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专题 22.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】............................................................................................................3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】............................................................................................................5
【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】.......................................................................................5
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】...................................................................................................7
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】.........................................................................................................8
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】.........................................................................................................9
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】........................................................................................................11
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】...........................................................................................12
知识点 1 二次函数 y=ax ² +bx+c ( a ≠0) 的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式 转化成顶点式 ，其中
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x−h) 2+k
b 4ac−b2 b
h=− ，k= ，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=− ，顶点坐标为
2a 4a 2a
( b 4ac−b2 )．
− ，
2a 4a
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号 a>0 a<0
函数图像
开口方向 向上 向下b
对称轴 x=−
2a
( b 4ac−b2 )
顶点坐标 − ，
2a 4a
在对称轴右侧时，y随x的增大 在对称轴左侧时，y随x的增大
而增大； 而增大；
增减性
在对称轴左侧时，y随x的增大 在对称轴右侧时，y随x的增大
而减小 而减小
b
当x=− 时,
2a b 4ac−b2
最值 当x=− 时,y =
4ac−b2 2a 最大值 4a
y =
最小值 4a
3. 二次函数 的图象特征与 的符号关系
y=ax2+bx+c(a≠0) a，b，c，b2−4ac
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
抛物线开口向上 a>0
a(开口方向)
抛物线开口向下 a<0
b
对称轴在y轴右侧，即x=− >0 a、b异号
2a
b(对称轴位置、a的正负)
b
对称轴在y轴左侧，即x=− <0 a、b同号
2a
交于原点 c=0
c(抛物线与y轴交点位置) 交于y轴正半轴 c>0
交于y轴负半轴 c<0
b2−4ac(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 b2−4ac>0
与x轴有一个交点 b2−4ac=0
与x轴没有交点 b2−4ac<0
知识点 2 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知
数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为 ．
y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）顶点式：已知抛物线顶点（ ， ）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为 ，特殊地，若
ℎ k y=a(x−h) 2+k(a≠0)
抛物线顶点在原点，则 ，设其解析式为 ．
ℎ =k=0 y=ax2 (a≠0)
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），可设解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)．
1 2 1 2
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式 ，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)
移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方
法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点
坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=−ax2−bx−c
关于x轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2−k
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2−bx+c
关于y轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=a(x+ ℎ) 2+k
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
b2
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c− ；
2a
关于顶点对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2+k
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】
【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为
1
y=− x2+2x+c，顶点为P，且AD=2，则点C的坐标为 ．
4
【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,3)，
B(2,3)，C(−1,0)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为(1,4)；
②当x≤1时，y随x增大而减小；
③当00，那么关于x的一次函数y=mx+n+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的图象经过四个象
限，则a的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-1】（2025·浙江舟山·三模）已知点P(m,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，且点P到y轴的
距离小于2，则n的取值范围是（ ）
A．−30）经过点A(−2, m)和点B(t, n)，若m0；②4a+b=0；③5a+c=0；④当x>−1时，y
的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b>am2+bm其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
1
【变式3-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为x= ．现有以下五
10
个结论：① ；② ；③4ac−b2 ；④ b3−4abc ；⑤ ．其中正确的是
abc>0 b2<4ac <0 − >0 a+5b=0
4a 8a2
________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
【变式3-2】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数y ，y 在同一平面直角坐标系中的图像如图所
1 2
示，则在该平面直角坐标系中，函数y= y + y 的图像可能是（ ）
1 2A． B．
C． D．
【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其
对称轴为直线x=1，以下4个结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③若点A(m,n)在该抛物线上，且m>1
，则am+a+b<0；④3a+c>0．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】
【例4】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线 平移到抛物线
C :y=−(x+1) 2+2
1，点 ， 分别在抛物线 ， 上．下列结论：①无论 取何值，都有
C :y=−(x−2) 2−1 P(m,n ) Q(m,n ) C C m
2 1 2 1 2
n <0；②若点P平移后的对应点为P′，则PP′=3❑√2；③当−30)个单位，
得到新的二次函数y 的图象，使得当−10) L :y=−x2+bx
2
（1）b的值为 ；
（2）点 ， 分别在抛物线 和 上 ，过点A作y轴的垂线，过点B作
A(x ,m) B(x ,n) L L (0≤x −10．抛物线L ，L 与y
2 4 1 2
轴分别交于点P，N．(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线L 的表达式及其顶点坐标；
2
(3)如图2，连接MN，若抛物线L 的顶点落在由线段MN及抛物线L 围成的封闭图形内部（不含边界），
1 2
求m的取值范围．
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
【例8】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对
称抛物线”．例如： 的“同轴对称抛物线”为 ．
y =(x−1) 2−2 y =−(x−1) 2+2
1 2
(1)抛物线 的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标为 ；
y =(x−1) 2−2 y =−(x−1) 2+2
1 2
(2)求抛物线y=−2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中， 是抛物线 上一点，点 的横坐标为1，过点
B L:y=ax2−4ax+1(a>0) B B
作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B′，
C′．依次连接点B，B′，C′，C．当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．【变式8-1】当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线，如果抛物线
与抛物线 关于直线 的对称曲线，那么抛物线 的表达式为
C :y=x2−2x C x=−1 C
1 2 2
．
【变式8-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象作关于原点的对称变
化，所得到的图象函数式为 ，若 ，则 最小值是 ．
y=−a(x−1) 2+4a (m−1)a+b+c≤0 m
1
【变式8-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，将抛物线C ：y= x2+2x沿x轴对称后，向右平移
1 2
3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C ，若抛物线C 的顶点为A，点P是抛物线C 上一
2 1 2
点，则△POA的面积的最小值为
