专题 22.9 二次函数中的十二大存在性问题
【人教版】
【题型1 二次函数中等腰三角形的存在性问题】.................................................................................................1
【题型2 二次函数中直角三角形的存在性问题】.................................................................................................3
【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】.........................................................................................5
【题型4 二次函数中全等三角形的存在性问题】.................................................................................................7
【题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题】.................................................................................................8
【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】............................................................................................................11
【题型7 二次函数中矩形的存在性问题】...........................................................................................................13
【题型8 二次函数中正方形的存在性问题】.......................................................................................................15
【题型9 二次函数中面积问题的存在性问题】...................................................................................................17
【题型10 二次函数中线段问题的存在性问题】...................................................................................................18
【题型11 二次函数中角度问题的存在性问题】..................................................................................................20
【题型12 二次函数中最值问题的存在性问题】.................................................................................................22
【题型1 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例1】（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当0<x<3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大
面积及E点的坐标．(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求
出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
【变式1-1】（2023秋·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点
A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与
抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△BCP的面积最大值；
(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)，
B(4,0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴
于点E，交直线BC于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段PQ的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接QM．是否存在点P，使得△PQM为等腰三角形？
若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点
B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点
G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；
3
（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移 个单位，得到新抛物线y，在y 的对称轴上
1 1
2
确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其
中一个点的坐标，写出求解过程．
【题型2 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例2】（2023秋·四川广安·九年级校考期中）如图，已知抛物线 经过点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) A(-3,2)
5 1
B(0,-2)，其对称轴为直线x= ，C(0, )为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．
2 2
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存
在，请说明理由．
【变式2-1】（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点
B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶
点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；
(3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角
形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．
【变式2-2】（2023春·广东梅州·九年级校考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-2,5)，
B(-1,0)，与x轴交于点C．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点P直线AC下方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，
请说明理由．
9
【变式2-3】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-1) 2+ 与x轴交
2
于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存
在，请说明理由；
(3)如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例3】（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2
与x轴交于点A(-1,0)和点B(4,0)，与y轴交于点C，过动点D(0,m)作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线
y=ax2+bx-2相交于点E，F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求m的取值范围；
(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存
在，请说明理由．
【变式3-1】（2023秋·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点
B(1,0)，与y轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平
分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等
腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交x轴于
( 1 7)
点B，交y轴于点C，直线AD交x轴于点A，交y轴于点D，交直线BC于点E - ， ，且CD=1．
2 2
(1)求直线AD解析式；
(2)点P从B点出发沿线段BA方向以1个单位/秒的速度向终点A运动（点P不与A，B两点重合），设点P
的运动时间为t，则是否存在t，使得△AEP为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说
明理由；
(3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从C点出发沿射线CO方向运动，当点P到达终点时，点Q
也停止运动，连接AQ，PQ，设△APQ的面积为S，S与t的函数关系式为S=¿，其图象如图2所示，结
合图1、图2的信息，请求出a的值及当△APQ的面积取得最大值时AQ的长．
【变式3-3】（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，抛物线 的图象与x轴交点为A
y =ax2-2x+c
1
和B，与y轴交点为D(0,3)，与直线y =-x-3交点为A和C．
2
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线y =-x-3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，
2
如果不存在请说明理由．
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标
x 的取值范围．
E
【题型4 二次函数中全等三角形的存在性问题】
1
【例4】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y= x2-2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点
4
为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这
样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若
不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2023·甘肃陇南·统考一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B两点，与y轴
交于点C(0,-3)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点P(m,n)在抛物线上，当-1≤m<3时，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为(2,3)，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【变式4-2】（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y= x2-2x+3与x轴交于A，B两点，抛物线的
4
顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这
样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不
存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物
线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右
侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）求证：CE=EF；
（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的
坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2 = ]．
√2 (√2+1) 2【题型5 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例5】（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)
两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2023秋·山东东营·九年级校考期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)、
B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为线段BC上的一动点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点
N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点
E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请
说明理由．【变式5-2】（2023秋·重庆梁平·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
y=-2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．
(1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；
(2)如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作
PD平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；
(3)在（2）条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y=-2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点
C，此时得到新抛物y'，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点M，使以点A，D，
M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（2023秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x
轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且OC=OB=3OA，点D为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面积的最大值；
(3)如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移2√2个单位后得到新抛物线y'，新抛物线y'的顶点为D'，过
（2）问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y'于点M．在新抛物线y'的对称
轴上是否存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的
坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】
【例6】（2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）如图1，抛物线 与x轴相交于点
y=ax2+bx+c(a≠0)
A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点C(0,3)．已知点A坐标为(1,0)，△ABC面积为6．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点P作PF∥y轴交BC
于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标：
(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线相交于点
D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶
点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的
图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3)，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3,0)，点P是直
线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO所在直线翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形
POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的面积．
【变式6-2】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线l:y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于
A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B，且与x轴交于点C(2,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，
四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形．
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线l:y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于
A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B，且与x轴交于点C(2,0)．(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，
四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P， Q为顶点的四边形是菱形．
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型7 二次函数中矩形的存在性问题】
【例7】（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y
＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A与点B的坐标；
1
（2）若a＝ ，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．
3
（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．
若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求
出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【变式7-1】（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)交x
轴于点A(4,0)和点B(-2,0)，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点
D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标及PD+PE最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形
为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于
A(3,0),B(-1,0)两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
1
(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足S = S ，求R的坐标．
ΔRAC 2 ΔABC
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为
顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【变式7-3】（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y=ax2+bx-2(a≠0)交x轴于A(-1，0)、B两点，交y轴于点C，其对称轴为x=1.5，(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积
的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线
的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出
点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 二次函数中正方形的存在性问题】
【例8】（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与
x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC
为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知拋物线y=-x2+2x+c与x轴交于点A(3,0)，B
与y轴交于点C．(1)求c的值及该抛物线的对称轴；
(2)若点D在直线AC上，点E是平面内一点．是否存在点E，使得以点A,B,D,E为顶点的四边形为正方形？
若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测）如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与
x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动
点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D．交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴
于点M．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值；
(3)点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四
边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2023·江西赣州·统考一模）已知二次函数 ．
C ：y=mx2-2mx+3（m≠0）
1
(1)有关二次函数C 的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号）
1
①二次函数C 的图象开口向上；
1
②二次函数C 的图象的对称轴是直线x=1；
1③二次函数C 的图象经过定点（0，3）和（2，3）；
1
④函数值y随着x的增大而减小．
(2)当m=1时，①抛物线C 的顶点坐标为______；
1
②将抛物线C 沿x轴翻折得到抛物线C ，则抛物线C 的表达式为______；
1 2 2
(3)设抛物线C 与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C 的另一交点为F，将抛物线C 沿直
1 1 1
线l翻折，得到抛物线C ，抛物线C ，C 的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，
3 1 3
Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【题型9 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例9】（2023秋·四川广安·九年级统考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A(1,0),B(3,0)两点，
交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
1
(3)如图2，连接BC，若在BC下方的抛物线上存在一点P，使得S = S ，请直接写出点P的横坐
△BCP 2 △BCA
标．
【变式9-1】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，已知二次函数 与x轴交于
L ：y=x2+bx+c
1A、B两点，A点坐标(-1，0)，B点坐标(3,0)，与y轴交于点C，直线L ：y=x+n经过点A．
2
(1)求二次函数L 的表达式及顶点P的坐标；
1
(2)二次函数L 与二次函数L 关于X轴对称，直线L 与二次函数L 相交于A、D两点．
3 1 2 3
①直接写出二次函数L 的表达式；
3
②求出D点的坐标；
③在直线L 上半部分的二次函数L 上，是否存在一点M，使得△AMD的面积最大？若存在，请求出M坐
2 3
标，并求出最大面积．
【变式9-2】（2023春·山东东营·九年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与
y轴交于点C(0,4)，与x轴交于A(-2,0)，点B(4,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S 取得最大值时，求点M的坐标；
△MBC
(3)在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
【变式9-3】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为E(1，4)的
抛物线y=ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴的交点为C(0，3)，P是抛物线对称轴
右侧图象上的一点，且在x轴的上方．(1)求此抛物线的解析式；
(2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D，当|BD-CD|取得最大值时，求点P的坐标；
(3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F，连接PC，PE，PF，记△PCF，△PEF的面积分别为S ，S ，
1 2
判断2S +S 是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
1 2
【题型10 二次函数中线段问题的存在性问题】
【例10】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(-8,0)，C(2,0)两点，与y轴交于点D(0,4)．点E是第二象限内抛物线上的一个动点，设点E的横坐标
为n，过点E作直线EB⊥x轴于点B，作直线AD交EB于点F．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当△EFD是以FD为底边的等腰三角形时，求点E的坐标；
(3)如图2，连接CD，过点E作直线l∥CD，交y轴于点H，连接BH．试探究：在点E运动的过程中，是
否存在点E，使得FD=BH，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-1】（2023春·四川南充·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中的Rt△AOB和Rt△COD全
等，直角边OB、OD在x轴上．已知点C的坐标为(4，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、
F，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．(1)写出点A的坐标并求该抛物线的函数解析式；
(2)点G为抛物线上位于线段OC所在可直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G的坐
标；
(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的
点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（2023秋·云南曲靖·九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，
B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得B、C两点到直线AM的距离相等，如果存在，求出点M的坐标，如果
不存在，请说明理由；
(3)点P为x轴上一动点，以P为旋转中心，把线段BC逆时针旋转90°，得到线段GH，其中点B的对应点为
点G，当抛物线的对称轴刚好经过GH中点时，求此时点P的坐标．
【变式10-3】（2023秋·安徽阜阳·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它
的对称轴x=-2与x轴交于点C，直线y=-2x+1经过抛物线上一点B(2,m)，且与y轴．直线x=-2分别
交于点D、E．(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；
(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条
件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型11 二次函数中角度问题的存在性问题】
【例11】（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y=-x2+bx+c与x轴交于A，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D(3,4)在抛物线上，点P是抛物线上一动
点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，连接OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标；
(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式11-1】（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于
B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，
请说明理由．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请
说明理由．
1
【变式11-2】（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）如图，抛物线y= x2+mx+n与x轴交于A，B两点，
2
与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(-4,0),C(0,-2)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，
四边形CDAF的面积最大?求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请
说明理由．
1
【变式11-3】（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x-2与x轴交
2
1
于点A，与y轴交于点C，抛物线y= x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物
2
线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△ACP的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得∠ACP=∠ABC-∠BAC，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说
明理由．
【题型12 二次函数中最值问题的存在性问题】
3 3
【例12】（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，已知抛物线y= x2- x-3与x轴的交点为点A、
8 4
D(点A在点D的右侧)，与y轴的交点为点C．
(1)直接写出A、D、C三点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点
的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当
x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为
“伴随”函数．例如：一次函数y=x-3，它的“伴随”函数为y=¿．
(1)已知点M(-2，1)在一次函数y=-mx+1的“伴随”函数的图象上，求m的值．
1
(2)已知二次函数y=-x2+4x- ．
2
( 3)
①当点A a， 在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求a的值．
2
1
②当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x- 的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大
2值或最小值；若不存在，请说明理由．
【变式12-2】（2023秋·河南洛阳·九年级河南省洛阳市第二十三中学校考期中）如图，已知二次函数
y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(-3,0)，与y轴交于点C，点D(-2,-3)在
抛物线上；
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAD周长最小，若存在，求出P点的坐标及△PAD周长的最小
值；
(3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN的
最大值．
【变式12-3】（2023春·湖南长沙·九年级校考期末）已知抛物线y=(a-1)x2+(2a-7)x+a2-4（a为常数，
a>0）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．
(1)求a的值．
(2)若点P(8-t，s)和点Q(t-4，r)都是这个抛物线上的点，且有s>r，求t的取值范围．
(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点
D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，
请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．
