专题 22.9 确定二次函数的解析式【九大题型】
【人教版】
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】.........................................................................................................1
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】.........................................................................................................2
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】.........................................................................................................3
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】.....................................................................................................4
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】.....................................................................................................5
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】.....................................................................................................6
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】.....................................................................................................7
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】.........................................................................................8
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】...................................................................................10
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】
【例1】（23-24九年级·吉林·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c，过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三
点，其中D为顶点，对称轴为直线DE．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线在BD右上方的一点，设点M的横坐标为m，△MBD面积为S．S是否有最大值？若
有，请求出最大值及M的坐标，若无，请说明理由．
【变式1-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx经过点A(1,3)和点
B(3,0)．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分
对应值如下表：
x … −2 −1 0 1 2 …
y … −1 −2 −1 2 7 …
(1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线x= ．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)直接写出当−3<x<3时，求y的取值范围 ．
【变式1-3】（23-24九年级·云南·期末）已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)和点(0,3)．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足−1≤x≤3时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足1≤x<5时，y的最小值为5，求m的值．
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】
【例2】（23-24九年级·云南昆明·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(1,9)，且该抛物
线经过点(2,8)
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
n2−18n+83
(3)点P(m,n)在该抛物线上，且m为整数，若T= 的值为整数，求出点P的坐标．
m−1
【变式2-1】（23-24九年级·江西宜春·期末）已知二次函数的图象与一次函数y=4x−8的图象有两个公共
点P(2,m)和Q(n,−8)．如果抛物线的对称轴为直线x=−1，求这个二次函数的解析式．
【变式2-2】（23-24九年级·吉林·期末）已知一个二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)
．
(1)求该函数的解析式；
(2)设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则△CDE的面积为__________．
【变式2-3】（23-24九年级·山西临汾·期末）如图，已知拋物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是
(−2，−8)，且与x轴交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的一个动
点，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，作DF⊥BC于点F．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式．
(2)当m为多少时，DE最大？最大值为多少？
(3)请直接写出EF的最大值．
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】
【例3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)
两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC
于点E，连接BD，若S :S =2:3，求出点D的坐标；
△BEF △BDE
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）二次函数图象经过（﹣1，0），
（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【变式3-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A(−1，0)，B(5，0)两
点，与y轴交于点C(0，−5)．(1)求二次函数的表达式；
(2)当−1≤x≤4时，求函数最大值与最小值的差；
(3)点P的坐标为(n,−5)，点Q的坐标为(n+2,−5)，若线段PQ与二次函数图象恰有一个交点，请直接写
出n的取值范围．
【变式3-3】（23-24九年级·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，OC=3，将线段OC绕点O
顺时针旋转90°到OB的位置，点A的横坐标为方程x2−1=0的一个解且点A、B在y轴两侧；
(1)求经过A、B、C的抛物线的解析式；
(2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使△MAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】
【例4】（2024·上海金山·二模）已知：抛物线y=x2+bx+c经过点A（3,0）、B(0,−3)，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧．
①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
1
【变式4-1】（23-24九年级·安徽安庆·期中）平移抛物线y= x2，使顶点坐标为(t,t2)，并且经过点(2,4)
2
，求平移后抛物线对应的函数表达式．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c图象经过A(2，3)，
B(3，6)、C(−1，6)三点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将该二次函数y=ax2+bx+c图象平移使其经过点D(5，0)，且对称轴为直线x=4，求平移后的二次函
数的解析式．
【变式4-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线L:y=ax2+2ax+c（a、c为常数，a≠0）经过点
( 32)
A(−4，0)、B 0, ，顶点为P，连接AP．
9
(1)求AP的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线L′，点A的对应点为A′，点P的对应点为P′
，当四边形APP′ A′是面积为12的平行四边形，且点P′在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线L′的表达
式．
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】
【例5】（2024·山东济南·一模）把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于y轴的对称变换，所得图
象的解析式为 ，若 成立，则m的最小整数值为（ ）
y=a(x+1) 2−a2 (m−2)a+b+c≥0
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-1】（2024·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
【变式5-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标中，对抛物线y=−2x2+2x在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得
的A点的坐标是 ．
【变式5-3】（2024·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线
y=−ax2+3x−c与y=2x2−3x−c+a关于x轴对称，则a+2c的值为（ ）
A．0 B．−4 C．4 D．−1
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】
【例6】（2024·山东济南·一模）已知抛物线P： ，将抛物线P绕原点旋转180°得到
y=x2+4ax−3(a>0)
抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是
（ ）
1 3 1 3 3
A．0<a≤ B．0<a≤ C． ≤a< D．a≥
4 4 4 4 4
【变式6-1】（2024·河南周口·二模）如图1，抛物线 分别交 轴于 ， 两
y =ax2+bx+c x A(−1,0) B(3,0)
1
点，且与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点(4,0)旋转180°．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的
面积．【变式6-2】（2024·陕西西安·一模）将抛物线l：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新
1
抛物线l，若l、l 两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）
2 1 2
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【变式6-3】（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，一段抛物线：y=−x(x−2)(0≤x≤2)
记为C ，它与x轴交于两点O，A ；将C 绕A 旋转180°得到C ，交x轴于A ；将C 绕A 旋转180°得到
1 1 1 1 2 2 2 2
C ，交x轴于A ；…如此进行下去，若点P(2017,m)在第1009段抛物线C 上，则m的值为（ ）
3 3 1009
A．−1 B．0 C．1 D．不确定
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】
【例7】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=−1
．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当−2≤x≤2时，求函数值y的最小值和最大值．
【变式7-1】（2024·四川广元·九年级期末）若二次函数y=ax2+bx+a2−2（a，b为常数）的图象如图，
则a的值为（ ）
A．1 B．❑√2 C．−❑√2 D．-2【变式7-2】（23-24九年级·北京西城·期中）如下图为某二次函数的部分图象，
有如下四个结论：
1
①此二次函数表达式为y= x2−x+9；
4
②若点B(−1,n)在这个二次函数图象上，则n>m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(−4,0)；
④当0<x<6时，m<y<8；
所有正确结论的序号是 ．
【变式7-3】（2024·陕西西安·三模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象所在的位置如图所示：
(1)请根据图象信息求该二次函数的表达式；
(2)将该图象（x>0）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象与原有二次函数图象构成了新的图象，
2
记为图象G，现有一次函数y= x+b的图象与图象G有4个交点，请求出b的取值范围．
3
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点O(0,0)，E(6,0)，矩形ABCD的边AB在线段
OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B(t,0)，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)点M的坐标为(n,2)，点N的坐标为(n+4,2)，若线段MN与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取
值范围．
【变式8-1】（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面
高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5
米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM
线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值
是多少，请你帮施工队计算一下．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，
为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC=6
米，∠ODC=60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米．(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，设边EP长度为
n米，试求内接矩形MNPQ的面积S（用含n的式子表示）；
(3)若已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米
❑
2，广告牌其余部分的价格为160元/米
❑
2，试求完成菱形
广告牌所需的最低费用．
【变式8-3】（2024·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1,1)、(1,2)，经
过A、B作y轴的垂线分别交于D、C两点，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，点
P为抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作PF∥x轴交y轴于点F，PE∥y轴交x轴于点E，设点
P的横坐标为m，
(1)求抛物线的解析式
(2)当P点在第一象限；矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．
①若x≥m时，函数y=x2+bx+c的最小值为2m，求m的值；
②当m＜2时，求l与m之间的函数关系式．
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】
【例9】（23-24九年级·云南昆明·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−3,0)、B(4,0)
两点，且OB=OC．
(1)求抛物线解析式；
(2)点H是抛物线对称轴上的一个动点，连接AH、CH、AC，求出当△ACH的周长最小时点H的坐标．
【变式9-1】（23-24九年级·河南信阳·期末）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，OC=3OB，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过
点N作MN∥x轴交抛物线于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)若点N沿抛物线向下移动，使得8≤MN≤10，求点N的纵坐标y 取值范围；
N
(3)若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标x
p
的取值范围．
【变式9-2】（2024·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(−1,0)，且
OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图像经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的
坐标及PD的最大值．
【变式9-3】（23-24九年级·广东湛江·期末）如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在
1
x轴负半轴上，且OA= OB，抛物线y=ax2+bx+4经过A，B，C三点．
2(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，用含m
的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．
(3)设点M为x轴上一动点，当直线与直线所夹的锐角时，直接写出点M的坐标．
