文档内容
第五章 平面向量与复数综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
(cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53)
(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)
2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35)
(cid:29) I (cid:27)(cid:93)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:102) (cid:38) (cid:103)(cid:32)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:38)“ = ”(cid:103)“ = ”(cid:46)(cid:93) (cid:94)
| | | |
𝑎 𝑏
A(cid:95)(cid:107)(cid:28)(cid:108)(cid:109)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:112) 𝑎 𝑏 B(cid:95)(cid:42)(cid:110)(cid:108)(cid:109)(cid:107) 𝑎 (cid:28)(cid:111)𝑏(cid:112) 𝑎 𝑏
C(cid:95)(cid:107)(cid:28)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:112) D(cid:95)(cid:113)(cid:109)(cid:107)(cid:28)(cid:114)(cid:109)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:112)
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:122)(cid:123)(cid:49)(cid:124)(cid:125)(cid:105)(cid:106)(cid:126)(cid:127)(cid:111)(cid:112)(cid:128)(cid:46)(cid:129)(cid:59)(cid:3)(cid:130)(cid:38)(cid:88)(cid:131)(cid:107)(cid:28)(cid:49)(cid:42)(cid:110)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136)(cid:36)(cid:62).
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:139) = (cid:140)(cid:141)(cid:124)(cid:125)(cid:105)(cid:106)(cid:122)(cid:123)(cid:38)(cid:142) , (cid:143)(cid:105)(cid:38)(cid:144)(cid:109)(cid:145)(cid:146)(cid:133)(cid:147)(cid:148)(cid:101)(cid:103)(cid:149)(cid:122)(cid:123)(cid:38)(cid:135)(cid:109)(cid:145)(cid:129)(cid:59) = (cid:38)
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:139) = (cid:140)(cid:141) , (cid:143)(cid:105)(cid:150)(cid:101)(cid:122)(cid:123)(cid:38)(cid:142) = (cid:38)
| | | |
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(cid:151)(cid:152)“ = ”(cid:103)“ = ”(cid:46)(cid:42)(cid:110)(cid:108)(cid:109)(cid:107)(cid:28)(cid:111)(cid:112).
| | | |
𝑎 𝑏
(cid:153)(cid:20)(cid:10) 𝑎 B. 𝑏 𝑎 𝑏
2(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:154)(cid:155)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:160)(cid:13) = i(cid:38)(cid:142) =(cid:93) (cid:94)
𝑧
𝑧 2− 𝑧−𝑧
1 1 1 1
A(cid:95) +i B(cid:95) i C(cid:95) +i D(cid:95) i
2 2 2 2
− − − −
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:161)(cid:162)(cid:160)(cid:13)(cid:31)(cid:163)(cid:164)(cid:164)(cid:142)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:38)(cid:169)(cid:170)(cid:36)(cid:62).
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:171)(cid:172) = i(cid:38)(cid:151)(cid:152) =2+i(cid:38)
2 i 𝑧 22i− (2 i)i 𝑧 2i 1
(cid:151)(cid:152) = = = = = +i(cid:95)
i (2 i) i ( i)i 2 2
𝑧 + + + ⋅ −1+
(cid:153)(cid:20) 𝑧 (cid:10) −𝑧 A(cid:95) 2−− + −2 −2 ⋅ −3(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:173)(cid:154)(cid:174)(cid:175)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:105)(cid:106) , (cid:172)(cid:124)(cid:125)(cid:105)(cid:106)(cid:38)| |= 3(cid:150) + + =0(cid:38)(cid:142) (cid:176) (cid:46)(cid:177)(cid:178)
(cid:172)(cid:93) (cid:94) 𝑎𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
2
A(cid:95) B(cid:95) C(cid:95) D(cid:95)
6 4 3 3
π π π π
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:179)(cid:64)(cid:180)(cid:16)(cid:164)(cid:181)(cid:169) (cid:38)(cid:83)(cid:179)(cid:64)(cid:33)(cid:182)(cid:105)(cid:106)(cid:177)(cid:178)(cid:46)(cid:183)(cid:184)(cid:7)(cid:185)(cid:135)(cid:186)(cid:169)(cid:116).
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:171)(cid:172)(cid:105)(cid:106) , (cid:187)(cid:172)𝑎(cid:124)⋅𝑏(cid:125)(cid:105)(cid:106)(cid:38)(cid:135)| |=| |=1(cid:38)(cid:150) + + =0(cid:38)| |= 3(cid:38)
(cid:142) + = (cid:38)(cid:33)(cid:188)(cid:189)(cid:190)𝑎(cid:186)𝑏 (cid:169)| |2+| |2+2 𝑎=|𝑏|2(cid:38) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐
𝑎 𝑏 −𝑐 𝑎 𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑐 1
(cid:135)2 =1(cid:38)(cid:151)(cid:152) =| | | | cos , =cos , = (cid:38)
2
𝑎⋅𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 〈𝑎𝑏〉 〈𝑎𝑏〉
(cid:191)0 , (cid:38)(cid:151)(cid:152) (cid:176) (cid:46)(cid:177)(cid:178)(cid:172) (cid:95)
3
π
≤〈𝑎𝑏〉≤π 𝑎 𝑏
(cid:153)(cid:20)(cid:10)C(cid:95)
4(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:192)(cid:193)·(cid:194)(cid:101)(cid:94)(cid:195)(cid:160)(cid:13) =( )+( )i( )(cid:172)(cid:196)(cid:197)(cid:13)(cid:38)(cid:142)(cid:160)(cid:13) + (cid:54)(cid:160)(cid:189)(cid:198)(cid:56)(cid:46)(cid:68)
(cid:69)(cid:199)(cid:46)(cid:125)(cid:200)(cid:54)(cid:93) (cid:94) 𝑧 2−𝑎 2𝑎−1 𝑎∈𝑅 𝑧 𝑎
A(cid:95)(cid:29)(cid:90)(cid:201)(cid:202)(cid:203) B(cid:95)(cid:29)(cid:194)(cid:201)(cid:202)(cid:203)
C(cid:95)(cid:29)(cid:100)(cid:201)(cid:202)(cid:203) D(cid:95)(cid:29)(cid:204)(cid:201)(cid:202)(cid:203)
【解题思路】根据纯虚数的定义解出 ，利用复数的几何意义求解．
𝑎 =0
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119) 复数 = + i R)为纯虚数， , =2，
0
2−𝑎
∵ 𝑧 (2−𝑎) (2𝑎−1)(𝑎∈ ∴ ∴𝑎
复数 + =3i+2在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一象限2．𝑎−1≠
故选𝑧：A𝑎．
5(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:204)(cid:205)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:189)(cid:166)(cid:204)(cid:188)(cid:206) (cid:207)(cid:38) (cid:172) (cid:207)(cid:199). (cid:172)(cid:208)(cid:209) (cid:56)(cid:210)(cid:211)(cid:199) (cid:46)(cid:204)(cid:123)(cid:28)
(cid:199)(cid:38)(cid:102) = (cid:38) = (cid:38)(cid:142) =(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐹 𝐴𝐷 𝐴
𝐴𝐵1 𝑎1 𝐴𝐷 𝑏 𝐸𝐹 3 1
A(cid:95) B(cid:95)
4 2 4 2
− 𝑎− 𝑏 − 𝑎− 𝑏
1 1 1 3
C(cid:95) D(cid:95)
2 4 2 4
− 𝑎− 𝑏 − 𝑎− 𝑏
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:179)(cid:64)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:208)(cid:132)(cid:212)(cid:168)(cid:186)(cid:169)(cid:36)(cid:62).
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:74)(cid:213)(cid:151)(cid:141)(cid:38)(cid:139)(cid:21)(cid:22)(cid:186)(cid:169) = + = + (cid:38)
1 1 1 𝐴𝐶 𝐴𝐵1 𝐴𝐷 1 𝑎1 𝑏
(cid:108) = + = + = + + = (cid:38)
2 4 2 4 2 4
(cid:153) 𝐸 (cid:20) 𝐹 (cid:10)C 𝐸 . 𝐴 𝐴𝐹 𝐶𝐴 𝐴𝐷 − 𝑎 𝑏 𝑏 − 𝑎− 𝑏6(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:173)(cid:154)(cid:214)(cid:215)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:164)(cid:216)(cid:13)(cid:11)(cid:217)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:93)1667-1754(cid:221)(cid:94)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:218)(cid:219)(cid:220)(cid:133)(cid:15)(cid:10)(cid:102)(cid:33)(cid:182)(cid:160)
(cid:13) = (cos +isin )(cid:38) = (cos +isin )( , >0)(cid:38)(cid:142) = [cos( + )+isin( + )].
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:102) 𝑧 = 𝑟1 3i(cid:38) 𝜃 (cid:142) 2024 𝜃 (cid:46)(cid:197) 𝑧 (cid:34)(cid:172)(cid:93) 𝑟 (cid:94) 𝜃 𝜃 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃
2 2
𝑧 − − 𝑧
A(cid:95) 3 B(cid:95) 3 C(cid:95)1 D(cid:95)0
2 2
−
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:225)(cid:206)(cid:160)(cid:13) (cid:38)(cid:120)(cid:121)(cid:21)(cid:207)(cid:133)(cid:134)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:38)(cid:135)(cid:186)(cid:126)(cid:133).
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119) =
1 𝑧3i=cos 4
+isin
4
(cid:38)
2 2 3 3
π π
𝑧 − −
(cid:151)(cid:152) 2024=cos 4 ×2024 +isin 4 ×2024
3 3
π π
𝑧
=cos 2 +isin 2 = 1 + 3i,
3 3 2 2
π π
−
(cid:151)(cid:152) 2024(cid:46)(cid:197)(cid:34)(cid:172) 3.
2
𝑧
(cid:153)(cid:20):B.
7(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:189)(cid:198)(cid:105)(cid:106) =( )(cid:38) =( )(cid:38)(cid:142)(cid:226)(cid:227)(cid:88)(cid:228)(cid:90)(cid:133)(cid:229)(cid:230)(cid:46)(cid:103)(cid:93) (cid:94)
A(cid:95) // B(cid:95) C(cid:95)|𝑎|=21|,𝑚| 𝑏 2,D−(cid:95)2𝑚 =( )
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)𝑎 (cid:118)𝑏(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:161)(cid:208)𝑎(cid:46)⊥(cid:231)𝑏(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:181)(cid:59)(cid:232)(cid:13) 𝑏(cid:46)(cid:233)(cid:38)𝑎(cid:135)(cid:186)(cid:126)(cid:127)A(cid:234)(cid:120)𝑎(cid:121)−𝑏 =1,−03(cid:235)𝑚(cid:13)(cid:106)(cid:236)(cid:46)(cid:231)(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:181)
(cid:59) (cid:38)(cid:135)(cid:186)(cid:126)(cid:127)B(cid:234)(cid:140)(cid:141)(cid:59)| |(cid:38)| |(cid:38)(cid:135)(cid:186)(cid:126)(cid:127)C𝑚(cid:234)(cid:120)(cid:121)(cid:189)(cid:198)(cid:105)(cid:106)(cid:208)(cid:132)(cid:212)(cid:168)(cid:46)𝑎(cid:231)⋅(cid:71)𝑏 (cid:140)(cid:141)(cid:126)(cid:127)D.
(cid:115)𝑚(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:68)(cid:237)A(cid:10)(cid:195) //𝑎 (cid:38)(cid:142)𝑏1×( )= (cid:38)(cid:116)(cid:169) =0(cid:38)(cid:153)A(cid:238)(cid:146)(cid:234)
(cid:68)(cid:237)B(cid:10)(cid:195) (cid:38)(cid:142) 𝑎=1𝑏× 2−=20𝑚(cid:38)(cid:116)(cid:169)2𝑚 =±1(cid:38)𝑚(cid:153)B(cid:238)(cid:146)(cid:234)
(cid:68)(cid:237)C(cid:10)(cid:171) 𝑎 (cid:172) ⊥ | 𝑏 |= 1 𝑎 + ⋅𝑏 2(cid:38)| |2 = −2𝑚 22+( )2 𝑚 = 4+4 2=2 1+ 2(cid:38)
(cid:239)(cid:240)| |=2| |(cid:38) 𝑎 (cid:153)C(cid:238)(cid:146) 𝑚 (cid:234) 𝑏 −2𝑚 𝑚 𝑚
(cid:68)(cid:237)D𝑏(cid:10) 𝑎=( ) ( )=( )(cid:38)(cid:153)D(cid:229)(cid:230).
(cid:153)(cid:20)(cid:10)D.𝑎−𝑏 1,𝑚 − 2,−2𝑚 −1,3𝑚
8(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:204)(cid:205)(cid:241)(cid:242)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:54)(cid:243)(cid:206) (cid:207)(cid:38) = =4(cid:38)(cid:199) (cid:103)(cid:208)(cid:209) (cid:56)(cid:90)(cid:199)(cid:38)(cid:150)(cid:244)(cid:245)
= .(cid:54)(cid:189)(cid:198) (cid:207)(cid:38)(cid:77)(cid:199) (cid:54)(cid:152) (cid:172)(cid:246)(cid:247)(cid:38)𝐴1𝐵(cid:172)𝐶𝐷(cid:248)(cid:249)(cid:46)𝐴(cid:246)𝐵 (cid:56)5(cid:212),𝐴(cid:77)𝐷(cid:38)(cid:142) 𝐸 (cid:46)(cid:250)(cid:98)𝐴𝐵(cid:233)(cid:172)(cid:93) (cid:94)
𝐴𝐸A(cid:95)4𝐸𝐵41+4 𝐴𝐵𝐶𝐷B(cid:95) 41 𝑃 𝐸 C(cid:95)2 13+4 D(cid:95)2𝐷1𝑃3⋅𝐴𝐶
−6 −6(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:251)(cid:252)(cid:253)(cid:178)(cid:231)(cid:71)(cid:130)(cid:38)(cid:179)(cid:64)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:231)(cid:71)(cid:212)(cid:168)(cid:135)(cid:186)(cid:88)(cid:131)(cid:100)(cid:178)(cid:254)(cid:13)(cid:46)(cid:132)(cid:255)(cid:181)(cid:116).
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:152) (cid:172)(cid:231)(cid:71)(cid:256)(cid:199)(cid:38)(cid:251)(cid:252)(cid:74)(cid:213)(cid:151)(cid:141)(cid:46)(cid:253)(cid:178)(cid:231)(cid:71)(cid:130)(cid:38)
(cid:77)(cid:199) (cid:54)(cid:152) (cid:172)(cid:246)𝐸(cid:247)(cid:38)1(cid:172)(cid:248)(cid:249)(cid:46)(cid:246)(cid:56)(cid:212)(cid:77)(cid:38)(cid:153)(cid:102) (cos sin )(cid:38)
(cid:142) (𝑃0,4) 𝐸(4,4) ( ), 𝑃 𝜃, 𝜃
𝐴 =,𝐷(cos ,𝐶 4s,i−n1 ) ( )=4(cos ) (sin )= 41cos( + )+4(cid:38)(cid:84)(cid:207)(cid:257)(cid:178) (cid:244)(cid:245)tan =
𝐷5𝑃⋅𝐴𝐶 𝜃−4, 𝜃−4 ⋅ 4,−5 𝜃−4 −5 𝜃−4 𝜃 𝜑 𝜑 𝜑
(cid:38)
4
(cid:153) (cid:46)(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:172) 41+4,
(cid:153)𝐷(cid:20)𝑃(cid:10)⋅A𝐴𝐶.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:258)(cid:259)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:105)(cid:106) =(1, 3)(cid:38) =( )(cid:38)(cid:142)(cid:226)(cid:227)(cid:260)(cid:164)(cid:238)(cid:146)(cid:46)(cid:103)(cid:93) (cid:94)
𝑎 𝑏 −2,0
A(cid:95) =2 B(cid:95) (cid:176) (cid:46)(cid:177)(cid:178)(cid:172)
3
π
𝑎⋅𝑏 𝑎 𝑏
1
C(cid:95) +2 D(cid:95) + (cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:261)(cid:262)(cid:105)(cid:106)(cid:172)
2
𝑎⊥ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:179)(cid:64)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:231)(cid:71)(cid:212)(cid:168)(cid:135)(cid:186)(cid:38)(cid:84)(cid:207) + (cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:261)(cid:262)(cid:105)(cid:106)(cid:7)(cid:185)(cid:172) .
| | | |
𝑎+𝑏 ⋅𝑏 𝑏
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:68)(cid:237)A(cid:38)(cid:139)(cid:105)(cid:106) =(1, 3)(cid:38) = 𝑎 ( 𝑏 )(cid:38) 𝑏 (cid:142) =1×( )+ 3 𝑏×0 ⋅ =𝑏 (cid:38)(cid:153)A(cid:103)(cid:229)(cid:230)(cid:46)(cid:234)
𝑎 𝑏 −2,0 𝑎⋅𝑏 −2 −2
(cid:68)(cid:237)B(cid:38)(cid:139)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:177)(cid:178)(cid:7)(cid:185)(cid:169)(cid:10)(cid:38)(cid:151)(cid:152) (cid:176) (cid:46)(cid:177)(cid:178)(cid:172) (cid:38)(cid:153)B(cid:103)(cid:229)(cid:230)(cid:46)(cid:234)
3
2π
𝑎 𝑏
(cid:68)(cid:237)C(cid:38)(cid:139) +2 =(1, 3)+2( )=( 3)(cid:38)(cid:151)(cid:152) +2 =(1, 3) ( 3)= +3=0(cid:38)(cid:135)
⃗ ⃗ ⃗
+2 (cid:38)(cid:153) 𝑎 C(cid:103) 𝑏 (cid:238)(cid:146)(cid:46)(cid:234) −2,0 −3, 𝑎⋅ 𝑎 𝑏 ⋅ −3, −3 𝑎⊥
(cid:68)𝑎(cid:237)D𝑏(cid:38)(cid:139) + =(1, 3)+( )=( 3)(cid:38)(cid:142) + (cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:261)(cid:262)(cid:105)(cid:106)(cid:172)(cid:10)
= 𝑎( 𝑏3)( ) ( −)2 = ,0 ( − ) 1 = , 1 (cid:38)(cid:153)D 𝑎 (cid:103) 𝑏 (cid:238)(cid:146) 𝑏 (cid:46)(cid:234)
| | | | 2 2 2
𝑎+𝑏 ⋅𝑏 𝑏 −1, ⋅ −2,0 −2,0
(cid:153)(cid:20)𝑏 (cid:10) ⋅ C𝑏D. ⋅ −1,0 𝑏10(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:258)(cid:259)(cid:263)(cid:264)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:160)(cid:13) = + i( R)(cid:38)(cid:226)(cid:227)(cid:260)(cid:164)(cid:238)(cid:146)(cid:46)(cid:103)(cid:93) (cid:94)
A(cid:95)(cid:195) (cid:172)(cid:196)(cid:197)(cid:13)(cid:38)(cid:142) + =0 𝑧 𝑎 𝑏 𝑎,𝑏∈
𝑧 1 i 𝑎 𝑏 2
B(cid:95)(cid:195) (cid:103) (cid:46)(cid:161)(cid:162)(cid:160)(cid:13)(cid:38)(cid:142) + =
i 5
+
C(cid:95)(cid:195) 𝑧 = 1 ( − 1 3 +i)( i)(cid:38)(cid:142) 𝑎 + 𝑏 =2 −
D(cid:95)(cid:195)𝑧| i|=1(cid:38)1(cid:142)−|3|(cid:265)(cid:250)(cid:98)𝑎(cid:233)(cid:58)𝑏 (cid:38) + =2
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)𝑧(cid:119)−(cid:120)(cid:121)(cid:160)(cid:13)(cid:46)𝑧(cid:266)(cid:267)(cid:181)(cid:116)(cid:232)(cid:13)(cid:46)𝑎(cid:233)(cid:126)𝑏(cid:127)A(cid:38)(cid:179)(cid:64)(cid:160)(cid:13)(cid:46)(cid:163)(cid:164)(cid:212)(cid:168)(cid:235)(cid:161)(cid:162)(cid:160)(cid:13)(cid:46)(cid:268)(cid:269)(cid:181)(cid:116)(cid:232)(cid:13)(cid:126)(cid:127)
B(cid:38)(cid:179)(cid:64)(cid:160)(cid:13)(cid:46)(cid:270)(cid:164)(cid:212)(cid:168)(cid:181)(cid:116)(cid:232)(cid:13)(cid:126)(cid:127)C(cid:38)(cid:120)(cid:121)(cid:160)(cid:13)(cid:101)(cid:46)(cid:212)(cid:168)(cid:88)(cid:131)(cid:100)(cid:178)(cid:271)(cid:272)(cid:181)(cid:116)(cid:250)(cid:233)(cid:135)(cid:186)(cid:126)(cid:127)D.
=0
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:68)(cid:237)A(cid:10)(cid:160)(cid:13) = + i(cid:46)(cid:273)(cid:34)(cid:172) (cid:38)(cid:197)(cid:34)(cid:172) (cid:38)(cid:195) (cid:172)(cid:196)(cid:197)(cid:13)(cid:38)(cid:142) (cid:38)
0
𝑎
𝑧 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑧
(cid:153) + = 0(cid:38)(cid:229)(cid:230)(cid:234) 𝑏≠
𝑎 𝑏 𝑏≠1 i (1 i)(1 3i) 1 2 1 2 3
(cid:68)(cid:237)B(cid:10)(cid:171)(cid:172) = = + i(cid:38)(cid:151)(cid:152) = i(cid:38)(cid:142) + = (cid:38)(cid:229)(cid:230)(cid:234)
i ( i)(1 3i) 5 5 5 5 5
+ + +
(cid:68)(cid:237)C(cid:10) =( 1 1 − + 3 i)( 1−3 i)= + − i(cid:38)(cid:142) + =2 𝑧 (cid:38)(cid:238) − (cid:146) − (cid:234) 𝑎 𝑏 −
(cid:68)(cid:237)D(cid:10) 𝑧 (cid:171)(cid:172)| i|= 1 1 −(cid:38)3(cid:151)(cid:152) 4−2 2+( 𝑎 )2 𝑏 =1(cid:38)(cid:135) 2+( )2=1(cid:38)
=cos 𝑧− 𝑎 𝑏−1 𝑎 𝑏−1
(cid:274) (cid:38)(cid:142)| |= 2+ 2= cos2 +(1+sin )2= 2+2sin (cid:38)
=1+sin
𝑎 𝜃
(cid:171)(cid:172)𝑏 R(cid:38)(cid:151)𝜃(cid:152) 𝑧sin 𝑎 1(cid:38)𝑏(cid:151)(cid:152)(cid:275)sin𝜃=1(cid:58)(cid:38)| |(cid:265)𝜃 (cid:170)(cid:250)(cid:98)(cid:233)2(cid:38)𝜃
𝜃∈ =cos =−10≤ 𝜃≤ 𝜃 𝑧
(cid:276)(cid:58) (cid:38)(cid:151)(cid:152) + =2(cid:38)(cid:238)(cid:146).
=1+sin =2
𝑎 𝜃
𝑎 𝑏
(cid:153)(cid:20)(cid:10)𝑏CD. 𝜃
11(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:258)(cid:154)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:277)(cid:278)(cid:46)(cid:279)(cid:280)(cid:103)(cid:274)(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:46)(cid:284)(cid:285)(cid:286)(cid:240)(cid:251)(cid:287)(cid:14)(cid:38)(cid:279)(cid:280)(cid:103)(cid:288)(cid:289)(cid:46)(cid:290)(cid:178)(cid:291)(cid:292)(cid:293)(cid:38)(cid:147)
(cid:46)(cid:90)(cid:294)(cid:103)(cid:189)(cid:295)(cid:46)(cid:290)(cid:178)(cid:206)(cid:296)(cid:297)(cid:38)(cid:298)(cid:90)(cid:294)(cid:103)(cid:299)(cid:300)(cid:46)(cid:290)(cid:178)(cid:301)(cid:206)(cid:46)(cid:302)(cid:93)(cid:139)(cid:100)(cid:182)(cid:122)(cid:143)(cid:46)(cid:301)(cid:206)(cid:303)(cid:241)(cid:94)(cid:279)(cid:207)(cid:304)(cid:299)(cid:305)(cid:46)(cid:103)(cid:44)
(cid:240)(cid:241)(cid:306)(cid:46)(cid:278)(cid:277)(cid:38)(cid:74)(cid:213)(cid:103)(cid:90)(cid:182)(cid:278)(cid:279)(cid:46)(cid:238)(cid:290)(cid:188)(cid:206)(cid:296)(cid:297)ABCDEF(cid:38)(cid:147)(cid:46)(cid:188)(cid:307)(cid:172)1(cid:38)(cid:199)P(cid:103) DEF(cid:203)(cid:34)(cid:93)(cid:308)(cid:309)(cid:188)(cid:310)(cid:94)
(cid:46)(cid:77)(cid:199)(cid:38)(cid:142)(cid:93) (cid:94) △
1
A(cid:95) =
2
𝐷𝐸 𝐴𝐹− 𝐴𝐷3
B(cid:95) =
4
C(cid:95)
𝐴
(cid:195)
𝐶P⋅𝐵
(cid:172)
𝐷EF(cid:46)(cid:207)(cid:199)(cid:38)(cid:142)
(cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:261)(cid:262)(cid:105)(cid:106)(cid:172) 3
D(cid:95)| + |(cid:46)(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:172) 𝐶7𝑃 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)𝐹(cid:118)𝐸(cid:119)(cid:68)𝐹𝑃(cid:237)A(cid:10)(cid:120)(cid:121)(cid:238)(cid:290)(cid:188)(cid:206)(cid:46)(cid:132)(cid:255)(cid:88)(cid:131)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:208)(cid:132)(cid:212)(cid:168)(cid:181)(cid:116)(cid:234)(cid:68)(cid:237)C(cid:10)(cid:120)(cid:121) (cid:88)(cid:131)(cid:261)(cid:262)(cid:105)(cid:106)
(cid:46)(cid:133)(cid:134)(cid:28)(cid:311)(cid:126)(cid:127)(cid:234)(cid:68)(cid:237)BD(cid:10)(cid:251)(cid:130)(cid:38)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:231)(cid:71)(cid:212)(cid:168)(cid:181)(cid:116). 𝐶𝐸⊥𝐸𝐹
1
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:68)(cid:237)(cid:20)(cid:24)A(cid:10)(cid:171)(cid:172) = = (cid:38)(cid:153)A(cid:238)(cid:146)(cid:234)
2
𝐷𝐸 𝑂𝐸−𝑂𝐷 𝐴𝐹− 𝐴𝐷
(cid:68)(cid:237)(cid:20)(cid:24)C(cid:10)(cid:139)(cid:21)(cid:22)(cid:186)(cid:136)(cid:10) (cid:38)
(cid:195)P(cid:172)EF(cid:46)(cid:207)(cid:199)(cid:38)(cid:151)(cid:152) 𝐶(cid:54)𝐸⊥𝐸(cid:56)𝐹(cid:46)(cid:261)(cid:262)(cid:105)(cid:106)(cid:172) (cid:38)(cid:153)C(cid:229)(cid:230)(cid:234)
(cid:68)(cid:237)(cid:20)(cid:24)BD(cid:10)(cid:74)(cid:213)(cid:38)(cid:251)(cid:252)𝐶𝑃(cid:189)(cid:198)𝐸(cid:253)𝐶 (cid:178)(cid:231)(cid:71)(cid:130)(cid:38) −𝐸𝐶
(cid:142) 1 3 1 3 (1,0) 1 , 3 1 3 ( )(cid:38)
2 2 2 2 2 2 2 2
𝐴 − ,− ,𝐵 ,− ,𝐶 ,𝐷 ,𝐸 ,− ,𝐹 −1,0
(cid:186)(cid:169) = 3 , 3 , =(0, 3)(cid:38)(cid:151)(cid:152) = 3 (cid:38)(cid:153)B(cid:229)(cid:230)(cid:234)
2 2 2
𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐴𝐶⋅𝐵𝐷
(cid:102) ( )(cid:38)(cid:186)(cid:136) 1 ,0 3(cid:38)
2 2
𝑃 𝑥,𝑦 −1≤𝑥≤ ≤𝑦≤
(cid:142) = 1 , 3 , =( + )(cid:38)(cid:186)(cid:169) + = + 3 + 3 (cid:38)
2 2 2 2
𝐹𝐸 𝐹𝑃 𝑥 2 1,𝑦 2 𝐹𝐸 𝐹𝑃 𝑥 ,𝑦
(cid:142)| + |= + 3 + + 3 (cid:38)
2 2
(cid:186)(cid:136)
𝐹𝐸
(cid:275)
𝐹
=
𝑃1
= 3
𝑥
(cid:38)(cid:135)(cid:199) (cid:176)
𝑦
(cid:199) (cid:192)(cid:131)(cid:58)(cid:38)| + |(cid:46)(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:172) 7(cid:38)(cid:153)D(cid:238)(cid:146)(cid:234)
2 2
(cid:153)(cid:20)(cid:10)A 𝑥 D. ,𝑦 𝑃 𝐷 𝐹𝐸 𝐹𝑃
(cid:29) II (cid:27)(cid:93)(cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1 1
12(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:173)(cid:154)(cid:174)(cid:175)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:160)(cid:13) = i(cid:93)i(cid:172)(cid:197)(cid:13)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:38)(cid:142) (cid:46)(cid:197)(cid:34)(cid:172) .
i 2
𝑧 1−− 𝑧1 1 1 1
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:120)(cid:121)(cid:160)(cid:13)(cid:46)(cid:212)(cid:168)(cid:164)(cid:142)(cid:186)(cid:169) = i(cid:38)(cid:165)(cid:108) = + i(cid:38)(cid:88)(cid:131)(cid:160)(cid:13)(cid:46)(cid:312)(cid:3)(cid:268)(cid:269)(cid:135)(cid:186)(cid:181)(cid:116).
2 2 2 2
𝑧 − 𝑧
1 1 i 1 1
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119) = i= i= i(cid:38)
i i)(1 i) 2 2
+
𝑧 1−− (1− + − −
1 1
(cid:151)(cid:152) = + i(cid:38)
2 2
𝑧
1
(cid:142) (cid:46)(cid:197)(cid:34)(cid:172) .
2
𝑧
(cid:153)(cid:36)(cid:62)(cid:172)(cid:10)
1.
2
13(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:313)(cid:314)(cid:307)(cid:315)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:189)(cid:198)(cid:105)(cid:106) , , (cid:244)(cid:245)(cid:10) (cid:38) , = (cid:38) , = (cid:38)(cid:150) | |=| |=3(cid:38)
3 6
π π
| |=2(cid:38)(cid:142) | + + |= 3 3+1 . 𝑎𝑏𝑐 𝑎⊥𝑐 ⟨ 𝑎𝑏 ⟩ ⟨ 𝑏𝑐 ⟩ 𝑎 𝑐
(cid:115) 𝑏 (cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119) 𝑎 (cid:88)(cid:131) 𝑏 (cid:13)(cid:106) 𝑐 (cid:236)(cid:46)(cid:133)(cid:134)(cid:31)(cid:132)(cid:255)(cid:181)(cid:59) (cid:49) (cid:31) (cid:38)(cid:179)(cid:64)| + + |= + + 2 (cid:135)(cid:186)(cid:181)(cid:59)(cid:36)
(cid:62). 𝑎⋅𝑐 𝑎⋅𝑏 𝑏⋅𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:171)(cid:172) (cid:38)(cid:151)(cid:152) =0(cid:38)
(cid:171)(cid:172)| |=| |=3(cid:38)
𝑎|⊥|= 𝑐
2(cid:38) ,
𝑎⋅
=
𝑐
(cid:38) , = (cid:38)
3 6
π π
𝑎 𝑐 𝑏 𝑎𝑏 𝑏𝑐
(cid:151)(cid:152) =| | | |cos , =3⟨×2⟩ ×cos ⟨=3⟩(cid:38)
3
π
𝑎⋅𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
=| | | |cos , =⟨ 2⟩×3×cos =3 3(cid:38)
6
π
𝑏⋅𝑐 𝑏 𝑐 𝑏𝑐
| |2⟨ ⟩ 2
(cid:171)(cid:172) + + = + + (cid:38)
+
𝑎
+
𝑏2
=
𝑐
| |2+
𝑎
| |
𝑏2
+|
𝑐
|2+2 + + =28+6 3=(3 3+1) 2 (cid:38)
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎⋅𝑏 𝑎⋅𝑐 𝑏⋅𝑐
(cid:151)(cid:152)| + + |= + + 2 = (3 3+1) 2 =3 3+1.
(cid:153)(cid:36)(cid:62)𝑎(cid:172)(cid:10)𝑏 3𝑐3+1. 𝑎 𝑏 𝑐
1 1
14(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:286)(cid:316)(cid:314)(cid:296)·(cid:194)(cid:101)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:54)(cid:189)(cid:166)(cid:204)(cid:188)(cid:206) (cid:207)(cid:38) = (cid:38) = (cid:38)(cid:317) = (cid:38) =
2 2
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐵𝐹 𝐹𝐶 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷
(cid:38)(cid:64) (cid:31) (cid:140)(cid:141) =
1
+ (cid:234)(cid:195) =2(cid:38) = 6(cid:38)(cid:142) (cid:233)(cid:172)
9
.
3 4
𝑏 𝑎 𝑏 𝐴𝐸 𝑎 𝑏 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐶⋅𝐷𝐵
1 1 1
(cid:115)(cid:116)(cid:21)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:68)(cid:237)(cid:318)1(cid:38)(cid:139) = (cid:169) = = (cid:38)(cid:88)(cid:131) = + (cid:135)(cid:186)(cid:169)(cid:116)(cid:234)(cid:68)(cid:237)(cid:318)2(cid:38)(cid:179)(cid:64)(cid:159)
2 3 3
𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸
(cid:136)(cid:111)(cid:112)(cid:43)(cid:105)(cid:106) (cid:31) (cid:180)(cid:271)(cid:241)(cid:105)(cid:106) (cid:31) (cid:319)(cid:140)(cid:141)(cid:135)(cid:186)(cid:169)(cid:116).
𝐴𝐶 𝐷𝐵 1 𝐴𝐹 𝐴𝐸1 1
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:171)(cid:172) = (cid:38)(cid:151)(cid:152) = = (cid:38)
2 3 3
𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐶 𝐴𝐵
1 1
(cid:151)(cid:152) = + = + = + (cid:234)
3 3
𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝑏 𝑎1 1 1
(cid:171)(cid:172) = (cid:38)(cid:151)(cid:152) = = (cid:38)
2 3 3
𝐵𝐹 𝐹𝐶 𝐵𝐹 𝐵𝐶 𝐴𝐷
1 1
(cid:151)(cid:152) = + = + = + + = + (cid:38)
3 3
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐹−𝐵𝐹 𝐴𝐸−𝐷𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸− 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐸− 𝐴𝐶
4 3 3 3
(cid:153) = + (cid:38)(cid:135) = + = + (cid:38)
3 4 4 4
𝐴𝐶 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐶 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹 𝐴𝐸
1 1
(cid:191) = = = + = + = + (cid:38)
3 3
𝐷𝐵 𝐴𝐵−𝐴𝐷 𝐴𝐹−𝐵𝐹 − 𝐴𝐸−𝐷𝐸 𝐴𝐹−𝐴𝐸 𝐷𝐸−𝐵𝐹 𝐴𝐹−𝐴𝐸 𝐴𝐵−𝐴𝐷 𝐴𝐹−𝐴𝐸 𝐷𝐵
2 3 3 3
(cid:153) = (cid:38)(cid:135) = = (cid:38)
3 2 2 2
(cid:171)(cid:172) 𝐷𝐵 = 𝐴 2 𝐹 (cid:38) −𝐴𝐸 = 6 𝐷 (cid:38) 𝐵 𝐴𝐹− 𝐴𝐸 𝐴𝐹−𝐴𝐸
𝐴𝐸 𝐴3𝐹 3 9 2 2 9 9
(cid:151)(cid:152) · = + · = = ×( )= .
4 2 8 8 4
𝐴𝐶𝐷𝐵 𝐴𝐹 𝐴𝐸 𝐴𝐹−𝐴𝐸 𝐴𝐹 −𝐴𝐸 6−4
1 9
(cid:153)(cid:36)(cid:62)(cid:172)(cid:10) + (cid:234) .
3 4
𝑎 𝑏
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15(cid:95)(cid:93)13(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:286)(cid:316)(cid:320)(cid:96)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:159)(cid:136)(cid:105)(cid:106) =(3,4)(cid:38) =( )(cid:38) =(1,2)(cid:95)
(1)(cid:195) (cid:38)(cid:181)| |(cid:46)(cid:233)(cid:234) 𝑎 𝑏 1,𝑥 𝑐
(2)(cid:195)𝑎⊥𝑏 𝑏(cid:38)(cid:181)(cid:105)(cid:106) (cid:176) (cid:46)(cid:177)(cid:178)(cid:46)(cid:183)(cid:184)(cid:233)(cid:95)
(cid:115)(cid:116)(cid:21)𝑐∥(cid:117)𝑎(cid:118)−(cid:119)2𝑏(cid:93)1(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:105)𝑎−(cid:106)2(cid:321)𝑏(cid:253)𝑎(cid:46)(cid:231)(cid:71)(cid:140)(cid:141)(cid:181) (cid:38)(cid:83)(cid:322)(cid:323)(cid:101)(cid:46)(cid:7)(cid:185)(cid:38)(cid:135)(cid:186)(cid:181)(cid:116)(cid:234)
(cid:93)2(cid:94)(cid:324)(cid:325)(cid:120)(cid:121)(cid:33)(cid:105)(cid:106)(cid:189)(cid:166)(cid:181) (cid:38)(cid:83)(cid:322)(cid:323)(cid:105)(cid:106)(cid:177)(cid:178)𝑥(cid:46)(cid:183)(cid:184)(cid:7)(cid:185)(cid:38)(cid:135)(cid:186)(cid:181)(cid:116).
𝑥 3
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:93)1(cid:94)(cid:139) (cid:38)(cid:169)3+ =0(cid:38)(cid:116)(cid:169) = (cid:38)
4
𝑎⊥𝑏 4𝑥 𝑥 −
= 3 (cid:38)(cid:142)| |= 12+ 3 2 = 5 (cid:95)
4 4 4
(cid:93)∴ 2 𝑏(cid:94)(cid:139)1(cid:21),−(cid:22) =𝑏 ( )(cid:38)−
(cid:191) 𝑎(cid:38)−2𝑏1× 1,4−×2𝑥( )=0(cid:38)(cid:116)(cid:169) =1(cid:38)
(cid:142)𝑐∥ 𝑎−=2(𝑏1,2)(cid:38)∴| 2−|1= 142−+2𝑥22= 5(cid:38)| |𝑥= 32+42=5(cid:38)
𝑎 co − s 2𝑏 , = 𝑎−2𝑏 = 1×3 2×4 =11 5(cid:38) 𝑎
| || | 5×5 25
𝑎−2𝑏 ⋅𝑎 +
∴ 𝑎−2𝑏𝑎 𝑎−2𝑏 𝑎
(cid:135)(cid:105)(cid:106)⟨ (cid:176)⟩ (cid:46)(cid:177)(cid:178)(cid:46)(cid:183)(cid:184)(cid:233)(cid:172)11 5(cid:95)
25
𝑎−2𝑏 𝑎
16(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)23-24(cid:326)(cid:90)(cid:226)·(cid:56)(cid:327)(cid:328)(cid:329)·(cid:330)(cid:331)(cid:94)(cid:159)(cid:136)i(cid:172)(cid:197)(cid:13)(cid:124)(cid:125)(cid:38)(cid:160)(cid:13) =( 2 )+( 2+ )i(cid:95)
𝑧 𝑚 −3𝑚−4 𝑚 𝑚(1)(cid:275)(cid:273)(cid:13) (cid:265)(cid:332)(cid:233)(cid:58)(cid:38) (cid:103)(cid:196)(cid:197)(cid:13)(cid:234)
(2)(cid:275) =𝑚1(cid:58)(cid:38)(cid:160)(cid:13) (cid:103)𝑧(cid:3)(cid:237) (cid:46)(cid:190)(cid:138) 2+ + =0(cid:46)(cid:90)(cid:182)(cid:120)(cid:38)(cid:181)(cid:273)(cid:13) (cid:176) (cid:46)(cid:233)(cid:95)
(cid:115)(cid:116)(cid:21)𝑚(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:93)1(cid:94)(cid:139)𝑧 (cid:103)(cid:196)(cid:197)𝑥(cid:13)(cid:169)(cid:170)𝑥(cid:273)(cid:34)𝑝(cid:172)𝑥0(cid:38)𝑞(cid:197)(cid:34)(cid:109)(cid:172)0(cid:38)(cid:116)(cid:190)(cid:138)(cid:303)(cid:169)𝑝(cid:170)𝑞 (cid:46)(cid:233)(cid:234)
(cid:93)2(cid:94)(cid:43) = +2i(cid:322)(cid:323)𝑧 (cid:190)(cid:138)(cid:38)(cid:273)(cid:34)(cid:31)(cid:197)(cid:34)(cid:187)(cid:172)0(cid:38)(cid:116)(cid:190)(cid:138)(cid:303)(cid:169)(cid:170) (cid:31) (cid:46)(cid:233)𝑚.
𝑧 −6 2 =0 𝑝 𝑞
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:93)1(cid:94)(cid:139) (cid:103)(cid:196)(cid:197)(cid:13)(cid:169) (cid:38)(cid:116)(cid:169) =4.
2+ 0
𝑚 −3𝑚−4
𝑧 𝑚
(cid:151)(cid:152)(cid:275) =4(cid:58)(cid:38) (cid:103)(cid:196)(cid:197)(cid:13). 𝑚 𝑚≠
(cid:93)2(cid:94)(cid:275)𝑚 =1(cid:58)(cid:38)𝑧 = +2i(cid:38)
(cid:171)(cid:172) (cid:103)(cid:3)𝑚(cid:237) (cid:46)(cid:190)(cid:138)𝑧 2−+6 + =0(cid:46)(cid:90)(cid:182)(cid:120)(cid:38)(cid:151)(cid:152) 2+ + =0(cid:38)
(cid:135)( 𝑧 +2i)2𝑥+ ( 𝑥+2i)𝑝+𝑥 =𝑞0(cid:38)(cid:295)(cid:15)(cid:169)( +𝑧 )+𝑝𝑧( 𝑞 )i=0(cid:38)
−6 +𝑝=−60 𝑞 =12 32−6𝑝 𝑞 2𝑝−24
(cid:151)(cid:152) (cid:38)(cid:116)(cid:169) .
=0 =40
32−6𝑝 𝑞 𝑝
17(cid:95)(cid:93)1 2 5 𝑝(cid:28)−2(cid:94)4(cid:93)2023·(cid:73)(cid:333)(cid:329)𝑞(cid:98)(cid:193)·(cid:194)(cid:101)(cid:94)(cid:159)(cid:136) =(sin +1,cos2 )(cid:38) =( )(cid:38) 0, (cid:95)
2
π
(1)(cid:195) (cid:38)(cid:181)x(cid:46)(cid:233)(cid:234) 𝑎 2𝑥 𝑥 𝑏 −1,2 𝑥∈
(2)(cid:181)𝑎(⊥)𝑏= (cid:46)(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:235)(cid:265)(cid:169)(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:58)(cid:122)(cid:69)(cid:46)x(cid:46)(cid:233)(cid:95)
(cid:115)(cid:116)(cid:21) 𝑓 (cid:117) 𝑥 (cid:118)(cid:119) 𝑎 (cid:93) ⋅𝑏 1(cid:94)(cid:139)(cid:189)(cid:198)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:13)(cid:106)(cid:236)(cid:172)0(cid:186)(cid:169) 2sin =0(cid:38)(cid:83)(cid:139)x(cid:46)(cid:334)(cid:335)(cid:181)(cid:169)x(cid:233)(cid:234)
4
π
2𝑥−
(cid:93)2(cid:94) ( )= 2sin (cid:38)(cid:88)(cid:131)x(cid:46)(cid:334)(cid:335)(cid:235)(cid:238)(cid:184)(cid:254)(cid:13)(cid:46)(cid:250)(cid:233)(cid:181)(cid:116)(cid:95)
4
π
(cid:115)(cid:116)(cid:36) 𝑓 (cid:137)𝑥(cid:138)(cid:119) − (cid:93)1(cid:94) = 2𝑥 ( − sin +1,cos2 )(cid:38) =( )(cid:38)
(cid:195) (cid:38)(cid:142)(sin +𝑎1,cos22)𝑥 ( )=𝑥 si𝑏n −1+,22cos2 = sin +cos =0(cid:38)
𝑎⊥𝑏 2𝑥 𝑥 ⋅ −1,2 − 2𝑥−1 𝑥 − 2𝑥 2𝑥
sin cos =0(cid:38)(cid:135) 2sin =0(cid:38)
4
π
∴ 2𝑥− 2𝑥 2𝑥−
0, (cid:38) , 3 (cid:38)(cid:186)(cid:169) =0(cid:38)(cid:135) = (cid:234)
2 4 4 4 4 8
π π π π π π
∵𝑥∈ ∴2𝑥− ∈ − 2𝑥− 𝑥
(cid:93)2(cid:94) ( )= = sin +cos = 2sin (cid:38)
4
π
𝑓 𝑥 𝑎⋅𝑏 − 2𝑥 2𝑥 − 2𝑥−
0, (cid:38) , 3 (cid:38)(cid:186)(cid:169)(cid:275) = (cid:38)(cid:135) =0(cid:58)(cid:38) ( )= (cid:265)(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:172)1(cid:95)
2 4 4 4 4 4
π π π π π π
∵𝑥∈ ∴2𝑥− ∈ − 2𝑥− − 𝑥 𝑓 𝑥 𝑎⋅𝑏
18(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:313)(cid:314)(cid:336)(cid:337)·(cid:90)(cid:101)(cid:94)(cid:54) (cid:207)(cid:38)(cid:203)(cid:178) (cid:244)(cid:245) 3sin cos =2.
(1)(cid:181)(cid:178) (cid:46)(cid:98)(cid:61)(cid:234) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 2𝐴− 2𝐴
𝐴 | |
(2)(cid:195) =2 (cid:38)(cid:181) (cid:46)(cid:250)(cid:98)(cid:233).
| |
𝐴𝐷
(cid:115)(cid:116)(cid:21) 𝐷𝐶 (cid:117)(cid:118)(cid:119) 𝐵𝐷 (cid:93)1(cid:94)(cid:120)𝐵𝐷(cid:121)(cid:338)(cid:339)(cid:178)(cid:7)(cid:185)(cid:181)(cid:116)(cid:234)(cid:93)2(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:340)(cid:164)(cid:164)(cid:142)(cid:43)
| |
(cid:180)(cid:16)(cid:172)
| |
=
|2 |
= 4 2 2 (cid:38)(cid:240)(cid:63)(cid:88)(cid:131)(cid:271)(cid:272)(cid:164)(cid:31)(cid:341)(cid:25)(cid:109)(cid:123)(cid:185)(cid:181)(cid:116)(cid:234)
| | | | | | 2 2
𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐴𝐵+𝐴𝐶 𝑐 +2𝑏𝑐+𝑏
𝐵𝐷 ∴ 𝐵𝐷 𝐴𝐶−𝐴𝐵 𝑏 −𝑏𝑐+𝑐
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:93)1(cid:94)(cid:139)(cid:159)(cid:136)2sin =2,
6
π
2𝐴−
sin =1
6
π
∴ 2𝐴−
11
0< < , < < .
6 6 6
π π
∵ 𝐴 π ∴− 2𝐴− π
= ,
6 2
π π
∴2𝐴−
= .
3
π
∴𝐴
(cid:93)2(cid:94)
1 1
=2 , = = .
3 3
∵𝐷𝐶 𝐵𝐷 ∴𝐵𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐶−𝐴𝐵
2 1
(cid:191) = + = + (cid:38)
3 3
𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐴𝐶
| | |2 | 4 2 2 2 4
= = = .
| 𝐴𝐷 | | 𝐴𝐵+𝐴𝐶 | 𝑐 2 +2𝑏𝑐+𝑏 2 𝑏 𝑐 2 + 2 𝑐 𝑏 +1
∴ 𝐵𝐷 𝐴𝐶−𝐴𝐵 𝑏 −𝑏𝑐+𝑐 𝑏 𝑐 − 𝑏 𝑐+
(cid:274) = >0(cid:38)
𝑏
𝑐 𝑡
| | 2+ +4 3( +1) 3( +1)
= = 1+ = 1+
| | 2 +1 2 +1 +1)2 ( +1)+3
𝐴𝐷 𝑡 2𝑡 𝑡 𝑡
∴
= 𝐵 1 𝐷 + 𝑡3−𝑡 1+ 3 𝑡 − = 𝑡 2 3+4= (𝑡 3+1. −3 𝑡
( 1) 3 2 3
1
(cid:275)(cid:150)(cid:342)(cid:275) 𝑡+ = +𝑡 3 + −3 (cid:265) ≤ (cid:123)(cid:9). −3
| | 𝑡 −1
(cid:46)(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:172) 3+1.
| |
𝐴𝐷
1 ∴ 9(cid:95)𝐵𝐷(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:173)(cid:154)·(cid:101)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:94)(cid:123)(cid:188) (cid:343)(cid:344)(cid:246)(cid:246)(cid:247)(cid:172) (cid:38)(cid:248)(cid:249)(cid:172)2, (cid:56)(cid:312)(cid:199) = +
(cid:95) △𝐴𝐵𝐶 𝑂 ⊙𝑂 𝑀,𝐵𝑀 𝑥𝐵𝐴 𝑦
(𝐵1𝐶)(cid:195) (cid:172)(cid:345) (cid:207)(cid:199)(cid:38)(cid:181) + (cid:234)
(2)(cid:181)𝑀 𝐴𝐶(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:95) 𝑥 𝑦
(cid:115)(cid:116)(cid:21)𝐴𝑀(cid:117)⋅(cid:118)𝐴(cid:119)𝐵 (cid:93)1(cid:94)(cid:275) (cid:103)(cid:345) (cid:46)(cid:207)(cid:199)(cid:58)(cid:38)(cid:126)(cid:127)(cid:59)(cid:204)(cid:188)(cid:206) (cid:103)(cid:301)(cid:206)(cid:38)(cid:83)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:208)(cid:132)(cid:212)(cid:168)(cid:181)(cid:169) (cid:38)(cid:346)
(cid:108)(cid:181)(cid:169) + . 𝑀 𝐴𝐶 𝐴𝑂𝐶𝑀 𝑥,𝑦
𝑥 𝑦(cid:93)2(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:246)(cid:49)(cid:123)(cid:188)(cid:100)(cid:178)(cid:206)(cid:46)(cid:347)(cid:332)(cid:132)(cid:255)(cid:38)(cid:179)(cid:64)(cid:105)(cid:106)(cid:13)(cid:106)(cid:236)(cid:46)(cid:212)(cid:168)(cid:152)(cid:235)(cid:100)(cid:178)(cid:254)(cid:13)(cid:46)(cid:250)(cid:233)(cid:123)(cid:136)(cid:348)(cid:181)(cid:169) (cid:250)
(cid:98)(cid:233)(cid:95) 𝐴𝑀⋅𝐴𝐵
(cid:115)(cid:116)(cid:36)(cid:137)(cid:138)(cid:119)(cid:93)1(cid:94)(cid:102) (cid:103) (cid:46)(cid:207)(cid:199)(cid:38)(cid:142) (cid:38)(cid:150) (cid:100)(cid:199)(cid:161)(cid:208)(cid:38)
(cid:195) (cid:172)(cid:345) (cid:207)(cid:199)(cid:38)(cid:142) 𝐷 𝐴𝐶(cid:204)(cid:199)(cid:161)(cid:208)(cid:38)𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 𝐵,𝑂,𝐷
(cid:139)𝑀(cid:237) =𝐴𝐶 = 𝐵,𝑂,𝐷,𝑀= =60°(cid:38)
(cid:151)(cid:152)𝑂(cid:100)𝐴(cid:178)(cid:206)𝑂𝑀 (cid:31)𝑂𝐶(cid:100),∠(cid:178)𝐴𝑂(cid:206)𝑀 ∠(cid:103)𝑀𝑂(cid:123)𝐶(cid:188)(cid:100)(cid:178)(cid:206)(cid:38)(cid:151)(cid:152) = = = =2(cid:38)
(cid:151)(cid:152)(cid:204)(cid:188)(cid:206)𝐴𝑂𝑀 (cid:103)(cid:301)(cid:206)(cid:38)𝑀𝑂𝐶= (cid:38) 𝑂𝐴 𝑂𝐶 𝐴𝑀 𝐶𝑀
4𝐴𝑂𝐶𝑀4 1 𝑂𝐷 𝑀𝐷 2 2
(cid:151)(cid:152) = = × × + = + = + (cid:38)
3 3 2 3 3
𝐵𝑀 𝐵𝐷 𝐵𝐴 𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝐵𝐶 𝑥𝐵𝐴 𝑦𝐵𝐶
2 4
(cid:151)(cid:152) = = + = .
3 3
𝑥 𝑦 ,𝑥 𝑦
(cid:93)2(cid:94)(cid:171)(cid:172) = = =2(cid:38)
(cid:151)(cid:152) =
2𝑂
×
𝐴 3𝑂𝐵
=2
𝑂
(cid:38)
𝐶
=2 3(cid:38)
3 2
𝐶𝑂 𝐴𝐵 𝐴𝐵
= + = +
| | | | | | | |
𝐴=𝑀⋅𝐴𝐵 𝐴𝑂cos𝑂3𝑀0°+⋅𝐴𝐵 𝐴𝑂⋅𝐴𝐵cos𝑂𝑀⋅,𝐴𝐵
=2
𝐴𝑂
2
⋅
3
𝐴𝐵3+ ⋅
2 2 3 c
𝑂
os
𝑀 ⋅
,
𝐴𝐵 ⋅
=6⟨+
𝑂
4
𝑀𝐴
3
𝐵
⟩cos , (cid:38)
2
(cid:151)(cid:152) ⋅ (cid:275) ⋅ , (cid:143)(cid:105) ⋅ (cid:58)(cid:38) ⋅ ⟨ 𝑂𝑀(cid:265)𝐴(cid:169)𝐵 ⟩(cid:250)(cid:98)(cid:233)(cid:172)6+ ⋅ 4 3⟨ 𝑂 . 𝑀𝐴𝐵 ⟩
𝑂𝑀𝐴𝐵 𝐴𝑀⋅𝐴𝐵
