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专题 06 二次函数的综合题专训之特殊四边形存在性问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题..................................................................................1
题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题..............................................................................................5
题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题.............................................................................................11
题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题........................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次函数的综合题专训之平行四边形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线两类，利用平行四边形对
边平行且相等或对角线互相平分性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）列方程，结合抛物线表达式消元；借向量平行（坐标差
相等）简化关系，注意动点范围。
3.解题方法：代数法联立中点或向量方程求解；辅以几何法（平移定点得动点轨迹），验证四点不共线及
图形合理性。
1．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 ， 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 是直线 下方抛物线上的一动点，连接 ， ，当 的面积最大时，求点 的坐标；
(3) 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标是 或 或【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（１）由直线 求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先过点E作y轴的平行线 交直线 于点G， 交x轴于点F，然后设点E的坐标是
，则点G的坐标是 ，求出 的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出
，进而判断出当 面积最大时，点E的坐标；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根
据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可．
【详解】（1）解：∵直线 与 轴交于点 ，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为 ， ．
把点 ， 代入抛物线 ，
得： ，
解之，得
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：如图，过点E作 轴，交直线 于点G，交x轴于点F，
设点E的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
∴ ．
∴ ．
∴当 时， 的面积就最大． 此时点E的坐标为 ．
（3）解：存在．由抛物线
∴对称轴是直线 ．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．
①当 为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
②当 为对角线时，点 到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，
∴点P的坐标为 ．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是
或 或 ．
2．如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ，顶点
为 ，连接 ， 与抛物线的对称轴交于点 ．
(1)求点 、点 的坐标和抛物线的对称轴；(2)求直线 的函数关系式；
(3)点 为线段 上的一个动点，过点P作 交抛物线于点 ．设点 的横坐标为 ；用含 的代
数式表示线段 的长，并求出当 为何值时，四边形 为平行四边形？
【答案】(1)点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ；
(2)直线 的函数关系式为 ；
(3)线段 的长为 ，当 时，四边形 为平行四边形．
【分析】（1）根据题意，分别将 、 与抛物线的解析式联立，即可得点 、点 的坐标，将系数
代入 即可得抛物线的对称轴；
（2）设直线 的函数关系式为 ，代入点 、点 的坐标可得 和 ，即可得直线 的函数关
系式；
（3）根据题意可知，点 和点 的横坐标均为 ，点 和点 的横坐标均为 ，代入对应的解析式，可得
纵坐标，根据位置关系即可求得线段长度，由平行四边形的判定定理， ，即可得 的值．
【详解】（1）解：在 中，
当 时， ，
当 时，由 ，得 ， ，
结合题意可得， ， ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
答：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ．
（2）解：设直线 的函数关系式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
答：直线 的函数关系式为 ．
（3）解：根据题意可知，点 和点 的横坐标均为 ，点 和点 的横坐标均为 ，
在 中，
当 时， ，
当 时， ，∴ ， ，
在 中，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∵点 在线段 上，
∴点 在点 的上方，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
答：线段 的长为 ，当 时，四边形 为平行四边形．
【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，直线与坐标轴的交点，二次函数的图象及其性质，用待定系数
法求一次函数的解析式，用坐标表示线段长度，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握待定系数法和
平行四边形的判定．
题型二、二次函数的综合题专训之矩形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边或对角线，利用矩形“对角线互相
平分且相等”或“平行四边形+一角为直角”的性质分析。
2.解题技巧：用中点坐标公式（对角线中点重合）和勾股定理（对角线等长）列方程，借抛物线表达式消
元；结合斜率（垂直时积为-1）验直角，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立对角线条件方程求解；先证平行四边形再验证直角（斜率法），结合图形验合理
性。
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 ，与y轴交于点C，连接
，对称轴为 ，点D为此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．(2)若连接 ，则 ________
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值．
(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当以点 为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点
Q的横坐标．
【答案】(1)
(2)90
(3)
(4)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握
二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意求得A的坐标，根据对称性求得B的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出顶点 的坐标，分别求出 ，根据勾股定理逆定理得 是直角三角形，故可得
；
先根据解析式求得C的坐标，进而求得 的解析式，设 ，作 轴交 于点F，则
，进而求得 关于x的表达式，根据二次函数的性质即可求得最大值；
（3）分情况讨论， 为矩形的对角线，设 ，根据矩形的性质以及中点坐标公
式求得m的值，进而求得Q点的横坐标．
【详解】（1）解：抛物线 与x轴交于点A、B， ，对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
将A，B代入 得：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：90；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
将点B，点C的坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
如图，作 轴交 于点F，
则 ，
∴ ，
∴
当 时， 有最大值为 ；
（4）解：设 ， ，
由（1）知 ，
①若 为矩形的对角线，
由中点坐标公式得： ，
解得： ，
∴点 的横坐标为2；
②若 为矩形得对角线，由中点坐标公式得： ，
解得 ，
∴点 的横坐标为4；
③若 为矩形的对角线，
由中点坐标公式得： ，
解得： ，
∴点Q的横坐标为 ，
综上，点Q的横坐标为4或2或 ．
4．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），点 、 的坐标分别是
、 ，与 轴交于点 ，点 的坐标是 ，点 和点 关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线 上方的抛物线上有一点 ，过点 作 于点 ，求线段 的最大值；
(3)点 是抛物线的顶点，点 是 轴上一点，点 是坐标平面内一点，以 ， ， ， 为顶点的四边
形是以 为边的矩形，求点 和 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ， 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）记 于y轴的交点为 ，证明 为等腰直角三角形， 过 作 轴交 于 ， 为
等腰直角三角形， 则 ，设 ，则 ， 再建立二次函数，利用二次函
数的性质解题即可；
（3）如图，当 在 的右边，记直线 交y轴于R， ，则 ，求解直线 的解析式为 ， 可得 ， 设 ，而四边形 为矩形，可得 ，
再利用勾股定理建立方程求解 ，结合平移的性质可得： ；如图，当 在 的左边，同
理可得： ，结合平移的性质可得： ．
【详解】（1）解： 把 ， ， 分别代入 得： ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：由（1）知 ，
抛物线对称轴为直线 ，
点 和点 关于抛物线的对称轴对称，
，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 分别代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为
记 于 轴的交点为 ，
当 时， ，则 ，
，
为等腰直角三角形，
，过 作 轴交 于 ，
，
为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
，
当 时， 有最大值 ，
的最大值为： ；
（3）解：如图，当 在 的右边，
记直线 交 轴于 ， ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
把 、 分别代入得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，则 ，
设 ，而四边形 为矩形，
，
，
解得： ，即 ，由平移的性质可得： ；
如图，当 在 的左边，
同理可得： ，
解得： ，即 ，
由平移的性质可得： ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股
定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型
再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
题型三、二次函数的综合题专训之菱形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边相等）或对角线（对角线垂
直平分）两类，利用菱形“四边相等”或“平行四边形+邻边相等”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式表边长（四边相等），中点坐标公式（对角线平分），斜率乘积-1（对角线垂
直）列方程，结合抛物线消元，限定动点范围。
3.解题方法：代数法联立平行四边形与邻边相等方程；先证平行四边形，再验四边相等或对角线垂直，结
合图形验合理性。
5．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线 下方的抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时P点的坐标；
(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以 为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若
存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形 面积的最大值为9，此时点P的坐标为 ；
(3) 或 或 或
【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接 ，设点P的坐标为 ，再由四边形 面积 ，结合二次
函数的性质解答，即可求解；
（3）设点F的坐标为 ，分两种情况： 当 为边， 为对角线时， ；当 为边，
为对角线时， ，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 ，
∴ ，
当 时， ，∴点 ，
∴ ，
如图，连接 ，
设点P的坐标为 ，
∴四边形 面积
，
∵ ，
∴当 时，四边形 面积最大，最大值为9，
此时点P的坐标为 ；
（3）解：∵点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设点F的坐标为 ，
当 为边， 为对角线时， ，
即 ，∴ ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
当 为边， 为对角线时， ，
即 ，
∴ ，
解得： ，
∴点F的坐标为 或 ；
综上所述，点F的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面
积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且关于
直线 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D①当三角形 面积最大时，请求出点C的坐标和三角形 面积的最大值．
②在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若
不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)① ； ②存在； 或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，两点间距离公式，正确的求出函数解析式，利用数
形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①求出直线 表达式为 ，设 ，则 ， ，由
得到 ，再转化为二次函数求最值；
②分 为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线 对称，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：①当 ，
∴
设直线 表达式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴设直线 表达式为 ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 面积最大值为 ，
∴此时 ；
②存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，
此时 ， ， ，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当 为边时，则： ，即 ，
解得： （舍去）或 ，
此时菱形的边长为 ；
②当 为对角线时，则： ，即： ，
解得： 或 （舍去）
此时菱形的边长为： ；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2．
题型四、二次函数的综合题专训之正方形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P、Q，分以AB为边（邻边等且垂直）或对角线（对角
线等且垂直平分），利用正方形“四边等+四角直”或“菱形+矩形”性质分析。
2.解题技巧：用距离公式（边等）、斜率积-1（垂直）、中点重合（对角线平分）列方程，借抛物线消元，
结合图形限动点范围。
3.解题方法：代数法联立邻边等与垂直方程；先证矩形再验邻边等，或先菱形再验直角，结合图形验合理
性。
7．如图，抛物线经过 三点．(1)求抛物线的解析式．
(2)探究在抛物线上是否存在点P，使 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
(3)直线 交y轴于点G，M是线段 上动点， 轴与抛物线 段交于点N． 轴于F，
轴于H，当四边形 是正方形时，求点M的坐标
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为 ，将 代入计算即可；
（2）先求出 ，过点P作 轴的垂线，交 于点Q，求出直线 的解析式为 ，设
，则 ，求出 ，再根据 建立方
程求解即可；
（3）求出直线 的解析式为 ，设 ， ，根据题意
得到 ， ，求出 ，由四边形 是正方形，建立
方程组 ，转化为 ，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为 ，将 代入得：
，
解得： ，
则抛物线的解析式解析式为 ；
（2）解：将 代入 ，则 ，
∴ ，
过点P作 轴的垂线，交 于点Q，设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 轴，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时，解得： 或 ，
则 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
当 时，方程无解；
综上，点P的坐标为 或 ；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ， ，
∵ 轴与抛物线 段交于点N， 轴于F， 轴于H，
∴ ， ，
∴ ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），
则 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方
形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴相交于 两点（点 在点 的左边），与 轴相交于点
，且抛物线的顶点坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2) 是抛物线上位于第四象限的一点，点 ，连接 相交于点 ，连接 ．若 与
的面积相等，求点 的坐标；
(3) 是抛物线上的两个动点，分别过点 作直线 的垂线段，垂足分别为 ．是否存在点，使得以 为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，正方形的边长为 或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作 轴，垂足为点 ，设 ，则： ， ，根据
与 的面积相等，推出 ，列出方程进行求解即可；
（3）存在点 ， 使四边形 为正方形，如图所示，过 作 轴，过 作 轴，过
作 轴，则有 与 都为等腰直角三角形，设 ，设直线 解析式为
，与二次函数解析式联立，消去 得到关于 的一元二次方程，利用根与系数关系表示出 ，
由 为等腰直角三角形，得到 ，若四边形 为正方形，得到 ，求出 的
值，进而确定出 的长，即为正方形边长．
【详解】（1）解：∵抛物线与 轴相交于点 ，且抛物线的顶点坐标为 ．
∴设抛物线的解析式为： ，
把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
作 轴，垂足为点 ，设 ，则： ，
∴ ，
∴ 与 的面积相等，
∴ ，即： ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得： 或 （舍去）；
∴ ；
（3）存在点 ， 使四边形 为正方形，
如图所示，过 作 轴，过 作 轴，过 作 轴，则有 与 都为等腰直角
三角形， ，
由（2）可知，直线 的解析式为 ，
设 ，直线 解析式为 ，
联立得： ，
消去 得： ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
，
整理得： ，
解得： 或 ，
正方形边长为 ，
或 ．即正方形的边长为 或 ．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰
直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解
本题的关键．
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点
C，直线 经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形
是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解
题的关键．
（1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）先根据二次函数的性质求得顶点为 ，设 ，然后分 、
和 三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵B、C分别是直线 与x轴，y轴的交点，
∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，
∵B、C在抛物线 上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 ，
∴顶点 ，
设 ，
①如图：当 时，
则 ，解得： ，
∴ ；
②如图：当 时，则 ，解得： ，
∴ ．
所以 或 ．
2．如图，已知抛物线： 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在 下方的抛物线上，是否存在一点N，使 面积最大？最大面积是多少？
(3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3) 或 或
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键：
（1）求出 坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出直线 的解析式，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，设点 的坐标为 ，
分割法表示出 的面积，转化为二次函数求最值即可；
（3）分 为边，和 为对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
代入 ，得：
，
解得： ；
∴此函数的解析式为 ；
（2）解：存在． 的面积最大为 ，
如图1，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
设 的解析式为 ，将 代入，得： ，
∴直线 解析式为 ，
设点 的坐标为 ，
则点 的坐标为 ，
，
∴ ，
∴当 时，此时 ， 的面积最大为 ；
（3）如图2，抛物线对称轴为 ，①以 为边，则 ，且 ．
设 ，则 ，
，解得 ，
当 时， ；当 时， ；
故 或 ；
②以 为对角线，则 与 互相平分，
设
的中点
．
把 代入 ，得 ．
，
综上所述， 或 或 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于
点C，连接 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P为直线 上方抛物线上一动点，当 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐
标．
【答案】(1)(2)
(3) 或 或 或 或
【分析】（1）将 代入 ，再建立方程组求解即可；
（2）先直线 的函数解析式为 ．如图1，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，连
接 ． 的面积 ．当 取得最大值时， 的面积最大．设点 的坐标为
，则点 的坐标为 ，再进一步建立二次函数求解即可；
（3）如图2，设直线 与 轴交于点 ．可得 ．①当 为对角线时，
，②当 为对角线时，如图3，过点 作 垂直于对称轴 于点 ，则
，③如图4，当 为对角线时，设点 的坐标为 ，再进一步利用菱形的性质建
立方程求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 两点，
将 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的函数解析式为 ．
（2）解：令 ，则 ，
点 ．
设直线 的函数解析式为 ．
将 代入 ，得 ，
解得 ，直线 的函数解析式为 ．
如图1，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，连接 ．
的面积 ．
当 取得最大值时， 的面积最大．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
．
，
当 时， 取得最大值， 的面积最大，
此时点 的坐标为 ．
（3）解：抛物线 的对称轴为直线 ．
如图2，设对称轴 与 轴交于点 ．
，
，
．
①当 为对角线时， ，
，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
根据平移的性质，点 向左平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到点 ，
点 向左平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到点 ．
同理得到点 ；
②当 为对角线时，
如图3，过点 作 垂直于对称轴 于点 ，
则 ，
，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
同理，点 ，点 ；
③如图4，当 为对角线时，
设点 的坐标为 ，
，即 ，解得 ，
点 的坐标为 ，
同理，点 的坐标为 ．
综上，点 的坐标为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，二次函数与特殊四边形，
难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形 放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点 ， 的坐标
分别为 ， ，抛物线 经过点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；
(3)在抛物线上是否存在点 与点 （点 ， 除外）使四边形 为正方形？若存在，请求出 ， 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，顶点坐标为 ；
(3) ，
【分析】（1）如图，作 轴于点 ，证明出 ，得到 ， ，
进而求解即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为 ，即可得到顶点坐标为
；
（3）如图，以 为边在 的左侧作正方形 ，过 作 于 ， 轴于 ，同（1）可
证 ，求出 点坐标为 ， 点坐标为 ．然后分别代入抛物线验证即可．
【详解】（1）如图，作 轴于点 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 点坐标为 ；
（2）∵抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为
∴顶点坐标为 ；
（3）在抛物线上存在点 、 ，使四边形 是正方形．
如图，以 为边在 的左侧作正方形 ，过 作 于 ， 轴于 ，
同（1）可证 ，
∴ ， ，
∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ．
由（2）抛物线 ，
当 时， ；当 时， ．
∴ 、 在抛物线上．
故在抛物线上存在点 、 ，使四边形 是正方形．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，
正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．5．已知，如图1， 为平面直角坐标系的原点，过定点 的直线 与抛物线
交于点 （点 在点 左侧）．
(1)若 ，则求直线 的解析式；
(2)若 ，试探究在平面直角坐标系中，是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行
四边形，若存在，求 点的坐标，若不存在，请说明原因；
(3)如图2，分别过点 作与抛物线 均有唯一公共点的直线 ，直线 的交点为 ，若 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)存在， 或 或
(3)4或5
【分析】（1）将 代入 ，求出k即可；
（2）先求出定点 ，联立抛物线和直线 ，得到 ，则 ，
由 得到 ，则 ，那么直线 ， ， ， ，
则 ，再按照对角线分三种情况，结合平行四边形的性质求解；
（3）设 ，联立直线 与抛物线得到一元二次方程，则 ，设直线
，与抛物线联立得到 ，由点 作与抛物线 均有唯一公共点，则
， ，那么直线 ，同理可得直线 ，联立两直线求得
，则 ，由 ，结合两点间距离公式求解即可．【详解】（1）解：存在，理由如下：
由题意得将 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ；
（2）解：由 得 ，
∵直线 过定点，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
联立得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
① 为对角线时，，
∴ ，
∴ ；
② 为对角线时，
则 ，
∴ ，直线
∴ ， ，
∴ ；
③ 为对角线时，
则 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
综上所述：存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 点的坐标为 或
或 ；
（3）解：设 ，
联立得： ，
∴ ，
∴ ，
设直线 ，
联立 ，
整理得： ，
∵点 作与抛物线 均有唯一公共点，
∴ ， ，
∴直线 ，
同理可得直线 ，
∴联立得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
整理得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的
交点问题，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，两点间距离公式等知识点，难度大，计算
复杂．
6．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且点 坐标为
，点 坐标为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点 是第二象限内抛物线上一动点，求点 到直线 距离的最大值；
(3)如图2，若点 是抛物线上一点，点 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 使以 为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，满足条件的点M的坐标有 或 或
【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式，求出解即可；
（2）过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，根据已知条件确定 是等
腰直角三角形，可得 ，根据 最大时， 最大，然后求出直线 解析式，并表示出 ，讨
论极值，可得答案；
（3）当平行四边形以 为平行四边形的边时和以 为对角线时，讨论得出答案．
【详解】（1）解：∵点 ，点 在抛物线 的图象上，
，解得： ， ，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：过 作 于点 ，过点 作 轴交 于点 ，如图1：
∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴点 的坐标为 ，
又 ，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，
将 代入得 ，
，
直线 解析式为 ，
设 ，
则 ，
，
，
当 时， 最大为 ，此时 最大为 ，即点 到直线 的距离值最大．
（3）解：存在，满足条件点 的坐标为 或 或 ，理由如下，
当以 为平行四边形 的边时，如图2，
点 ， ，
，
即 ，
解得 ，
，
点 的坐标为 ；
当以 为平行四边形 的边长时，如图3，
点 ， ，
，
即 ，
解得 ，
，
点 的坐标是 ；
当以 为对角线时，如图4，， ，
线段 的中点 的坐标为 ，即 ，
，
解得 ，
，
点 的坐标是 ．
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，
求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，
不能丢解．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴的负半轴
交于点 ，且 ，点 是直线 下方抛物线上的一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接 ，并将 沿 轴对折，得到四边形 ，是否存在点 ，使四边形 为菱形？
若存在，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点 运动过程中，当四边形 的面积最大时，求出此时点 的坐标和四边形 的最大面积．
【答案】(1)该抛物线的函数表达式为
(2)存在这样的点 ，此时点 的坐标为
(3)当点 运动到 时，四边形 的面积最大，四边形 的最大面积为32【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题，
（1）根据题意可知点 坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
（2）连接 交 于点 ，结合菱形的性质可得 ，且 ，进一步求得点 的纵坐标为
，代入函数解析式有 ，即可求得点 的坐标；
（3）连接 ，作 轴于点 ， 轴于点 ，设点 的坐标为 ．则 ，
， ， ，结合
，化解后利用二次函数的性质求得最
大值即可．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴的负半轴交于点 ，且 ，
．
把 ， ， 代入 中，
得 解得
该抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：假设抛物线上存在点 ，使四边形 为菱形，连接 交 于点 ．如图，
四边形 为菱形， ，
，且 ，
，即点 的纵坐标为 ．
由 ，得 ， （不合题意，舍去），
故存在这样的点 ，此时点 的坐标为 ．
（3）解：连接 ，作 轴于点 ， 轴于点，如图，设点 的坐标为 ．
， ， ，
， ， ， ，
，
当 时， ，
此时点 的坐标为 ，
即当点 运动到 时，四边形 的面积最大，四边形 的最大面积为32．
8．如图1，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，点P为直线 上方抛物线上的点，过点P作 轴交 于点M，求 的最大
值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线 ，
在 的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接
写出所有满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2) ，(3) 或 或 或
【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的
性质解决问题是解本题的关键．
（1）把 和 代入 求解即可．
（2）先解得直线 的解析式为 ，设 ， ，得到的 的值，当
时， 最大即可解答．
（3）分情况讨论，当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当 为矩形一边时，且点D在x轴的上
方；当 为矩形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把 和 代入 ，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时，
解得：
∴
设直线 的解析式为 ，把 ， 点的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为
点P为直线 上方抛物线上的点，
设 ，
，，
当 时， ，
；
（3）解：∵
将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线 ，
∴ ，
的对称轴为 .
∵ ， ，
∴ ，
如图：当 为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作 轴于点F，
∵D在 的对称轴上，
，
∵ ， ，
∴ ，
， ，即点 ，
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位
可得到点 ；
如图：当 为矩形一边时，且点D在x轴的上方， 的对称轴为 与x轴交于点F，∵D在 的对称轴上，
∴ ，
，
，即 ，
，即点 ，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点 ；
当 为矩形对角线时，设 ， ， 的中点F的坐标为 ，
依意得： ，解得 ，
又 ，
，
解得： ，
联立 ，
解得： ，
∴点E的坐标为 或 .
综上，存在点 或 或 或 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是
矩形．
9．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点 ，连接 ，点 为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作 轴交抛物线于点Q．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段 的长，并求出线段 的最大值；
(3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段 取得最大值时，是否
存在这样的点M，N，使得四边形 是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) ，抛物线的对称轴为直线 ；
(2) ， 的最大值为
(3)存在，点M的坐标为 或 ．理由见解析
【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可；
（2）先求出直线 的表达式，再设点 ，求出 ，最后利用
二次函数的性质即可求出 的最大值；
（3）当四边形 是菱形时， ，设点 ，可列方程 ，
求出m的值，即得答案．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为 ，
因为抛物线 与x轴交于点 ， ，
所以 ，则抛物线的对称轴为直线 ．
（2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为 ，
设直线 的表达式为 ，将点B的坐标代入上式得 ，
故直线 的表达式为 ，
设点 ，则点 ，
则 ，，故 有最大值，当 时， 的最大值为 ．
（3）解：存在，理由如下：
当 时，点 ，
设点 ，而点 ；
四边形 是菱形，则 ，
即 ，解得： ，
即点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图
象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键．
10．综合与探究
如图1，二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点 ．点
P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线
于另一点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)如图2，当点P在第二象限时，连接 ，交直线 于点F．当 时，求m的值．
(3)当点P在第三象限时，以 为边作正方形 ，当点C在正方形 的边上时，直接写出点D
的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）在 中，分别令 ， ，计算即可得出答案；（2）利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，由题意得 ，则
，求出 ，得到 ，计算即可得解；
（3）设 ，且 ，则 ，分两种情况：当点 在正方形 的边 上时，设边 交
轴于 ；当点 在正方形 的边 上时；分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：在 中，令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
令 ，则 ，即 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
由题意得： ，则 ，
∵ 轴，
∴点 、 关于抛物线的对称轴直线 对称，即直线 经过线段 的中点，
如图，
，
∵ 交直线 于点F，且 ，∴当 时， ，即 ，
∴ ，
解得： ，
∵点 在第二象限，
∴ ，
∴ ；
（3）解：设 ，且 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
如图，当点 在正方形 的边 上时，设边 交 轴于 ，
，
则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴ ；
如图，当点 在正方形 的边 上时，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似
三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运
用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
