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第五章 平面向量与复数（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ， ，若 与 模相等，则 =（ ）.
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量 ，若 与 共线，则
（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在 中， ， ，设 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·陕西商洛·统考三模）已知两个单位向量 ， 的夹角为150°，则 （ ）
A．7 B．3 C． D．1
5．（2023·全国·校联考三模）将向量 绕坐标原点O顺时针旋转 得到 ，则
（ ）
A．0 B． C．2 D．
6．（2023·全国·校联考三模）已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A． B． C．5 D．
7．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ，
，点D满足 ，E为 的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P
满足 ，则点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则 D． 恒成立
10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足 且 ，则下
列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
12．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形 中， 为 中点，
分别为线段 的两个三等分点，点 为线段 上任意一点，若 ，则 的值
可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，若
，则 ______．
14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在 中， ，点 是 的中点.若存在实数
使得 ，则 __________（请用数字作答）.
15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在 中， ， ， 的平分线交BC于点D，若 ，则 ______．
16．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知点 是以 为直径的圆上任意一点，且 ，则 的
取值范围是______________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·河南许昌·高三校考期末）已知向量 ， ．
(1)求 ；
(2)已知 ，且 ，求向量 与向量 的夹角．
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ．
(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；
(2)若x=1且 为钝角，求实数y的取值范围．
19．（12分）
（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量： .
(1)求 与 的模长.
(2)求 与 的数量积.
(3)求 与 的夹角的余弦值.
(4)借助向量和单位圆求证：
20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
(1)求C的大小；
(2)若点D满足 ， ， ，求c．
21．（12分）
（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知H是 内的一点， ．
(1)若H是 的外心，求∠BAC；
(2)若H是 的垂心，求∠BAC的余弦值．
22．（12分）
（2023·山东聊城·高一统考期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中
线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于 ．已知 ，且 ．
(1)求 边的长度；
(2)若 ，求 的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 的取值范围．
