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专题 22.1 二次函数【八大题型】
【人教版】
【题型1 识别二次函数】..........................................................................................................................................1
【题型2 由二次函数的定义求参数的值】..............................................................................................................2
【题型3 由二次函数的定义求参数的取值范围】.................................................................................................2
【题型4 二次函数的一般形式】..............................................................................................................................2
【题型5 判断二次函数的关系式】..........................................................................................................................3
【题型6 列二次函数关系式（销售问题）】.........................................................................................................4
【题型7 列二次函数关系式（几何图形问题）】.................................................................................................5
【题型8 列二次函数关系式（增长率、循环问题）】.........................................................................................6
【知识点1 二次函数的概念】
一般地，形如y= ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、
b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫
做二
次函数的一般形式．
【题型1 识别二次函数】
【例1】（2023春·广西河池·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
y=3x-1 y=x3+2 y=(x-2) 2-x2 y=x(4-x)
【变式1-1】（2023·内蒙古锡林郭勒盟·校考模拟预测）下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
y=x(x-1) y=√2x 2-1 y=-x2 y=(x+5) 2-x2
❑
【变式1-2】（2023春·浙江嘉兴·九年级校考期中）有下列函数：
2 3 3 1
①y=5x-4；②y= x2-6x；③y=2x3-8x2+3；④y= x2-1；⑤y= - -2；
3 8 x2 x
其中属于二次函数的是 ___________（填序号）．
【变式1-3】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）下列函数中，是二次函数的有（ ）1
①y=1-√2x2，②y= ，③y=3x(1-3x)，④y=(1-2x)(1+2x)
x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 由二次函数的定义求参数的值】
【例2】（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数 是关于 的二次函数，
y=(m+1)x|m|+1+4x-5 x
则一次函数y=mx-m的图像不经过第_______象限．
【变式2-1】（2023春·吉林长春·九年级校联考期末）若函数y=(m-2)x2+5x+6是二次函数，则有（
）
A．m≠0 B．m≠2 C．x≠0 D．x≠2
【变式2-2】（2023春·北京西城·九年级北京十四中校考期中）已知函数 ，若它是二
y=mxm2-2m+2+m-2
次函数，则函数解析式为___________．
【变式2-3】（2023春·山东济南·九年级期末）若函数 是二次函数，则m的值为（ ）
y=mxm2+m+2+4
A．0或-1 B．0或1 C．-1 D．1
【题型3 由二次函数的定义求参数的取值范围】
【例3】（2023春·四川遂宁·九年级校考期中）已知函数y=(m2-2)x2+(m+√2)x+8．若这个函数是二
次函数，求m的取值范围__________________
【变式3-1】（2023·浙江·九年级假期作业）若函数y=(m+1)x2+2x+1是二次函数，则常数m的取值范
围是（ ）
A．m=-1 B．m>-1 C．m<-1 D．m≠-1
【变式3-2】（2023·全国·九年级假期作业）关于x的函数y=(a-b)x2+1是二次函数的条件是（ ）
A．a≠b B．a=b C．b=0 D．a=0
【变式3-3】（2023春·河北承德·九年级阶段练习）若函数 为二次函数，则 的取
y=-2(x-1) 2+(a-1)x2 a
值范围为（ ）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠2 D．a≠3
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（2023·北京·九年级统考期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，则此
解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1【变式4-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与
常数项的和为________．
【变式4-2】（2023·上海·九年级假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次
函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．
1
(1)y=- +3x2；
2
(2)y=(x-3)(4-2x)+2x2；
(3)s=√5t2+t+3；
(4)y=x2-3√x-6．
【变式4-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如果二次函数 （ ， 、 、 是常
y=a x2+b x+c a ≠0 a b c
1 1 1 1 1 1 1
数）与 （ ， 、 、 是常数）满足 与 互为相反数， 与 相等， 与 互为
y=a x2+b x+c a ≠0 a b c a a b b c c
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y=-x2+3x-2的“亚旋转函数”为
_________．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.
【题型5 判断二次函数的关系式】
【例5】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考开学考试）如图，在△ABC中，
∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C
以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时
间为t，点M、C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【变式5-1】（2023春·九年级课时练习）下列关系中，是二次函数关系的是（ ）
A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系；
B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系；
C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系；
D．正方形的周长C与边长a之间的关系；
【变式5-2】（2023春·湖北宜昌·九年级校联考期中）下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（
）
A．正方体的体积y与棱长x之间的关系
B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月
的售价y与x之间的关系
C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
【变式5-3】（2023春·北京昌平·九年级校考期中）如图，线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度
从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点
P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是_________________，
_________________．（填“正比例函数”或“一次函数”或“二次函数”）
【题型6 列二次函数关系式（销售问题）】
【例6】（2023春·九年级课时练习）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定
价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（
）
A．y=-10x2-560x+7350 B．y=-10x2+560x-7350
C．y=-10x2+350x D．y=-10x2+350x-7350
【变式6-1】（2023春·全国·九年级专题练习）王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．
市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+60．若这种产品每天
的销售利润为y(元).求y与x之间的函数关系式．【变式6-2】（2023·浙江·九年级假期作业）商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星
期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x元
为正整数），每星期销售的利润为y元，则x与y的函数关系式为（ ）
A．y=10(200-10x) B．y=200(10+x)
C．y=(50+x)(200-10x) D．y=(10+x)(200-10x)
【变式6-3】（2023·全国·九年级专题练习）某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用
是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需
种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与
x之间的数量关系可列式为（ ）
A． B．
y=7000x-(900x+18x+600x) y=7000x-(900x+18x2+600x)
C． D．
y=7000-(900x+18x2+600x) y=7000x-(900x+18x2+600)
【题型7 列二次函数关系式（几何图形问题）】
【例7】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如下图所示，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四
周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x之
间的函数关系式是_________________．
【变式7-1】（2023春·全国·九年级统考期末）如图，等腰梯形的周长为60，底角为30°，腰长为x，面积
为y，试写出y与x的函数表达式．
【变式7-2】（2023春·浙江·九年级统考期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长
25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.
若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是
；【变式7-3】（2023春·九年级课时练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由
这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总
数m与n的解析式是______．
【题型8 列二次函数关系式（增长率、循环问题）】
【例8】（2023·上海·九年级假期作业）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是x(x>0)，两年后这
台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数关系式为_____．
【变式8-1】（2023春·九年级单元测试）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染
中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ .
【变式8-2】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，
比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________．
【变式8-3】（2023春·九年级课时练习）某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率
为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）2
B．y＝100（1+x）
100
C．y＝
(1+x) 2
D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2
