文档内容
专题十三 《解析几何》讲义
13.7 定点定值
知识梳理 . 定点定值
1．定点问题
(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变
化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝
0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情
况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
2.定值问题
(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，
其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就
是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．
(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变
量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等
尽量做到整体代入，简化运算.
题型一 . 定值问题
1．已知椭圆C：x2 y2 （a＞b＞0）的两个顶点分别为点A（﹣2，0），B（2，
+ =1
a2 b2
√3
0），离心率为 ．
2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作
AM的垂线交BN于点E．证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值．
x2
2．（2018·全国1）设椭圆C： +y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，
2点M的坐标为（2，0）．
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
3．如图，已知椭圆x2 y2 1（a＞b＞0）的离心率为√3，且过点（ ，1）．
+ = √3
a2 b2 2 2
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
→ 3 → 4 →
（Ⅱ）若A，B，C为椭圆上的三点（A，B不在坐标轴上），满足OC= OA+ OB，
5 5
直线OA，OB分别交直线l：x＝3于M，N两点，设直线OA，OB的斜率为k ，k ．证
1 2
明：k •k 为定值，并求线段MN长度的最小值．
1 2题型二 . 定点问题
1．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物
线C上异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
1
（2）若直线OA，OB的斜率之积为− ，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
2
2．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为
3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB
为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
3．（2017·全国1）已知椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0），四点P （1，1），P （0，
+ = 1 2
a2 b2
√3 √3
1），P （﹣1， ），P （1， ）中恰有三点在椭圆C上．
3 4
2 2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点．若直线P A与直线P B的斜率的和
2 2 2
为﹣1，证明：l过定点．题型三 . 定直线问题
1．如图，已知椭圆C：x2 y2 1（a＞b＞0）的离心率为√2，一条准线方程为x＝
+ =
a2 b2 2
2．过点T（0，2）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A，B两点线段AB的垂直平
分线分别交AB和y轴于点M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：线段MN的中点在定直线上；
（3）若△ABN为等腰直角三角形，求直线l的方程．
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P（2，0）作直线l交抛物线于A，B两点．
π
（1）若l的倾斜角为 ，求△FAB的面积；
4
（2）过点A，B分别作抛物线C的两条切线l ，l 且直线l 与直线l 相交于点M，问：
1 2 1 2
点M是否在某条定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．课后作业 . 定值定点
x2 y2
1．设直线l与抛物线x2＝2y交于A，B两点，与椭圆 + =1交于C，D两点，直线
4 3
OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为k ，k ，k ，k ．若OA⊥OB．
1 2 3 4
（Ⅰ）是否存在实数t，满足k +k ＝t（k +k ），并说明理由；
1 2 3 4
（Ⅱ）求△OCD面积的最大值．
2．设抛物线C：x2＝2py（0＜p＜8）的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为
5
（2， ）
2
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）动直线l过点A（0，2），且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴
对称（点Q与点N不重合），求证：直线QN恒过定点．
