文档内容
第五章 平面向量与复数综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
(cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53)
(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)
2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35)
(cid:29) I (cid:27)(cid:93)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:102) (cid:38) (cid:103)(cid:32)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:38)“ = ”(cid:103)“ = ”(cid:46)(cid:93) (cid:94)
| | | |
𝑎 𝑏
A(cid:95)(cid:107)(cid:28)(cid:108)(cid:109)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:112) 𝑎 𝑏 B(cid:95)(cid:42)(cid:110)(cid:108)(cid:109)(cid:107) 𝑎 (cid:28)(cid:111)𝑏(cid:112) 𝑎 𝑏
C(cid:95)(cid:107)(cid:28)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:112) D(cid:95)(cid:113)(cid:109)(cid:107)(cid:28)(cid:114)(cid:109)(cid:42)(cid:110)(cid:111)(cid:112)
2(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:115)(cid:116)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:13) = i(cid:38)(cid:123) =(cid:93) (cid:94)
𝑧
𝑧 2− 𝑧−𝑧
1 1 1 1
A(cid:95) +i B(cid:95) i C(cid:95) +i D(cid:95) i
2 2 2 2
− − − −
3(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:124)(cid:115)(cid:125)(cid:126)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106) , (cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:105)(cid:106)(cid:38)| |= 3(cid:130) + + =0(cid:38)(cid:123) (cid:131) (cid:46)(cid:132)(cid:133)
(cid:127)(cid:93) (cid:94) 𝑎𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏
2
A(cid:95) B(cid:95) C(cid:95) D(cid:95)
6 4 3 3
π π π π
4(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:134)(cid:135)·(cid:136)(cid:101)(cid:94)(cid:137)(cid:122)(cid:13) =( )+( )i( )(cid:127)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:38)(cid:123)(cid:122)(cid:13) + (cid:54)(cid:122)(cid:140)(cid:141)(cid:56)(cid:46)(cid:68)
(cid:69)(cid:142)(cid:46)(cid:129)(cid:143)(cid:54)(cid:93) (cid:94) 𝑧 2−𝑎 2𝑎−1 𝑎∈𝑅 𝑧 𝑎
A(cid:95)(cid:29)(cid:90)(cid:144)(cid:145)(cid:146) B(cid:95)(cid:29)(cid:136)(cid:144)(cid:145)(cid:146)
C(cid:95)(cid:29)(cid:100)(cid:144)(cid:145)(cid:146) D(cid:95)(cid:29)(cid:147)(cid:144)(cid:145)(cid:146)
5(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:147)(cid:148)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:140)(cid:149)(cid:147)(cid:150)(cid:151) (cid:152)(cid:38) (cid:127) (cid:152)(cid:142). (cid:127)(cid:153)(cid:154) (cid:56)(cid:155)(cid:156)(cid:142) (cid:46)(cid:147)(cid:157)(cid:28)
(cid:142)(cid:38)(cid:102) = (cid:38) = (cid:38)(cid:123) =(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐴𝐶 𝐹 𝐴𝐷 𝐴
𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝐸𝐹1 1 3 1
A(cid:95) B(cid:95)
4 2 4 2
− 𝑎− 𝑏 − 𝑎− 𝑏
1 1 1 3
C(cid:95) D(cid:95)
2 4 2 4
− 𝑎− 𝑏 − 𝑎− 𝑏
6(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:124)(cid:115)(cid:158)(cid:159)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:160)(cid:161)(cid:13)(cid:11)(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:93)1667-1754(cid:166)(cid:94)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:170)(cid:15)(cid:10)(cid:102)(cid:33)(cid:171)(cid:122)
(cid:13) = (cos +isin )(cid:38) = (cos +isin )( , >0)(cid:38)(cid:123) = [cos( + )+isin( + )].
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(cid:102) 𝑧 = 𝑟1 3i(cid:38) 𝜃 (cid:123) 2024 𝜃 (cid:46)(cid:139) 𝑧 (cid:34)(cid:127)(cid:93) 𝑟 (cid:94) 𝜃 𝜃 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 𝜃 𝜃
2 2
𝑧 − − 𝑧
A(cid:95) 3 B(cid:95) 3 C(cid:95)1 D(cid:95)0
2 2
−
7(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:140)(cid:141)(cid:105)(cid:106) =( )(cid:38) =( )(cid:38)(cid:123)(cid:172)(cid:173)(cid:88)(cid:174)(cid:90)(cid:170)(cid:175)(cid:176)(cid:46)(cid:103)(cid:93) (cid:94)
A(cid:95) // B(cid:95) C(cid:95)|𝑎|=21|,𝑚| 𝑏 2,D−(cid:95)2𝑚 =( )
8(cid:95)(cid:93)5𝑎(cid:28)(cid:94)𝑏(cid:93)2024·(cid:147)(cid:148)(cid:177)𝑎(cid:178)⊥·(cid:101)𝑏(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:54)(cid:179)(cid:151) 𝑏 (cid:152)(cid:38)𝑎 = =4𝑎(cid:38)−𝑏(cid:142) (cid:103)1,(cid:153)−3(cid:154)𝑚 (cid:56)(cid:90)(cid:142)(cid:38)(cid:130)(cid:180)(cid:181)
= .(cid:54)(cid:140)(cid:141) (cid:152)(cid:38)(cid:77)(cid:142) (cid:54)(cid:182) (cid:127)(cid:183)(cid:184)(cid:38)𝐴1𝐵(cid:127)𝐶𝐷(cid:185)(cid:186)(cid:46)𝐴(cid:183)𝐵 (cid:56)5(cid:187),𝐴(cid:77)𝐷(cid:38)(cid:123) 𝐸 (cid:46)(cid:188)(cid:98)𝐴𝐵(cid:189)(cid:127)(cid:93) (cid:94)
𝐴𝐸A(cid:95)4𝐸𝐵41+4 𝐴𝐵𝐶𝐷B(cid:95) 41 𝑃 𝐸 C(cid:95)2 13+4 D(cid:95)2𝐷1𝑃3⋅𝐴𝐶
二、多项选择题：本题共3小题−，6 每小题6分，共18分，在每小题给出的四个−选6 项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:190)(cid:191)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106) =(1, 3)(cid:38) =( )(cid:38)(cid:123)(cid:172)(cid:173)(cid:192)(cid:160)(cid:193)(cid:194)(cid:46)(cid:103)(cid:93) (cid:94)
𝑎 𝑏 −2,0
A(cid:95) =2 B(cid:95) (cid:131) (cid:46)(cid:132)(cid:133)(cid:127)
3
π
𝑎⋅𝑏 𝑎 𝑏
1
C(cid:95) +2 D(cid:95) + (cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:127)
2
10(cid:95)(cid:93)6 𝑎 (cid:28) ⊥ (cid:94)𝑎(cid:93)20 𝑏 24·(cid:190)(cid:191)(cid:197)(cid:198)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:13) 𝑎 = 𝑏 𝑏 + i( R)(cid:38)(cid:172)(cid:173) 𝑏 (cid:192)(cid:160)(cid:193)(cid:194)(cid:46)(cid:103)(cid:93) (cid:94)
A(cid:95)(cid:137) (cid:127)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:38)(cid:123) + =0 𝑧 𝑎 𝑏 𝑎,𝑏∈
𝑧 1 i 𝑎 𝑏 2
B(cid:95)(cid:137) (cid:103) (cid:46)(cid:199)(cid:200)(cid:122)(cid:13)(cid:38)(cid:123) + =
i 5
+
C(cid:95)(cid:137) 𝑧 = 1 ( − 1 3 +i)( i)(cid:38)(cid:123) 𝑎 + 𝑏 =2 −
D(cid:95)(cid:137)𝑧| i|=1(cid:38)1(cid:123)−|3|(cid:201)(cid:188)(cid:98)𝑎(cid:189)(cid:58)𝑏 (cid:38) + =2
11(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)𝑧−(cid:93)2024·(cid:190)(cid:115)𝑧·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:202)(cid:203)(cid:46)(cid:204)𝑎 (cid:205)𝑏(cid:103)(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)(cid:46)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)(cid:215)(cid:14)(cid:38)(cid:204)(cid:205)(cid:103)(cid:216)(cid:217)(cid:46)(cid:218)(cid:133)(cid:219)(cid:220)(cid:221)(cid:38)(cid:222)
(cid:46)(cid:90)(cid:223)(cid:103)(cid:140)(cid:224)(cid:46)(cid:218)(cid:133)(cid:151)(cid:225)(cid:226)(cid:38)(cid:227)(cid:90)(cid:223)(cid:103)(cid:228)(cid:229)(cid:46)(cid:218)(cid:133)(cid:230)(cid:151)(cid:46)(cid:231)(cid:93)(cid:232)(cid:100)(cid:171)(cid:233)(cid:234)(cid:46)(cid:230)(cid:151)(cid:235)(cid:177)(cid:94)(cid:204)(cid:152)(cid:236)(cid:228)(cid:237)(cid:46)(cid:103)(cid:44)
(cid:213)(cid:177)(cid:238)(cid:46)(cid:203)(cid:202)(cid:38)(cid:74)(cid:239)(cid:103)(cid:90)(cid:171)(cid:203)(cid:204)(cid:46)(cid:193)(cid:218)(cid:150)(cid:151)(cid:225)(cid:226)ABCDEF(cid:38)(cid:222)(cid:46)(cid:150)(cid:240)(cid:127)1(cid:38)(cid:142)P(cid:103) DEF(cid:146)(cid:34)(cid:93)(cid:241)(cid:242)(cid:150)(cid:243)(cid:94)
(cid:46)(cid:77)(cid:142)(cid:38)(cid:123)(cid:93) (cid:94) △1
A(cid:95) =
2
𝐷𝐸 𝐴𝐹− 𝐴𝐷
3
B(cid:95) =
4
C(cid:95)
𝐴
(cid:137)
𝐶P⋅𝐵
(cid:127)
𝐷EF(cid:46)(cid:152)(cid:142)(cid:38)(cid:123)
(cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:105)(cid:106)(cid:127) 3
D(cid:95)| + |(cid:46)(cid:188)(cid:98)(cid:189)(cid:127) 𝐶7𝑃 𝐸𝐶 − 𝐸𝐶
𝐹𝐸 𝐹𝑃 (cid:29) II (cid:27)(cid:93)(cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:124)(cid:115)(cid:125)(cid:126)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:122)(cid:13) = i(cid:93)i(cid:127)(cid:139)(cid:13)(cid:128)(cid:129)(cid:94)(cid:38)(cid:123) (cid:46)(cid:139)(cid:34)(cid:127) .
i
𝑧 1−− 𝑧
13(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:244)(cid:245)(cid:240)(cid:246)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:140)(cid:141)(cid:105)(cid:106) , , (cid:180)(cid:181)(cid:10) (cid:38) , = (cid:38) , = (cid:38)(cid:130) | |=| |=3(cid:38)
3 6
π π
| |=2(cid:38)(cid:123) |
+ +
|=
.
𝑎𝑏𝑐 𝑎⊥𝑐
⟨
𝑎𝑏
⟩ ⟨
𝑏𝑐
⟩
𝑎 𝑐
𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 1 1
14(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:212)(cid:247)(cid:245)(cid:225)·(cid:136)(cid:101)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:54)(cid:140)(cid:149)(cid:147)(cid:150)(cid:151) (cid:152)(cid:38) = (cid:38) = (cid:38)(cid:248) = (cid:38) =
2 2
(cid:38)(cid:64) (cid:31) (cid:249)(cid:250) = (cid:251)(cid:137) =2(cid:38) = 6(cid:38)(cid:123)
𝐴𝐵𝐶𝐷
(cid:189)(cid:127)
𝐷 𝐸 𝐸
.
𝐶 𝐵𝐹 𝐹𝐶 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷
𝑏四、解𝑎答题𝑏 ：本𝐴题𝐸共5小题，共𝐴7𝐸7分，解𝐴答𝐹应写出必要𝐴𝐶的⋅文𝐷𝐵字说明、证明过程及验算步骤。
15(cid:95)(cid:93)13(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:212)(cid:247)(cid:252)(cid:96)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:120)(cid:121)(cid:105)(cid:106) =(3,4)(cid:38) =( )(cid:38) =(1,2)(cid:95)
(1)(cid:137) (cid:38)(cid:253)| |(cid:46)(cid:189)(cid:251) 𝑎 𝑏 1,𝑥 𝑐
(2)(cid:137)𝑎⊥𝑏 𝑏(cid:38)(cid:253)(cid:105)(cid:106) (cid:131) (cid:46)(cid:132)(cid:133)(cid:46)(cid:254)(cid:255)(cid:189)(cid:95)
𝑐∥ 𝑎−2𝑏 𝑎−2𝑏 𝑎
16(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)23-24(cid:256)(cid:90)(cid:172)·(cid:56)(cid:257)(cid:258)(cid:259)·(cid:260)(cid:261)(cid:94)(cid:120)(cid:121)i(cid:127)(cid:139)(cid:13)(cid:128)(cid:129)(cid:38)(cid:122)(cid:13) =( 2 )+( 2+ )i(cid:95)
(1)(cid:262)(cid:263)(cid:13) (cid:201)(cid:264)(cid:189)(cid:58)(cid:38) (cid:103)(cid:138)(cid:139)(cid:13)(cid:251) 𝑧 𝑚 −3𝑚−4 𝑚 𝑚
(2)(cid:262) =𝑚1(cid:58)(cid:38)(cid:122)(cid:13) (cid:103)𝑧(cid:3)(cid:265) (cid:46)(cid:266)(cid:267) 2+ + =0(cid:46)(cid:90)(cid:171)(cid:268)(cid:38)(cid:253)(cid:263)(cid:13) (cid:131) (cid:46)(cid:189)(cid:95)
𝑚 𝑧 𝑥 𝑥 𝑝𝑥 𝑞 𝑝 𝑞17(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2023·(cid:73)(cid:269)(cid:259)(cid:98)(cid:135)·(cid:136)(cid:101)(cid:94)(cid:120)(cid:121) =(sin +1,cos2 )(cid:38) =( )(cid:38) 0, (cid:95)
2
π
(1)(cid:137) (cid:38)(cid:253)x(cid:46)(cid:189)(cid:251) 𝑎 2𝑥 𝑥 𝑏 −1,2 𝑥∈
(2)(cid:253)𝑎(⊥)𝑏= (cid:46)(cid:188)(cid:98)(cid:189)(cid:270)(cid:201)(cid:271)(cid:188)(cid:98)(cid:189)(cid:58)(cid:233)(cid:69)(cid:46)x(cid:46)(cid:189)(cid:95)
𝑓 𝑥 𝑎⋅𝑏
18(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:244)(cid:245)(cid:272)(cid:273)·(cid:90)(cid:101)(cid:94)(cid:54) (cid:152)(cid:38)(cid:146)(cid:133) (cid:180)(cid:181) 3sin cos =2.
(1)(cid:253)(cid:133) (cid:46)(cid:98)(cid:61)(cid:251) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 2𝐴− 2𝐴
𝐴 | |
(2)(cid:137) =2 (cid:38)(cid:253) (cid:46)(cid:188)(cid:98)(cid:189).
| |
𝐴𝐷
𝐷𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷
19(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:124)(cid:115)·(cid:101)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:94)(cid:157)(cid:150) (cid:274)(cid:275)(cid:183)(cid:183)(cid:184)(cid:127) (cid:38)(cid:185)(cid:186)(cid:127)2, (cid:56)(cid:276)(cid:142) = +
(cid:95) △𝐴𝐵𝐶 𝑂 ⊙𝑂 𝑀,𝐵𝑀 𝑥𝐵𝐴 𝑦
(𝐵1𝐶)(cid:137) (cid:127)(cid:277) (cid:152)(cid:142)(cid:38)(cid:253) + (cid:251)
(2)(cid:253)𝑀 𝐴𝐶(cid:188)(cid:98)(cid:189)(cid:95) 𝑥 𝑦
𝐴𝑀⋅𝐴𝐵
