点A作AH⊥x轴于点H，则∠AHC＝90°，AH＝CH＝2，
∴△AHC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝∠AOE＝45°，
第36页（共38页）∵∠OAC＝∠EAO，
∴△OAC∽△EAO，
∴ ，即 ，
∴OE＝ ，AE＝ ，
∴EC＝AC﹣AE＝2 ﹣ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
（3）∵点A（1，2），B（2，1），
∴AB＝ ，
记直线PQ与x轴的交点为点M，过点C作CH⊥PQ于点H，则∠CHM＝90°，
∵直线y＝﹣x+3向右平移m个单位得到直线PQ，且直线y＝﹣x+3与直线y＝﹣x平行，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+3+m，∠CMH＝45°，CM＝m，四边形ABQP是梯形，
∴CH＝ m，
设P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
联立y＝﹣x+m+3和y＝ ，得
，整理得：x2﹣（3+m）x+2＝0，
∴x +x ＝3+m，x •x ＝2，
1 2 1 2
∴ PQ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ，
∴S四边形ABQP ＝ ＝ ＝m2，
解得：m＝0（舍）或m＝ ．
第37页（共38页）【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点、直线的平移、梯形的面积、等腰直角三
角形的判定与性质，解题的关键是会求一次函数和反比例函数的交点坐标，属于中考常考
题型．
第38页（共38页）
