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专题 22.1 二次函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别二次函数】..........................................................................................................................................1
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】..............................................................................................................3
【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】.................................................................................................5
【题型4 二次函数的一般形式】..............................................................................................................................6
【题型5 求二次函数的值】......................................................................................................................................7
【题型6 判断函数关系】..........................................................................................................................................9
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】.............................................................................................................11
【题型8 列二次函数关系式(增长率)】.................................................................................................................14
【题型9 列二次函数关系式(循环)】.....................................................................................................................15
【题型10 列二次函数关系式(销售)】.....................................................................................................................17
知识点1：二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、
b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫
做二
次函数的一般形式．
【题型1 辨别二次函数】
【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，y一定是x的二次函数的是（ ）
1
A．y=2ax2 B．y=2x+a2 C．y=2x2−1 D．y=x2+
x
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的识别，形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数是二次函数，根据定义逐一判断即
可得到答案．
【详解】解：A，当a=0时，y=2ax2=0，不是二次函数，不合题意；
B，y=2x+a2，y是x的一次函数，不合题意；
C，y=2x2−1，y一定是x的二次函数，符合题意；1
D，y=x2+
中含有分式，不是二次函数，不合题意；
x
故选C．
【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x−1 B．y=❑√x2−1 C．y=x2−1 D．y=
2x
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如
y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、函数y=2x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、函数y=❑√x2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、函数y=x2−1是二次函数，故本选项符合题意；
1
D、函数y= 分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．
2x
故选：C．
【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
1
（1）y=3(x−1) 2+1；（2）y= ；（3）S=3−2t2；（4）y=x4+2x2−1；（5）
x2−x
y=3x(2−x)+3x2；（6）y=mx2+8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数叫做二
次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合
并同类项)后，能写成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就
不是．
【详解】解：（1）y=3(x−1) 2+1是二次函数，故符合题意；
1
（2）y= ，不是二次函数，故不符合题意；
x2−x
（3）S=3−2t2是二次函数，故符合题意；（4）y=x4+2x2−1不是二次函数，故不符合题意；
（5）y=3x(2−x)+3x2=6x不是二次函数，故不符合题意；
（6）y=mx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；
综上所述，二次函数有2个．
故选：B．
【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①y=5x−5；②y=3x2−1；③y=4x3−3x2；
1
④y=2x2−2x+1；⑤y=
．其中是二次函数的是 ．
x2
【答案】 /④②
【分析】②根据④二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．
【详解】解：①y=5x−5为一次函数；
②y=3x2−1为二次函数；
③y=4x3−3x3自变量次数为3，不是二次函数；
④y=2x2−2x+1为二次函数；
1
⑤y= 函数式为分式，不是二次函数．
x2
故答案为②④．
【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关
键．
【题型2 由二次函数的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数y=(m−1)xm2+1是二次函数，则m= ．
【答案】−1
【分析】根据定义得：形如y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，且a≠0)的函数是二次函数，列方程可求
得答案．
【详解】解：依题意得：m2+1=2且m−1≠0，
解得m=−1．
故答案为：−1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数y=ax2+bx+c中，a是常数，本题关键点为a≠0．
【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果y=2x|m|+3x−1是关于x的二次函数，则m=
．
【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．
【详解】解：∵y=2x|m|+3x−1是关于x的二次函数，
∴|m)=2，
解得：m=±2．
故答案为：±2．
【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数y=(k−1)xk2−k+2+kx−1是关于x的二次函数，则k=
．
【答案】0
【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义得到k−1≠0且k2−k+2=2，然后解不等式
和方程即可得到k的值．
【详解】解：根据题意，得k−1≠0且k2−k+2=2，
解得k=0．
故答案为：0．
【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果y=(k−3)x|k－1)+x−3是二次函数，佳佳求出k的值
为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【答案】敏敏
【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|k−1)=2，k−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，
形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．
【详解】解：∵ y=(k−3)x|k－1)+x−3是二次函数，
∴|k−1)=2，
解得k =3，k =−1，
1 2
又∵k−3≠0，
即k≠3，
∴k=−1，
故敏敏正确．
【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数y=(k−1)x2+kx−1（k是常数）是二次函数，那么k
的取值范围是 ．
【答案】k≠1
【分析】根据：“形如y=ax2+bx+c(a≠0)，这样的函数叫做二次函数”，得到k−1≠0，即可．【详解】解：由题意，得：k−1≠0，
∴k≠1；
故答案为：k≠1．
【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数 （m为常数）．
y=(m2−m)x2+(m−1)x−2
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【答案】(1)m=0；
(2)m≠1且m≠0．
【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题．
【详解】（1）解：依题意m2−m=0且m−1≠0，
所以m=0；
（2）解：依题意m2−m≠0，
所以m≠1且m≠0．
【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题
型．
【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于 的二次函数 ，则 的取
x y=(a2−1)x2+x−2 a
值范围是（ ）
A．a≠1 B．a≠−1 C．a≠±1 D．为任意实数
【答案】C
【分析】根据二次函数定义可得a2−1≠0，解出答案即可．
【详解】因为关于 的二次函数 ，
x y=(a2−1)x2+x−2
∴a2−1≠0，
解得：a≠±1．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数y=(m2 −2) x2+(m+❑√2)x+8．若这个函数是
二次函数，求m的取值范围【答案】m≠❑√2且m≠− ❑√2
【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式m2 −2≠0，解不等式即可求得．
【详解】解：∵函数y=(m2 −2)x2+(m+❑√2)x+8是二次函数，
∴m2 −2≠0，
解得m≠±❑√2，
故答案为：m≠❑√2且m≠− ❑√2．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．
【题型4 二次函数的一般形式】
【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数y=x2−3x+5的二次项是 ，一次项系数是
，常数项是 ．
【答案】 x2 −3 5
【分析】根据二次函数的定义判断即可。
【详解】解：二次函数y=x2−3x+5的二次项是x2，一次项系数是−3，常数项是5，
故答案为：①x2，② −3，③ 5，
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如 、 、 是常数，
y=ax2+bx+c(a b c
a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c
是常数项．
【变式4-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）把二次函数y=−4(1+2x)(x−3)化为一般形式为：
．
【答案】y=−8x2+20x+12
【分析】先利用整式的乘法得到y=-4（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式．
【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x2−6x)=−8x2+20x+12，
故答案为y=−8x2+20x+12.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.
【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数y=(x−2)(5−2x)的二次项系数是 ．
【答案】−2
【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．
【详解】解： ，
y=(x−2)(5−2x)=5x−2x2+10+4x
=−2x2++9x+10，
∴二次项系数是−2，故答案为：−2．
【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系
数和常数项．
【变式4-3】（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常
数项的和为 ．
【答案】1
【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．
【详解】解：y＝(3x-2)(x＋3)=3x2＋7x-6
∴一次项系数为7，常数项为-6
∴一次项系数与常数项的和为7＋（-6）=1
故答案为：1．
【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．
【知识点2 列二次函数关系式】
(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.
【题型5 求二次函数的值】
【例5】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）标准大气压下，质量一定的水的体积V(cm3)与温度t(°C)
1
之间的关系满足二次函数V = t2+104(t>0)，则当温度为4°C时，水的体积为 cm3．
8
【答案】106
【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
将t=4代入解析式求值即可．
1
【详解】解：∵ V = t2+104(t>0)，
8
1
当t=4°C时，V = ×42+104=106(cm3)，
8
∴水的体积为106cm3．
故答案为：106
【变式5-1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间1
满足二次函数y= x2(x>0)，若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为 m/s．
16
【答案】8
【分析】将y=4代入即可求解．
1
【详解】解：令y=4，则4= x2，
16
解得：x=8（负值舍去）
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的应用，将y=4代入是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）把一个物体以20m/s的速度竖直上抛，该物体在空中的高
度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2，当h=20m时，物体的运动时间为 s．
【答案】2
【分析】分析知，高h=20m有两种情况，一是在上升过程某一时刻高为20，或者是下降时高为20，把h
代入关系式即可分别得到时间．
【详解】根据题意，把h=20代入关系式得：
20t−5t2−20=0,即(t−2)2=0，
解得t=2，
∴物体运动时间为2s；
故答案为2.
【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征与物理运动问题的结合,进行准确的运算即可.
【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行
1 3 8
高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=− x2+ x+ ，则小朱本次投掷实心
10 5 5
球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【答案】C【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
1 3 8
【详解】解：在y=− x2+ x+ 中，令y=0得：
10 5 5
1 3 8
− x2+ x+ =0，
10 5 5
解得x=-2（舍去）或x=8，
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自
变量的特殊值列方程求解是解题关键．
【题型6 判断函数关系】
【例6】（23-24九年级上·北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的
长、宽各增加xm，扩充后的绿地的面积为ym2，则y与x之间的函数关系是 ．（填“正比例函数关
系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）
【答案】二次函数关系
【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600，
∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，
故答案为；二次函数关系．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y与x之间的函数关系式是解题的关
键．
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ ）
A．圆的周长与圆的半径之间的关系
B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系
C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系
D．正方体的表面积与棱长的关系
【答案】D【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可．
【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：c=2πr，故他们之间的关系是正比例函数关
系；
1
B．三角形的高h一定时S= lℎ ，故他们之间的关系是正比例函数关系；
2
C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；
D．正方体的表面积S与棱长a的关系：S=6a2，S和a是二次函数关系，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题．
【变式6-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）设y＝y﹣y，y 与x成正比例，y 与x2成正比例，则y与x
1 2 1 2
的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
【答案】C
【分析】设y＝kx，y＝kx2，根据y＝y﹣y 得到y＝kx﹣k x2，由此得到答案．
1 1 2 2 1 2 1 2
【详解】解：设y＝kx，y＝kx2，
1 1 2 2
则y＝kx﹣k x2，
1 2
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级下·福建福州·期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）
cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和
S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【答案】D
1 1
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到y=− πx+ a，再根据S =S −S 得到
2 4 阴影 正方形 圆
S= y2−πx2= (1 π2−π ) x2− 1 πax+ 1 a2 ，由此即可得到答案．
4 4 16
【详解】解：∵正方形ABCD和⊙O的周长之和为acm，圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，
∴4 y+2πx=a，
1 1
∴y=− πx+ a，
2 4
∵S =S −S ，
阴影 正方形 圆
∴S= y2−πx2= ( − 1 πx+ 1 a ) 2 −πx2= (1 π2−π ) x2− 1 πax+ 1 a2 ，
2 4 4 4 16
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌
握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】
【例7】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，∠A=90°，AB=AC，BC=20，四边形EFGH是
△ABC的内接矩形，如果EF的长为x，矩形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为 ．
1
【答案】y=− x2+10x
2
【分析】根据题意可得△BEH，△CFG是等腰直角三角形，得出BH=EH=CG=GF，进而根据矩形的
面积即可求解．
【详解】∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵四边形 EFGH 是 △ABC 的内接矩形，
∴∠EHB=∠FGC=90°，EH=FG，EF=HG，
∴∠BEH=∠CFG=45°，∴BH=EH=CG=GF．
∵BC=20，EF=x，
∴BC−HG=BC−EF=20−x，
1 1
∴BH=EH=CG=GF= (BC−HG)=10− x，
2 2
∴y=x ( 10− 1 x ) =− 1 x2+10x．
2 2
1
故答案为：y=− x2+10x．
2
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级下·辽宁本溪·期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体
的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．y=6x2−36x B．y=−6x2+36x
C．y=x2+36x D．y=6x2+36x
【答案】D
【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意直接列式即可作答．
【详解】根据题意有： ，
y=6(x+3) 2−6×32=6x2+36x
故选：D．
【变式7-2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长
26cm，宽22cm，相框边的宽为xcm，相框内的面积是y cm2，则y与x之间的函数关系式为 ．
【答案】y=4x2−96x+572(00
)
26−2x>0;
22−2x>0
解得：0
