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专题 22.9 确定二次函数的解析式【九大题型】
【人教版】
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】.........................................................................................................1
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】.........................................................................................................2
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】.........................................................................................................3
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】.....................................................................................................4
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】.....................................................................................................5
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】.....................................................................................................6
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】.....................................................................................................7
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】.........................................................................................8
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】...................................................................................10
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】
【例1】（23-24九年级·吉林·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c，过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三
点，其中D为顶点，对称轴为直线DE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在BD右上方的一点，设点M的横坐标为m，△MBD面积为S．S是否有最大值？若
有，请求出最大值及M的坐标，若无，请说明理由．
【变式1-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A(1,3)和点
B(3,0)．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分
对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y … −1 −2 −1 2 7 …
(1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线x= ．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)直接写出当−30)的图象作关于y轴的对称变换，所得图
象的解析式为 ，若 成立，则m的最小整数值为（ ）
y=a(x+1) 2−a2 (m−2)a+b+c≥0
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-1】（2024·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
【变式5-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标中，对抛物线y=−2x2+2x在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得
的A点的坐标是 ．
【变式5-3】（2024·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线
y=−ax2+3x−c与y=2x2−3x−c+a关于x轴对称，则a+2c的值为（ ）
A．0 B．−4 C．4 D．−1
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】
【例6】（2024·山东济南·一模）已知抛物线P： ，将抛物线P绕原点旋转180°得到
y=x2+4ax−3(a>0)
抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是
（ ）
1 3 1 3 3
A．0m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(−4,0)；
④当00）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象与原有二次函数图象构成了新的图象，
2
记为图象G，现有一次函数y= x+b的图象与图象G有4个交点，请求出b的取值范围．
3
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点O(0,0)，E(6,0)，矩形ABCD的边AB在线段
OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B(t,0)，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)点M的坐标为(n,2)，点N的坐标为(n+4,2)，若线段MN与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取
值范围．
【变式8-1】（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面
高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5
米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM
线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值
是多少，请你帮施工队计算一下．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，
为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC=6
米，∠ODC=60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米．(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，设边EP长度为
n米，试求内接矩形MNPQ的面积S（用含n的式子表示）；
(3)若已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米
❑
2，广告牌其余部分的价格为160元/米
❑
2，试求完成菱形
广告牌所需的最低费用．
【变式8-3】（2024·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,1)、(1,2)，经
过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，点
P为抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E，设点
P的横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式
(2)当P点在第一象限；矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．
①若x≥m时，函数y=x2+bx+c的最小值为2m，求m的值；
②当m＜2时，求l与m之间的函数关系式．
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】
【例9】（23-24九年级·云南昆明·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−3,0)、B(4,0)
两点，且OB=OC．
(1)求抛物线解析式；
(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH、AC，求出当△ACH的周长最小时点H的坐标．
【变式9-1】（23-24九年级·河南信阳·期末）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，OC=3OB，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过
点N作MN∥x轴交抛物线于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)若点N沿抛物线向下移动，使得8≤MN≤10，求点N的纵坐标y 取值范围；
N
(3)若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标x
p
的取值范围．
【变式9-2】（2024·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(−1,0)，且
OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图像经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的
坐标及PD的最大值．
【变式9-3】（23-24九年级·广东湛江·期末）如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在
1
x轴负半轴上，且OA= OB，抛物线y=ax2+bx+4经过A，B，C三点．
2(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，用含m
的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．
(3)设点M为x轴上一动点，当直线与直线所夹的锐角时，直接写出点M的坐标．
