专题 22.3 二次函数的图象和性质（二）（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】............................................................................................................3
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】............................................................................................................5
【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】.......................................................................................5
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】...................................................................................................7
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】.........................................................................................................8
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】.........................................................................................................9
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】........................................................................................................11
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】...........................................................................................12
知识点 1 二次函数 y=ax ² +bx+c ( a ≠0) 的图象和性质
1. 一般式与顶点式的转化
利用配方法，可以将二次函数的一般式 转化成顶点式 ，其中
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x−h) 2+k
b 4ac−b2 b
h=− ，k= ，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=− ，顶点坐标为
2a 4a 2a
( b 4ac−b2 )．
− ，
2a 4a
2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质
符号 a>0 a<0
函数图像
开口方向 向上 向下b
对称轴 x=−
2a
( b 4ac−b2 )
顶点坐标 − ，
2a 4a
在对称轴右侧时，y随x的增大 在对称轴左侧时，y随x的增大
而增大； 而增大；
增减性
在对称轴左侧时，y随x的增大 在对称轴右侧时，y随x的增大
而减小 而减小
b
当x=− 时,
2a b 4ac−b2
最值 当x=− 时,y =
4ac−b2 2a 最大值 4a
y =
最小值 4a
3. 二次函数 的图象特征与 的符号关系
y=ax2+bx+c(a≠0) a，b，c，b2−4ac
代数式（决定因素） 图像特征 符号判定
抛物线开口向上 a>0
a(开口方向)
抛物线开口向下 a<0
b
对称轴在y轴右侧，即x=− >0 a、b异号
2a
b(对称轴位置、a的正负)
b
对称轴在y轴左侧，即x=− <0 a、b同号
2a
交于原点 c=0
c(抛物线与y轴交点位置) 交于y轴正半轴 c>0
交于y轴负半轴 c<0
b2−4ac(与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 b2−4ac>0
与x轴有一个交点 b2−4ac=0
与x轴没有交点 b2−4ac<0
知识点 2 求二次函数的解析式
1. 待定系数法
根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知
数的值，即可得到函数解析式．
（1）一般式：
已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为 ．
y=ax2+bx+c(a≠0)
（2）顶点式：已知抛物线顶点（ ， ）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为 ，特殊地，若
ℎ k y=a(x−h) 2+k(a≠0)
抛物线顶点在原点，则 ，设其解析式为 ．
ℎ =k=0 y=ax2 (a≠0)
（3）交点式：
已知抛物线与x轴的交点坐标为（x ，0），（x ，0），可设解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)．
1 2 1 2
2. 平移
（1）将抛物线解析式化为顶点式 ，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)
移．
（2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方
法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点
坐标，利用顶点式即可求出解析式．
3. 二次函数关于点或直线对称的解析式
若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或
某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下：
（1）关于x轴对称的抛物线的解析式
关于x轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=−ax2−bx−c
关于x轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2−k
（2）关于y轴对称的抛物线的解析式
关于y轴对称的抛物线的解析式： ；
y=ax2+bx+c(a≠0) y=ax2−bx+c
关于y轴对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=a(x+ ℎ) 2+k
（3）关于顶点对称的抛物线的解析式
b2
y=ax2+bx+c(a≠0)关于顶点对称的抛物线的解析式：y=−ax2−bx+c− ；
2a
关于顶点对称的抛物线的解析式： ．
y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0) y=−a(x−ℎ) 2+k
【题型1 二次函数y=ax2+bx+c的图象】
【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图是某隧道截面，由部分抛物线和矩形构成，以矩形的顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为
1
y=− x2+2x+c，顶点为P，且AD=2，则点C的坐标为 ．
4
【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,3)，
B(2,3)，C(−1,0)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．
①图象开口朝下，顶点为(1,4)；
②当x≤1时，y随x增大而减小；
③当0<x<3时，y的取值范围为0<y<4；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
【变式1-2】（2024·辽宁大连·三模）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），
其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为(−1,−2)、(1,−2)，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ．
【变式1-3】（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线y=−x2−2x+2m（m为常数）与x轴交于点A，B，
与y轴负半轴交于点C，若当x=n时，y>0，那么关于x的一次函数y=mx+n+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型2 二次函数y=ax2+bx+c的性质】
【例2】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数y=ax2+2ax+a−3(a>1)的图象经过四个象
限，则a的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2-1】（2025·浙江舟山·三模）已知点P(m,n)在二次函数y=x2+2x−3的图象上，且点P到y轴的
距离小于2，则n的取值范围是（ ）
A．−3<n<5 B．−3≤n<5 C．−4<n<5 D．−4≤n<5
【变式2-2】（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线y=ax2+bx−2经过点
．
A(2a,−2),B(4a,y ),C(x ,y )
1 2 2
（1）若a=1，则该抛物线的对称轴是直线x= ．
（2）若对于3a≤x ≤3+a，都有y <y ，则a的取值范围是 ．
2 1 2
【变式2-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线y=ax2−2ax+3（a为常数，且a>0）经过点A(−2, m)和点B(t, n)，若m<n，则t的值可能是（ ）
A．−1 B．−4 C．1 D．4
【题型3 二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系】
【例3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）二次函数 的部分图象如图所示，已知图
y=ax2+bx+c(a≠0)
象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③5a+c=0；④当x>−1时，y
的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b>am2+bm其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
1
【变式3-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为x= ．现有以下五
10
个结论：① ；② ；③4ac−b2 ；④ b3−4abc ；⑤ ．其中正确的是
abc>0 b2<4ac <0 − >0 a+5b=0
4a 8a2
________．
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤
【变式3-2】（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数y ，y 在同一平面直角坐标系中的图像如图所
1 2
示，则在该平面直角坐标系中，函数y= y + y 的图像可能是（ ）
1 2A． B．
C． D．
【变式3-3】（2025·江西新余·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其
对称轴为直线x=1，以下4个结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③若点A(m,n)在该抛物线上，且m>1
，则am+a+b<0；④3a+c>0．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型4 二次函数y=ax2+bx+c图象的平移】
【例4】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线 平移到抛物线
C :y=−(x+1) 2+2
1，点 ， 分别在抛物线 ， 上．下列结论：①无论 取何值，都有
C :y=−(x−2) 2−1 P(m,n ) Q(m,n ) C C m
2 1 2 1 2
n <0；②若点P平移后的对应点为P′，则PP′=3❑√2；③当−3<m<1时，线段PQ的长随着m的增大而减
2
小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【变式4-1】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）二次函数y=(x+1)(x−3)向上平移5个单位，向右平
移3个单位后抛物线的对称轴为直线 ．
【变式4-2】（2025·福建龙岩·二模）已知二次函数y=−x2−4x+3，将其图象向右平移k(k>0)个单位，
得到新的二次函数y 的图象，使得当−1<x<3时，y 随x增大而增大；当4<x<5时，y 随x增大而减小．
1 1 1
则实数k的取值可以是（ ）
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5
【变式4-3】（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线 ，将抛物线 向右平移1个单位长度，再
L :y=−x2+2x L
1 1
向上平移 个单位长度，得到抛物线 ．
c(c>0) L :y=−x2+bx
2
（1）b的值为 ；
（2）点 ， 分别在抛物线 和 上 ，过点A作y轴的垂线，过点B作
A(x ,m) B(x ,n) L L (0≤x <x ,m<n),
1 2 1 2 1 2
x轴的垂线，两条垂线交于点C．若BC=3AC，则x −x 的值为 ．
2 1
【题型5 用“一般式”求二次函数解析式】
【例5】（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应
值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 −1 0 3 8 …
(1)求这个二次函数的解析式；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)当−1<x<3时，y的取值范围为______．
【变式5-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知一个二次函数的图象过(−1,6)，(1,0)，(3,10)三
点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)如何平移这个抛物线，使其顶点为坐标原点？写出这个变换过程并写出平移后所得二次函数解析式．
【变式5-2】（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,−4)，
C(0,2)和B(2,2)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求出函数y随自变量的增大而减小的x的取值范围；
(3)如图，该二次函数图象的顶点为M，与y轴相交于C，连接MC、MA、AC．求S ．
△AMC
【变式5-3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c
的图象经过点A(0,−3)，点B(1,0)．(1)求此二次函数的解析式．
(2)当−2≤x≤2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值．
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为−m+1．已知点P
与点Q不重合．
①当线段PQ的长度随m的增大而减小时，m的取值范围为________．
1
②当PQ≤5，线段PQ与二次函数y=x2+bx+c（−3≤x< ）的图象有1个交点时，直接写出m的取值范
2
围．
【题型6 用“顶点式”求二次函数解析式】
【例6】（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点C(0,2)，与x轴交于点A、B，抛物线顶点坐标为
(−4,6)，矩形GFED的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
1
(2)求证：直线y= x+9与该抛物线没有交点；
2
(3)设E(a,0)，矩形DEFG的周长为m，写出m与a的函数关系式，并求m的最大值；
【变式6-1】（23-24九年级上·吉林·期中）已知二次函数图象的顶点为P(1,−4)，且与x轴的一个交点坐
标是A(3,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若二次函数图象上有两点 、 ，直接写出函数值 、 的大小关系．
(2,y ) (3,y ) y y
1 2 1 2【变式6-2】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水
枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面
的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，
请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出y关于x的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕
塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到0.1
米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【变式6-3】（2025·河南周口·二模）如图， 抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)，顶点坐
标为(1,4)，点D(m,n)是抛物线上一点．
(1)求该抛物线的解析式；
5
(2)当−2≤x≤ 且 m≠0时：
2
①求n的取值范围；②若 S =S ，直接写出m的值．
△ABC △ABD
【题型7 用“交点式”求二次函数解析式】
【例7】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于两点(−1,0),(3,0)
两点，且图象过点(0,3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
【变式7-1】（24-25九年级上·四川南充·期末）已知二次函数的图象与经过(1,0)，(−3,0)，(0,−3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)指出它的对称轴和最值．
【变式7-2】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴分别交于点
A(2,0),B(−4,0)，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点Q在直线BC下方的抛物线上，过点Q作QD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，作QF⊥BC于点
F，当BE=2EF时，求点Q的坐标．
1
【变式7-3】（2025·河北石家庄·一模）如图1和图2，抛物线L :y= (x−6) 2−16与x轴交于A，B两
1 4
1
点，抛物线L :y= x2+bx+c与x轴交于点C(−10,0)和点M(m,0)，其中m>−10．抛物线L ，L 与y
2 4 1 2
轴分别交于点P，N．(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，当点P、N重合时，求抛物线L 的表达式及其顶点坐标；
2
(3)如图2，连接MN，若抛物线L 的顶点落在由线段MN及抛物线L 围成的封闭图形内部（不含边界），
1 2
求m的取值范围．
【题型8 求二次函数关于点或直线对称的解析式】
【例8】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对
称抛物线”．例如： 的“同轴对称抛物线”为 ．
y =(x−1) 2−2 y =−(x−1) 2+2
1 2
(1)抛物线 的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标为 ；
y =(x−1) 2−2 y =−(x−1) 2+2
1 2
(2)求抛物线y=−2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式；
(3)如图，在平面直角坐标系中， 是抛物线 上一点，点 的横坐标为1，过点
B L:y=ax2−4ax+1(a>0) B B
作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B′，
C′．依次连接点B，B′，C′，C．当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．【变式8-1】当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线，如果抛物线
与抛物线 关于直线 的对称曲线，那么抛物线 的表达式为
C :y=x2−2x C x=−1 C
1 2 2
．
【变式8-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）把二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的图象作关于原点的对称变
化，所得到的图象函数式为 ，若 ，则 最小值是 ．
y=−a(x−1) 2+4a (m−1)a+b+c≤0 m
1
【变式8-3】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，将抛物线C ：y= x2+2x沿x轴对称后，向右平移
1 2
3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线C ，若抛物线C 的顶点为A，点P是抛物线C 上一
2 1 2
点，则△POA的面积的最小值为
