文档内容
专题07 二次函数65道压轴题型专训（13大题型）
压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题
压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题
压轴题型三 根据二次函数的对称性求值
压轴题型四 二次函数的平移压轴题
压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题
压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）
压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）
压轴题型八 二次函数中的存在性问题
压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题
压轴题型十 二次函数的翻折问题
压轴题型十一 二次函数最值问题
压轴题型十二 二次函数的综合
压轴题型十三 二次函数的新定义问题
【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】
1．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，抛物线 交 轴于点 和 ，点 在
点 左侧，交 轴于点 ，抛物线的顶点为 ．给出下面四个结论：
① ；
②当 时， ；
③抛物线上有点 和 ，若 ，且 ，则 ；④当 时，对于抛物线上两点 ， ，若 ，则 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
2．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图
象的“近轴点”．例如，点 是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
3．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 （ 为常数）经过点
．点 是抛物线上一点，点 的横坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)当 轴时，求 的值．
(3)连接 ， ，当 时， 的值为 ．
(4)将抛物线在点 和点 之间的部分记为图像 ，当图像 的最大值和最小值的差为1时，直接写出 的
取值范围．
4．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系中，设函数 （ 是常数， ）．
(1)若点 和 在该函数的图象上，则函数图象的顶点坐标是______；
(2)若点 在该函数的图象上，且该函数图象与 轴有两个不同的交点 （ 在 的左边），
，则 ______；(3)已知 ，当 （ 是实数， ）时，该函数对应的函数值分别为 ， ．若
，求证： ．
5．（2024·重庆·三模）如图，抛物线 交 轴于点 ，点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 为直线 下方抛物线上的一点，过点 作 轴交 于点 ，作 轴交 于点 ，求
的最大值以及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线 ，点 是新抛物线 上的一个动点，连接
，将 沿着直线 翻折到同一平面内得到 ，连接 ，当∠ 时，直接写出点 的坐标，
并写出求解其中一个坐标的过程．
【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】
1．（23-24九年级上·云南保山·期末）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直
线 ，且与x轴的一个交点坐标为 ．下列结论：① ；② ；③ ；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2022·湖北武汉·一模）已知二次函数 的图象与x轴的交点为 ，顶点是
，其中 ，则下列四个结论：
① ；② ；③ ；④点 ， 在抛物线上，当 时，则 ；
其中正确的结论有 （填序号）．
3．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系 中，抛物线 ，设抛物
线的对称轴为 ．
(1)当抛物线过点 时，求 的值；
(2)若 ，点 ， 在抛物线上，若 ，求 的取值范围；
(3)若点 和 在抛物线上，若 ，且 ，求 的取值范围．
4．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系 中，点 在抛物线 上，其中 ．(1)当 ， 时．求抛物线的对称轴；
(2)已知当 时，总有 ．
①求证： ；
②点 ， 在该抛物线上，是否存在a，b，使得当 时，都有 ？若存在，求出
与 之间的数量关系；若不存任，说明理由．
5．（22-23九年级下·浙江·开学考试）已知二次函数 （a，b为常数， ）．
(1)若 ，求二次函数 的顶点坐标．
(2)若 ，设函数 的对称轴为直线 ，求k的值．
(3)点 在函数 图象上，点 在函数 图象上，当 ， 时，试比较m，n的大小．
【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】
1．（2023·陕西榆林·一模）已知二次函数 ，当 时， ，当 时， ，点
是二次函数图像上一点，要使 的值相对最大，则 的值可以是（ ）
A． B． C． D．02．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）已知点 ， 在抛物线 上，且
， ，若对于 ， ，都有 ，则 的取值范围是 ．
3．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点
， ， 在抛物线上．
(1)当 时，直接写出m与n的大小关系；
(2)若对于 都有 求t的取值范围．
4．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于
两点，点 在点 左侧．点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 是抛物线对称轴 上的一个动点时，求当 最小时，点 的坐标；
(3)若点 是线段 下方抛物线上的动点，求 面积的最大值．5．（21-22九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 ： 和直线
： ，点 ， 均在直线 上．
(1)若抛物线 与直线 有交点，求 的取值范围；
(2)当 ，二次函数 的自变量 满足 时，函数 的最大值为-4，求 的值；
(3)若抛物线 与线段 有两个不同的交点，请求出 的取值范围．
【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】
1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线 与抛物线 对称轴左侧部分的图象有且只有一个
交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线 ： 的顶点坐标为 ，与 轴正半轴
交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）点 的坐标为 ；
（2）将抛物线 沿 轴向右平移 个单位长度，平移后的抛物线 与抛物线 相交于点 ，且点
在第四象限内，当 的面积最大时， 的值为 ．
3．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板 ，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知直线 上方抛物线上一点D，连接 ，求 的面积最大值以及此时点D的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线 方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线
上的一点，过B作直线 交新抛物线于第四象限的点E，连接 ，当
时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程．
4．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图像
上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．5．（2024·广东广州·二模）已知抛物线 ，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为
．
(1)若抛物线 过点A，求抛物线解析式；
(2)若抛物线 与直线 只有一个交点，求a的值．
(3)把抛物线 沿直线 方向平移 个单位（规定：射线 方向为正方向）得到抛物线 ，若对于
抛物线 ，当 时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】
1．（2024·湖南常德·一模）将抛物线 中 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方，图像的其余
部分不变，得到的新图像与直线 有 个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，已知抛物线 ： 与x轴交于A，B两点，与y轴
交于点C．（1）点B的坐标为 ；
（2）点P为L上在第一象限内的一点，过点P作直线 的平行线，与x轴交于点M，若点P从点C出发，
沿着抛物线L运动到点B，则点M经过的路程为 ．
3．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系 中， ， ， 三点都在抛物线
上，
(1)这个抛物线的对称轴为直线_________；
(2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围．
4．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线 与 轴交于点 ，
顶点为点 ，点 的坐标为 ，直线 与 轴交于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求 的面积；
(3)如果 ，求抛物线的表达式．5．（23-24九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数 ，其中 ， 为实数．
(1)若该函数的对称轴是直线 ，则 ______；
(2)若该函数的图像经过点 ，请判断该函数的图像与 轴的交点个数；
(3)该函数的图像经过点 ， ， ， ．若 时，求 的取值范围．
【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】
1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每
月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨 元，月销售利
润为 元，可列函数为： ，对所列函数下列说法错误的是（ ）
A． 表示涨价后商品的单价 B． 表示涨价后少售出商品的数量
C． 表示涨价后商品的月销售量 D．当 时月利润达到最大
2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万
只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
3．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为
每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每
个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能
多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为
多少元？最大利润是多少？4．（2024·河北保定·一模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与
年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图11所示）；该产品的总销售额z
（万元）＝预售总额（万元）＋波动总额（万元），预售总额＝每件产品的预售额（元）×年销售量x（万
件），波动总额与年销售量x的平方成正比，部分数据如下表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，
达到产销平衡，所获年毛利润为w万元（年毛利润＝总销售额－生产费用）
年销售量x（万件） … 20 40 …
56
总销售额z（万元） … 1040 …
0
(1)求y与x以及z与x之间的函数解析式；
(2)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，求该产品年销售量的变化范围；
(3)受市场经济的影响，需下调每件产品的预售额（生产费用与波动总额均不变），在此基础上，若要使
2025年的最高毛利润为720万元，直接写出每件产品的预售额下调多少元．
5．（2024·山东青岛·模拟预测）年初，草莓进入采摘旺季，某公司经营销售草莓的业务，以 万元/吨的价
格向农户收购后，分拣成甲、乙两类，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的
包装成本为 万元/吨，当甲类草莓的销售量 吨时，它的平均销售价格 ，当甲类草莓的销售
量 吨时，它的平均销售价格为 万元/吨．乙类草莓深加工总费用 （单位：万元）与加工数量 （单
位：吨）之间的函数关系为 ，平均销售价格为 万元/吨．
(1)某次该公司收购了 吨的草莓，其中甲类草莓有 吨，经营这批草莓所获得的总利润为 万元；①求 与 之间的函数关系式；
②若该公司获得了 万元的总利润，求用于销售甲类的草莓有多少吨？
(2)在某次收购中，该公司准备投入 万元资金，请你设计一种经营方案，使该公司获得最大的总利润，
并求出最大的总利润．
【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】
1．（2024·河南开封·二模）如图，在 中， ， ， ，点 P 从点A 出发，
沿 向点C 以 的速度运动，同时点 Q从点C 出发，沿 向点B 以 的速度运动（当点 Q
运动到点 B 时，点 P，Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形 的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·一模）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋 可视为抛物线的一部分，桥面
可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度 为80米，桥拱的最大高度
为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与 的距离为4米的景观灯杆 的高度为 米．
3．（2023·吉林·模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，点 从点 出发，以
的速度沿 运动，过点 作射线 的垂线，交射线 于点 ，在点 运动过程中，设运动
时间为 ， 与菱形 重叠部分的面积为 ．(1)写出线段 的长（用含 的式子表示）．
(2)当 平分菱形面积时，求 的值．
(3)求 与 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
4．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽
，桥拱顶点 到水面的距离是 ．
(1)按如图所示的坐标系，求该桥拱 的函数表达式；
(2)要保证高 米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于 米），求小船的最大宽度是多少？
(3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图
象．现将新函数图象向右平移 （ ）个单位长度，使得平移后的函数图象在 之间，且 随
的增大而减小，请直接写出 的取值范围．
5．（2024·辽宁大连·一模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试
验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离 （单位： ）、飞行高度 （单位： ）随飞行时间
（单位： ）变化的数据，如下表所示：
飞行时间 0 2 4 6 8飞行水平距离 0 8 16 24 32
飞行高度 0 18 32 42 48
已知 与 满足一次函数关系，即 ， 与 满足二次函数关系．
(1)求 关于 的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围）
(2)如图，活动小组在水平安全线上的点 处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）．
①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离．
②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为 的范围
内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于 ，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，
并说明理由．
【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】
1．（2023九年级·全国·专题练习）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：
等都是“三倍点”．在 的范围内，若二次函数 的图象
上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）若函数 的图象上至少存在一个点，该点关于 轴的对称点落
在函数 的图象上，则称函数 为关联函数，这两个点称为函数 的一对关联点．若函数
与一次函数 （ 为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，则
的取值范围是 ．
3．（2024·山西晋中·三模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知点
的坐标为 ，点 的坐标为 ，直线 与抛物线交于 ， 两点．
(1)求拋物线的函数表达式及点 的坐标．
(2)求 的值和点 的坐标．
(3) 是第四象限内拋物线上的动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交直
线 于点 ，过点 作 于点 ．
①当 是线段 的三等分点时，求点 的坐标；
②连接 ， ， ，在点 运动的过程中，是否存在 ？若存在，直接写出 的长；
若不存在，请说明理由．
4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数 的图象的顶点在二次函数为 的图象上，同时二次函数
的图象的顶点在二次函数 的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数 与二次函数 互为“顶点相容函数”，则 _______．
(2)如图，已知二次函数 的图象的顶点为 ，点 是 轴正半轴上的一个动点，将二次函
数 的图象绕点 旋转 得到一个新的二次函数 的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且 的图象的顶点为 ．
①求二次函数 的解析式；
②点 为 轴上一点，是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存
在，请说明理由．
5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，已知抛物线 （ 、 为常数，且 ）与 轴交于 、
两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，对称轴 与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，
于点 ，连接 ．
(1)求抛物线 的函数表达式和点 的坐标；
(2)将抛物线 沿 轴向下平移一定距离后得到抛物线 ，已知抛物线 的顶点为 ，且抛物线 与 轴
无交点，点 为平面直角坐标系中一点，请问是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】
1．（2023·四川巴中·模拟预测）将二次函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的图象与一次
函数 的图象有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽淮北·三模）抛物线 经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为
．
（1）a的值为 ；
（2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作 轴，且点Q位于一次函数 的图像上．当
时， 的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ．
3．（2024·云南昆明·二模）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称
定点．比如点 就是一个定点．对于一次函数 （ 是常数， ），由于
，当 即 时，无论 为何值， 一定等于 ，我们就说直线
一定经过定点 ．设抛物线 （ 是常数， ）经过的定点为
点 ，顶点为点 ．
(1)抛物线经过的定点 的坐标是______；
(2)是否存在实数 ，使顶点 在 轴上？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；(3)当 时，在 的图像上存在点 ，使得这个点到点 、点 的距离的和最短．求 的取值
范围．
4．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象经过点
．
(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
(2)一次函数 的图象经过点A，点 在一次函数 的图象上，点 在二次函
数 的图象上，若 ，求m的取值范围．
5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ，
且与二次函数 的图象交于点 ．
(1)求一次函数与二次函数的表达式；
(2)设 是直线 上一点，过点 作 轴，交二次函数 的图象于点 ，若以点 、 、、 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标．
【压轴题型十 二次函数的翻折问题】
1．（2024·山东济南·二模）抛物线 ，将其图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，其余部分保持不
变，组成图形 是 上的任意一点，当 时， 的最大值记为 ，则 取得最小值时，
的值为( )
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数 图象是由函数
的图像 轴上方部分不变，下方部分沿 轴向上翻折而成，如图所示，则
下列结论正确的是 ．
；
将图像向上平移 个单位后与直线 有 个交点．
3．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 ，
两点（点 在点 的左侧）．(1)若点 的坐标为 ，
①求此时二次函数的解析式；
②当 时，函数值 的取值范围是 ，求 的值；
(2)将该二次函数图象在 轴上方的部分沿 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当
时，这个新函数的函数值 随 的增大而增大，结合函数图象，求 的取值范围．
4．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数
图象的“倍值点”，例如：点 是函数 的图象的“倍值点”．
(1)分别判断函数 ， 的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；
如果不存在，说明理由；
(2)设函数 ， 的图象的“倍值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．
当 的面积为2时，求 的值；
(3)若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 ，当 ， 两部分组成
的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出 的取值范围．
【压轴题型十一 二次函数最值问题】
1．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）在 中，边 的长与 边上的高的和为8，当 面积最大
时，则其周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， ，D是 边上一动点，以 为边作正 ，则 最大 ．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x
轴、y轴作垂线，构造矩形 ，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m．
(1)分别求点A，点B的坐标；
(2)当点P在x轴上方时，此时矩形 的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说
明理由；
(3)当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
4．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在 上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足
，则称函数G是在 上的“最值差函数”．
(1)函数① ；② ；③ ，其中函数 是在 上的“最值差函数”；（填序号）(2)已知函数 ．
①当 时，函数G是在 上的“最值差函数”，求t的值；
②函数G是在 （m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得 ，求k的
值．
5．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴正半轴交于点A，与 轴负半轴交于点
，且 ，与直线 交于 两点．
(1)求点 的坐标；
(2)当 时，求 的面积；
(3) 取何值时 的面积最小？最小面积是多少？
【压轴题型十二 二次函数的综合】1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与
轴交于点 ， 点为抛物线上第三象限内一动点，当 时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x，y满足： ， （k为常数）且 ，
则称点 为“好点”．
（1）若 是“好点”，则 ．
（2）在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“好点”，则c的取值范围
为 ．
3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （m是常数，且
）经过点 ，且与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
(1)求出二次函数的表达式．
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 和 ，与直线 交于点 ，若 ，直接写出
的取值范围．(3)当 ， ， 时，对应的函数值分别为 ， ， ．求证： ．
4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线 ， ，点 ， 为
抛物线上第一象限内的两点，且满足 ，以 为边向右作矩形 ，若P点纵坐标为5．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求矩形 的面积．
5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于点A，交
轴于点 和点 ，连接 、 、 ， 与 轴交于点 ．
(1)求抛物线表达式；(2)点 ，点 在 轴上，点 在平面内，若 ，且四边形 是平行四边形．
①求点 的坐标；
②设射线 与 相交于点 ，交 于点 ，将 绕点 旋转一周，旋转后的三角形记为 ，
求 的最小值．
【压轴题型十三 二次函数的新定义问题】
1．（2024·湖南岳阳·二模）对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定
义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使 为等腰直角三角形且 ， 则称抛物线G为点
P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线 的T型点，则n的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．n ≥
2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点 ，点 ， ，
，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数 的图象上恰有两个点的“跳
跃点”在直线 上，则a的取值范围为 ．
3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴的交点坐
标为 ，那么我们把经过点 且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
（1）抛物线 的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ．
【深入探究】
（2）经过点 和 的抛物线 与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为P，直线 垂直平分 ，垂足为E，交
该抛物线的对称轴于点F．
①当 时，求点P的坐标．
②若直线 与直线 关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线 的距离与点B到直线 的距离
相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
4．（2024·河南洛阳·二模）定义：在平面直角坐标系 中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横
坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．
(1)点 是反比例函数 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的
坐标是 ；
(2)如图，已知点A，B是抛物线 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接
，判断 的形状，并说明理由：
(3)在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值
范围是 ．5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，
则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点 是函数 的图象的“1系关联点”。
(1)在函数① .② .③ 的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号）
(2)若函数 的图象的“3系关联点”与函数 的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成
等腰三角形，求b的值；
(3)若函数 的图象存在唯一的“m系关联点”，当 时，函数 的最小值
为 ，求t的值.
