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专题 15.1 分式【十二大题型】
【人教版】
【题型1 分式的判断】..............................................................................................................................................1
【题型2 分式有意义的条件】..................................................................................................................................2
【题型3 分式值为零的条件】..................................................................................................................................2
【题型4 分式的求值】..............................................................................................................................................3
【题型5 分式的规律性问题】..................................................................................................................................3
【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】.........................................................................................3
【题型7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】.............................................................................................4
【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】.............................................................................................4
【题型9 最简公分母】..............................................................................................................................................5
【题型10 最简分式】..................................................................................................................................................5
【题型11 约分、通分】..............................................................................................................................................5
【题型12 运用分式的基本性质求值】......................................................................................................................6
【知识点1 分式的定义】
A
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
B
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的判断】
【例1】（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下列各式中，分式有（ ）个
x 1 1 a+b z 2ab
， ， ， ， ，
3 n a+5 15 x2y (a+b) 2
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-1】（2023下·全国·八年级统考期末）下列各式中，是分式的是( )
1
2x-
1 x2+x-2 2x-3 3
A．3x2＋2x－ B． C． D．
3 π2-1 x-1 1
-π
3
【变式1-2】（2023下·八年级课时练习）把下列各式填入相应的括号内:1 x+ y 2s 1 3 x-2y
－2a， ， ， ， ， ，
a-b 3 π x |x| 9
整式集合：{ …}；
分式集合：{ …}
【变式1-3】（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分
8 6+2 2 2
为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： = =2+ =2 ．我们定义：在分式
3 3 3 3
中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分
x-1 x2
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． , ，这样的分式就是假分式；再如：
x+1 x-1
3 2x
, 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），
x+1 x2+1
x-1 (x+1)-2 2
如： = =1- ；
x+1 x+1 x+1
解决下列问题：
1
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
3x2
4a+1 4a+1
(2)将假分式 化为整式与真分式的和的形式： =____________；
2a-1 2a-1
4a+1
(3)若假分式 的值为正整数，则整数a的值为________________；
2a-1
x2-2x-1
(4)将假分式 化为带分式（写出完整过程）．
x-1
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（ ）
1 a-2 a2-1 a
A． B． C． D．
a3-1 a a-1 2a2+1
x-b
【变式2-1】（2023下·浙江温州·八年级统考期末）当x=3时，分式 没有意义，则b的值为（ ）
x+2b
3 3
A．-3 B．- C． D．3
2 2x-1
【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·八年级校考期中）要使分式 1 有意义，则x的取值范围为 ．
1+
1+x
【变式2-3】（2023上·河北邢台·八年级统考期末）若x=-1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
x-1 2x+1 2x-1 x+1
A． B． C． D．
2x+1 x+1 x-1 2x+1
【题型3 分式值为零的条件】
x-1
【例3】（2023上·河南周口·八年级校联考期末）若分式 的值为0，则x的取值是（ ）
x(x-2)
A．x=1 B．x=0 C．x=2 D．x=-1
x-1
【变式3-1】（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）若分式 的值为零，则x的值等于（ ）
2x+2
A．﹣1 B．0 C．2 D．1
【变式3-2】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）若分式 b2-1 的值为0，则 的值（ ）
b
b2-2b+1
A．2 B．1 C．-1 D．±1
|x-2|-1
【变式3-3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）若分式 的值为0，则x的值为 ．
x2-6x+9
【题型4 分式的求值】
4
【例4】（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知
m2-3m-2=0，则2m2-3m+
值为（ ）
m2
A．10 B．11 C．15 D．16
x 3 x+y
【变式4-1】（2023·全国·八年级假期作业）若 = ，则 的值为（ ）
y 2 y
1 1 1 5
A． B．- C． D．
3 3 2 2
【变式4-2】（2023上·云南昆明·八年级统考期末）若 ，则 2023a2 ．
a3+3a2+a=0 =
a4-2030a2+1
ab+bc+ca
【变式4-3】（2023·浙江杭州·八年级期末）设非零实数a、b、c满足¿则 的值为（ ）
a2+b2+c2
1 1
A．- B．0 C． D．1
2 2【题型5 分式的规律性问题】
【例5】（2023上·贵州铜仁·八年级统考期末）已知一列分式，x2， x5，x10， x17 ,x26 , x37 …，观察
- - -
y y3 y6 y10 y15 y21
其规律，则第n个分式是 ．
1 3
【变式5-1】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题， ， ，
x+3 x+5
4 7 11 29
， ， ， ， ，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
x+7 x+9 x+11 x+15
1 1
【变式5-2】（2023下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）已知y＝ ，y＝ ，y＝
1 x-1 2 1- y 3
1
1 1 1
，y＝ ，…，yn＝ ，请计算y ＝ （请用含x的代数式表示）．
1- y 4 1- y 1- y 2020
2 3 n-1
2 6
【变式5-3】（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）观察分析下列方程：①x+ ＝3；②x+ ＝5；③x+
x x
12
＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 ．
x
【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】
【例6】（2023下·江苏·八年级期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
1-x
例题：当x取何值时，分式 的值为正？
2x-1
1-x
解：依题意，得 >0
2x-1
则有(1)¿或(2)¿
1
解不等式组(1)得： 0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0
0.25a-0.2b
【变式8-2】（2023下·江苏盐城·八年级统考期中）系数化成整数且结果化为最简分式： =
0.1a+0.3b
．
【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不
变的是（ ）
A． xy B．(x+ y) 2 C．y+2 D． 2x
x+ y x2 x+2 y2-x2
【题型9 最简公分母】
1 1
【例9】（2023上·八年级课时练习）分式 ， 的最简公分母是（ ）
x2-x x2+x
A． B． C． D．
(x+1)(x-1) x(x+1)(x-1) x2 (x+1)(x-1) x(x-1) 2
1 5x-1 3
【变式9-1】（2023上·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）下列三个分式 、 、 的最简公分母
2x2 4(m-n) x
是（ ）
1
A．4(m-n)x B．4(m-n)x2 C． D．4(m-n)x2
4(m-n)x2
1 1 1
【变式9-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末） - + 的最简公分母是( )
a+1 a2-2a+1 1-a
A． B． C． D．
(a+1)(a-1) (a+1)(a2-2a+1)(a-1) (a-1)(a2-2a+1)
(a+1)(a-1) 2
1 1
【变式9-3】（2023下·江苏扬州·八年级校考阶段练习）已知分式与 与- (a，b是常数且b≠0)的最
2ya bxy
简公分母为10x y3，则b=【题型10 最简分式】
【例10】（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）下列分式：① 2 ；②x2+ y2；③x2-1；④ x+1 ，
2x+4 x+ y x2+x x2+1
其中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-1】（2023·上海浦东新·八年级统考期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． x2-1 B．x2-2x-3 C． 2-x D． 3x
4x-4 x2-4x-5 2x-1 3x-6
x(x+2)
【变式10-2】（2023上·福建福州·八年级统考期末）若m为实数，分式 不是最简分式，则m=
x2+m
.
9x
【变式10-3】（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）若 是一个最简分式，则“△”可以是（ ）
9-△
1
A．3x B．x C． x D．0.1x
3
【题型11 约分、通分】
* x-1
【例11】（2023上·河北邯郸·八年级期末）小丽在化简分式 = 时，*部分不小心滴上小墨水，请
x2-1 x+1
你推测（ ）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
3a
【变式11-1】（2023上·八年级课时练习）分式 的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分
a2-b2
子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
【变式11-2】（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）下列约分正确的有（ ）
（1）a2-2a-3 a-3；（2） a(m-n) 3 ；（3） 2+xy ；（4） a+m a
= =1 =0 =
a2+2a+1 a+1 b(n-m) 3 xy+2 b+m b
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3a2b
【变式11-3】（2023下·江苏宿迁·八年级统考期中）（1）约分：
6ab2b a
（2）通分： 与
3a2 bc
【题型12 运用分式的基本性质求值】
ab bc 1
【例12】（2023下·江苏无锡·八年级校联考期中）已知a、b、c为有理数，且 =1， = ，
a+b b+c 2
ac 1 abc
= ，那么 的值是多少？
a+c 3 ab+bc+ca
4x a b
【变式12-1】（2023上·上海黄浦·八年级上海市卢湾中学校考期末）如果 = - ，那么a+b
x2-4 x+2 x-2
的值是 ．
1 1 2x-xy+2y
【变式12-2】（2023上·八年级课时练习）若 + =2，则 =
x y 3x+5xy+3 y
【变式12-3】（2023上·四川达州·八年级统考期末）若，．则的值为
