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专题 22.12 二次函数章末九大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】.........................................................................................1
【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】.................................................................................................2
【题型3 根据新定义求字母取值范围】..................................................................................................................2
【题型4 利用二次函数的性质求最值】..................................................................................................................2
【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】.....................................................................................2
【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】.......................................................................................................2
【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】..................................................................................................................3
【题型8 二次函数中的存在性问题】......................................................................................................................3
【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】.........................................................................................................3
【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】
【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(m0)两实数根分别为
α，β且α<β，则α、β满足（ ）
A．-1<α<β<3 B．α<-1<3<β
C．α<-1<β<3 D．-1<α<3<β
【答案】B
【分析】依照题意，画出图形，利用数形结合，即可得出α、β满足的条件．
【详解】解：∵一元二次方程(x+1)(x-3)=0解为x =-1，x =3，，
1 2
∴二次函数y=(x+1)(x-3)与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
依照题意，画出函数图象，如图所示：
观察图形：可知：α<-1<3<β，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，二次函数图像和性质，依照题意，画出二次韩素华图像是解题的
关键．
【变式1-2】（2023春·四川凉山·九年级校考期中）若a，b（ay ；
1 1 2 2 1 2 1 2
③常数项c的取值范围是2≤c≤3；
2
④系数a的取值范围是-1≤a≤- ．
3
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【分析】根据抛物线的对称性对①进行判断；
根据④的结论可知函数的开口方向，然后得到二次函数的增减性，即可对②进行判断；
根据抛物线与y轴的交点对c进行判断即可判断③；
由对称轴可得b=-2a，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a，又由③得到c的取值范围，进而得到a的取值
范围．
【详解】抛物线对称轴为x=1，且与x轴交点为（-1，0），故与x轴的另一个交点为（3,0），故①正确；
抛物线与y轴的交点为（0，c），且与y轴交点B在(0,2)和(0,3)之间（包含这两个点）运动，故c的取值范
围是2≤c≤3，故③正确；抛物线对称轴为x=1，得b=-2a，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a，又由③已知2≤c≤3，故有
2
2≤-3a≤3，故-1≤a≤- ，故④正确；
3
由④得结论可知，抛物线开口向下，且对称轴为x=1，得到当x＜1时，y随x增大而增大，故当x 2m，则y >y ．其中正确结论的个数为
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】解： 二次函数y=-x2+2mx-m2+1=-（x-m）2+1（m为常数）
①∵顶点坐标为（m，1）且当x=m时，y=1
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=1上
故结论①正确；
②令y=0，得-（x-m）2+1=0
解得：x=m-1，x=m+1
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为A（m-1，0），B（m+1，0）
则AB=2
∵顶点P坐标为（m，1）
∴PA=PB=√2，
∴PA2+PB2=AB2
∴ΔPAB是等腰直角三角形
∴函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②正确；③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且-1＜0
∴m的取值范围为m≥2．
故结论③正确；
④∵x+x＞2m
1 2
x1+x2
∴ ＞m
2
∵二次函数y=-（x-m）2+1（m为常数）的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x＜x，且-1＜0
1 2
∴y＞y
1 2
故结论④正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用
数形结合思想解决本题．
【变式2-3】（2023春·山东德州·九年级统考期末）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴
于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
1
②若点M（－2，y1）、点N（ ，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1y >y ，②错误；
2 3 1
当m=1时，函数解析式为：y=-x2+2x+2，故A(0,2)，C(2,2)，B(1,3)
作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则N(-1,3),M(2,-2) 连接MN，则MN为BE，DE，
CD和的最小值，四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和，则有：
BC=√(1-2) 2+(3-2) 2=√2,MN=√(-1-2) 2+(3+2) 2=√34
∴当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为√34+√2，④正确；
故答案选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质综合以及线段和的最小值．掌握二次函数配方成顶点式、二次函
数的对称性、线段和的最小值的求算是解题关键．【题型3 根据新定义求字母取值范围】
【例3】（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点
为二倍点．若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-10，
解得c<4，
当直线x=-1和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-1代入y=x2-2x+c，得y=3+c，
把x=4代入y=x2-2x+c得y=8+c，
∴ ¿，
解得c>0，
∴01，
当x=2时，x2-x=2>1；
若x2-x<1，则1+(x2-x)-3=-1，
1+√5 1-√5
解得：x= 或 ，
2 2
1+√5
当x= 时，x2-x=1，不符合题意，舍去，
2
1-√5
当x= 时，x2-x=1，不符合题意，舍去；
2
∴若1@(x2-x)=-1，则x=-1或2，故②正确；
5
③若-2≤3+4x，即x≥- ，
4
此时-2-(3+4x)≤-5，
解得：x≥0，
∴x≥0，
5
若-2>3+4x，即x<- ，
4
此时-2+(3+4x)-3≤-5，
3
解得：x≤- ，
4
5
∴x<- ，
4
5
∴若-2@(3+4x)≤-5，则x≥0或x<- ，故③正确；
4
④若-x+1≤x2-2x+1，即x≤0或x≥1，此时y=(-x+1)-(x2-2x+1)=-x2+x=-x(x-1)，
如图，
此时与直线y=m（m为常数）不可能有1个交点；
若-x+1>x2-2x+1，即0a>0，
b-a 1
∴ ≤ ，
a+b+c 3
y 1
A
即 的最大值为 ．
y - y 3
B C
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图像上的点，以及各系数的符号判断式子的符号是解
题的关键．
【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】
【例5】（2023春·浙江·九年级期中）二次函数y=x2+2mx-3，当0≤x≤1时，若图象上的点到x轴距离
的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3
【答案】D
【分析】按对称轴所在位置情况进行分别作图，由二次函数图像性质可知取到轴距离的最大值的点是图像
顶点或两端点，分类讨论即可．
【详解】解：由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-m．
b
当x=- =-m时，y=-m2-3，记作顶点M(-m,-m2-3)）；
2a
当x=1时，y=2m-2；记作点P（1，2m-2）；
当x=0时，y=-3，记作点Q（0，-3）；
当0≤x≤1时，图象上的点到轴距离的最大值为4，
I．若图像位于抛物线对称轴右侧，即对称轴x=-m≤0，如图1：则点Q为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，
此时有¿ ，解得：m=3，
II．若对称轴在PQ两点之间（包含PQ两点）时，即：对称轴x=-m满足0≤-m≤1，如图2，
①若P为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则
¿ ，此时无解，
②若M为为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，
¿，解得：m=-1，III．若图像位于抛物线对称轴左侧，即对称轴x=-m>1，如图3：
此时P为满足图象上的点到轴距离的最大值为4的点，则，
¿，此时没有符合的解，
综上，m=-1或3，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数图像的性质找到到轴距离的最大值是解题关键．
【变式5-1】（2023春·湖北黄冈·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，
9
则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx- （a,b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点
4
(3 3)
, ，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
2 2
7
A．-1≤m≤0 B．2≤m< C．2≤m≤4 D．m≥2
2
【答案】C
9 9 3 3
【分析】把y=x代入y=ax2+bx- ，可得到ax2+(b-1)x- =0，再利用△=0和( , )建立方程组即
4 4 2 2
可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解．
9 9
【详解】解：令x=ax2+bx- ，则ax2+(b-1)x- =0
4 4
∴△=(b-1) 2+9a=0∴由题意可得：¿
解得：¿
9
∴y=-x2+4x-
4
如图所示：
若最小值为-3最大值为1，
结合图像可得：2≤m≤4
故答案选：C
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用
待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4
间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l
翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于
5，则t的取值范围是（ ）
1 1
A．﹣1≤t≤0 B．﹣1≤t≤- C．- ≤t≤0 D．t≤﹣1或t≥0
2 2
【答案】A
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
【详解】解：如图1所示，当t等于0时，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
当x＝4时，y＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
∴当t＝0时，
D（4，5），
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t＝﹣1时，
此时最小值为﹣1，最大值为4．
综上所述：﹣1≤t≤0，故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题
关键．
【变式5-3】（2023春·浙江·九年级统考期末）已知二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，它的图象经
过点A(a-4,b)，B(a,b)，则b的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】由二次函数图象的对称性，得对称轴为：直线x=a-2，从而得m=4a-8，由二次函数
y=-2x2+mx+n的最大值为10，得2a2-8a+n=2，结合x=a和x=a-4是关于x的一元二次方程
b-n
b=-2x2+mx+n的两个实数根，可得a(a-4)= ，进而即可得到答案．
2
【详解】∵二次函数y=-2x2+mx+n的图象经过点A(a-4,b)，B(a,b)，
∴抛物线y=-2x2+mx+n的对称轴为：直线x=a-2，
m
∴- =a-2，即：m=4a-8，
2×(-2)
∵二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，
∴10=-2(a-2) 2+(4a-8)(a-2)+n，
∴2a2-8a+n=2，
∵二次函数y=-2x2+mx+n的图象经过点A(a-4,b)，B(a,b)，
∴x=a和x=a-4是关于x的一元二次方程b=-2x2+mx+n的两个实数根，
b-n
∴a(a-4)= ，
2
∴b=2a2-8a+n=2．
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，二次函数与一元二次方程
的关系，是解题的关键．
【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】
【例6】（2023春·浙江温州·九年级期末）已知二次函数y=a(x-h) 2+k(a≠0)的图象与一次函数
y=mx+n(m≠0)的图象交于(x，y )和(x，y )两点，（ ）
1 1 2 2
A．若a<0，m<0，则x +x >2h B．若a>0，m<0，则x +x >2h
1 2 1 2C．若x +x >2h，则a>0，m>0 D．若x +x <2h，则a>0，m<0
1 2 1 2
【答案】A
【分析】联立二次函数y=a(x-h) 2+k(a≠0)与一次函数y=mx+n(m≠0)化成一元二次方程一般式，然
后根据根与系数的关系即可求得答案．
y=a(x-h) 2+k
【详解】解：联立{ ，得a(x-h) 2+k=mx+n，
y=mx+n
化简得：ax2-(2ah+m)x+ah2+k-n=0，
∵二次函数y=a(x-h) 2+k(a≠0)的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于(x，y )和(x，y )两点，
1 1 2 2
∴x ,x 是方程ax2-(2ah+m)x+ah2+k-n=0的解，
1 2
-(2ah+m) m
由根与系数关系得：x +x =- =2h+ ，
1 2 a a
m
A.若a<0，m<0时，则 ＞0，
a
m
∴x +x =2h+ ＞2h，
1 2 a
故本选项符合题意；
m
B. 若a>0，m<0，则 ＜0，
a
m
∴x +x =2h+ ＜2h，
1 2 a
故本选项不符合题意；
m
C. 若x +x >2h，则 ＞0，
1 2 a
∴a>0，m>0或a<0，m<0，
故本选项不符合题意；
m
D. 若x +x <2h，则 ＜0，
1 2 a
∴a>0，m<0或a＜0，m＞0，
故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的交点坐标与对应一元二次方程根的关系、一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是明确二次函数和一次函数图象的交点坐标与对应一元二次方程根的关系以及
熟记根与系数的关系．
【变式6-1】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）已知直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共
点M（1，0），且a<0．
(1)直接写出直线的解析式：___________；直接写出b与a之间的关系：___________；直接写出抛物线顶
点Q的坐标：___________；（只用含a的代数式表示）
(2)说明直线与抛物线有两个交点；
1
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若-1≤a≤- ，求线段MN长度的最小值并直接写出此时△QMN
2
的面积．
( 1 9 )
【答案】(1)y=2x-2；2a+b=0； - ,- a
2 4
(2)证明见解析
105
(3)线段MN长度的最小值为5√5，面积 ；
8
【分析】（1）将点M（1，0）代入y=2x+m和y=ax2+ax+b，即可求出直线的解析式和b与a之间的
关系，将二次函数化为顶点式即可得到抛物线顶点Q的坐标；
（2）联立直线和抛物线解析式，通过计算一元二次方程判别式求解即可．
（3））由（2）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得M N2，利用二次函数性质可求得MN长
度的最小值；然后求出a的值，求出点N和点Q的坐标，设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐
标，利用S =S +S 可求出△QMN的面积．
ΔQMN ΔQEN ΔQEM
【详解】（1）∵直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴将M（1，0）代入y=2x+m得2+m=0，解得m=-2
∴y=2x-2；
∴将M（1，0）代入y=ax2+ax+b得a+a+b=0，
可得2a+b=0，即b=-2a
∴抛物y=ax2+ax-2a=a(x2+x-2)=a ( x+ 1) 2 - 9 a，
2 4
( 1 9 )
∴抛物线顶点Q的坐标为 - ,- a ，
2 4
( 1 9 )
故答案为：y=2x-2；2a+b=0； - ,- a ．
2 4（2）∵直线y=2x-2，抛物线y=ax2+ax-2a，
∴¿，即ax2+ax-2a=2x-2，
整理得ax2+(a-2)x-2a+2=0，
∴Δ=(a-2) 2-4a(-2a+2)=9 ( a- 2) 2 ，
3
∵a<0，
( 2) 2
∴Δ=9 a- >0，
3
∴方程有两个不相等的实数根
∴直线与抛物线有两个交点；
（3）由（2）得ax2+(a-2)x-2a+2=0
2 2
即x2+(1- )x-2+ =0，
a a
2
∴(x-1)(x+2- )=0，
a
2
解得x =1,x = -2，
1 2 a
2 4
∴点N( -2, -6)．
a a
[ 2 ] 2 4 2 1 3 2
根据勾股定理得，M N2= ( -2)-1 +( -6) =20( - ) ，
a a a 2
1
∵-1≤a≤- ，
2
1
∴-2≤ ≤-1，
a
1 3
∴ - <0，
a 2
3 1 2√5
∴MN=2√5( - )=3√5- ，
2 a a
∴5√5≤MN≤7√5．∴线段MN长度的最小值为5√5；
∴此时a=-1
1
作抛物线的对称轴x=- 交直线y=2x-2于点E，
2
1
把x=- 代入y=2x-2得，y=-3，
2
1
即E(- ,-3)，
2
∴M（1，0），
( 1 9)
∴将a=-1代入点N和点Q的坐标得N(-4,-10)，Q - , 且a<0，
2 4
1 (9 ) 105
∴S =S +S = ×(1+4)× +3 = ．
ΔQMN ΔQEN ΔQEM 2 4 8
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、
三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析
式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中
求出点Q和点N的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
【变式6-2】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别
交x轴、y轴于A(-3,0)，B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2-2x+c与x轴的正半轴相交于点C．(1)求k、c的值；
(2)求点C的坐标和抛物线y=-x2-2x+c的顶点坐标；
(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个
公共点，请直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
M
【答案】(1)c=3，k=1
(2)(1,0)，(-1,4)
(3)-8≤x <-3或-30)
则H (-1-a,2a),B (4-a,2a),F (3-a,2+2a)
1 1 1
∵四边形B K F H 为平行四边形
1 1 1
∴K(8-a,2+2a)
1 3
设y = x2- x+d
2 2 2
将H (-1-a,2a),K(8-a,2+2a)代入y
1 2
¿，
16
解得a=
9
(56 50)
∴K ,
9 9
【点睛】本题考查二次函数和一次函数、矩形、平行四边形的结合和图形移动的问题，把几何问题转换成
解方程的思想是本题重点．
【题型8 二次函数中的存在性问题】
1
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，抛物线y= x2-2x-6与x轴相交于点A、点B，与
2
y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m,n)(01.76，即可求出种植点的横坐标的取值范围；
（3）根据（2）的种植点的横坐标的取值范围即可求出数量和出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
【详解】解：（1）如下图所示，
根据题意得OB=10，OA=5，E(-10，1)，F(10，1)，A(0，5)，
设二次函数的解析式为y=kx2+b，
得¿，
1
解方程组得b=5，k=- ，
25
1
∴y=- x2+5；
25
（2）当y>1.76时，
1
得- x2+5>1.76，
25
∴x2<81，
∴-9
