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专题 15.1 分式【十大题型】
【人教版】
【题型1 分式的概念辨析】...................................................................................................................................1
【题型2 分式有意义的条件】...............................................................................................................................2
【题型3 分式值为零的条件】...............................................................................................................................2
【题型4 分式的求值】...........................................................................................................................................2
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】....................................................................................3
【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】............................................................................................3
【题型7 分式的规律性问题】...............................................................................................................................4
【题型8 分式的基本性质】...................................................................................................................................4
【题型9 约分与通分】...........................................................................................................................................5
【题型10 运用分式的基本性质求值】...................................................................................................................6
【知识点1 分式的定义】
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1 分式的概念辨析】
x 1 2 3 y+2 1 2022
【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在 , , x, , , 中，分式的个
3 x+ y 3 2x-1 2 x
数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
1
【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若 是分式，则□不可以是（ ）
□
A．3π B．x+1 C．c-3 D．2y
2 x
【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式① ，② 来说，有下列说法，正确的是（ ）
x 2
A．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式C．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式
【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？
x+1 m-3 b a+3b 4 1 m-n 2 2x2 1
, ,2- , , , + y, ,- , , (x+ y)，
x+2 m 5a 5 3-2x x 4 3 y-1 x π
整式{ _______…}；
分式{________…}．
【题型2 分式有意义的条件】
【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
a-1 a+1 1 1
A． B． C． D．
a2+1 a2 a2-1 a+1
x-b
【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式 没有意义，则b的值为（ ）
x+2b
3 3
A．-3 B．- C． D．3
2 2
x-3
【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式 有意义，那么x的取值范
x2+6x+9
围是（ ）
A．x≠3 B．x≠3且x≠-3 C．x≠0且x≠-3 D．x≠-3
【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意
义 __________________．
【题型3 分式值为零的条件】
m+2
【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式 的值为零，则m=______．
(m-2)(m+3)
x2-1
【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式 的值为零，则x的值为________．
1-x
x- y
【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式 的值为0，则x、y满足的条件为______．
x+1
|x-2|-1
【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式 的值为0，则x的值为 _____．
x2-6x+9
【题型4 分式的求值】
x y z xy-x2
【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知 = = ，则 =_____．
2 3 4 yz
a+b+c a+b+d a+c+d b+c+d
【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知 = = = =m，则m的值
d c b a______．
【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知，x≠0，所以 =3，即x+ =3.
x2+1 3 x x
所以x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 -2=32-2=7 .所以 x2 = 1.
x2 x2 x x4+1 7
该题的解法叫做“倒数法”．
x 1
已知： =
x2-3x+1 5
请你利用“倒数法”求 x2 的值．求 1 的值．
2x2-8x+
x4+x2+1 x2
xy+ yz+zx
【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2x- y+4z=0，4x+3 y-2z=0．则 的值为
x2+ y2+z2
______
【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】
x+4
【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式 的值是正数，那么x的取值范围是（ ）
x2
A．x＞0 B．x＞-4
C．x≠0 D．x＞-4且x≠0
x2+1
【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式 的值为负的条件是
1-3x
（ ）
1 1
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
3 3
x+1
【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式 的值大于零，则 x 的取值范围是
(x-1) 2
_______________
|x|-2
【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式 的值是负数，则x的取值范围是（ ）.
3x-2
2 2
A． 或x<-2
3 32 2
C．-20,S = ,S =-S -1,S = ,S =S -1,S =
1 a 2 1 3 S 4 3 5 S
2 4
1
，·……，(即当n为大于1的奇数时，S = ；当n为大于1的偶数时，S =-S -1），按此规律，S =
n S n n-1 2020
n-1
_______________________．
【知识点2 分式的基本性质】
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C
=
B B⋅C
； （C≠0）。
【题型8 分式的基本性质】
【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．-x- y ＝x- y B． a2-b2 ＝
a+b
-x+ y x+ y (a-b) 2
C． a2-b2 ＝ D． x-1 ＝ 1
a-b -
(a-b) 2 1-x2 x+1
x 0.5+0.01x
【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将 - =1的分母化为整数，得（ ）
0.2 0.03
x 0.5+0.01x 50+x
A． - =1 B．5x- =100
2 3 3
x 0.5+0.01x 50+x
C． - =100 D．5x- =1
20 3 3x- y
【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式 （xy≠0且x≠y）中的x和y都扩大为原来的
axy
3倍，那么分式的值（ ）
1 1
A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．不变 D．变为原来的
3 9
【变式8-3】（2022·山东·八年级课时练习）不改变分式 2-3x2+x 的值，使分子、分母最高次项的系数
-5x3+2x-3
为正数，正确的是（）
A． 3x2+x+2 B． 3x2-x+2 C． 3x2+x-2 D． 3x2-x-2
5x3+2x-3 5x3+2x-3 5x3-2x+3 5x3-2x+3
【题型9 约分与通分】
【例9】（2022·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
x+1 1
A． 约分的结果是
x2-1 x
1 1
B．分式 与 的最简公分母是x﹣1
x2-1 x-1
2x
C． 约分的结果是1
x2
D．化简 x2 ﹣ 1 的结果是1
x2-1 x2-1
2 3 a
【变式9-1】（2022·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式 ， ， 的最简公分
a2+ab ab+b2 a2-ab-2b2
母是_____________________
【变式9-2】（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式
(1)12x5 y2z4
-18x3z7
(2)m2-3m
9-m2
(3)
a2+ab
a2+2ab+b2(4)(b-a) 2
2(a-b)
【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分．
1 2
（1） 和
2ab3 5a2b2c
a b
（2） 和
2xy 3x2
3c a
（3） 和
2ab2 8bc2
1 1
（4） 和
y-1 y+1
【题型10 运用分式的基本性质求值】
【例10】（2022·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则
a b c
+ + 的值为（ ）
ab+a+1 bc+b+1 ac+c+1
A．2 B．3 C．－1 D．1
1 1 x- y+xy
【变式10-1】（2022·江苏无锡·八年级期中）已知 - =2， =________．
x y 2xy-3x+3 y
ab bc 1 ac 1
【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且 =1， = ， = ，
a+b b+c 2 a+c 3
abc
那么 的值是多少？
ab+bc+ca
bcdef 1 acdef 1
【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f都为正数， = ， = ，
a 2 b 4
abdef 1 abcef abcdf abcde
= ， =2， =4， =8，则a2+b2+c2+d2+e2+f2=________．
c 8 d e f
