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第 36 讲 平面向量的数量积及运算
知识梳理
知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），
记作 ，即 = ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影： 叫做向量 在 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；
当 为钝角时，它是负数；当 为直角时，它是0．
② 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上射影 的乘积．
③设 ， 是两个非零向量，它们的夹角是 与 是方向相同的单位向量，
，过 的起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为
，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上
的投影向量．记为 ．
知识点二．数量积的运算律
已知向量 、 、 和实数 ，则：
① ；
② ；
③ ．
知识点三．数量积的性质
设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则① ．② ．
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 ．
④ ．⑤ ．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与 （当且仅
的关系 当 时等号成立）
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且 ．
（2）当 时，由 不能推出 一定是零向量，这是因为任一与 垂直的非零
向量 都有 ．
当 时，且 时，也不能推出一定有 ，当 是与 垂直的非零向量，
是另一与 垂直的非零向量时，有 ，但 ．（3）数量积不满足结合律，即 ，这是因为 是一个与 共线的
向量，而 是一个与 共线的向量，而 与 不一定共线，所以 不一定等于
，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当 且 （或 ，
且
【解题方法总结】
（1） 在 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意 时， ，但 时不能得到 或 ，
因为 时，也有 ．
（3）根据平面向量数量积的性质： ， ， 等，
所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若 、 、 是实数，则 （ ）；但对于向量，就没有这样的
性质，即若向量 、 、 满足 （ ），则不一定有 ，即等式两边不能
同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即 ，这是由于 表示一个与
共线的向量， 表示一个与 共线的向量，而 与 不一定共线，因此 与
不一定相等．
必考题型全归纳题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量 ， 满足
，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`
由 ，且 与 的夹角为 ，
所以
.
故选：B.
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，向量 在 方向上投影向量是 ，
则 为（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【解析】 在 方向上投影向量为 ，
， .
故选：A
例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1， ，
G是菱形ABCD内一点，若 ，则 （ ）A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1， ，
所以 ，
所以 ，则 为等边三角形，因为 ，
所以 ，设点M为BC的中点，则 ，所以 ，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以 ，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为 的重心，故 ，
在等边 中，M为BC的中点，则 ，
所以 .
故选：A
变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量 ，且 ，
若 ， ，则 （ ）
A．1 B．12 C． 或2 D． 或1【答案】D
【解析】由题意单位向量 ，且 ，可知 与 的夹角为 ，
因为 ，所以 或 ，
故当 时， ；
当 时， ，
故选：D.
变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量 绕坐标原点 顺时针旋转
得到 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为向量 绕坐标原点 顺时针旋转 得到 ，
所以向量 与向量 的夹角为 ，且 ，
所以.
故选：B
变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
， 为 上一点，且满足 ，若 ， ，则
的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，
即 且 ，
∴ ，
又C、P、D共线，有 ，即 ，
即 ，而 ，
∴∴ = .
故选：C
变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足同向
共线，且 ， ，则 （ ）
A．3 B．15 C． 或15 D．3或15
【答案】D
【解析】因为向量 ， 满足同向共线，所以设 ，
又因为 ， ，所以 ，
所以 或 ，即 或 .
①当 时， ；
②当 时， ；
所以 的值为3或15.
故选：D.
变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形 中，
与 相交于点 ，过点 作 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示直角坐标系：则 ，
设 ，则
且 ，
，解得 ，
，
在矩形 中， 为 的中点，
所以 ，由 ，
所以 ，
，
故选：D.
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到
解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，
因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量 在
向量 方向上的投影为 ．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同： ； ； 公式都可通用
异：整式： ， 仅仅表示数；向量： （ 为 与 的夹
角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求 最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量 ， 满足 ，则向量 ， 夹
角的余弦值为____________．
【答案】 /
【解析】设向量 ， 的夹角为 ，因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
故答案为：
例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若 是夹角为 的两个单位向量，则
与 的夹角大小为________.
【答案】 /
【解析】 是夹角为 的两个单位向量，则 ，，
，
， ，
， .
故答案为：
例6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量 和 满足： ， ，
，则 与 的夹角为__________．
【答案】 /
【解析】记向量 和 的夹角为 ，将 平方得到：
或 ，
又因为 ，即 ．
故答案为： .
变式7．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量 与 不共线也不垂直， 且
， 则向量夹角 ________.
【答案】
【解析】由题意可得： ，故： ，即向量 与 的夹角为 .
故答案为：
变式8．（2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知 是同一个平面上的向量，
若 ，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】设 ，则 ， ，
故 ，
，
则 ， ， ，故 ，
设 ， ，则 ，
又 ，解得 ，故 .
故答案为： .
变式9．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量 ， 满足 ，
， ，则向量 与 的夹角大小为___________.
【答案】
【解析】由于 ，所以 ，所以 ，
所以 为锐角，所以 .
故答案为：
变式10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，则
向量 与 的夹角为______．
【答案】
【解析】 ，则 ，则
，又 ，则
故答案为： .
变式11．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量 ， ，若非零
向量 与 ， 的夹角均相等，则 的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【解析】设 ，因为 ， ，
所以 ，
，
因为 与 ， 的夹角均相等，所以 ，所以 ，
化简得 ，所以 ，
因为 为非零向量，可取 ，此时 .
故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【解题方法总结】
求 夹 角 ， 用 数 量 积 ， 由 得
，进而求得向量 的夹角．
题型三：平面向量的模长
例7．（2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，
，且 .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 ，可得 ，
所以 .
故选：A
例8．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ， 是非零向量，
， ，向量 在向量 方向上的投影为 ，则 ________.
【答案】2【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∵向量 在向量 方向上的投影为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：2
例9．（2024·海南·高三校联考期末）已知向量 ， 满足 ， ，
，则 __________．
【答案】
【解析】因为 ， ， ，则 ，
所以 ，所以 ，解得： ，
.
故答案为： .
变式12．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）已知 为单位向量，且满足
，则 ______.
【答案】【解析】 为单位向量，且满足 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
变式13．（2024·河南驻马店·统考三模）已知平面向量 满足 ,且
，则 =_________________ ．
【答案】
【解析】由 ,得 ,
所以 .
故答案为：
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ， ，则
______．
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ①．
又由 ，得 ，
即 ，代入①，得 ，
整理，得 ，所以 ．
故答案为：
变式15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点， ， ，点P在线段AB上，且 ，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】由题知， ，设 ，
， ， ， ，
， ，
， ，则直线 方程为 ，
设 点坐标为 ， ，
， ，
求解可得， ， ，即 点坐标为 .
故答案为：
变式16．（2024·广西·高三校联考阶段练习）已知 ， ，若 ，则
______．
【答案】
【解析】因为 ， 且 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .故答案为：
【解题方法总结】
求模长，用平方， ．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量 ， ，则
在 方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】因为向量 ， ，
所以 在 方向上的数量投影为 .
故答案为： .
例11．（2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知
若向量 在向量 方向上的数量投影为 ，则实数 _______．
【答案】3
【解析】由条件可知，向量 在向量 方向上的数量投影为 ，
解得： .
故答案为：3
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量 ， 为单位向量，当向量 、 的夹角
等于 时，则向量 在向量 上的投影向量是________．
【答案】
【解析】因为向量 、 的夹角等于 ，所以向量 在向量 上的投影向量是 ，
故答案为： .
变式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量 ，向量
，则向量 在向量 方向上的投影为_________.
【答案】
【解析】 .
故答案为：
变式18．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，
，则向量 在向量 方向上的投影为______.
【答案】2
【解析】因为 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
所以向量 在向量 方向上的投影为 .
故答案为：
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足 ，且向量
在向量 方向的投影向量是 ，则向量 与 的夹角是________.
【答案】【解析】因为 ，所以 ，即 ①.
因为向量 在向量 方向的投影向量是 ，
所以 .所以 ②，
将①代入②得， ，又 ，所以 .
故答案为：
变式20．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ，则向量 在向
量 上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】设 ，因为
所以
所以
则向量 在向量 上的投影向量为： .
故答案为： .
【解题方法总结】
设 ， 是两个非零向量，它们的夹角是 与 是方向相同的单位向量，
，过 的起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为
，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上
的投影向量．记为 ．题型五：平面向量的垂直问题
例13．（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量 ，若
，则 ___________.
【答案】 /
【解析】由题意可得 ，
因为 ，
则 ，解得 .
故答案为：
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，其中 ， 为单位向量，且 ，
若 ______，则 .
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】因为 是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量 的端点在圆心为 ，
半径为 的圆周上，
故可以取 ，即 ；
故答案为：1.
例15．（2024·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量 ， 的夹角为 ．若 ，且，则 ____________．
【答案】60°/
【解析】由题设 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为：
变式21．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量 的夹角为 ，若
，且 ，则实数 _________．
【答案】 /-0.8
【解析】因为单位向量 的夹角为 ，所以 ；
因为 ，所以
，所以 ．
故答案为： .
变式22．（2024·海南·校考模拟预测）已知 为单位向量，向量 在向量 上的投影向量是
，且 ，则实数 的值为______．
【答案】 /
【解析】因为向量 在 上的投影向量为 ，所以 ，
又 为单位向量，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 ，
故答案为： .
变式23．（2024·全国·模拟预测）向量 ，且 ，则实数
_________．
【答案】
【解析】因为向量 ，所以 ，
又 ，
所以 ，得 ，
解得 ．
故答案为： .
变式24．（2024·全国·高三专题练习）非零向量 ， ，若
，则 ______.
【答案】 /-0.5
【解析】因为 ，所以
，
由题易知 ， ，
所以 .
故答案为：变式25．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知向量 ，若 ，
则 ________．
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
故答案为：
变式26．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量 ， 不共线， ，
，写出一个符合条件的向量 的坐标：______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意得 ， ，则 ，设 ，
得 ，且 ，满足条件的向量 的坐标可以为 （答案不唯一或者 ）.
故答案为： （答案不唯一）
变式27．（2024·河南开封·统考三模）已知向量 ， ，若 ，则
______.
【答案】13
【解析】∵ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，解得 .
故答案为：13
【解题方法总结】题型六：建立坐标系解决向量问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 的夹角为 ， ， ，
， ， ，又 ，
不妨设 ， ，
，所以 ，即 ，
，
由 ，
当 时，即 时， 有最小值 ．
故选：B
例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶
点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知
P为弧AC上的一点，且 ，则 的值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则 ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ．
故选：C.
例18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的
图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两
排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为 、 、 、 、 ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做 轴于 点，所以 ，
由已知可得 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 .
故选：B.
变式28．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形
中， .若 为 的中点，则 的值为（ ）A．-3 B． C． D．3
【答案】C
【解析】连接 ，由余弦定理知 ，所以 .
由正弦定理得 ，所以 为圆的直径，
所以 ，所以 ，从而 ，
又 ，所以 为等边三角形，
以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则 ，
所以 .
故选：C.
变式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知 是面积为的等边三角形，四边形 是面积为2的正方形，其各顶点均位于 的内部及
三边上，且恰好可在 内任意旋转，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是面积为 的等边三角形，记 边长为 ，所以
，解得 ，记 内切圆的半径为 ，根据 ，
可得： ，解得 ，因为正方形 的面积为2，所以正方形边长
为 ，
记正方形 外接圆半径为 ，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即 ，
根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，
因为正方形 可在 内任意旋转，
可知正方形 各个顶点均在该 的内切圆上，
以 的底边 为 轴，以 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系如图所示：
故可知 ，
圆的方程为 ，
故设 ，即 ，
，
，
故选:A.
变式30．（2024·河南安阳·统考三模）已知正方形 的边长为 为正方形的中心，
是 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ，所以故选：C.
【解题方法总结】
y a 3 y y
C ( 2 , 2 a) D (0, a) C(a,a)
C (bcosθ，bsinθ)
θ
A B(a, 0) x A B (a, 0) x A B(a, 0) x
y
D(0,b) C(a,a)
x
A B(a, 0)
边长为a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ)
D
(0，asinθ) C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ)C(a-bcosθ,bsinθ)
θ x x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A B(a, 0)
y
A(rcosθ,rsinθ)
x
O
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识 ；（2）向量三点共线知识
．
设 ， 是两个非零向量，它们的夹角是 与 是方向相同的单位向量，，过 的起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为
，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上
的投影向量．记为 ．
题型七：平面向量的实际应用
例19．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力 ， ，
（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知 ， 成120°角，且 ， 的大小都为6
牛顿，则 的大小为______牛顿.
【答案】6
【解析】设三个力 ， ， 分别对于的向量为：
则由题知
所以
所以
又
所以
所以 的大小为：6
故答案为：6
例20．（2024·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为 的斜面上，
物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力 ，垂直斜面向上的弹力 ，沿着斜面
向上的摩擦力 .已知： ，则 的大小为___________.【答案】 N
【解析】由题设， N，
故答案为： N.
例21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平
衡状态.已知两条绳上的拉力分别是 ， ，且 ， 与水平夹角均为 ，
，则物体的重力大小为___________ .
【答案】8
【解析】设 ， 的合力为 ，则 ，
∵ ， 的夹角为 ，
∴ ，
∴ ，
∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为 =8.
故答案为：8.
变式31．（2024·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则 与 大小之比为___________．
【答案】
【解析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以 ，所以
故答案为：
变式32．（2024·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸 ，以 的速度向垂直于对
岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为 ，则河水的流速是________ ．
【答案】
【解析】如图，用 表示河水的流速， 表示船的速度，
则 为船的实际航行速度．由图知， ， ，则 ．
又 ，
所以 ．
即河水的流速是 ．
故答案为： .
【解题方法总结】
用向量方法解决实际问题的步骤
