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第五章 平面向量与复数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知向量 为单位向量， 且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
3．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．直线 上 B．直线 上
C．直线 上 D．直线 上
4．若复数 满足 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．设 是关于 的方程 的两根其中 ，若 （ 为虚数单位）.则
（ ）
A． B． C． D．2
6．已知非零不共线向量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， 都是正实数，若向量 ， ，且满足 ，则 的最小值是
（ ）
A．50 B． C． D．8． 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的一点，若
（ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量 ， ， 为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若 ， ，则
B．已知向量 ， ，则
C．若 ，则 和 在 上的投影向量相等
D．已知 ， ， ，则点A，B，D一定共线
10．已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
11．已知点 ， ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， D． 的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若 ，则 .
13．已知复数 ，且 ，则 的最小值是 ．
14．如图所示，正方形 的边长为 ，正方形 边长为1，则 的值为 .若在
线段 上有一个动点 ，则 的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知平面向量 ， .
(1)求 的值；
(2)求 与 夹角的余弦值.
16．（15分）
已知复数 与 ．
(1)求 及 的值；
(2)设 ，满足 的点Z的集合是什么图形？
17．（15分）
在复数域中，对于正整数 满足 的所有复数 称为单位根，其中满足
对任意小于 的正整数 ，都有 ，则称这种复数为 次的本原单位根，例如当 时，存在四个4
次单位根 ，因为 ，因此只有两个4次本原单位根 ．
(1)直接写出复数 的3次单位根，并指出那些是复数 的3次本原单位根（无需证明）．
(2)①若 是复数 的8次本原单位根，证明： ．
②若 是复数 的 次本原单位根，证明： ．18．（17分）
如图，在平面四边形 中，已知 ， ， ， 为线段 上一点.
(1)求 的值；
(2)若 为线段 的中点，求 的值；
(3)试确定点 的位置，使得 最小.
19．（17分）
定义向量 的“伴随函数”为 ；函数 的“伴随向
量”为 .
(1)写出 的“伴随函数” ，并直接写出 的最大值；
(2)写出函数 的“伴随向量”为 ，并求 ；
(3)已知 ， 的“伴随函数”为 ， 的“伴随函数”为 ，设
，且 的伴随函数为 ，其最大值为 .
①若 ，求 的取值范围；
②求证：向量 的充要条件是 .
