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专题 22.6 确定二次函数解析式的方法【八大题型】
【人教版】
【题型1 已知一点、两点或三点坐标确定二次函数解析式】.............................................................................1
【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】.........................................................................................................2
【题型3 利用交点式确定二次函数解析式】.........................................................................................................2
【题型4 利用平移确定二次函数解析式】..............................................................................................................3
【题型5 利用对称变换或旋转变换确定二次函数解析式】.................................................................................4
【题型6 根据图象信息确定二次函数解析式】.....................................................................................................4
【题型7 根据几何图形的性质确定二次函数解析式】.........................................................................................6
【题型8 根据数量关系确定二次函数解析式】.....................................................................................................8
【题型1 已知一点、两点或三点坐标确定二次函数解析式】
【例1】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的自变
量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 3 …
y … -16 -9 -4 -1 -1 …
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的最大值为-1
B．这个函数图象的对称轴为直线x=3
C．这个函数的图象与x轴有两个不同的交点
( 3 )
D．若点P - ,y ，Q(4，y )在该抛物线上，则y ＜y
2 1 2 1 2
【变式1-1】（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）若二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(-2,-3)，则必在
该图象上的点还有（ ）
A．(-2,-3) B．(2,3) C．(2,-3) D．(-2,3)
【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点
A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么a+b+c的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．t
1
【变式1-3】（2023春·广东广州·九年级校考期中）已知抛物线y= x2+bx+c过点C(-1，m)和
3
D(5，m)，A(4，-1)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点B的坐标．
【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】
【例2】（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于O、A两点，
顶点坐标B(2,-2)，直线l:y=mx+n与抛物线交于点A，B．
(1)分别求出抛物线的解析式和直线l的解析式；
(2)根据图象，直接写出ax2+bx+c<mx+n的解集．
【变式2-1】（2023春·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）已知抛物线经过点(1,-1)，并且当
x=3时，y有最大值为5，求抛物线的函数关系式．
【变式2-2】（2023春·九年级课时练习）已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，在y轴上
的截距是－1，这个二次函数解析式为 ．
【变式2-3】（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标
为(-3,0)，点C的坐标为(0,-3)，对称轴为直线x=-1．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且S =4S ，求点P的坐标；
△POC △BOC
(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD∥y轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【题型3 利用交点式确定二次函数解析式】
【例3】（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4,0)，(2,0)，将该
抛物线向右平移3个单位长度与y轴的交点坐标为(0,-5)，则a+b+c的值为（ ）
A．5 B．-5 C．4 D．-9
【变式3-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，则经过A，B，C三点的抛物线的表达式为 ．
【变式3-2】（2023春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）二次函数图象经过（﹣1，0），
（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【变式3-3】（2023·山东菏泽·统考三模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与
y=ax2+bx+c(a≠0)
x轴的交点为A(-3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,-3)，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．
【题型4 利用平移确定二次函数解析式】
【例4】（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y=ax2-4ax+5a(a≠0)的图象先向右平移2个单位，
再向上平移3个单位，所得新抛物线的顶点恰好落在原抛物线图象上，则a的值为( )
3 1 1 3
A．- B．- C． D．
4 2 2 4
【变式4-1】（2023春·陕西榆林·九年级统考期末）已知抛物线： 过点 ，将该抛物线
y=a(x-1) 2-4 (3,0)
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，求新的抛物线相应的函数表达式．
【变式4-2】（2023春·山东济南·九年级统考开学考试）把抛物线y=ax2+bx+c先向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为 ，则 的值为 ．
y=(x-2) 2+3 a+b+c【变式4-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线 向右平移1个单位得到抛物
y =-x2+2
1
线y ，回答下列问题：
2
(1)抛物线y 的顶点坐标__________；
2
(2)阴影部分的面积S=__________；
(3)若再将抛物线y 绕原点O旋转180°得到抛物线y ，求抛物线y 的解析式．
2 3 3
【题型5 利用对称变换或旋转变换确定二次函数解析式】
【例5】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线
y=-ax2+3x-c与y=2x2-3x-c+a关于x轴对称，则a+2c的值为（ ）
A．0 B．-4 C．4 D．-1
【变式5-1】（2023·陕西·九年级专题练习）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为
（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
【变式5-2】（2023春·山东威海·九年级校考期末）将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所
得抛物线的解析式是（）
A．y=-2x2-12x+16 B．y=-2x2+12x-16
C．y=-2x2+12x-19 D．y=-2x2+12x-20
【变式5-3】（2023春·陕西安康·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着
C :y=x2+2x+3
1
它与y轴的交点旋转180°，得到抛物线C ，下列关于抛物线C 的说法，错误的是（ ）
2 2
A．抛物线C 的开口向下 B．抛物线C 的对称轴为直线x=1
2 2
C．抛物线C 的顶点坐标为(1,4) D．抛物线C 与x轴无交点
2 2
【题型6 根据图象信息确定二次函数解析式】
【例6】（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣
1．(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求该图象的顶点坐标；
(3)观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．
【变式6-1】（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a，b为常数）的
图象如图，则a的值为（ ）
A．-2 B．±√2 C．-√2 D．√2
【变式6-2】（2023春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+6x+c交x
轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A的直线交直线BC于点M．当AM⊥x轴时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线
AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B3
的坐标为（4，2）．若抛物线y=- (x-h) 2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，A、B也关于
2
1
抛物线对称轴对称，且CD＝ AB，求抛物线的解析式．
2
【题型7 根据几何图形的性质确定二次函数解析式】
【例7】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点O(0,0)，E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线
段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设B(t,0)，当t=2时，BC=4．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且
直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
【变式7-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图①，一块金属板的两边为线段OA，OB，OB⊥OA，另
一边曲线ACB为抛物线的一部分，在这块金属板中截取四边形OACB，其中C点在曲线ACB上，且
BC∥OA．以OA边所在直线为x轴，OB边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位代
表1m．已知：OA=8m，OB=6m，BC=2m．(1)求曲线ACB所在抛物线的函数表达式；
(2)如图②，点P为线段AC上任意一点，设P点的横坐标为m，△OAP的面积为S，求S随m的变化情况
【变式7-2】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点O(0,0)，E(10,0)，矩形ABCD的边AB
在线段OE上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设B(t,0)，当t=2时，BC=4．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且
直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．
【变式7-3】（2023春·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交
于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，已知△ABC的
面积为2√3．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P为抛物线对称轴上的点，当PA-PC取最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，E为抛物线上的动点，若S :S =1:2时，直接写出点E的坐标．
△BDE △BDP
【题型8 根据数量关系确定二次函数解析式】
【例8】（2023·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(-1,0)，且
OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图像经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的
坐标及PD的最大值．
【变式8-1】（2023春·福建福州·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线
y=ax2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点B，C，且OB=OC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线y=ax2+2x+c与x轴的另一个交点为A，点P在抛物线y=ax2+2x+c上，直线PA交y轴于点
E，过点C作CD∥x轴交抛物线y=ax2+2x+c于点D．
①若△PCD的面积是△ACE面积的2倍，求点P的坐标；
②连接BC交直线x=1于点H，当点P在抛物线对称轴右侧图象上，且在直线CD的上方时，记△ACE，
M
△PCH，△PCD的面积分别为S ，S ，S ，若6S S +S =M，判断 是否存在最大值.若存在，求出最
1 2 3 1 2 3 S
1
大值；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2023·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(-1,0)，且
OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图像经过A，B，C三点．
(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的
坐标及PD的最大值．
【变式8-3】（2023春·上海青浦·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线
y=ax2+bx(a>0)经过点A(-1,√3)和x轴正半轴上的点B，AO=OB．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)联结OM，求∠AOM的度数；
(3)联结、、，若在坐标轴上存在一点，使，求点的坐标．
