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专题 11 二次函数中的角度存在性问题的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中的等角存在性问题
类型二、二次函数中的倍角存在性问题
类型三、二次函数中的特殊角存在性问题
压轴专练
类型一、二次函数中的等角存在性问题
知识点：1. 二次函数图像性质，如对称轴、顶点坐标、单调性，用于确定点的位置关系；2. 等角的几
何判定，包括等腰三角形性质（等边对等角）、平行线性质（同位角/内错角相等）、全等/相似三角形
对应角相等。
解题技巧：1. 构造辅助线，如作对称点、平行线或垂线，转化等角为已知角或易求角；2. 代数化处
理，设点坐标，利用三角函数（正切值相等）或斜率表示角的关系，列方程求解。
例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴交
于点 ，将 沿着 翻折，使点 落在点 处．
(1)求二次函数的表达式及点 的坐标．(2)求直线 的表达式．
(3) 为抛物线上一点，连接 ，当 时，请直接写出点 的坐标．
【变式1-1】如图所示，已知抛物线 ，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y
轴交于点D，且满足 ，顶点为C．
(1)求m的值；
(2)①求抛物线顶点C的坐标；
②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式；
(3)已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且 ，求点P的坐标．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，交 轴于点
和点 ．交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 是直线 上方抛物线上一动点．连接 ， ．求 面积最大值及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿 轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线 ，新抛物线 与 轴的负半轴交于点 ．点
为平移后的新抛物线上一动点，当 ．请直接写出所有符合条件的点 的坐标．类型二、二次函数中的倍角存在性问题
知识点：1. 三角函数倍角公式（如tan2α=2tanα/(1-tan²α)），通过角的正切值关系转化代数等式；2.
几何构造中倍角与等腰三角形关系（如外角等于不相邻内角2倍）。
解题技巧：1. 代数法：设点坐标表示角的正切值，代入倍角公式列方程求解；2. 几何法：构造含倍角
的等腰三角形，利用对称性或全等转化角的关系，结合函数图像找点。
例2．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为 ，与y轴交于点
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点Q，使得 ，求点Q的坐标．
【变式2-1】如图1，抛物线 经过 两点，与 轴交于点 为第四象限内
抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形 的面积为 ，求 的最大值；
(3)如图2，过点 作 轴于点 ，连接 与 轴交于点 ，当 时，求点
的坐标．【变式2-2】如图，抛物线M过点 ，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点
C，顶点D的坐标为 ．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段 上一动点，求 周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若
，直接写出点P的坐标．
类型三、二次函数中的特殊角存在性问题
知识点：1. 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值（如tan45°=1、sin30°=0.5），用于建立线段比例关
系；2. 二次函数与坐标几何结合，如两点间距离公式、直线斜率与倾斜角关系。
解题技巧：1. 几何构造：过动点作坐标轴垂线，构造含特殊角的直角三角形，利用边角比表示坐标关
系；2. 代数转化：设点坐标，用斜率或距离公式表示角的三角函数值，结合函数解析式列方程求解。
例3．已知直线 与 轴相交于点 ，与抛物线 相交于 、 两点．(1)求点 、点 的坐标及抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)若点 是 轴上一点．且 ．求 点坐标．
【变式3-1】如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 ．
(1)求m的值和直线 对应的函数表达式；
(2)P点是对称轴上的一点，当 的值最小时，求点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若 ，求点Q的坐标．
【变式3-2】如图，已知抛物线 的图象与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线的顶点，求出 的面积；
(3)如图2．连接 ，点P是抛物线上的一动点，且满足 ，请直接写出点P坐标．
一、解答题
1．如图，抛物线 与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），
与y轴交于点C， ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使 ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线 经过点 、 ，交 轴于点 ，点 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点 的坐标为 时，求四边形 的面积；
(3)若 ，求点 的坐标．
3．已知抛物线 与 轴相交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，对称
轴为直线 ．
(1)求 的长；
(2)点 为 上方抛物线上的一动点，若 的面积是 面积的一半，求点 的横坐标；
(3)过点 的直线 与抛物线的另一个交点为 ，若 ，求点 的坐标．
4．如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 在直线 上方抛物线上运动，过点 作 ， 轴于点 ，求 的最大
值，以及此时点的坐标；
(3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到 ，点 是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点 ，使得 ，请直接写出所有符合条件的点 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 过点 ，交 轴于点 和点 ，交
轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 是直线 上方抛物线上一动点，连接 ，求 面积最大值及此时点 的坐标；
(3)将原抛物线沿 轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线 ，新抛物线 与 轴的负半轴交于点 ，点
为平移后的新抛物线上一动点，当 ，请直接写出所有符合条件的点 的坐标．
6．已知抛物线 经过点 和 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，如图．
①求 的面积；
②点 在抛物线上，点 在线段 上（不与端点 ， 重合），若 ，求点 的坐标．
7．如图，二次函数 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点 ，抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接 ，点P是抛物线上一点，在直线 下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与 交于
E，F两点，求 的最大值并求出此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿着射线 的方向平移 个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若 ，
直接写出点M的坐标．
