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专题 22.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】.................................................................................1
【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】.............................................................................2
【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】.............................................................................2
【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】.....................................................................3
【题型5 根据二次函数的性质求最值】..................................................................................................................3
【题型6 二次函数的对称性的运用】......................................................................................................................3
【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】.........................................................................................4
【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】.....................................................................................6
【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】
【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点 ， ， 在二次函数
A(-2,y ) B(1,y ) C(5,y )
1 2 3
y=-3x2+k的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2
【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点 、 在抛物线 的图象上，且
C(x ,m) D(x ,n) y=-2(x-3) 2
1 2
x >x >3，则m与n的大小关系为______．
1 2
【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )都在二次函数
1 1 2 2 3 3
y=ax2-2ax-3a(a≠0)的图像上，若-1<x <0,1<x <2,x >3，则下列关于y ，y ，y 三者的大小关
1 2 3 1 2 3
系判断一定正确的是（ ）
A．y 可能最大，不可能最小 B．y 可能最大，也可能最小
1 3
C．y 可能最大，不可能最小 D．y 不可能最大，可能最小
3 2
【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数 的图象过 两点，下
y=x2-2x A(a,y ),B(2a,y )
1 2
列选项正确的是（ ）2
A．若a<0，则y >y B．若0<a< ，则y <y
1 2 3 1 2
2
C．若 <a<1，则y <y D．若a>1，则y >y
3 1 2 1 2
【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】
【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于
m，则m的值为 ___________．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=-x2+4x-n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范
围是______．
【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2-x-4k（k为常数且k≠0）的
图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，
则k的取值范围是______．
【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点
(-1,0)和(0,-1)，则a+b+c的取值范围是（ ）
A．-2<a+b+c<0 B．-2<a+b+c<-1
3 3
C．- <a+b+c<0 D．- <a+b+c<-1
2 2
【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】
【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y=ax2-4x+1有最小值-3，则 a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=-x2+bx-3（b为常数）的图象经过点
(-6,-3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（ ）
A．-2或-3+√10 B．-2或-4
C．-2或-3-√10 D．-3-√10
【变式3-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数 ，已知 ，当 时，
y=-(x-m) 2+1 m>3 -1≤x≤3有下列说法：
①若y的最大值为-8，则m=4；
②若y的最小值为-8，则m=6；
③若m=5，则y的最大值为-3．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【变式3-3】（2023·浙江宁波·统考一模）在平面直角坐标系中，设二次函数 ，
y =x2+2bx+a
1
（a，b；是实数， ）的最小值分别为m和n，若 ，则 的值为( )
y =ax2+2bx+1 a≠0 m+n=0 mn
2
A．0 B．-1 C．-2 D．-4
【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】
【例4】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=x2-4x+1．若x≤a时，该二次函数的最
小值为-3，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a>2 D．a<2
【变式4-1】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在
a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为-5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
【变式4-2】（2023春·北京顺义·九年级校考期中）如果二次函数y=(m-1)x2+2mx+m+3的最小值是正
数，则m的取值范围是______．
【变式4-3】（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数y=x2-8x+8，当0≤x<m时，函数的最大值是8，最
小值是-8，则m的值可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）已知二次函数y=x2-3x+1，当m≤x≤1时，函数有最大
值4-m，则m=________．
【变式5-1】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知点P(m,n)在二次函数y=x2+4的图象上，则
m-n的最大值等于________．
【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级统考期中）已知二次函数y=x2-2x，当a≤x≤b时，其最小值为
-1，最大值为3，则b-a的最大值是 ___________．
【变式5-3】（2023春·江西南昌·九年级统考期中）若二次函数y=2x2-20x+53自变量满足1≤x≤4，则函数y的最小值是 _____．
【题型6 二次函数的对称性的运用】
【例6】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）二次函数y=ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对
应值如下表：
x 0 1 2 3
y 1 m n 1
下列判断正确的是（ ）
A．m>n B．m＜n C．m=n D．m=2n
1
【变式6-1】（2023·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2经过平移得到抛物
2
1
线y= x2-2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
2
A．4 B．6 C．8 D．16
【变式6-2】（2023·上海·一模）二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足如表：
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … m -3 -2 -3 -6 …
那么m的值为____．
【变式6-3】（2023春·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次
1 1 2 2
函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当x ＝1，x ＝3时，y = y ．若对于任意实数x、x 都有y + y ≥2，则c的
1 2 1 2 1 2 1 2
范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】
【例7】（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线y=ax2+bx+c和直线y=2x+c分别交于A点和B点，则
抛物线y=(2-b)x-ax2的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·安徽合肥·统考三模）在同一平面直角坐标系内，二次函数y=x2-m与一次函数
y=-x+m的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2023·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一
b
次函数y=(c+3a)x- 的图象可能是（ ）
aA． B． C． D．
【变式7-3】（2023·安徽宿州·宿州市第十一中学校考模拟预测）已知一次函数y=-x+a（a为常数）的图
1
象如图所示，则函数y=ax2-2x+ 的图象是（ ）
a
A． B． C． D．
【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】
【例8】（2023·湖南怀化·统考三模）函数 （ ， ）的图象是由函数
y=|ax2+bx+c| a>0 b2-4ac>0
y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0；②4a-2b+c>0；③c=3；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【变式8-1】（2023·山东潍坊·统考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，则下
列结论正确的是（ ）
A．abc>0 B．a+b+c>0 C．3b<2c D．b>a+c
【变式8-2】（2023春·北京海淀·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如下表：
x … -2 0 2 3 …
y … 8 0 0 3 …
则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线x=1；④当x>0时，y随x的增大
而增大；⑤图象经过点(-1,3)．其中正确的是____________．
【变式8-3】（2023春·广东珠海·九年级校考期中）二次函数 的部分图像如图所示，
y=ax2+bx+c(a≠0)
图像过点(-1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④
1 7
若点A(-3,y )、点B(- ,y )、点C( ,y )在该函数图像上，则y <y <y ，其中正确的结论是
1 2 2 2 3 1 3 2
_________．
