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专题15.1 分式（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分子，B
叫做分母.
特别提醒：
（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除
的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有
一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，
如
是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如
是分式，与 有区别， 是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
【知识点2】分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
特别提醒：
（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分
母
中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于
零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
【知识点3】分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基
本性质，用式子表示是： （其中M是不等于零的整式）.
特别提醒：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过
程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点
强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有
可能发生变化.
【知识点4】分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样
的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式
叫做最简分 式.
特别提醒：
（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的
最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解
因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
【知识点5】分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的
值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
特别提醒：
（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分
母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂
的乘积；
如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而
言.
【考点目录】
【考点一】分式的判断及构造分式
【考点二】分式的正负性判断取值范围
【考点三】分式的正负性判断取值范围
【考点四】分式的基本性质→分式的变形与成立条件
【考点五】分式的基本性质→分式值的变化及系数的变形
【考点六】分式的基本性质→最简分式与约分
【考点七】分式的基本性质→最简公母与通分
【考点一】分式的判断及构造分式
【例1】（2013下·江苏南京·八年级统考期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠±2；
（3）当x=0时，分式的值为-1．
你所写的分式为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据分式的性质进行求解即可．
解：分式值不等于0，则分式的分子不等于0．
取值范围要 ，则分式分母满足x=±2时，分母=0．
且当x=0时，分式值要等于-1．
可得 ，
故答案为：
【点拨】本题难度中等，主要考查学生对分式性质的掌握．根据要求写出例子即可．
【举一反三】
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）下列式子： ， ， ， ， ，
其中是分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母
B含有字母，那么 叫分式，熟练掌握定义是解题的关键．
解：根据定义，得是分式的是 ， ， ，
故选B．
【变式2】（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）给定下面一列分式： ， ， ， ，
…（其中 ），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式 ．【答案】
【分析】第 个： ，第 个： ，第 个： ， 第
个： ，据此找出第 个分式即可求解．
解：由题意可知
第 个： ，
第 个： ，
第 个： ，
第 个： ，
第 个： ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键．
【考点二】分式的正负性判断取值范围
【例2】（2022上·湖南永州·八年级校考期中）已知关于 的分式 ，求下列问题：
（1）当 满足什么条件，分式无意义；
（2）当 满足什么条件，分式有意义；
（3）当 满足什么条件，分式的值等于0．【答案】（1） 或 ；（2） 且 ；（3）
【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可；（2）根据分母不为零时，分式有意义解题即
可；
（3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可．
（1）解：由题可得 ，
解得： 或 ，
∴当 或 时，分式 无意义；
（2）解：由题可得 ，
解得： 且 ，
∴当 且 时，分式 有意义；
（3）解：由题可得 ，
解得 ，
∴当 时，分式 的值等于0．
【点拨】本题考查分式有意义，无意义，值为0时的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零
的条件是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023上·山东东营·八年级校考期中）下列结论：①无论a为何值， 都有意义；②当
时，分式 的值为0；③若 的值为负，则x的取值范围是 ；④若 有意义，
则x的取值范围是 且 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是分式有意义的条件和分式为0的条件，根据分式有意义的条件（分母不为0）
和分式为0的条件（分子为0，分母不为0）逐项求解判断即可，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件
和分式为0的条件．解：①∵
∴ ，
∴不论a为何值 都有意义，故此结论正确；
②∵当 时，
∴ ，此时分式无意义，故此结论错误；
③∵若 的值为负，
∴ ，
∴ ，故此结论正确；
④∵ 有意义，
∴ ，
解得 ， 且 ，故此结论错误．
综上所述，其中正确的个数是2．
故选：B．
【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）（1）要使分式 有意义，x需满足的条件是 ；
（2）若分式 的值为0，则x的值是 ．
【答案】 x≠1 x=2
解：（1）分式有意义，则分母不为零，故有x-1≠0，即x≠1．
（2）由题意，得x2-2x=x（x-2）=0，且x≠0，解得x=2．
【考点三】分式的正负性判断取值范围
【例3】（2019上·八年级课时练习） 为何值时，分式 的值为正数？
【答案】 且
【分析】分式 的值为正数，则分子，分母同号，分母 为正数，且不等于
0，则分子 需要大于0，解不等式即可判断 的取值.解：分母
分母不为0，则：
要使分式的值为正数，
则
解得： 且 .
【点拨】本题主要考查根据题意列不等式.列不等式的关键是分清题目中的数量关系,找出其中的不等
关系,从而列出不等式,求解不等式即可使问题得解.
【举一反三】
【变式1】（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）若分式 的值为正数，则 的取值范围
是（ ）
A． B． 且 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得 ，然后解这两个不等式组即可求出结论．
解： ，
∵分式 的值为正数，
∴ ，
解得 且 ．
故选：B．
【点拨】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异
号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
【变式2】（2023下·河南新乡·八年级校考期中）若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式的值为负数可建立不等式进行求解．解：由分式 的值为负数，且 ，则有：
，
∴ ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查分式的值及不等式的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．
【考点四】分式的基本性质→分式的变形与成立条件
【例4】（2021上·八年级课时练习）填空
（1） ， ； （2） ， ．
【答案】（1） ， ；（2）a，
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
解：（1）因为 的分母 除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也
需除以x，即
．
同样地，因为 的分子 除以 才能化为 ，所以分母也需除以 ，即
．
所以，括号中应分别填： 和 ．
（2）因为 的分母 乘a才能化为 ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也
需乘a，即
．
同样地，因为 的分母 乘b才能化为 ，所以分子也需乘b，即．
所以，括号中应分别填：a和 ．
【点拨】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式
的值不变．
【举一反三】
【变式1】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）当 时， 代表的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以 ，即可求解．
解：∵
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【变式2】（2021上·八年级课时练习）如果 成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可得
到答案．
解：由题意得， ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【考点五】分式的基本性质→分式值的变化及系数的变形【例5】（2023上·八年级课时练习）在括号中填上恰当的式子：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） （ 且
）．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（4）利用分式的基本性质解答，即可求解．
解：（1） ；
故答案为：
（2） ；
故答案为：
（3） ；
故答案为：
（4） ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【举一反三】【变式1】（2022上·八年级单元测试）将分式 的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的
是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可．
解：分子，分母同 得： ；
故选：D．
【点拨】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键．
【变式2】（2023下·江苏宿迁·八年级统考期中）不改变分式的值，将分式 的分子与分母的最
高次项的系数化为正整数所得结果为 ．
【答案】
【分析】运用分式的基本性质在分子分母都乘以 即可得出正确答案．
解： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
【考点六】分式的基本性质→最简分式与约分
【例6】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）约分：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）分子分母同时约去公因式 即可得到答案；（2）分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023上·河北邢台·八年级统考期中）将分式 约分时，分子分母同时除以（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的约分．根据分式的基本性质，即可求解．
解：∵ ，
∴将分式 约分时，分子分母同时除以 ．
故选：C
【变式2】（2023上·八年级课时练习）已知三张卡片上面分别写有6， ， ，从中任选两张卡
片，组成了三个不同的式子： ， ， ．其中是最简分式的有 个．
【答案】1
【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如 ，A、B是整式，B中含有字母且B不等
于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案．解： 分母中不含字母，不是分式，
，不是最简分式，
其中是最简分式的有： ，共1个．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了最简分式的定义，熟知相关定义是解题的关键．
【考点七】分式的基本性质→最简公母与通分
【例7】（2022上·八年级单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分．
（1） ， ， ； （2） ， ， ．
【答案】（1）最简公分母为 ；通分后为 ， ，
（2）最简公分母为 ，通分后为 ， ，
解：（1） ， ， 的最简公分母是
∵
通分后为 ， ，
∴
故答案为：最简公分母为 ；通分后为 ， ，
（2） ， ，
∵
， ， ，最简公分母为 ，通分后为 ，
∴
，
【点拨】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键
【举一反三】【变式1】（2022上·全国·八年级专题练习）把 与 通分后， 的分母为
，则 的分子变为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．
解： ，
故 的分子为 ．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．
【变式2】（2024下·八年级课时练习）分式 与 的最简公分母是 ．
【答案】
解：确定最简公分母的方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各单项式系数的最小公倍
数与所有字母的最高次幂的积；如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数
的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【易错点分析】易出现等错误答案．需熟练掌握求最简公分母的方法．
