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专题 22.5 实际问题与二次函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用二次函数求最大利润】......................................................................................................................1
【题型2 利用二次函数求最优方案】......................................................................................................................7
【题型3 利用二次函数求最大面积】....................................................................................................................11
【题型4 利用二次函数求最小周长】....................................................................................................................18
【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】................................................................................................................24
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】................................................................................................................30
【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】.......................................................................................................36
【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】...................................................................................42
【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】...........................................................................................49
【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】...................................................................................53
【题型1 利用二次函数求最大利润】
【例1】（2023春·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并
销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，
如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
(1)当x>4时，若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车
床多少台？
(2)当04时，总利润W =10(14-x)+[17-(x-4)]x，
根据二次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：由题意得方程
10(14-x)+70=[17-(x-4)]x，
解得x =10，x =21 (舍去)，
1 2
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当00，
∴当x=4时总利润W最大为7×4+140=168(万元)；
当x>4时，总利润
W =10(14-x)+[17-(x-4)]x，
整理得W =-x2+11x+140，
∵-1<0，
11
∴当x=- =5.5时总利润W最大，
-2
又由题意x只能取整数，
∴当x=5或x=6时，
∴当x=5时，总利润W最大为-52+11×5+140=170(万元)
又∵168<170，
∴当x=5或x=6时，总利润W最大为170万元，
而14-5=9，
14-6=8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170
万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程和二次函数解析
式是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧
把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊
卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的
1.8倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示
的一次函数关系．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？
(3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=-2x+220，40≤x≤72
(2)70元
(3)当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元
【分析】(1)设y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成
本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围；
(2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解；
(3)设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)，
把点(50,120)，(60,100)分别代入解析式，得
¿，
解得：¿
∴y=-2x+220，
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，
∴自变量x的取值范围是：40≤x≤72；
（2）解：根据题意得：(-2x+220)(x-40)=2400，
整理得：x2-150x+5600=0，
解得：x =70，x =80，
1 2
∵40≤x≤72，
∴x =80不合题意，舍去，
2
答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；
（3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：w=(-2x+220)(x-40)=-2x2+300x-8800=-2(x-75) 2+2450
∵-2<0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为x=75，销售单价不得高于72元，
∴当40≤x≤72时，w随x的增大而增大，
∴当x=72时，w有最大值，
w =-2×(72-75) 2+2450=2432，
最大值
答：当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元．
【点睛】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式
及方程是解决本题的关键．
【变式1-2】（2023春·广东汕头·九年级校考期中）某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超
市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折．批发商通过分析销售情况，发现这种
蔬菜的销售量y（箱）与当天的售价x（元/箱）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．
售价x
… 35 38 …
（元/箱）
销售量y（箱） … 130 124 …
(1)若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为________箱；
(2)该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．
(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得
日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
【答案】(1)116
(2)不能，理由见详解
(3)这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系为y=kx+b，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根据这种蔬菜的标价为45元/箱，实
际售价不低于标价的八折得出x的取值范围为36≤x≤45，从而确定方程的解；
（3）根据每天的利润=单箱的利润×销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系为y=kx+b，根据题意得：¿，
解得：¿，
∴y=-2x+200，
∴当x=42时，y=-2×42+200=116，
∴当天这种蔬菜的销售量为116箱；
故答案为116；
（2）解：根据题意得：(-2x+200)(x-24)=1320，
解得x =34，x =90，
1 2
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，且不高于45，
∴36≤x≤45，
∴34，90都不满足题意，
所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利1320元；
（3）解：设日获得利润为w元，
则w=(-2x+200)(x-24-6)=-2(x-65) 2+2450，
∵a=-2<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x<65时，w的值随x值的增大而增大，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，
∴36≤x≤45，
∴当x=45时，W =-2×(45-65) 2+2450=1650（元），
最大
答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．
【点睛】本题考查了销售问题的数量关系在解决实际问题是的运用，一次函数的解析式的运用和二次函数
的解析式的运用，解答时根据题意建立函数关系是解答本题的难点和关键．
【变式1-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）一企业生产并销售某种产品（假设销量与产量相等），
x
已知该产品每千克生产成本为40元，售价y（元）与产量x(kg)之间的函数关系为y=- +120．
2
(1)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
(2)若企业每销售该产品1kg需支出其他费用a元(a>0)，当70≤x≤80时该企业获得的最大利润为2450元，
求a的值．
【答案】(1)当产品产量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为3200元(2)10
【分析】（1）设当该产品产量为xkg时，获得的利润为W元，根据利润等于售价减去进价乘以销售量，
列出函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解；
1
（2）设当产品产量为x千克时，获得的利润为P元，得出P=- x2+(80-a)x，该函数图像的对称轴为直
2
线x=80-a，由70≤x≤80，分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：设当该产品产量为xkg时，获得的利润为W元．
根据题意，得W =x ( - 1 x+120-40 ) =- 1 x2+80x =- 1 (x-80) 2+3200．
2 2 2
1
∵a=- <0，
2
∴当x=80时，W有最大值，最大值为3200元．
答：当产品产量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为3200元．
（2）解：设当产品产量为x千克时，获得的利润为P元．
( 1 )
根据题意，得P=x - x+120-40-a ，
2
1
即P=- x2+(80-a)x，
2
其中70≤x≤80．
该函数图像的对称轴为直线x=80-a．
①若a>10，则当x=70时，P有最大值，
即P=3150-70a<2450．（不合题意，舍去）
②若00，
b 4ac-b2
当x=- =7时，y有最大值为 =5.8万元，
2a 4a
此时10-x=3，∴当购买Ⅰ型用7万元、Ⅱ型为3万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解
决实际问题是考试的中热点问题，同学们应重点掌握．
【变式2-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律：
①销售甲产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=0.6x ；
②销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=ax2+bx；当x＝1时y＝1.3；当x＝2时，
y＝2.4.
（1）求销售乙产品所获利润y（万元）与销售x（万件）的函数关系式；
（2）该公司计划购进甲、乙两种产品共20万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润
最大为多少？
【答案】（1）y=-0.1x2+1.4x；（2）购进甲16万件，购进乙4万件，利润最大为13.6万元
【分析】（1）将当x＝1时y＝1.3；当x＝2时，y＝2.4代入y=ax2+bx，解二元一次方程组即可；
（2）设购进甲的数量为m(00，则x+ ⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
x
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
x2+3
（3）当x>-1时，求y= 的最小值．
x+1
【答案】（1）4，2；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）根据题意，由a+b⩾2√ab，当且仅当a=b时，等号成立；即可解决问题；
（2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得xy=9，再根据公式证明当x=y时，x+y有最小值，进而得结
论；
x2+3 4
（3）把y= 转化为y=x+1+ -2的形式，再根据公式进行解答便可．
x+1 x+1
【详解】解：（1）∵x>0，
4
∴ >0，
x
4
∴当x= 时，即x=2时，
x
4 √ 4 4
∴x+ ⩾2 x· ，即x+ ⩾4；
x x x
故答案为4；2．
（2）设矩形的长、宽分别为xm、ym，由题意得xy=9，则
x+ y⩾2√xy，即x+ y⩾6，
当x= y=3时，x+ y取最小值为6，
此时矩形的周长最小为：2(x+ y)=12；
∵x= y时，矩形变为正方形，
∴铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；
x2+3 (x+1-1) 2+3 (x+1) 2-2(x+1)+4 4
（3）y= = = =x+1+ -2，
x+1 x+1 x+1 x+1
∵x>-1，
4
∴x+1>0， >0，
x+1
√ 4
∴y⩾2 (x+1)· -2，即y⩾2，
x+1
4
∴当x+1= 时，即x=1时，
x+1y取最小值为：2．
【点睛】本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关
键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出
函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式．
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与
x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线
都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．
（1）点A的坐标为 ，线段OB的长= ；
（2）设点C的横坐标为m．
①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时， ACD的周长最小，并求出这个最小值．
△
5-√2 √2
【答案】（1） A（4，0），5√2；（2）①m= ；②当m=2- 时，△ACD的周长最小，这个最小
2 2
值为8．
【分析】（1）根据y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程组¿，可得B（5，5），
进而得出OB的长；
（2）①根据C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m2﹣4m），根据D（m+√2，m+√2），E
（m+√2，（m+√2）2﹣4（m+√2）），可得DE=m+√2-[（m+√2）2﹣4（m+√2）]，最后根据当四边形
CDEF是平行四边形时，CF=DE，求得m的值即可；
②先过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，得出
AC=DG，再作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，根据当A'，D，G三点共线时，
9-4√2
A'D+DG=A'G最短，可得此时AC+AD最短，然后求得直线A'G的解析式为y=- x+4，解方程组可
7
得D、C的坐标，最后根据两点间距离公式，求得△ACD的周长的最小值．
【详解】（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，解得：x=0，x=4，
1 2
∴A（4，0），解方程组¿，
可得：¿或¿，
∴B（5，5），
∴OB=√52+52=5√2．
故答案为（4，0），5√2；
（2）①∵点C的横坐标为m，且CF∥DE∥y轴，
∴C（m，m），F（m，m2﹣4m）．
又∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，
∴D（m+√2，m+√2），E（m+√2，（m+√2）2﹣4（m+√2）），
∴CF=m﹣（m2﹣4m），DE=m+√2-[（m+√2）2﹣4（m+√2）]．
∵当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，
∴m﹣（m2﹣4m）=m+√2-[（m+√2）2﹣4（m+√2）]，
5-√2
解得：m= ；
2
②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，
∴AC=DG，
作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，
∴当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，此时AC+AD最短．
∵A（4，0），AG=CD=2，
∴A'（0，4），G（4+√2，√2），
设直线A'G的解析式为y=kx+b，则¿，
解得：¿，
9-4√2
∴直线A'G的解析式为y=- x+4，
7
解方程组¿，
可得：¿，
√2 √2
∴D（2+ ，2+ ）．
2 2
∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，
√2 √2
∴C（2- ，2- ），
2 2√2
∴点C的横坐标m=2- ．
2
∵AD=A'D，AC=DG，CD=AG=2，
∴△ACD的最小值为A'G+AG=√ (4+√2) 2+(4-√2) 2+2=6+2=8，
√2
故当m=2- 时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．
2
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的计算，两点间的距离公式，待定系
数法求函数解析式以及平行四边形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等以及
两点之间线段最短进行计算求解．解题时注意方程思想和数形结合思想的运用．
【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】
【例5】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱
桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽AB为8米．AB上的点E到点A的距离AE=1米，点E到拱
7
桥顶面的垂直距离EF= 米．他们以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
4
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面AB的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，
船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．1
【答案】(1)该抛物线所对应的函数表达式为y=- x2+2x
4
(2)拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米
(3)该游船能安全通过，理由见解析
( 7)
【分析】(1) 设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0)，将(8,0)， 1, 代入上式，确定a、b的值即可．
4
(2) 把抛物线的解析式化为顶点式，求出抛物线的最大值即可．
(3) 根据对称性，确定船左侧的坐标，根据解析式，计算函数值，比较与安全距离2+0.5=2.5米的大小，
大于则安全通过，小于或等于，都不安全．
( 7)
【详解】（1）设y=ax2+bx(a≠0)，将(8,0)， 1, 代入上式，
4
得¿，
解得¿，
1
∴该抛物线所对应的函数表达式为y=- x2+2x．
4
1 1
（2）y=- x2+2x=- (x-4) 2+4，
4 4
当x=4时，y =4．
max
∴拱桥顶面离水面AB的最大高度为4米．
（3）∵游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米，游船从拱桥下面正中间通过，
∴船离点A的距离为4-4÷2=2米．
1
把x=2代入y=- x2+2x中，
4
1
y=- ×22+2×2=3．
4
∵2+0.5=2.5<3，
∴该游船能安全通过．
【点睛】本题考查了抛物线的应用，熟练掌握待定系数法，求函数的最值，对称性是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·河南商丘·九年级统考期中）如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，
水位线AB与拱桥最高点的距离为9m，水面宽AB=30m．(1)请你建立合适的平面直角坐标系xOy，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式．
(2)已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为4m，若这艘船的宽度为18m，当水位
线比正常水位线高出1m时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．
1
【答案】(1)抛物线的解析式为y=- x2 （答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）
25
(2)这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过，理由见解析
【分析】（1）根据拱桥的实际问题建立直角坐标系，再根据建立直角坐标系得到抛物线的解析式即可解
答；
1
（2）根据题意得到船的最高点的纵坐标为-4，再根据抛物线的解析式为y=- x2 得到x=±10，进而得
25
到这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为20m即可解答．
【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系xOy如解图所示．
观察图象，可知该抛物线的顶点为(0,0)，点A(-15,-9)．
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2．
将点A(-15,-9)代入y=ax2中，得-9=225a，
1
解得a=- ．
25
1
∴该抛物线的解析式为y=- x2 ；
25
（答案不唯一，建立的平面直角坐标系不同则答案不同）；
（2）解：能，理由如下：
当水位线比正常水位线高出1m时，此时船的最高点的纵坐标为-9+1+4=-4．1
将y=-4代入y=- x2 中，
25
解得x=±10，
∴此时与这艘船最高点在同一水平面的拱桥的宽度为10×2=20（m）．
∵20>18，
∴这艘船能从该抛物线形拱桥下方顺利通过．
【点睛】本题考查了二次函数与实际问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB
与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥
面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支
柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是 (填写正确结论
序号)．
1
①图1抛物线型拱桥的函数表达式y=- x2 ．
6
1
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y= (x-3) 2+2．
3
1
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y= (x+3) 2+2．
3
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．
【答案】①②③④
【分析】①利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；②由图象分
析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(3,2)，然后利用待定系数法求函数解析式；③用与②相同的方法即可
1 1 1
求出函数解析式；④彩带的长度为L m，利用L (x-3) 2+2-(- x2 )= (x-2) 2+3，由函数的性质即
3 6 2
可得出结论．【详解】解：根据题意可知点F的坐标为(3,-1.5)，
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y =a x2 ，
1 1
将F(3,-1.5)代入y =a x2 有：-1.5=9a ，
1 1 1
1
解得a =- ，
1 6
1
∴y =- x2 ，故①正确；
1 6
由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(3,2)，可设其表达式为y=a (x-3) 2+2，
2
将H(0,5)代入其表达式有：5=a (0-3) 2+2，
2
1
解得a = ，
2 3
1
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y= (x-3) 2+2，故②正确；
3
同理可知，③正确；
设彩带的长度为Lm，
则L= 1 (x-3) 2+2- ( - 1 x2) = 1 x2-2x+5+ 1 x2= 1 x2-2x+5= 1 (x-2) 2+3．
3 6 3 6 2 2
1
∵ >0，
2
∴当x=2时，L最小，最小值为3．故④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、
顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
【变式5-3】（2023春·安徽阜阳·九年级统考期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面
如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度
OC=5m，跨度AB=20m．(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手
架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱
桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥ACB改造为圆弧AC'B，跨度AB不变，且（2）中“脚手
架”矩形EFGH仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度OC'（结果
精确到0.1m，参考数据：√170.56≈13.06）．
1
【答案】(1)y=- x2+5
20
(2)“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m
(3)改造后拱桥的高度OC'为4.7m
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+c，把B(10,0)，C(0,5)代入计算即可求解；
（2）设点G的坐标为 ( t,- 1 t2+5 ) ，根据题意得HG=2t，GF=- 1 t2+5，又∵
20 20
EH+HG+GF=18.4m，∴2t+2 ( - 1 t2+5 ) =18.4，解之求得t =6，t =14（不合题意，舍去），即
20 1 2
1
可得HG=12m，GF=3.2m，则EO= HG=6m，由AE=AO-EO即可求解；
2
（3）取GH中点K，在CO延长线上取圆心M，连接MG，MB，设OM长为xm，由勾股定理得
GK2+K M2=OM2+OB2，即62+(x+3.2) 2=x2+102，解得x=8.4，所以OM=8.4m，
C'M=MB=√62+11.62=√170.56≈13.06m，然后由OC'=C'M-OM，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+c，经过B(10,0)，C(0,5)，
∴¿，解得¿，
1
∴抛物线的解析式为y=- x2+5．
20
（2）解：设点G的坐标为 ( t,- 1 t2+5 ) ，
20
1
根据题意得HG=2t，GF=- t2+5，
20∵EH+HG+GF=18.4m，
∴2t+2 ( - 1 t2+5 ) =18.4，
20
解得t =6，t =14（不合题意，舍去），
1 2
∴HG=12m，GF=3.2m，
1
∴EO= HG=6m，
2
∴AE=AO-EO=4m．
答：“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离为4m．
（3）解：如图，取GH中点K，在CO延长线上取圆心M，连接MG，MB，
设OM长为xm，
在Rt△MKG中，GK2+K M2=GM2，
在Rt△OMB中，OM2+OB2=MB2，
∴GK2+K M2=OM2+OB2，即62+(x+3.2) 2=x2+102，
解得x=8.4，
∴OM=8.4m，C'M=MB=√62+11.62=√170.56≈13.06m，
∴OC'=C'M-OM≈13.06-8.4≈4.7m，
答：改造后拱桥的高度OC'为4.7m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，勾股定理，圆的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二
次函数图象性质是解题的关键．
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】
【例6】（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，
两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上
取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、
测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式
y=a(x-h) 2+k(a<0)；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的
函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道
顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
1
【答案】(1)6，y=- (x-4) 2+6．
8
(2)见解析
(3)隧道需标注的限高应为4.5米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式
即可；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令x=1，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可
解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6，设y=a(x-4) 2+6(a<0)
∵D的坐标为(0,4)
1
∴4=a(0-4) 2+6(a<0)，解得a=-
8
1
∴y=- (x-4) 2+6．
8
1
故答案为：6，y=- (x-4) 2+6．
8
（2）解：根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
1
（3）解：令x=1，可得y=- (1-4) 2+6=4.875
8
隧道需标注的限高应为4.875-0.35=4.5（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数
量关系、求得函数解析式是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构
成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以
OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面
的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双
向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于
0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？1
【答案】（1）所求抛物线的解析式为：y=- (x-6) 2+10；（2）两排灯的水平距离最小是4√3米；
6
（3）这辆特殊货车能安全通过隧道．
【分析】(1)抛物线顶点坐标为D(6,10)，设抛物线的解析式为y=a(x-6) 2+10，把点B的坐标代入即可；
(2)由图象可知，高度越高，两排灯间的距离越近，把y=8代入(1)所得解析式，求得一元二次方程的两个
根，它们的差即为答案；
(3)由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的纵坐标为x=6.25+4，代入(1)所得
解析式，判断是够大于6.5即可．
【详解】(1)根据题意，顶点D的坐标为(6,10)，点B的坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x-6) 2+10，
把点B(0,4)代入得：36a+10=4，
1
解得：a=- ，
6
1
即所求抛物线的解析式为：y=- (x-6) 2+10；
6
(2)由图象可知，高度越高，两排等间的距离越近，
1
把y=8代入y=- (x-6) 2+10得：
6
1
- (x-6) 2+10=8，
6
解得：x =6+2√3，x =6-2√3，
1 2
所求最小距离为：x -x =4√3，
1 2
答：两排灯的水平距离最小是4√3米；
(3)根据题意，当x=6.25+4=10.25时，1 671
y=- (10.25-6) 2+10= >6.5，
6 96
∴能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，理清题目中各量之间的关系解题的关键.注意数形结合思
想的应用.
【变式6-2】（2023春·安徽宣城·九年级统考期末）现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，
线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，
建立平面直角坐标系．根据设计要求OE=12m，隧道上距点O水平方向2米及竖直方向6米的A点有一照
明灯．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度9米，隧道入口对车辆要求限高，
请通过计算说明高度不超过4.5米的车辆能否安全通过该隧道？
3 18
【答案】(1)y=- x2+ x
10 5
(2)能安全通过
【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax(x-12)，把点A(2,6)代入，即可求解；
3
(2)令x= ，求得y的值，再与4.5比较，即可解答．
2
【详解】（1）解：抛物线经过点(0,0)，(12,0)，
∴可以设抛物线的解析式为y=ax(x-12)，
3
把点A(2,6)代入，可得a=- ，
10
3
∴抛物线的解析式为y=- x(x-12)
10
3 18
即y=- x2+ x；
10 5（2）解：12-9=3，
3 3 3 (3 ) 189
根据对称性，令x= ，得y=- × × -12 = ﹒
2 10 2 2 40
189
∵ >4.5，
40
∴高度不超过4.5米的车辆能安全通过该隧道．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
【变式6-3】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个
横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽
1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线
上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？
请你帮施工队计算一下．
1
【答案】（1）y=- (x-6) 2+6；（2）这辆货车不能安全通过，见解析；（3）最大值为15
6
【分析】（1）先根据题意得出顶点坐标，设出抛物线的顶点式，再将O(0,0)代入即可求出抛物线的解析
式．
（2）先根据道路的宽度和货车的宽度，算出x=2或x=10时的函数值y，与4比较即可得出结论．
（3）先设出A点坐标 ( m,- 1 (m-6) 2+6 ) ，再根据矩形的性质和抛物线的对称性用m表示出AB、AD、
6
CD的长度，列出关于m的二次函数，再配方即可求得AB，AD，DC的长度之和的最大值．
【详解】解：（1）根据题意，顶点P的坐标为(6,6)，
设抛物线的解析式为y=a(x-6) 2+6，
把点O(0,0)代入得：36a+6=0，1
解得：a=- ，
6
1
即所求抛物线的解析式为：y=- (x-6) 2+6．
6
（2）根据题意，当x=6-0.5-3.5=2时，
1 10
y=- (2-6) 2+6= <4，
6 3
∴这辆货车不能安全通过．
（3）设A点的坐标为 ( m,- 1 (m-6) 2+6 ) ，
6
1
则OB=m，AB=- (m-6) 2+6，
6
根据抛物线的对称性可得CM=OB=m，
∴BC=12-2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12-2m，
1
CD=AB=- (m-6) 2+6，
6
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和：
1 1
l=12-2m- (m-6) 2+6- (m-6) 2+6
6 6
1 1
=- m2+2m+12=- (m-3) 2+15≤15，
3 3
∴三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值为15m．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解，二次函数的实际应用与最值问题，求出二次函数的解析
式并设出A点坐标，用m表示出AB，AD，DC的长度是解决本题的关键．
【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AD=8,BD=4√5．点P是
线段AD上一个动点，将线段AP绕点P顺时针旋转90°到线段A'P，连接A'C、PC．设AP=m，
△A'PC和矩形ABCD的重叠部分面积为S．(1)求线段AB的长度；
(2)求S与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
【答案】(1)4
(2)S=¿
【分析】（1）根据矩形的性质与勾股定理便可求得结果；
（2）分两种情况：当0≤m≤4时；当4＜m≤8时．根据三角形的面积公式写出解析式便可．
【详解】（1）在矩形ABCD中，∠A=90°，AD=8,BD=4√5，
∴AB=√BD2-AD2=√80-64=4
（2）①当0
10
(2)能超过K点，理由见解析
1 9
【分析】（1）①根据起跳台的高度OA为66m，即可得c=66，由a=- ，b= ，知
50 10
1 9
y=- x2+ x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；②运动
50 10
1
员落地点要超过K点，即是x=75时，y>21，故- ×752+75b+66>21，即可解得答案；
50
（2）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为(25,76)，设抛物线
2
解析式为y=a(x-25) 2+76，可得抛物线解析式为y=- (x-25) 2+76，当x=75时，y=36，从而可
125
知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：①∵起跳台的高度OA为66m，
∴A(0,66)，
把A(0,66)代入y=ax2+bx+c得：
c=66，
1 9
∵a=- ，b= ，
50 10
1 9
∴y=- x2+ x+66，
50 10
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
1 9
∴y=- ×752+ ×75+66=21，
50 10
∴基准点K的高度h为21m；1
②∵a=- ，
50
1
∴y=- x2+bx+66，
50
∵运动员落地点要超过K点，
∴x=75时，y>21，
1
即- ×752+75b+66>21，
50
9
解得b> ，
10
9
故答案为：b> ；
10
（2）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为(25,76)，
设抛物线解析式为y=a(x-25) 2+76，
把(0,66)代入得：
66=a(0-25) 2+76，
2
解得a=- ，
125
2
∴抛物线解析式为y=- (x-25) 2+76，
125
2
当x=75时，y=- ×(75-25) 2+76=36，
125
∵36>21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
【变式8-1】（2023春·北京东城·九年级北京二中校联考期末）第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022
年在北京成功举办，跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，近些年来冰雪运动也得到了蓬勃发展．如图
是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB=1），平台AB距地面18米．以地面所在直线
为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函
数为y=0.4x2-4x+c(x≥1)．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h
米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：h=6t2，l=vt．
(1)求滑道对应的函数表达式；
(2)当v=5，t=1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
1 1 107
(3)在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数y=- x2+ x+ 图像的一部分，
6 3 6
1 2 89
着陆时水平距离为d ，运动员乙飞出的路径近似看做函数图像y=- x2+ x+ 的一部分，着陆时水平
1 5 5 5
距离为d ，则d ______d （填“＞”“＝”或“＜”）．
2 1 2
【答案】(1)y=0.4x2-4x+21.6
(2)落在滑道上
(3)＞
【分析】（1）将A(1，18) 代入y=0.4x2-4x+c(x≥1)，求出c即可；
（2）先计算出h和l，求出x=l+1 时y的值，与OB-h 进行比较即可判断；
（3）分别将两个运动员飞出路径对应的函数与滑道对应的函数联立，求出着陆时的x值，进而求出d 与
1
d ，即可判断．
2
【详解】（1）∵ y=0.4x2-4x+c过(1，18)
∴ c=21.6
∴ y=0.4x2-4x+21.6
（2）∵ v=5，t=1
∴ l=vt=5，h=6t2=6
当x=5+1=6时，y=0.4×62-4×6+21.6=12
∵18-6=12∴落在滑道上．
1 1 107
（3）解：将y=0.4x2-4x+21.6(x≥1)与y=- x2+ x+ 联立，
6 3 6
1 1 107
得：0.4x2-4x+21.6=- x2+ x+ ，
6 3 6
化简得：17x2-130x+113=0 ，
113
解得：x =1 ，x = ，
1 2 17
113 96
可知d = -1= ；
1 17 17
1 2 89
同理，将将y=0.4x2-4x+21.6(x≥1)与y=- x2+ x+ 联立，
5 5 5
1 2 89
得：0.4x2-4x+21.6=- x2+ x+ ，
5 5 5
化简得：3x2-22x+19=0 ，
19
解得：x =1 ，x = ，
1 2 3
19 16
可知d = -1= ，
2 3 3
96 16
∵ > ，
17 3
因此d >d ．
1 2
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图
像上点的坐标特征是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地
为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标
系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关
系y=a(x-h) 2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x-h) 2+k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(x-9) 2+23.24.记该
运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练的着陆点的水平距离为d ，则d ______d （填
1 2 1 2
“>”“=”或“<”）．
【答案】(1)23.20 m；y=-0.05(x-8) 2+23.20
(2)＜
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表
格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d
1
和d ，然后进行比较即可．
2
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，
∴h=8，k=23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00，代入y=a(x-8) 2+23.20得：
20.00=a(0-8) 2+23.20，解得：a=-0.05，∴函数关系关系式为：y=-0.05(x-8) 2+23.20．
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t=-0.05(x-8) 2+23.20，
解得：x=8+√20(23.20-t)或x=8-√20(23.20-t)，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d =8+√20(23.20-t)，
1
第二次训练时，t=-0.04(x-9) 2+23.24，
解得：x=9+√25(23.24-t)或x=9-√25(23.24-t)，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d =9+√25(23.24-t)，
2
∵20(23.20-t)＜25(23.24-t)，
∴√20(23.20-t)＜√25(23.24-t)，
∴d ＜d ．
1 2
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出
d 和d 是解题的关键．
1 2
【变式8-3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我
们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为
x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线
1
C :y=- x2+40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑
1 480
1
出后沿一段抛物线C :y=- x2+bx+c运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线
2 120
的高度为60米．(1)求小山坡最高点到水平线的距离．
(2)求抛物线C 所对应的函数表达式．
2
(3)当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡C 的竖直距离为
1
10米．
【答案】(1)40米
1 2
(2)y=- x2+ x+50
120 3
320
(3)运动员运动的水平距离为为 米时，运动员与小山坡C 的竖直距离为10米
3 1
【分析】（1）由抛物线C 的解析式得出最大值即可；
1
（2）把(0,50)、(60,60)代入可得抛物线C 所对应的函数表达式；
2
（3）根据纵坐标的差为10，列出方程可得答案．
1
【详解】（1）解：由y=- x2+40，得
480
当x=0时，y有最大值为40．
∴小山坡最高点到水平线的距离为40米．
1
（2）解：把(0,50)、(60,60)代入y=- x2+bx+c中，得
120
得¿解得¿
1 2
∴抛物线C 所对应的函数表达式y=- x2+ x+50．
2 120 3
（3）解：设运动员运动的水平距离是x米，
1
此时小山坡的高度是y=- x2+40，
4801 2
运动员运动的水平高度是y=- x2+ x+50，
120 3
1 2 1
∴- x2+ x+50=- x2+40+10，
120 3 480
320
解得x= 或0（舍去），
3
320
答：运动员运动的水平距离为 米时，运动员与小山坡C 的竖直距离为10米．
3 1
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次
函数模型相结合是解决本题的关键．
【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】
【例9】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如
图），抛物线的对称轴为直线x=2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐?若
能投进篮筐，请说明理由．若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后，再投篮，刚好能使篮球投进
篮筐?
【答案】（1）y=-0.2x2+x+2.25，3.5米；（2）不能，向前移动0.2米
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a(x-2.5) 2+h，将(0,2.25)和(3.5,3.3)代入求得a、h的值可得答
案；
（2）令y=3.05解方程可得x =1，x =4，然后结合实际可求得运动员应向前移动0.2m即可．
1 2
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=a(x-2.5) 2+h，
将(0,2.25)和(3.5,3.3)代入，得：
¿，解得：¿，
∴抛物线的解析式为y=-0.2(x-2.5) 2+3.5，
当x=2.5时，y最大，最大值为3.5m，
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5m；
（2）不能，
∵篮筐离地面3.05m，
∴3.05=-0.2(x-2.5) 2+3.5，
解得：x =1，x =4，
1 2
∴向前移动4.2−1=3.2(m)或4.2−4=0.2(m)，
若向前移动3.2m，则此时篮球的运动轨迹是从下往上的，不符合实际意义，故舍去，
∴抛物线向右平移0.2m，即运动员应向前移动0.2m后，再投篮，刚好能使篮球投进篮筐．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式．
【变式9-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面O处将球踢出，一运动
员在离守门员8米的A处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点M，球落地后又一次弹起．据实验
测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高
度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点B和守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O、A、B、C在同一条直线
上，结果保留根号）
1
【答案】（1）y=- (x-8) 2+4，16米；（2）(8+8√2)米
16
【分析】（1）由条件可以得出M(8,4)，设抛物线的解析式为y=a(x-8) 2+4，由待定系数法求出其解即
可；当y=0时代入（1）的解析式，求出x的值即可得第一次落地点B和守门员（点O)的距离；
（2）设第二次抛物线的顶点坐标为 ，抛物线的解析为 ，求出解析式，就可以求出
(m,2) y=a(x-m) 2+2OC的值，进而得出结论．
【详解】解：（1）设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为y=a(x-8) 2+4，根据其顶点为
(8,4)，过点O(0,0)得
0=64a+4，
1
解得：a=- ，
16
1
∴y=- (x-8) 2+4．
16
1
当y=0时，- (x-8) 2+4=0，
16
解得：x=0（舍去）或x=16，
1
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为y=- (x-8) 2+4，第一次落地点B和守门员（点
16
O)的距离为16米；
1
（2）设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为y=- (x-m) 2+2，由题意，得
16
1
0=- (16-m) 2+2，
16
解得m=16+4√2或m=16-4√2（舍去），
1
∴y=- (x-16-4√2) 2+2．
16
当y=0时，
1
0=- (x-16-4√2) 2+2．
16
解得：x=16+8√2或x=16．
∴他应从第一次落地点C再向前跑的距离为：
16+8√2-8=(8+8√2)米．
答：他应再向前跑(8+8√2)米．
【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，
二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键
【变式9-2】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点
正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋
h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
1
【答案】（1）y＝－ (x－6)2＋2.6；（2）球能过网；球会出界．
60
【详解】解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出，
∴y＝a(x－6)2＋h过(0，2)点，
1
∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得：a＝－ ，
60
1
所以y与x的关系式为：y＝－ (x－6)2＋2.6.
60
1
(2)当x＝9时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45>2.43，所以球能过网；
60
1
当y＝0时，－ (x－6)2＋2.6＝0，
60
解得：x＝6＋2 √39>18，x＝6－2 √39(舍去)，
1 2
所以会出界．
【变式9-3】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间
的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网．小冲在训练过程中
也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假
设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地
高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点O与障碍平台A之间的距离OA为9m，障碍平
台高为1.08m，若小冲此次训练时足球正好在前方5m的点C处达到最高点，离地面最高距离为3m，以地面
OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求过O，C，B三点的抛物线表达式；
(2)此时障碍平台与球门之间的距离AD为6m，已知球门高为2.44m，请你通过计算，（不考虑其他因素）
足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门．
【答案】(1)抛物线表达式为y=-0.12x2+1.2x；
(2)不能顺利射入球门．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，据此求解即可．
【详解】（1）解：依题意得O(0，0)，C(5，3)，B(9，1.08)，
设抛物线表达式为y=ax2+bx，
∴¿，解得¿，
∴抛物线表达式为y=-0.12x2+1.2x；
（2）解：抛物线y=-0.12x2+1.2x的对称轴为x=5，
点B到对称轴的距离为9-5=4，
∴第二段抛物线相当于第一段抛物线整体向x轴的正方向平移8个单位长度，
∴第二段抛物线的表达式为y=-0.12(x-8) 2+1.2(x-8)，
当x=9+6=15时，y=-0.12×(15-8) 2+1.2×(15-8)=2.52>2.44，
因此，不能顺利射入球门．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，图象的平移，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为
数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．
【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】
【例10】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划
在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中
心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度
3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．
(1)求如图2所示抛物线的解析式．
(2)为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷
水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用(p,0)表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值______．
1
【答案】(1)y=- (x-2) 2+3.61
4
(2)①3.8≤p≤5.8②5
【分析】（1）由题意可知，该抛物线的顶点坐标为(2,3.61)，点A(0,2.61)，设该抛物线的解析式为
y=a(x-2) 2+3.61，将点A(0,2.61)代入求解即可；
1
（2）对于抛物线y=- (x-2) 2+3.61，当y=0时，可解得x=5.8或x=-1.8（舍去）；
4
1
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，此时抛物线解析式为y=- x2+3.61，
4
1
令y=0，即有0=- x2+3.61，解得x=3.8或x=-3.8（舍去），即可确定p的取值范围；②设喷水头向
4
1
中心线沿直线滑动距离为k m，则抛物线解析式为y=- (x-2+k) 2+3.61，根据题意，将点(0,3.25)代
4
1
入并求解，可得k=0.8，即可确定此时抛物线解析式为y=- (x-1.2) 2+3.61，再令y=0，求解即可确
4定此时喷头位置．
【详解】（1）解：由题意可知，该抛物线的顶点坐标为(2,3.61)，点A(0,2.61)，
设该抛物线的解析式为y=a(x-2) 2+3.61，
将点A(0,2.61)代入，可得2.61=a(0-2) 2+3.61，
1
解得a=- ，
4
1
∴该抛物线的解析式为y=- (x-2) 2+3.61；
4
1
（2）①对于抛物线y=- (x-2) 2+3.61，
4
1
当y=0时，可有0=- (x-2) 2+3.61，
4
解得x=5.8或x=-1.8（舍去），
根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图，
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在y轴上时，
1
此时抛物线解析式为y=- x2+3.61，
4
1
令y=0，即有0=- x2+3.61，
4
解得x=3.8或x=-3.8（舍去），
∴p的取值范围为3.8≤p≤5.8；
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为k m，
1
则抛物线解析式为y=- (x-2+k) 2+3.61，
4
当水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，即此时抛物线经过点(0,3.25)，
1
将点(0,3.25)代入抛物线y=- (x-2+k) 2+3.61，
41
可得3.25=- (0-2+k) 2+3.61，
4
解得k=0.8或k=3.2（滑动距离超出①中范围，舍去），
1 1
∴此时抛物线解析式为y=- (x-2+0.8) 2+3.61=- (x-1.2) 2+3.61，
4 4
1
令y=0，即有0=- (x-1.2) 2+3.61，
4
解得x=5或x=-2.6（舍去），
∴此时喷头位置为(5,0)．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决实际问题，理解题意，利用数相结合的思想分析问题是解题关
键．
【变式10-1】（2023春·河北保定·九年级校考期末）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的
周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的
水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标
系．
(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径
扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后
喷水池水柱的最大高度．
1
【答案】(1)y=- (x-3) 2+5(0＜x＜8)；
5
(2)为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
80
(3) 米．
9【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点(8，0)，求出a值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后
1 16
水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=- x2+bx+ ，代入点(16，0)可求出b值，再利
5 5
用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【详解】（1）解：由喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，设水柱所在抛物
线（第一象限部分）的函数表达式为y=a(x-3) 2+5(a≠0)，
将(8，0)代入y=a(x-3) 2+5，得：25a+5=0，
1
解得：a=- ，
5
1
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=- (x-3) 2+5(0＜x＜8)．
5
1
（2）解：当y=1.8时，有- (x-3) 2+5=1.8，
5
解得：x =-1，x =7，
1 2
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
1 16
（3）解：当x=0时， y=- (x-3) 2+5= ．
5 5
1 16
设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=- x2+bx+ ．
5 5
∵该函数图象过点（12，0），
1 16
∴0=- ×122+12b+ ，
5 5
32
解得：b= ，
15
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-
1
x2+
32
x+
16
=-
1(
x-
16) 2
+
80
，
5 15 5 5 3 9
80
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
9
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出
当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．
【变式10-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱
形喷水装置OA，顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图
所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=-x2+bx+c表示，且抛
(1 5) ( 7)
物线经过点B , ，C 2, ；
2 2 4
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】（1）y=-x2+2x+ 7 ， 7 米；（2） 11 米；（3）至少要 ( 1+ √11) 米．
4 4 4 2
【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可得抛物线的解析式，再求出x=0时y的值即可得
OA的高度；
（2）将抛物线的解析式化成顶点式，求出y的最大值即可得；
（3）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得．
(1 5) ( 7)
【详解】（1）由题意，将点B , ,C 2, 代入得：¿，
2 2 4
解得¿，
7
则抛物线的函数关系式为y=-x2+2x+
，
4
7
当x=0时，y= ，
4
7
故喷水装置OA的高度 米；
4
7 11
（2）将y=-x2+2x+ 化成顶点式为y=-(x-1) 2+ ，
4 411
则当x=1时，y取得最大值，最大值为 ，
4
11
故喷出的水流距水面的最大高度是 米；
4
11
（3）当y=0时，-(x-1) 2+ =0，
4
√11 √11
解得x=1+ 或x=1- <0（不符题意，舍去），
2 2
( √11)
故水池的半径至少要 1+ 米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
2
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
【变式10-3】（2023·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H
离地竖直高度OH为1.5m．灌溉车喷出水的上、下边缘可以分别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看
作为矩形ABCD，其水平宽度AB=3m，竖直高度BC=0.5m．记喷出的水与喷水口的水平距离为xm，上
边缘距地面的高度为y m，下边缘距地面的高度为y m．测量得到如下数据：
1 2
x 0 0.5 1 1.5 2 3 4 5 6
y 1.5 1.72 1.88 1.97 2 1.88 1.5 0.88 0
1
y 1.5 1.22 0.88 0.47 0
2
xOy
(1)在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点
(x,y )，并画出上边缘函数的图像；
1
(2)结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程OM为______m，并求上边缘抛物线的函数解析式；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离OA的取
值范围为______．
【答案】(1)见解析
1
(2)6；y=- (x-2) 2+2
8
(3)2≤OA≤2√3-1
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）直接由函数图像以及表格可得OM最大值，根据待定系数法求上边缘抛物线解析式即可；
（3）根据BC=0.5m，求出点C的坐标，利用增减性可得最大值和最小值．
【详解】（1）解：如图即为所作；
（2）解：根据题意可得最大射程OM=6，
由表格可知，当x=1和3时，函数值均为1.88，
∴上边缘抛物线的顶点坐标为(2,2)，
设上边缘抛物线的函数解析式为y =a(x-2) 2+2，
1
将点(6,0)代入y =a(x-2) 2+2中，
1
得：0=16a+2，
1
解得a=- ，
8
1
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=- (x-2) 2+2，
8
故答案为：6；
（3）∵BC=0.5m，
∴点C的纵坐标为0.5，1
∴0.5=- (x-2) 2+2，
8
解得：x=2±2√3，
∵x>0，
∴x=2+2√3，
当x>2时，y随x增大而减小，
当0≤x≤2时，y随x增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2√3，
∵AB=3m，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OA的最大值为2+2√3-3=2√3-1，
再下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OA≥ON，
∴OA的最小值为2，
综上所述，OA的取值范围为2≤OA≤2√3-1．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次
函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
