第二节跟踪训练_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第九章

MST老唐说题26版一轮 第二节 跟踪训练 考向1 跟踪训练 【训练1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,5)，(0,5)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为26，则 该椭圆方程为 ． x2 【训练2】若点P在椭圆C :  y2 1上，C 的右焦点为F ，点Q在圆C :x2  y2 10x8y390上， 1 2 1 2 则|PQ||PF|的最小值为 ． x2 y2 a 【训练3】设椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为F 、F ，其焦距为2c，点Q(c, )在椭圆内部， a2 b2 1 2 2 点P是椭圆上动点，且|PF ||PQ|6|FF |恒成立．则椭圆离心率的取值范围是 ． 1 1 2 【训练4】平面内有两个定点F(5,0)和F (5,0)，动点P满足条件|PF ||PF |6，则动点P的轨迹方程 1 2 1 2 是( ) x2 y2 x2 y2 A．  1(x 4) B．  1(x 3) 16 9 9 16 x2 y2 x2 y2 C．  1(x4) D．  1(x3) 16 9 9 16MST老唐说题26版一轮 x2 【训练5】设M 为双曲线C:y2  1上一动点，F 、F 为上、下焦点，O为原点，则下列结论正确的是 3 1 2 ( ) A．若点N(0,8)，则|MN|最小值为7 1 B．若过点O的直线交C 于A、B两点(A、B与M 均不重合），则k k  MA MB 3 C．若点Q(8,1)，M 在双曲线C 的上支，则|MF ||MQ|最小值为2 65 2 D．过F 的直线l交C 于G、H 不同两点，若|GH |7，则l有4条 1 考向2跟踪训练 3 【训练1】动点P(x,y)到点(1,0)的距离与到定直线x3的距离之比是 ，则动点P的轨迹方程是 ． 3 x2 y2 【训练2】已知椭圆  1的焦点为F ，F ，椭圆上的动点P坐标(x ，y )在第一象限，且FPF 为 9 4 1 2 0 0 1 2 锐角，则x 的取值范围为 ． 0 x2 y2 【训练3】若双曲线  1上一点P到它的右焦点的距离是8，则点P到它的右准线的距离是 ． 64 36 x2 y2 【训练4】（2010•江西）点A(x ，y )在双曲线  1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x ，则 0 0 4 32 0 x  ． 0MST老唐说题26版一轮 考向3 跟踪训练 x2 y2 【训练1】椭圆C:  1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP， a2 b2 1 AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为( ) 3 1 3 2 6 A． B． C． D． 3 3 3 3 1 x2 y2 【训练2】（2014•江西）过点M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆C:  1(ab0)相交于A，B两点， 2 a2 b2 若M 是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ． 【训练3】过原点的直线l与双曲线x2 y2 6交于A，B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率 为2，则直线PB的斜率为( ) 1 1 A．4 B．1 C． D． 2 4 x2 y2 【训练4】已知双曲线C:  1(a0,b0)上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直 a2 b2 1 线PA，PB的斜率分别为k ，k ，且k k ( ,1)，则离心率e的取值范围是 ． PA PB PA PB 4 x2 y2 【训练5】已知点P在椭圆T:  1(ab0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A， a2 b2 3 点P关于x轴的对称点为Q，设PD PQ，直线AD与椭圆T的另一个交点为B，若PA PB，则椭圆T 4 的离心率e( ) 1 2 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 3 y2 【训练6】已知双曲线x2  1，过点P(1,1)的直线l与该双曲线相交于A，B两点，若P是线段AB的中 2 点，则直线l的方程为( ) A．2xy10 B．2x y10 C．2xy10 D．该直线不存在MST老唐说题26版一轮 考向4 跟踪训练 x2 y2 【训练1】已知点F 是椭圆  1(ab0)的左焦点，过原点作直线l交椭圆于A、B两点，M 、N分 1 a2 b2 别是AF 、BF 的中点，若MON 90，则椭圆离心率的最小值为( ) 1 1 1 3 1 2 A． B． C． D． 4 4 2 2 x2 y2 【训练2】已知F 是椭圆E:  1(ab0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点， a2 b2 若|PF|5|QF|且PFQ120，则椭圆E的离心率为( ) 7 1 21 21 A． B． C． D． 6 3 6 5  【训练3】已知椭圆和双曲线有共同的焦点F ，F ，P是它们的一个交点，且FPF  ，记椭圆和双曲 1 2 1 2 3 1 线的离心率分别为e ，e ，则 的最大值是( ) 1 2 ee 1 2 2 3 4 3 A． B． C．2 D．3 3 3 x2 y2 【训练4】已知点P是双曲线  1a0,b0上的动点，F 、F 是其左、右焦点，O坐标原点，若 a2 b2 1 2 PF  PF 存在四个点P满足 1 2  6 ，则此双曲线的离心率取值范围 ． OP x2 y2 【训练5】已知椭圆C:  1(ab0)的焦点为F ，F ，若点P在椭圆上，且满足|PO|2|PF ||PF | a2 b2 1 2 1 2 （其中O为坐标原点）的P的个数( ) A．0 B．2 C．4 D．8MST老唐说题26版一轮 考向5 跟踪训练 x2 y2 【训练1】椭圆C:  1(ab0)左右焦点分别为F 、F ，焦距为2，直线l经过F 交椭圆于A，B a2 b2 1 2 2 两点，若ABF 的周长为12，则椭圆标准方程为( ) 1 x2 x2 x2 y2 x2 y2 A．  y2 1 B．  y2 1 C．  1 D．  1 3 4 9 5 9 8 【训练2】已知双曲线C:x2 y2 1的左、右焦点分别为F ，F ，若左支上的两点A，B与左焦点F 三点 1 2 1 共线，且ABF 的周长为8，则|AB|( ) 2 A．2 B．3 C．4 D．6   【训练3】已知F ，F 为椭圆的焦点且|FF |2 5，M ，N是椭圆上两点，且MF 2FN ，以FF 为直 1 2 1 2 1 1 1 2 径的圆经过M 点，则MNF 的周长为( ) 2 A．4 B．6 C．8 D．12 x2 y2 【训练4】已知双曲线C:  1(a0,b0)的左焦点为F ，直线ykx(k 0)与双曲线C 交于P，Q两 a2 b2 1 2   1 b2 点，且PFQ ，PF FQ4，则当 a2  取得最小值时，双曲线C的离心率为( ) 1 3 1 1 2 a2 A．3 B． 3 C．2 D． 2 x2 y2 【训练5】（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F ，F 分别是椭圆C:  1的左，右焦点，点A， 1 2 4 2   B是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足AF FB，则( ) 1 1 A．ABF 的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 2 C．若AB AF ，则3 D．的取值范围是[1，5] 2MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【训练6】已知双曲线  1(a0，b0)的右焦点为F ，过F 作双曲线两渐近线的垂线，垂足分别为 a2 b2 点A，B（A，B分别在一、四象限），若2|AB|=|FA|，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B．2 3 C．4 D．4 3 x2 y2 【训练7】已知双曲线C:  1(a0,b0)的左，右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与圆x2  y2 a2 a2 b2 1 2 1 相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段PQ的垂直平分线恰好过右焦点F ，则双曲线C的离心率 2 为( ) 13 13 5 A． B． C． D．2 2 3 2 x2 y2 【训练8】如图所示，F ，F 是双曲线C:  1(a0,b0)的左、右焦点，双曲线C的右支上存在一 1 2 a2 b2 点B满足BF BF ，BF 与双曲线C的左支的交点A平分线段BF ，则双曲线C的离心率为( ) 1 2 1 1 A．3 B．2 3 C． 13 D． 15 x2 y2 【训练9】如图，已知F 、F 分别为  1(ab0)椭圆的左、右焦点，过F 的直线与椭圆交于P、 1 2 a2 b2 2     Q两点，若QF QP|PQ|2，PF 2FQ ，则FPQ ，椭圆的离心率为 ． 1 2 2 1MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【训练10】已知A，B，C 是双曲线  1(a0,b0)上的三个点，直线AB经过原点O，AC经过 a2 b2 右焦点F ，若BF  AC ，且3AF CF ，则该双曲线的离心率为（ ） 10 5 10 2 A． B． C． D． 2 2 3 3 x2 y2 【训练11】已知F ，F 是双曲线C:  1(a0,b0)的左、右焦点，过F 的直线l与双曲线C交于M ， 1 2 a2 b2 1   N两点，且FN 3FM ，|F M ||F N|，则下列说法正确的是( ) 1 1 2 2 A．△F MN是等边三角形 B．双曲线C 的离心率为 7 2 C．双曲线C的渐近线方程为y 6x D．点F 到直线 6x y0的距离为 6a 1 考向6跟踪训练 【训练1】（2020•新课标Ⅰ）已知A为抛物线C:y2 2px(p0)上一点，点A到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则 p( ) A．2 B．3 C．6 D．9 【训练2】（2021•全国）已知抛物线C:y2 2px(p0)的焦点为F ，过F 倾斜角为45的直线与C交于A， B两点，且|AB|8，则 p ． 【训练3】已知抛物线y2 2x的焦点为F ，过点F 的直线l与抛物线交于A，B两点，若AOF 的面积是 BOF 的面积的两倍，则|AB|( ) 5 9 11 A．2 B． C． D． 2 4 4MST老唐说题26版一轮 【训练4】(2024•江西期末)（多选）已知抛物线y2 2px(p0)上有两点A(x ，y )、B(x ，y )，焦点为F ， 1 1 2 2 下列选项中是“直线AB经过焦点F ”的必要不充分条件的是（ ）   3 p2 1 1 2 A．OAOB p2 B．y y p2 C．xx  D．   4 1 2 1 2 4 |FA| |FB| p 【训练5】(2024•重庆期末)(多选)已知抛物线C:y2 2px(p0)过点B(1，2)，过点A(1，0)的直线交拋 物线于M ，N两点，点N在点M 右侧，若F 为焦点，直线NF ，MF分别交抛物线于P，Q两点，则 （ ）  A．|MF||NF|4 B．|OM ||ON||OB|2 C．A、P、Q三点共线 D．AMP 4 【训练6】（2024•多选•湘潭期末）已知抛物线C:y2 12x，点F 是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的 一点，点M(4,3)，则下列说法正确的是( ) 3 A．抛物线C的准线方程为x3 B．若|PF|7，则PMF 的面积为2 3 2 C．|PF||PM |的最大值为 10 D．PMF 的周长的最小值为7 10MST老唐说题26版一轮 考向7 跟踪训练 x2 x2 【训练1】（2023•新高考Ⅰ）设椭圆C :  y2 1(a1)，C :  y2 1的离心率分别为e ，e ．若e  3e ， 1 a2 2 4 1 2 2 1 则a( ) 2 3 A． B． 2 C． 3 D． 6 3 x2 y2  【训练2】（2024•武汉期中）过椭圆C:  1(ab0)左焦点F(c,0)作倾斜角为 的直线l，与椭圆 a2 b2 6 3 C交于A，B两点，其中P为线段AB的中点，线段PF 的长为 c，则椭圆C的离心率为( ) 3 5 1 3 6 A． B． C． D． 5 2 2 3 x2 y2 【训练3】设F 是双曲线  1(ba0)的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐 a2 b2   近线分别交于A，B两点．若FB=2FA，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D．5 x2 y2 【训练4】已知双曲线E:  1(a0，b0)的左焦点为F ，过点F 的直线与两条渐近线的交点分别 a2 b2 1 1   为M 、N两点（点F 位于点M 与点N之间），且MF =2FN ，又过点F 作FPOM 于P（点O为坐标原 1 1 1 1 1 点），且|ON|=|OP|，则双曲线E的离心率e=（ ） 2 3 6 A． 5 B． 3 C． D． 3 2MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【训练5】（2021•天津）已知双曲线  1(a0,b0)的右焦点与抛物线y2 2px(p0)的焦点重合， a2 b2 抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C ，D两点，若|CD| 2|AB|，则双曲线的 离心率为( ) A． 2 B． 3 C．2 D．3 x2 y2 【训练6】（2021•浙江）已知椭圆  1(ab0)，焦点F(c,0)，F (c，0)(c0)．若过F 的直线和 a2 b2 1 2 1 1 圆(x c)2  y2 c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF  x轴，则该直线的斜率是 ，椭圆 2 2 的离心率是 ． x2 y2 【训练7】已知双曲线C:  1(a0,b0)的右顶点为A，左、右焦点分别为F ，F ，以FF 为直径 a2 b2 1 2 1 2 的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M ，且|MF |2|MA|，则该双曲线的离心率为( ) 1 2 3 A． B． 2 C．2 D． 31 3 x2 y2 【训练8】已知双曲线C:  1(a0，b0)的左、右焦点分别为F ，F ，且以FF 为直径的圆与双 a2 b2 1 2 1 2   曲线C的渐近线在第四象限交点为P，PF 交双曲线左支于Q，若2FQ=QP，则双曲线的离心率为（ ） 1 1 10+1 5+1 A． B． 10 C． D． 5 2 2MST老唐说题26版一轮 考向8跟踪训练 【训练1】我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F 、F 是双曲线的左、 1 2 右焦点，从F 发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F ；当P 2 1 x2 y2 异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分FPF ．若双曲线C 的方程为  1，则下列结论不 1 2 9 16 正确的是( ) 4 4 A．射线n所在直线的斜率为k，则k( , ) B．当mn时，|PF ||PF |32 3 3 1 2 C．当n过点Q(7,5)时，光线由F 到P再到Q所经过的路程为13 2 D．若点T坐标为(1,0)，直线PT 与C相切，则|PF |12 2 x2 y2 【训练2】）已知椭圆  1上一点P位于第一象限，左、右焦点分别为F ，F ，左、右顶点分别为A， 4 3 1 2 1 1 A ，FPF 的角平分线与x轴交于点G，与y轴交于点H(0, )，则( ) 2 1 2 2 3 A．四边形HFPF 的周长为4 5 B．直线AP，A P的斜率之积为 1 2 1 2 4 C．|FG|:|FG|3:2 D．四边形HFPF 的面积为2 1 2 1 2MST老唐说题26版一轮 x2 y2 【训练3】（多选）P为双曲线  1上一点，F 为一个焦点，以PF 为直径的圆与圆x2  y2 a2的位 a2 b2 置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【训练4】（2024•多选•广州期末）设抛物线C:y2 2px(p0)的顶点为O，焦点为F ，准线为l．P(x,y)是 抛物线C上异于O的一点，过P作PQl于点Q，则( ) p A．|PF| x B．线段FQ的垂直平分线经过点P 2 C．以为PF 直径的圆与y轴相切 D．以为PF 直径的圆与准线相切 x2 y2 【训练5】（1）设P是椭圆M :  1(ab0)上任意一点，P是焦点．证明：以PF 为直径的圆与以 a2 b2 椭圆长轴为直径的圆相切； x2 y2 （2）设P是双曲线M :  1(a0,b0)上任意一点，F 是焦点，请你类比（1），写出一个类似的结 a2 b2 论，并证明． 【训练7】已知正四面体ABCD，空间一动点P满足BPAD ，且△PAD的面积为定值，则点P的轨迹为 （ ）. A.直线 B.圆 C.圆 D.抛物线MST老唐说题26版一轮 【训练8】已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，M 为正方形ABCD对角线的交点，动点P在圆 柱下底面内（包括圆周）.若直线AM 与直线MP所成的角为45，则点P形成的轨迹为（ ）. A.椭圆的一部分 B.抛物线的一部分 C.双曲线的一部分 D.圆的一部分 【训练9】设m是平面内的一条定直线，P是平面外的一个定点，动直线n经过点P且与m成30角， 则直线n与平面的交点Q的轨迹是（ ）. A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【训练10】（2023•武汉模拟）如图所示，在圆锥内放入两个球O ，O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的 1 2 每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为C ，C .这两个球都与平面相切，切点分别为F ，F ， 1 2 1 2 丹德林(GDandelin)利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，F ，F 为此椭圆的两个焦点， 1 2 这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30，C ，C 的半径分别为1，4，点M 1 2 为C 上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段PF 的长 2 1 之和的最小值是( ) A．6 B．8 C．3 3 D．4 3MST老唐说题26版一轮 【训练11】（2024•浙江模拟）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的 角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin(17941847)的方法非常巧妙，极具 创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切 于E，F ，在截口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C ，B，由球与圆的几何 性质，可以知道，AE  AC ，AF  AB，于是AE AF  AB AC BC．由B，C的产生方法可知，它们 之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F 为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的 球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知AA 是椭圆的长轴，PA 垂直 1 2 1 于桌面且与球相切，PA 7，则椭圆的离心率为 ． 1