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专题 22.1 二次函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别二次函数】..........................................................................................................................................1
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】..............................................................................................................2
【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】.................................................................................................2
【题型4 二次函数的一般形式】..............................................................................................................................2
【题型5 求二次函数的值】......................................................................................................................................3
【题型6 判断函数关系】..........................................................................................................................................3
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】...............................................................................................................4
【题型8 列二次函数关系式(增长率)】...................................................................................................................5
【题型9 列二次函数关系式(循环)】.......................................................................................................................6
【题型10 列二次函数关系式(销售)】.......................................................................................................................6
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如y= ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、
b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫
做二
次函数的一般形式．
【题型1 辨别二次函数】
【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
1
A．y=2ax2 B．y=2x+a2 C．y=2x2−1 D．y=x2+
x
【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x−1 B．y=❑√x2−1 C．y=x2−1 D．y=
2x
【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
1
（1）y=3(x−1) 2+1；（2）y= ；（3）S=3−2t2；（4）y=x4+2x2−1；（5）
x2−x
y=3x(2−x)+3x2；（6）y=mx2+8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①y=5x−5；②y=3x2−1；③y=4x3−3x2；
1
④y=2x2−2x+1；⑤y= ．其中是二次函数的是 ．
x2
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数 是二次函数，则 ．
y=(m−1)xm2+1 m=
【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果y=2x|m|+3x−1是关于x的二次函数，则m=
．
【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数 是关于x的二次函数，则
y=(k−1)xk2−k+2+kx−1 k=
．
【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果y=(k−3)x|k－1)+x−3是二次函数，佳佳求出k的值
为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数y=(k−1)x2+kx−1（k是常数）是二次函数，那么k
的取值范围是 ．
【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数 （m为常数）．
y=(m2−m)x2+(m−1)x−2
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于 的二次函数 ，则 的取
x y=(a2−1)x2+x−2 a
值范围是（ ）
A．a≠1 B．a≠−1 C．a≠±1 D．为任意实数
【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数y=(m2 −2) x2+(m+❑√2)x+8．若这个函数是
二次函数，求m的取值范围
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数y=x2−3x+5的二次项是 ，一次项系数是
，常数项是 ．
【变式4-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）把二次函数y=−4(1+2x)(x−3)化为一般形式为：
．
【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=(x−2)(5−2x)的二次项系数是 ．【变式4-3】（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常
数项的和为 ．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.
【题型5 求二次函数的值】
【例5】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积V(cm3)与温度t(°C)
1
之间的关系满足二次函数V = t2+104(t>0)，则当温度为4°C时，水的体积为 cm3．
8
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间
1
满足二次函数y= x2(x>0)，若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为 m/s．
16
【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把一个物体以20m/s的速度竖直上抛，该物体在空中的高
度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2，当h=20m时，物体的运动时间为 s．
【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行
1 3 8
高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=− x2+ x+ ，则小朱本次投掷实心
10 5 5
球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【题型6 判断函数关系】
【例6】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的
长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关
系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）【变式6-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【变式6-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）设y＝y﹣y，y 与x成正比例，y 与x2成正比例，则y与x
1 2 1 2
的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
【变式6-3】（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）
cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和
S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】
【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是
△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为 ．【变式7-1】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体
的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=6x2−36x B．y=−6x2+36x
C．y=x2+36x D．y=6x2+36x
【变式7-2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长
26cm，宽22cm，相框边的宽为xcm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为 ．
【变式7-3】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且
AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
1 1
A．S=t B．S= t2 C．S=t2 D．S= t2−1
2 2
【题型8 列二次函数关系式(增长率)】
【例8】（23-24九年级上·四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降
价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A． B．
y=4000(1−x) y=4000(1−x) 2
C． D．
y=8000(1−x) y=8000(1−x) 2
【变式8-1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度
GDP总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长
的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
y=2.6(1+2x) y=2.6(1−x) 2C． D．
y=2.6(1+x) 2 y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x) 2
【变式8-2】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某
药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式
为 ．
【变式8-3】（23-24九年级上·全国·阶段练习）某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投
资总额为y万元，年平均增长率为 x．则y与x的函数解析式 ．
【题型9 列二次函数关系式(循环)】
【例9】（23-24九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的
场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【变式9-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）寒假九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两
名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为（ ）
1 1 1
A．m= n(n+1) B．m= n(n−1) C．m= n2 D．m=n(n−1)
2 2 2
【变式9-2】（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流
感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为 .
【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x
个球队参赛计划共打y场比赛，则y与x之间的函数关系为 ．
【题型10 列二次函数关系式(销售)】
【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价
是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件（7.5
