文档内容
专题 5.3 平面向量的数量积及其应用【八大题型】
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)........................................................................................................................4
(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)(cid:28)............................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:28)....................................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:40)(cid:21)(cid:28)............................................................................................................................5
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:28)....................................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:21)(cid:28)............................................................................................................................6
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27)(cid:28)............................................................................................................................7
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:55)(cid:50)(cid:56)(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:28)................................................................................................................8
1(cid:60)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:61)(cid:62)(cid:54)(cid:27)
(cid:25)(cid:63)(cid:64)(cid:65) (cid:66)(cid:21)(cid:67)(cid:68) (cid:25)(cid:69)(cid:70)(cid:71)
(1)(cid:15)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)
(cid:35)(cid:72)(cid:73)(cid:61)(cid:62)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:73) 2022(cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:100)(cid:101)Ⅱ(cid:102)(cid:10)(cid:103)4
(2)(cid:77)(cid:50)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:13)(cid:33) (cid:21)(cid:84)5(cid:70) (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:106)(cid:24)(cid:25)(cid:35)(cid:107)(cid:63)(cid:108)
(cid:34)(cid:55)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:3)(cid:78) 2023(cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:102)(cid:10)(cid:103)3(cid:21)(cid:84) (cid:109).(cid:110)(cid:111)(cid:74)(cid:99)(cid:35)(cid:24)(cid:25)(cid:69)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:84)(cid:115)(cid:21)(cid:116)(cid:116)
(3)(cid:79)(cid:80)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:81) 5(cid:70) (cid:117)(cid:20)(cid:118)(cid:21)(cid:60)(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:35)(cid:57)(cid:83)(cid:121)(cid:122)(cid:84)(cid:123)(cid:64)(cid:25)
(cid:82)(cid:83)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13) 2023(cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:102)(cid:10)(cid:103)13(cid:21)(cid:84) (cid:124)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:60)(cid:38)(cid:39)(cid:60)(cid:41)(cid:55)(cid:43)(cid:44)(cid:125)(cid:126)
(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37) 5(cid:70) (cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:84)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:127)(cid:84)(cid:133)(cid:134)(cid:85)(cid:55)(cid:56)(cid:39)(cid:135)(cid:13)(cid:60)
(4)(cid:88)(cid:36)(cid:27)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:81)(cid:89)(cid:90) 2023(cid:99)(cid:104)(cid:105)(cid:102)(cid:10)(cid:103)3(cid:21)(cid:84)5(cid:70) (cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:127)(cid:136)(cid:137)(cid:59)(cid:138)(cid:21).(cid:11)(cid:139)(cid:140)(cid:24)(cid:25)(cid:141)
(cid:91)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:84)(cid:85)(cid:27)(cid:13)(cid:33) 2024(cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:25)I(cid:102)(cid:10)(cid:103)3(cid:21)(cid:84) (cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:132)(cid:54)(cid:4)(cid:76)(cid:145)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:84)(cid:64)(cid:88)(cid:149)(cid:150)(cid:36)
(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:90)(cid:91)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:43) 5(cid:70) (cid:27)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:60)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:155)(cid:156)(cid:35)
(cid:44)(cid:3)(cid:78) 2024(cid:99)(cid:23)(cid:24)(cid:25)Ⅱ(cid:102)(cid:10)(cid:103)3(cid:21)(cid:84) (cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:133)(cid:3)(cid:40)(cid:21).
(5)(cid:85)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:94)(cid:49)(cid:50)(cid:51) 5(cid:70)
(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:35)(cid:30)(cid:31)(cid:74)(cid:75)(cid:40)(cid:21)
(cid:22)(cid:128)(cid:129)(cid:63)1 (cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:157)(cid:158)(cid:152)(cid:155)(cid:27)(cid:137)(cid:159)(cid:28)
1(cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:157)(cid:158)(cid:152)(cid:36)(cid:37)(cid:161)
(1)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:157)(cid:158)
(cid:162) (cid:84) (cid:106)(cid:163)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:165)(cid:166)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:106) (cid:84) (cid:106)(cid:55) (cid:94)(cid:32)(cid:136)(cid:167)(cid:35)(cid:98)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:169)
(cid:170) = = .
(cid:171) =0.(cid:172)(cid:173) (cid:55) (cid:167)(cid:32)(cid:134)(cid:84) = (cid:174)(cid:173) (cid:55) (cid:175)(cid:32)(cid:134)(cid:84) =- .
(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:84) = = (cid:179) = .
(cid:180)|a | (cid:84)(cid:173)(cid:181)(cid:182)(cid:173)(cid:32)(cid:33) (cid:84) (cid:183)(cid:184)(cid:84)(cid:185) (cid:186) (cid:134)(cid:84)(cid:127)(cid:9)(cid:187)(cid:188).
(cid:189) = .
(2)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:161)
(cid:190)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:151)(cid:73)(cid:84)(cid:191)(cid:117)(cid:192)(cid:122)(cid:193)(cid:194)(cid:36)(cid:37)(cid:161)(cid:187)(cid:188)(cid:10)
(cid:195)(cid:196)(cid:32)(cid:33) (cid:84) (cid:84) (cid:152)(cid:52)(cid:13) (cid:84)(cid:133)
(cid:170)(cid:197)(cid:198)(cid:161)(cid:10) = (cid:174)
(cid:171)(cid:13)(cid:199)(cid:137)(cid:59)(cid:161)(cid:10)( ) = ( )= ( )(cid:174)
(cid:172)(cid:70)(cid:200)(cid:161)(cid:10)( + ) = + .
2(cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:155)(cid:27)(cid:137)(cid:159)
(1) = (cid:174)
(2) (cid:174)
(3) (cid:174)
(4) (cid:174)
(5) (cid:84)(cid:173)(cid:181)(cid:182)(cid:173) (cid:55) (cid:167)(cid:32)(cid:183)(cid:184)(cid:134)(cid:201)(cid:202)(cid:127)(cid:9)(cid:187)(cid:188)(cid:84) (cid:55) (cid:175)(cid:32)(cid:183)(cid:184)(cid:134)(cid:203)(cid:202)(cid:127)
(cid:9)(cid:187)(cid:188).
(cid:117)(cid:204)(cid:137)(cid:159)(cid:191)(cid:205)(cid:206)(cid:7)(cid:83)(cid:207)(cid:27).
(cid:22)(cid:128)(cid:129)(cid:63)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:50)(cid:21)(cid:94)(cid:49)(cid:28)
1(cid:160)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:90)(cid:208)(cid:36)(cid:37)(cid:94)(cid:49)
(1)(cid:153)(cid:154)(cid:49)(cid:10)(cid:173)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:41)(cid:152)(cid:38)(cid:39) (cid:134)(cid:84)(cid:191)(cid:210)(cid:27)(cid:151)(cid:73)(cid:49)(cid:65)(cid:50)(cid:84)(cid:211)(cid:27)(cid:196)(cid:30)(cid:31)(cid:212)(cid:57)(cid:132)(cid:35)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:133)(cid:3)
(cid:68)(cid:37)(cid:40)(cid:21)(cid:174)
(2)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:173)(cid:30)(cid:31)(cid:212)(cid:57)(cid:213)(cid:214)(cid:78)(cid:65)(cid:215)(cid:216)(cid:63)(cid:47)(cid:48)(cid:134)(cid:84)(cid:191)(cid:210)(cid:27)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:65)(cid:50).
(cid:22)(cid:128)(cid:129)(cid:63)3 (cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:90)(cid:217)(cid:54)(cid:27)(cid:28)
1(cid:160)(cid:38)(cid:39)(cid:55)(cid:43)(cid:44)
(cid:218)(cid:219)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:157)(cid:158)(cid:10)(cid:220) (cid:84) (cid:206)(cid:163)(cid:164)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:169) ((cid:38)(cid:39)(cid:7)(cid:83))(cid:84) (cid:127)(cid:84)
(cid:191)(cid:128)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:191)(cid:117)(cid:27)(cid:113)(cid:50)(cid:51)(cid:133)(cid:3)(cid:39)(cid:131)(cid:60)(cid:43)(cid:44)(cid:40)(cid:21).
2(cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:41)(cid:35)(cid:65)(cid:50)(cid:221)(cid:222)(cid:10)
(1)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:173)(cid:32)(cid:33)(cid:133)(cid:47)(cid:48)(cid:179)(cid:211)(cid:59)(cid:214)(cid:47)(cid:48)(cid:78)(cid:134)(cid:84)(cid:191)(cid:27)(cid:41)(cid:35)(cid:68)(cid:37)(cid:7)(cid:83)(cid:174)
(2)(cid:7)(cid:83)(cid:49)(cid:10)(cid:210)(cid:27) (cid:61) (cid:84)(cid:223)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:41)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:224)(cid:16)(cid:206)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:174)(3)(cid:74)(cid:75)(cid:49)(cid:10)(cid:210)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:84)(cid:185)(cid:210)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:145)(cid:225)(cid:49)(cid:35)(cid:30)(cid:87)(cid:226)(cid:202)(cid:57)(cid:49)(cid:169)(cid:179)(cid:56)(cid:39)(cid:57)(cid:49)(cid:169)(cid:205)(cid:215)(cid:32)(cid:33)(cid:84)(cid:227)(cid:210)
(cid:27)(cid:228)(cid:229)(cid:151)(cid:15)(cid:127)(cid:94)(cid:49)(cid:65)(cid:50).
(cid:22)(cid:128)(cid:129)(cid:63)4 (cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:27)(cid:35)(cid:94)(cid:49)(cid:152)(cid:221)(cid:230)(cid:28)
1(cid:160)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:58)(cid:59)(cid:54)(cid:27)(cid:35)(cid:56)(cid:217)(cid:50)(cid:21)(cid:94)(cid:49)
(1)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:10)(cid:223)(cid:74)(cid:75)(cid:212)(cid:57)(cid:231)(cid:140)(cid:211)(cid:173)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:78)(cid:132)(cid:84)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:77)(cid:133)(cid:3)(cid:63)(cid:55)(cid:32)(cid:33)(cid:235)(cid:236)(cid:35)(cid:47)(cid:48)(cid:84)(cid:237)(cid:238)(cid:232)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:136)(cid:54)
(cid:35)(cid:239)(cid:13)(cid:36)(cid:37)(cid:152)(cid:32)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:84)(cid:110)(cid:240)(cid:207)(cid:40)(cid:21)(cid:241)(cid:242)(cid:50)(cid:51).
(2)(cid:153)(cid:32)(cid:33)(cid:49)(cid:10)(cid:211)(cid:173)(cid:20)(cid:243)(cid:141)(cid:244)(cid:153)(cid:154)(cid:84)(cid:245)(cid:215)(cid:32)(cid:33)(cid:246)(cid:247)(cid:35)(cid:248)(cid:78)(cid:84)(cid:210)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:183)(cid:184)(cid:249)(cid:250)(cid:3)(cid:196)(cid:162)(cid:151)(cid:251)(cid:128)(cid:33)(cid:35)(cid:94)(cid:252)(cid:113)
(cid:86)(cid:87)(cid:65)(cid:50).
(3)(cid:210)(cid:27)(cid:32)(cid:33)(cid:36)(cid:37)(cid:86)(cid:87)(cid:224)(cid:16)(cid:84)(cid:16)(cid:253)(cid:206)(cid:56)(cid:39)(cid:135)(cid:13)(cid:35)(cid:40)(cid:21)(cid:179)(cid:56)(cid:39)(cid:254)(cid:127)(cid:255)(cid:198)(cid:40)(cid:21)(cid:106)(cid:155)(cid:256)(cid:35)(cid:50)(cid:21)(cid:221)(cid:222)(cid:152)(cid:94)(cid:49)(cid:84)(cid:117)
(cid:32)(cid:33)(cid:206)(cid:257)(cid:236)(cid:25)(cid:124)(cid:56)(cid:39)(cid:57)(cid:40)(cid:21)(cid:134)(cid:84)(cid:64)(cid:4)(cid:76)(cid:258)(cid:229)(cid:151)(cid:15)(cid:60)(cid:228)(cid:229)(cid:151)(cid:15)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:35)(cid:54)(cid:27).
(cid:22)(cid:128)(cid:129)(cid:63)5 (cid:259)(cid:16)(cid:254)(cid:127)(cid:83)(cid:28)
1(cid:160)(cid:259)(cid:16)(cid:254)(cid:127)(cid:83)(cid:35)(cid:260)(cid:261)(cid:262)(cid:252)(cid:55)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:73)
(1)(cid:30)(cid:87)(cid:226)(cid:202)(cid:57)(cid:195)(cid:39)(cid:184)(cid:35)(cid:30)(cid:94)(cid:152)(cid:127)(cid:196)(cid:226)(cid:202)(cid:35)(cid:30)(cid:94)(cid:152)(cid:10)
r r r r r r
|a+b|2 +|a-b|2=2(|a|2 +|b|2).
uuur r uuur r uuur r r uuur r r
(cid:260)(cid:261)(cid:10)(cid:263)(cid:264)(cid:162)AB=a,AD=b(cid:84)(cid:169)AC=a+b(cid:84)DB=a-b(cid:84)
uuur uuur r r r r r r
AC 2 = AC 2 = a+b 2 = a 2 +2a×b+ b 2 (cid:170)(cid:84)
uuur uuur r r r r r r
DB 2 =DB 2 = a-b 2 = a 2 -2a×b+ b 2 (cid:171)(cid:84)
(cid:170)(cid:171)(cid:90)(cid:83)(cid:136)(cid:145)(cid:241)(cid:10)
uuur uuur r r uuur uuur
2 2 2 2 2 2
AC + DB =2 a + b =2 AB + AD .
(2)(cid:259)(cid:16)(cid:254)(cid:127)(cid:83)(cid:10)
1é r r 2 r r 2ù
(cid:204)(cid:31)(cid:90)(cid:83)(cid:136)(cid:225)(cid:84)(cid:241)(cid:10) a+b - a-b ————(cid:259)(cid:16)(cid:254)(cid:127)(cid:83)
4
êë úû
r r 1
(cid:30)(cid:87)(cid:226)(cid:202)(cid:57)(cid:41)(cid:83)(cid:10)a×b= é AC 2 - DB 2ù.
ë û
4
(3)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:73)(cid:10)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:191)(cid:117)(cid:81)(cid:89)(cid:206)(cid:117)(cid:237)(cid:244)(cid:32)(cid:33)(cid:206)(cid:265)(cid:202)(cid:35)(cid:30)(cid:87)(cid:226)(cid:202)(cid:57)(cid:35)“(cid:152)(cid:195)(cid:39)(cid:184)”(cid:55)“(cid:266)(cid:195)(cid:39)(cid:184)”(cid:30)
1
(cid:94)(cid:266)(cid:35) (cid:160)
4
(cid:22)(cid:94)(cid:49)(cid:267)(cid:268)(cid:55)(cid:269)(cid:137)(cid:28)
1(cid:160)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:36)(cid:37)(cid:35)(cid:155)(cid:27)(cid:7)(cid:83)
(1) (cid:174)(2) .
2(cid:160)(cid:133)(cid:3)(cid:32)(cid:33)(cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:90)(cid:91)(cid:137)(cid:159)
(1)(cid:220) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206)(cid:270)(cid:39)(cid:84)(cid:169) >0(cid:174)(cid:220) >0(cid:84)(cid:169) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206)(cid:270)(cid:39)(cid:179)0.
(2)(cid:220) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206)(cid:271)(cid:39)(cid:84)(cid:169) <0(cid:174)(cid:220) <0(cid:84)(cid:169) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206)(cid:271)(cid:39)(cid:179)π.
3(cid:160)(cid:32)(cid:33) (cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:206) .
(cid:22)(cid:21)(cid:29)1 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:28)
(cid:22)(cid:272)1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:274)(cid:275)(cid:276)(cid:277)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:140) ABC(cid:132)(cid:84)(cid:209)(cid:128) = =2(cid:84) =2 (cid:84)(cid:220) =2(cid:84)(cid:169)
=(cid:273) (cid:281) △ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐷 𝐷𝐶 𝐴𝐷⋅𝐵𝐶 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶
A(cid:160) B(cid:160)1 C(cid:160)2 D(cid:160)
−1 −2 2
(cid:22)(cid:255)(cid:83)1-1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:282)(cid:275)(cid:283)(cid:284)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) = = >0)(cid:84) , = (cid:84) =0(cid:84)(cid:181)
3
π
𝑎 (𝑚,2),𝑏 (𝑛,−1)(𝑛 ⟨𝑎𝑐⟩ 𝑎⋅𝑏
| |= 3(cid:84)(cid:220) =3 2(cid:84)(cid:169) + =(cid:273) (cid:281)
2
𝑐 𝑏⋅𝑐 𝑎 𝑏 ⋅𝑐
A(cid:160)3 2 6 B(cid:160) 6 C(cid:160)3 2 2 6 D(cid:160)3 6
2 2 2 2
−2 +
(cid:22)(cid:255)(cid:83)1-2(cid:28)(cid:273)2023·(cid:285)(cid:286)(cid:287) − (cid:288)·(cid:141)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:258)(cid:289)(cid:202)(cid:57)ABCDEF(cid:35)(cid:202)(cid:42)(cid:206)2(cid:84)P(cid:106)(cid:258)(cid:289)(cid:202)(cid:57)ABCDEF(cid:202)(cid:204)(cid:290)(cid:76)
(cid:141)(cid:63)(cid:84)(cid:169) (cid:35)(cid:291)(cid:217)(cid:292)(cid:206)(cid:273) (cid:281)
A(cid:160)1𝑃3𝐴⋅𝑃𝐵 B(cid:160)12 C(cid:160)8 D(cid:160)2 3
(cid:22)(cid:255)(cid:83)1-3(cid:28)(cid:273)2024·(cid:104)(cid:105)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:63) (cid:140)(cid:202)(cid:42)(cid:206)2(cid:35)(cid:258)(cid:293)(cid:202)(cid:57) , (cid:35)(cid:202)(cid:204)(cid:84)(cid:63) (cid:140)(cid:202) (cid:204)(cid:84)(cid:169)
1 2 8 1 2
𝑁 𝐴 𝐴 ,⋯,𝐴 𝑀 𝐴 𝐴
(cid:35)(cid:243)(cid:292)(cid:294)(cid:295)(cid:106)(cid:273) (cid:281)
1 1
𝐴 𝑀⋅𝐴 𝑁
A(cid:160)[ 2,2 2] B(cid:160)[ +2 2]
C(cid:160)[−4−22,4+2 2] D(cid:160)[−4,42,4]
−2 −2(cid:22)(cid:21)(cid:29)2 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:21)(cid:28)
(cid:22)(cid:272)2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:274)(cid:296)(cid:297)(cid:298)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:98)(cid:168)(cid:32)(cid:33) (cid:84) (cid:299)(cid:300) 2 + =2(cid:84)(cid:169) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:127)(cid:196)(cid:273) (cid:281)
A(cid:160)30° B(cid:160)60° C(cid:160)12𝑎0° 𝑏 𝑏⋅ 𝑎 D(cid:160)𝑏 150° 𝑎 𝑏
2
(cid:22)(cid:255)(cid:83)2-1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:274)(cid:275)(cid:23)(cid:228)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128) =( 3,2 3)(cid:84) =( 3 )(cid:84)(cid:220) + (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206) (cid:84)(cid:169) =
3
π
(cid:273) (cid:281) 𝑎 𝑏 − ,𝜆 𝑎 𝑏 𝑏 𝜆
A(cid:160)-1 B(cid:160)1 C(cid:160)±1 D(cid:160)±2
(cid:22)(cid:255)(cid:83)2-2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:302)(cid:104)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) =( )(cid:84) =(1+ )(cid:84) = (cid:84)(cid:169) +2 (cid:55) (cid:35)
(cid:38)(cid:39)(cid:206)(cid:273) (cid:281) 𝑎 1−𝑥,−𝑥−3 𝑏 𝑥,2 𝑎⋅𝑏 −4 𝑎 𝑏 𝑏
A(cid:160) B(cid:160) C(cid:160) D(cid:160)
3 4 3 4
π π 2π 3π
(cid:22)(cid:255)(cid:83)2-3(cid:28)(cid:273)2024·(cid:303)(cid:104)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:30)(cid:31)(cid:226)(cid:202)(cid:57) (cid:132)(cid:84)(cid:63) (cid:70)(cid:177)(cid:206) (cid:35)(cid:132)(cid:63)(cid:84)| |=2| |=8,| |
､
=5(cid:84)(cid:169)cos , =(cid:273) (cid:281) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐷,𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐸𝐹
A(cid:160) 5 ⟨ 𝐴𝐵𝐷𝐶 ⟩ B(cid:160) 55 C(cid:160) 55 D(cid:160) 23
16 64 8 40
− −
(cid:22)(cid:21)(cid:29)3 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:41)(cid:42)(cid:28)
(cid:22)(cid:272)3(cid:28)(cid:273)2024·(cid:303)(cid:104)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:163)(cid:164)(cid:32)(cid:33) (cid:84) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206) (cid:84) = 3, 1 (cid:84)| |=1(cid:84)(cid:169)| + |=(cid:273) (cid:281)
3 2 2
π
𝑎 𝑏 𝑎 − 𝑎−𝑏 𝑎 𝑏
A(cid:160)1 B(cid:160) 3 C(cid:160) 2 D(cid:160) 3
2
1
(cid:22)(cid:255)(cid:83)3-1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:285)(cid:286)(cid:304)(cid:305)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) (cid:84) (cid:299)(cid:300)| |=4(cid:84) (cid:140) (cid:94)(cid:32)(cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:206) (cid:84)(cid:181)
2
2 (cid:84)(cid:169)| + |(cid:35)(cid:292)(cid:206)(cid:273) (cid:281) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏⊥
𝑎−A𝑏(cid:160)4 𝑎 𝑏 B(cid:160)4 3 C(cid:160)16 D(cid:160)48
(cid:22)(cid:255)(cid:83)3-2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:302)(cid:306)(cid:42)(cid:307)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:140)(cid:30)(cid:87)(cid:226)(cid:202)(cid:57) (cid:132)(cid:84) = =4(cid:84)(cid:63) (cid:206)(cid:308)(cid:30)(cid:87)(cid:226)(cid:202)(cid:57)(cid:309)(cid:140)(cid:30)(cid:31)
(cid:108)(cid:35)(cid:290)(cid:76)(cid:141)(cid:63)(cid:84)(cid:169)| |2+| |2+| |2+| |2(cid:35)(cid:291)𝐴(cid:310)𝐵(cid:292)𝐶𝐷(cid:206)(cid:273) 𝐴 (cid:281)𝐶 2𝐵𝐷 𝑃
A(cid:160)6 𝑃𝐴 B(cid:160)8𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐷 C(cid:160)10 D(cid:160)12
(cid:22)(cid:255)(cid:83)3-3(cid:28)(cid:273)2024·(cid:302)(cid:306)(cid:311)(cid:298)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:140) (cid:132)(cid:84) =120 (cid:84)| |=3(cid:84)| |=4(cid:84) =0(cid:84)(cid:169)| + |
∘
(cid:35)(cid:291)(cid:310)(cid:292)(cid:206)(cid:273) (cid:281) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝐷𝐶⋅𝐷𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐷
A(cid:160)6 3 B(cid:160)2 19 C(cid:160)3 3 D(cid:160) 19
(cid:22)(cid:21)(cid:29)4 (cid:30)−(cid:31)2(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:43)(cid:44)(cid:40)(cid:21)(cid:28)−4 −1 −2
(cid:22)(cid:272)4(cid:28)(cid:273)2024·(cid:275)(cid:312)(cid:313)(cid:314)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) = = +5)(cid:84)(cid:220) ( )(cid:84)(cid:169) =(cid:273) (cid:281)
A(cid:160)2(cid:179)3 B(cid:160) (cid:179) C𝑎(cid:160)1((cid:179)𝑥,3),𝑏 (2,𝑥 D(cid:160) 𝑎(cid:179)⊥ 6𝑎−𝑏 𝑥
−2 −3 −6 −1(cid:22)(cid:255)(cid:83)4-1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:318)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) =(2,4), = (cid:84)(cid:169)“ = 2”(cid:106)“ +k k ”(cid:35)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(cid:273) (cid:281) 𝑎 𝑏 (3,−1) 𝑘 𝑎 𝑏 ⊥ 𝑎− 𝑏
A(cid:160)(cid:319)(cid:70)(cid:263)(cid:320)(cid:64)(cid:125)(cid:126) B(cid:160)(cid:320)(cid:64)(cid:263)(cid:319)(cid:70)(cid:125)(cid:126)
C(cid:160)(cid:319)(cid:70)(cid:320)(cid:64)(cid:125)(cid:126) D(cid:160)(cid:321)(cid:263)(cid:319)(cid:70)(cid:322)(cid:263)(cid:320)(cid:64)(cid:125)(cid:126)
(cid:22)(cid:255)(cid:83)4-2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:282)(cid:275)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:90)(cid:91)(cid:32)(cid:33) = =( 3 (cid:84)(cid:181)( + ) ( )(cid:84)(cid:169) (cid:35)(cid:292)(cid:206)
(cid:273) (cid:281) 𝑎 (2,−1),𝑏 ,𝑚) 𝑎 𝑏 ⊥ 𝑎−𝑏 𝑚
A(cid:160)±1 B(cid:160)± 2 C(cid:160)±2 D(cid:160)±2 3
(cid:22)(cid:255)(cid:83)4-3(cid:28)(cid:273)2023·(cid:100)(cid:101)·(cid:24)(cid:25)(cid:66)(cid:21)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) =(1,1), =( )(cid:84)(cid:220) + + (cid:84)(cid:169)(cid:273) (cid:281)
A(cid:160) + =1 B𝑎(cid:160) + =𝑏 1,−1 𝑎 𝜆𝑏 ⊥ 𝑎 𝜇𝑏
C(cid:160)𝜆 =𝜇1 D(cid:160)𝜆 =𝜇 −1
(cid:22)(cid:21)(cid:29)5𝜆 𝜇 (cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:28) 𝜆𝜇 −1
(cid:22)(cid:272)5(cid:28)(cid:273)2024·(cid:323)(cid:274)(cid:324)(cid:325)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:220)(cid:163)(cid:164)(cid:32)(cid:33) (cid:84) (cid:299)(cid:300)| |=| |=| + |(cid:84)(cid:169) +2 (cid:140) (cid:94)(cid:32)(cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:206)
(cid:273) (cid:281) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏
3 1
A(cid:160)2 B(cid:160) C(cid:160) D(cid:160)
2 2
𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
(cid:22)(cid:255)(cid:83)5-1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:285)(cid:286)(cid:326)(cid:327)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) =( )(cid:84) = (cid:84)(cid:169) (cid:140) (cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:206)(cid:273) (cid:281)
A(cid:160) 3 , 1 ) B(cid:160) 1 ,1) C 𝑎 (cid:160) −51 , ,225) 𝑏 (−3,1 D ) (cid:160) 𝑎3 10𝑏 , 10)
22 2 5 5 10 10
(cid:22)(cid:255)(cid:83)5 ( - − 2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:274)(cid:296)·(cid:41) (− (cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:90)(cid:91)(cid:163)(cid:164) (− (cid:32)(cid:33) 、 (cid:299)(cid:300)| + |( = −| |(cid:84)(cid:169) (cid:140) (cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)
(cid:206)(cid:273) (cid:281) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 𝑏
1 1
A(cid:160) B(cid:160) C(cid:160) D(cid:160)
2 2
𝑏 −𝑏 𝑏 − 𝑏
(cid:22)(cid:255)(cid:83)5-3(cid:28)(cid:273)2024·(cid:302)(cid:104)(cid:328)(cid:329)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128) (cid:84)(cid:32)(cid:33) =( ), =( )(cid:84)(cid:181) (cid:84)(cid:169) + (cid:140) (cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)
(cid:32)(cid:33)(cid:206)(cid:273) (cid:281) 𝑥∈𝐑 𝑎 𝑥,2 𝑏 2,−1 𝑎⊥𝑏 𝑎 𝑏 𝑎
A(cid:160) 5 B(cid:160)5 C(cid:160)(1,2) D(cid:160)( )
(cid:22)(cid:21)(cid:29)6 (cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:32)(cid:33)(cid:40)(cid:21)(cid:28) 2,−1
(cid:22)(cid:272)6(cid:28)(cid:273)2024·(cid:274)(cid:296)(cid:297)(cid:298)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:330)(cid:57) (cid:35)(cid:202)(cid:42)(cid:206) =60 (cid:84)(cid:331)(cid:63) (cid:140) (cid:202)(cid:204)(cid:273)(cid:332)(cid:333)(cid:334)
∘
(cid:63)(cid:281)(cid:84)(cid:169) (cid:35)(cid:243)(cid:292)(cid:294)(cid:295)(cid:106)(cid:273) (cid:281) 𝐴𝐵𝐶𝐷 2,∠𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐵𝐶
A(cid:160)[0𝐴,𝐷1]⋅𝐴𝑃 B(cid:160)[ ] C(cid:160)[ ] D(cid:160)[ ]
(cid:22)(cid:255)(cid:83)6-1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:226)(cid:335)(cid:336)(cid:318)−1·(cid:41),2(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:337)(cid:193)(cid:212)(cid:309)−(cid:89)2(cid:84),2(cid:56)(cid:91)(cid:202)(cid:42)(cid:206)2(cid:35)(cid:127)−(cid:202)1(cid:56),1(cid:39)(cid:57)(cid:133)(cid:141)(cid:125)(cid:202)(cid:140)(cid:167)(cid:141)(cid:44)(cid:184)(cid:204)(cid:84)
(cid:202) (cid:204)(cid:133)10(cid:91)(cid:263)(cid:167)(cid:35)(cid:63) (cid:84) (cid:84)…(cid:84) (cid:84)(cid:338) = ( =1,2, ,10)(cid:84)(cid:169) + + + =
3 3 1 2 10 2 1 2 10
𝐵 𝐶 𝑃 𝑃 𝑃 𝑀𝑖 𝐴𝐵 ⋅𝐴𝑃𝑖 𝑖 ⋅⋅⋅ 𝑀 𝑀 ⋅⋅⋅ 𝑀(cid:273) (cid:281)
A(cid:160)18 B(cid:160)180 C(cid:160) D(cid:160)
(cid:22)(cid:255)(cid:83)6-2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:282)(cid:275)(cid:283)(cid:284)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:337)(cid:212)(cid:84)(cid:209)−1(cid:128)8AB(cid:106)(cid:339) (cid:35)(cid:44)(cid:340)(cid:84)−1(cid:106)8(cid:339)0 (cid:204)(cid:141)(cid:63)(cid:84) = (cid:84)(cid:63) (cid:106)
𝑂 𝐶 𝑂 𝐴𝐶 𝐶𝐵 𝑃
(cid:184)(cid:341)BC(cid:204)(cid:35)(cid:331)(cid:63)(cid:84)(cid:181) (cid:35)(cid:31)(cid:34)(cid:338)(cid:206) (cid:84)(cid:339) (cid:35)(cid:31)(cid:34)(cid:338)(cid:206) (cid:84)(cid:173) (cid:243)(cid:241)(cid:291)(cid:217)(cid:292)(cid:134)(cid:84) 1=(cid:273) (cid:281)
1 2
𝑆2
△𝑃𝐴𝐵 𝑆 𝑂 𝑆 𝑃𝐴⋅𝑃𝐵 𝑆
1 2 3 4
A(cid:160) B(cid:160) C(cid:160) D(cid:160)
(cid:22)(cid:255)(cid:83)6 π -3(cid:28)(cid:273)2024·(cid:342)(cid:298)(cid:342)π(cid:318)·(cid:141)(cid:41)(cid:281)(cid:337)(cid:212)(cid:84)(cid:140)(cid:202)(cid:42)π (cid:206)2(cid:35)(cid:258)(cid:94)(cid:57) (cid:132)π(cid:160)(cid:117) (cid:206)(cid:339)(cid:343)(cid:84)1(cid:206)(cid:344)(cid:340)(cid:35)(cid:339)(cid:70)(cid:177)
(cid:197) (cid:196)(cid:63) (cid:160)(cid:173)(cid:63) (cid:140)(cid:345)(cid:346) (cid:204)(cid:36)(cid:331)(cid:134)(cid:84) (cid:35)(cid:243)(cid:292)(cid:294)(cid:295)𝐴(cid:206)𝐵(cid:273)𝐶𝐷 (cid:281) 𝐶
𝐶𝐷,𝐵𝐶 𝐸,𝐹 𝑃 𝐸𝐹 𝐵𝑃⋅𝐷𝑃
A(cid:160) 2 1 B(cid:160)[ 2 ]
2
1−2 ,− 1−2 ,−1
C(cid:160)[ 2] D(cid:160)[ 2 2]
(cid:22)(cid:21)(cid:29)7 − 1(cid:30),1(cid:31)−(cid:32)(cid:33)(cid:35)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:27)(cid:28) 1−2 ,1−
(cid:22)(cid:272)7(cid:28)(cid:273)2024·(cid:347)(cid:313)(cid:42)(cid:277)·(cid:141)(cid:41)(cid:281)(cid:42)(cid:274)(cid:348)(cid:349)(cid:108)(cid:95)(cid:178)(cid:306)(cid:104)(cid:90)(cid:350)(cid:30)(cid:87)(cid:84)(cid:337)(cid:212)(cid:309)(cid:89)(cid:209)(cid:128)(cid:351)(cid:352)(cid:140)(cid:353)(cid:354)(cid:132)(cid:35)(cid:355)(cid:87)(cid:356)(cid:131)
1
(cid:35)(cid:217)(cid:310)| |=10km/h(cid:84)(cid:354)(cid:348)(cid:35)(cid:356)(cid:131) (cid:35)(cid:217)(cid:310)| |=4km/h(cid:84)(cid:162) (cid:152) (cid:309)(cid:187)(cid:39)(cid:206) < < (cid:84)(cid:220)(cid:351)(cid:352)(cid:64)(cid:110)𝑣
1 2 2 1 2
(cid:355)(cid:87)(cid:242)(cid:258)𝑣(cid:104)(cid:94)(cid:32)(cid:204)(cid:168)(cid:196)(cid:104)(cid:350)(cid:35)(cid:357)(cid:358) 𝑣(cid:359)(cid:84)(cid:169)co𝑣s (cid:127)(cid:196)(cid:273) (cid:281) 𝑣 𝑣 𝜃(0 𝜃 𝜋) 𝐴
𝐵 𝜃A(cid:160) 21 B(cid:160) 2 C(cid:160) 3 D(cid:160) 4
5 5 5 5
− − − −
(cid:22)(cid:255)(cid:83)7-1(cid:28)(cid:273)2024·(cid:323)(cid:274)(cid:360)(cid:298)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:14)(cid:15)(cid:11)(cid:132)(cid:84)(cid:337)(cid:361)(cid:141)(cid:91)(cid:14)(cid:236)(cid:362)(cid:242)(cid:363)(cid:35)(cid:205)(cid:27)(cid:84)(cid:364)(cid:140)(cid:363)(cid:35)(cid:94)(cid:32)(cid:204)(cid:192)(cid:139)(cid:77)(cid:141)(cid:341)
(cid:168)(cid:365)(cid:84)(cid:366)(cid:166)(cid:232)(cid:367)(cid:237)(cid:91)(cid:363)(cid:195)(cid:14)(cid:236)(cid:368)(cid:77)(cid:369)(cid:84)(cid:369)(cid:35)(cid:68)(cid:37)(cid:7)(cid:83)(cid:10) = (cid:273)(cid:62)(cid:132) (cid:106)(cid:369)(cid:84) (cid:106)(cid:363)(cid:84) (cid:106)(cid:168)(cid:365)(cid:281)(cid:141)(cid:14)(cid:236)
(cid:140)(cid:363) =(2,4)(cid:152) =( )(cid:35)(cid:205)(cid:27)(cid:193)(cid:84)(cid:190)(cid:63) (1,0)(cid:365)(cid:331)𝑊(cid:242)(cid:63)𝐹(⋅2𝑆,4)(cid:84)(cid:140)𝑊(cid:237)(cid:91)(cid:262)(cid:252)𝐹(cid:132)(cid:237)(cid:90)(cid:91)𝑆(cid:363)(cid:35)(cid:59)(cid:363)(cid:195)(cid:14)(cid:236)
1 2
(cid:309)(cid:205)𝐹(cid:35)(cid:369)(cid:127)(cid:196)(cid:273) 𝐹 (cid:281) −5,3 𝐴 𝐵
A(cid:160)25 B(cid:160)5 C(cid:160) D(cid:160)
(cid:22)(cid:255)(cid:83)7-2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:285)(cid:286)(cid:370)(cid:371)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:337)(cid:212)(cid:309)(cid:89)(cid:84)(cid:141)−5(cid:91)(cid:14)(cid:236)(cid:372)(cid:90)(cid:218)(cid:373)(cid:158)(cid:374)(cid:375)−2(cid:376)5(cid:377)(cid:84)(cid:181)(cid:359)(cid:196)(cid:30)(cid:378)(cid:379)(cid:380).(cid:209)(cid:128)(cid:90)(cid:125)
(cid:375)(cid:204)(cid:35)(cid:376)(cid:363)(cid:70)(cid:177)(cid:106) , (cid:84)(cid:181) , (cid:55)(cid:354)(cid:30)(cid:38)(cid:39)(cid:381)(cid:206)45°(cid:84)| |=| |=10 2N(cid:84)(cid:169)(cid:14)(cid:236)(cid:35)(cid:382)(cid:363)(cid:217)(cid:310)(cid:206) N.
1 2 1 2 1 2
𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹
(cid:22)(cid:255)(cid:83)7-3(cid:28)(cid:273)2024·(cid:100)(cid:101)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:337)(cid:212)(cid:84)(cid:95)(cid:14)(cid:236)(cid:205)(cid:27)(cid:196)(cid:167)(cid:141)(cid:63) (cid:35)(cid:56)(cid:91)(cid:363) ， ，F (cid:207)(cid:14)(cid:236)(cid:359)(cid:196)(cid:30)(cid:378)(cid:379)
1 2 3
(cid:380)(cid:84)(cid:209)(cid:128) =1N(cid:84) =2N(cid:84) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206)120°(cid:84)(cid:169) (cid:35)(cid:217)(cid:310)(cid:206)𝑂 (cid:160)𝐹(cid:273)(cid:383)𝐹(cid:384)N(cid:106)(cid:14)(cid:15)(cid:35)(cid:363)(cid:11)(cid:98)(cid:168)(cid:281)
1 2 1 2 3
𝐹 𝐹 𝐹 𝐹 𝐹
(cid:22)(cid:21)(cid:29)8 (cid:32)(cid:33)(cid:13)(cid:33)(cid:34)(cid:55)(cid:50)(cid:56)(cid:39)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:28)
(cid:22)(cid:272)8(cid:28)(cid:273)2024·(cid:274)(cid:275)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:271)(cid:39) (cid:35)(cid:31)(cid:34)(cid:206) = =2(cid:84)(cid:169) · (cid:35)(cid:292)(cid:106)(cid:273) (cid:281)
A(cid:160) B(cid:160) 7 △𝐴𝐵𝐶C(cid:160)2 7(cid:179)3,𝐴𝐵 74,𝐴𝐶 D(cid:160) 𝐴(cid:179)𝐵6𝐴𝐶
(cid:22)(cid:255)(cid:83)8 − -1 6 (cid:28)(cid:273)2024·(cid:342)(cid:298)(cid:385) − (cid:386) 2 ·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:140) (cid:132)(cid:84)(cid:108)(cid:39) −A2 (cid:84)B(cid:84)C(cid:309)(cid:195)(cid:35) − (cid:202) 6 (cid:70)(cid:177)(cid:206)a(cid:84)b(cid:84)c(cid:84) = 2 (cid:84)(cid:220)(cid:63)D
3
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴
4 1
(cid:299)(cid:300) =0(cid:84)(cid:181) = + (cid:84)(cid:169) =(cid:273) (cid:281)
5 5
𝑏
𝐴𝐷⋅𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑐
1 1
A(cid:160) B(cid:160)2 C(cid:160) D(cid:160)4
2 4(cid:22)(cid:255)(cid:83)8-2(cid:28)(cid:273)2024·(cid:285)(cid:286)(cid:387)(cid:388)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:140) (cid:132)(cid:84)(cid:39) (cid:309)(cid:195)(cid:35)(cid:202)(cid:70)(cid:177)(cid:206) .(cid:209)(cid:128) =
△𝐴𝐵𝐶 2 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴𝐵⋅𝐴𝐶−𝐵𝐴⋅𝐵𝐶 𝜆
(1)(cid:220) =1(cid:84)(cid:92)(cid:93) (cid:35)(cid:57)(cid:379)(cid:174) 𝐴𝐵
𝜆 1 △𝐴𝐵𝐶
(2)(cid:220) = (cid:84)(cid:65)tan( )(cid:35)(cid:291)(cid:217)(cid:292).
2
𝜆 𝐵−𝐴
(cid:22)(cid:255)(cid:83)8-3(cid:28)(cid:273)2023·(cid:274)(cid:296)(cid:296)(cid:298)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:337)(cid:212)(cid:84)(cid:90)(cid:389)(cid:184) (cid:60) (cid:381)(cid:55)(cid:44)(cid:184)l(cid:43)(cid:44)(cid:84)(cid:43)(cid:300)(cid:70)(cid:177)(cid:206)D(cid:60)E(cid:181) =1.
1 2
(cid:63)A(cid:140)(cid:44)(cid:184)l(cid:204)(cid:84)(cid:63)B(cid:60)C(cid:140)(cid:389)(cid:184)(cid:204). 𝑙 𝑙 𝐷𝐸
(1)(cid:220)F(cid:206)(cid:184)(cid:341)BC(cid:35)(cid:132)(cid:63)(cid:273)(cid:251)(cid:390)(cid:215)(cid:281)(cid:84)(cid:65) (cid:35)(cid:291)(cid:310)(cid:292)(cid:174)
(2)(cid:220) (cid:206)(cid:127)(cid:202)(cid:56)(cid:39)(cid:57)(cid:84)(cid:65) (cid:31)(cid:34)𝐴(cid:35)𝐹(cid:294)⋅𝐴(cid:295)𝐷.
△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:141)(cid:60)(cid:98)(cid:20)(cid:21)
1(cid:160)(cid:273)2024·(cid:391)(cid:392)(cid:274)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33)| |=3,| |=| +2 |(cid:84)(cid:169)| + |=(cid:273) (cid:281)
A(cid:160) 3 B(cid:160)2 𝑎 C(cid:160)𝑎−𝑏5 𝑎 𝑏 𝑎D(cid:160)𝑏3
2(cid:160)(cid:273)2024·(cid:274)(cid:275)(cid:347)(cid:283)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:220) =( ), =( 2 )(cid:84)(cid:181)| + |=| |(cid:84)(cid:169) =(cid:273) (cid:281)
A(cid:160) 2 B(cid:160) 2
𝑎 1,𝑥 𝑏
C(cid:160)
,2−2 𝑎 𝑏
D(cid:160)
𝑎−2𝑏 𝑥
2 2
− −3(cid:160)(cid:273)2024·(cid:315)(cid:316)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:220) (cid:84) (cid:106)(cid:38)(cid:39)(cid:206)60°(cid:35)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:84) + (cid:55)2 (cid:43)(cid:44)(cid:84)(cid:169) =(cid:273) (cid:281)
A(cid:160)0 B(cid:160)2 𝑎 𝑏 C(cid:160) 𝜆𝑎D(cid:160)𝑏 𝑎−𝑏 𝜆
4(cid:160)(cid:273)2023·(cid:391)(cid:392)(cid:274)(cid:393)(cid:394)(cid:395)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) , −(cid:299)1(cid:300)| |=2, =(3,0),| −2|= 10(cid:84)(cid:169)(cid:32)(cid:33) (cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:94)(cid:32)
(cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:206)(cid:273) (cid:281) 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎−𝑏 𝑎 𝑏
A(cid:160) 1 ,0 B(cid:160) 1 ,0 C(cid:160) 1 ,0 D(cid:160)(1,0)
6 3 2
5(cid:160)(cid:273)2024·(cid:282)(cid:275)(cid:283)(cid:284)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:220)(cid:30)(cid:31)(cid:32)(cid:33) , (cid:299)(cid:300)| |= 2,| |=1,| + |= 5(cid:84)(cid:169)(cid:32)(cid:33) , (cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:228)(cid:229)(cid:292)
(cid:206)(cid:273) (cid:281) 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏
A(cid:160) 2 B(cid:160) 2 C(cid:160) 1 D(cid:160) 1
2 2 2 2
− −
6(cid:160)(cid:273)2024·(cid:316)(cid:396)(cid:397)(cid:398)(cid:285)·(cid:56)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) = =(2,1)(cid:84)(cid:169)(cid:117)(cid:193)(cid:367)(cid:49)(cid:258)(cid:399)(cid:35)(cid:106)(cid:273) (cid:281)
A(cid:160)| |= 5 𝑎 (− B 3 (cid:160) ,1),𝑏 (cid:94)(cid:32)(cid:204)(cid:35)(cid:98)(cid:168)(cid:32)(cid:33)(cid:206) 3 10, 10
10 10
𝑏−𝑎 𝑎
C(cid:160)(cid:32)(cid:33) (cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:206) 10 D(cid:160)(cid:220) = 5 2 5 (cid:84)(cid:169)
2 5 5
7(cid:160)(cid:273)2024·(cid:226) 𝑏 (cid:335)(cid:336)(cid:318) 𝑎 ·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:95)(cid:7)(cid:400)(cid:162)(cid:68)(cid:35)(cid:141)(cid:91)(cid:339) 𝑐 (cid:57)(cid:401)(cid:402),−(cid:403)(cid:349)(cid:337)(cid:212)(cid:309) 𝑏 (cid:89) ⊥ (cid:84) 𝑐 (cid:62)(cid:132)(cid:343)(cid:404)(cid:70)(cid:206)(cid:141)(cid:91)(cid:127)(cid:202)(cid:56)(cid:39)(cid:57)
(cid:405)(cid:406)(cid:84)(cid:70)(cid:177)(cid:117)(cid:127)(cid:202)(cid:56)(cid:39)(cid:57)(cid:35)(cid:56)(cid:125)(cid:202)(cid:205)(cid:206)(cid:258)(cid:94)(cid:57)(cid:35)(cid:141)(cid:125)(cid:202)(cid:249)(cid:250)(cid:56)(cid:91)(cid:258)(cid:94)(cid:57)(cid:403)(cid:349)(cid:27)(cid:196)(cid:231)(cid:407)(cid:401)(cid:402)(cid:408)(cid:409)(cid:84)(cid:62)(cid:132)(cid:410)(cid:91)
(cid:258)(cid:94)(cid:57)(cid:133)(cid:90)(cid:91)(cid:411)(cid:63)(cid:412)(cid:413)(cid:140)(cid:339)(cid:204)(cid:160)(cid:220) = (cid:84)(cid:169) =(cid:273) (cid:281)
𝐴𝐵 2𝑎 𝐵𝐷⋅𝐶𝐸
A(cid:160) + 3) 2 B(cid:160) + 3) 2 C(cid:160) + 3) 2 D(cid:160) + 3) 2
8(cid:160)(cid:273)20−244(·(cid:226)2 (cid:335)(cid:187)(cid:414)𝑎·(cid:56)(cid:41)(cid:281)−(cid:140)2((cid:415)2 (cid:57) 𝑎 (cid:132)(cid:84) =−52(cid:84)(3 =4𝑎(cid:84)(cid:63) (cid:299)(cid:300)−22(1=3 (cid:84)𝑎(cid:140)(cid:30)(cid:31) (cid:132)(cid:84)(cid:331)(cid:63)
(cid:299)(cid:300) =0(cid:84)(cid:169) (cid:35)(cid:291)(cid:217)𝐴𝐵(cid:292)𝐶(cid:206)𝐷(cid:273) 𝐴 (cid:281)𝐵 𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐸 𝐸𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑃 A(cid:160)𝑃𝐸4⋅1𝑃+𝐵4 𝐷B𝑃(cid:160)⋅𝐴4𝐶1 C(cid:160)2 13+4 D(cid:160)2 13
(cid:301)(cid:60)(cid:416)(cid:20)(cid:21) −6 −6
9(cid:160)(cid:273)2024·(cid:285)(cid:286)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) =(1, 3)(cid:84) =( )(cid:84)(cid:169)(cid:193)(cid:194)(cid:367)(cid:49)(cid:258)(cid:399)(cid:35)(cid:106)(cid:273) (cid:281)
𝑎 𝑏 −2,0
A(cid:160) =2 B(cid:160) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206)
3
π
𝑎⋅𝑏 𝑎 𝑏
1
C(cid:160) +2 D(cid:160) + (cid:140) (cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:32)(cid:33)(cid:206)
2
𝑎⊥ 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏| |
10(cid:160)(cid:273)2023·(cid:285)(cid:286)(cid:370)(cid:371)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:163)(cid:164)(cid:32)(cid:33) (cid:84) =1(cid:84)(cid:195)(cid:290)(cid:76) (cid:84)(cid:254)(cid:133)| | | |(cid:84)(cid:169)
→
(cid:273) (cid:281) 𝑎≠𝑒 𝑒 𝑡∈𝑅 𝑎−𝑡𝑒 ≥ 𝑎−𝑒
A(cid:160) (cid:140) (cid:204)(cid:35)(cid:45)(cid:46)(cid:35)(cid:13)(cid:33)(cid:206)1 B(cid:160)| + | | |
C(cid:160)𝑎 𝑒 D(cid:160)𝑎 𝑒 ≥ 𝑎−2𝑒
11(cid:160)(cid:273)2𝑎02⊥4·(cid:303)𝑎−(cid:104)𝑒(cid:417)(cid:151)·(cid:141)(cid:41)(cid:281)(cid:209)(cid:128) (cid:206) (cid:309)(cid:140)(cid:30)𝑒⊥(cid:31)(cid:108)𝑎−(cid:141)𝑒(cid:63)(cid:84)(cid:169)(cid:193)(cid:194)(cid:258)(cid:399)(cid:35)(cid:106)(cid:273) (cid:281)
A(cid:160)(cid:220) +3 +2 =0(cid:84)(cid:169)𝑃(cid:63) △(cid:140)𝐴𝐵𝐶 (cid:35)(cid:132)(cid:168)(cid:184)(cid:204)
B(cid:160)(cid:220)𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶=0(cid:84)(cid:169) (cid:206)𝑃 △𝐴(cid:35)𝐵(cid:382)𝐶(cid:343)
C(cid:160)(cid:220)𝑃𝐴 𝑃𝐵>0𝑃(cid:84)𝐶(cid:169) 𝑃(cid:206)(cid:270)△(cid:39)𝐴(cid:56)𝐵𝐶(cid:39)(cid:57)
𝐴𝐵⋅𝐴1𝐶 2 △𝐴𝐵𝐶
D(cid:160)(cid:220) = + (cid:84)(cid:169) (cid:55) (cid:35)(cid:31)(cid:34)(cid:418)(cid:206)3:2
3 3
𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝐶 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝑃
(cid:56)(cid:60)(cid:119)(cid:120)(cid:21)
12(cid:160)(cid:273)2024·(cid:282)(cid:275)(cid:283)(cid:284)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) = (cid:84) = (cid:84)(cid:181) (cid:84)(cid:169) = .
13(cid:160)(cid:273)2024·(cid:204)(cid:419)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) (cid:84) 𝑎(cid:84) (cid:299)(−(cid:300)2,|𝑘−|=3)| |𝑏=1((cid:84)𝑘,|𝑘−|=2) 2(cid:84)𝑎(cid:181)⊥𝑏+ +𝑘 =0(cid:84)(cid:169)cos ,
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎= 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−𝑐𝑏−𝑐
⟨ ⟩
(cid:160)
14(cid:160)(cid:273)2024·(cid:420)(cid:421)(cid:303)(cid:275)·(cid:301)(cid:41)(cid:281)(cid:337)(cid:212)(cid:84)(cid:44)(cid:39)(cid:422)(cid:57)ABCD(cid:132)(cid:84) (cid:84) (cid:84) = = =2(cid:84)(cid:140)(cid:127)
(cid:423)(cid:44)(cid:39)(cid:56)(cid:39)(cid:57)CDE(cid:132)(cid:84) =90°(cid:84)(cid:169)(cid:32)(cid:33) (cid:140)(cid:32)(cid:33) (cid:204)𝐴(cid:35)𝐵(cid:45)∥(cid:46)𝐶𝐷(cid:32)(cid:33)𝐴𝐵(cid:35)⊥(cid:41)𝐴(cid:206)𝐷 𝐴 𝐵 (cid:174)2(cid:220)𝐶𝐷M(cid:84)2N𝐴𝐷(cid:70)(cid:177)(cid:206)(cid:184)(cid:341)
BC(cid:84)CE(cid:204)(cid:35)(cid:331)(cid:63)(cid:84)(cid:181) ∠𝐶 = 5 (cid:84)(cid:169) 𝐴𝐸 (cid:35)(cid:291)(cid:310) 𝐶𝐵 (cid:292)(cid:206) .
2
𝐴𝑀⋅𝐴𝑁 𝑀𝐷⋅𝐷𝑁
(cid:226)(cid:60)(cid:50)(cid:424)(cid:21)
15(cid:160)(cid:273)2024·(cid:420)(cid:421)(cid:303)(cid:104)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) =(3,4)(cid:84) =( )(cid:84) =(1,2)(cid:160)
(1)(cid:220) (cid:84)(cid:65)| |(cid:35)(cid:292)(cid:174) 𝑎 𝑏 1,𝑥 𝑐
(2)(cid:220)𝑎⊥𝑏 𝑏(cid:84)(cid:65)(cid:32)(cid:33) (cid:55) (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:228)(cid:229)(cid:292)(cid:160)
𝑐∥ 𝑎−2𝑏 𝑎−2𝑏 𝑎2
16(cid:160)(cid:273)23-24(cid:24)(cid:141)(cid:193)·(cid:104)(cid:105)(cid:286)(cid:425)·(cid:426)(cid:132)(cid:281)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) , (cid:35)(cid:38)(cid:39)(cid:206) (cid:84)(cid:181)| |=2,| |=4(cid:84)(cid:65)(cid:10)
3
π
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
(1) ;
(2)𝑎| ⋅𝑏 | ;
(3) 𝑎(cid:55)−𝑏 (cid:38)(cid:39)(cid:35)(cid:228)(cid:229)(cid:292).
𝑎 𝑎−𝑏
17(cid:160)(cid:273)2024·(cid:302)(cid:306)(cid:427)(cid:318)·(cid:141)(cid:41)(cid:281)(cid:140) (cid:132)(cid:84)(cid:108)(cid:39) (cid:299)(cid:300) 3sin cos =2.
(1)(cid:65)(cid:39) (cid:35)(cid:217)(cid:310)(cid:174) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 2𝐴− 2𝐴
𝐴 | |
(2)(cid:220) =2 (cid:84)(cid:65) (cid:35)(cid:291)(cid:217)(cid:292).
| |
𝐴𝐷
𝐷𝐶 𝐵𝐷 𝐵𝐷
18(cid:160)(cid:273)2024·(cid:302)(cid:306)(cid:378)(cid:318)·(cid:41)(cid:278)(cid:279)(cid:280)(cid:281)(cid:140) (cid:132)(cid:84)(cid:108)(cid:39) (cid:309)(cid:195)(cid:35)(cid:202)(cid:70)(cid:177)(cid:206) (cid:84)(cid:209)(cid:128)(cid:32)(cid:33) , (cid:299)(cid:300) =
( 6)(cid:84) =( 2sin )(cid:84)(cid:181) △(cid:160)𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑚𝑛 𝑚
(12)𝑎(cid:65),−(cid:39) (cid:174) 𝑛 𝐵,𝑏 𝑚⊥𝑛
(2)(cid:220) 𝐴 (cid:106)(cid:270)(cid:39)(cid:56)(cid:39)(cid:57)(cid:84)(cid:181) =3(cid:84)(cid:65) (cid:428)(cid:42)(cid:35)(cid:243)(cid:292)(cid:294)(cid:295)(cid:160)
△𝐴𝐵𝐶 𝑎 △𝐴𝐵𝐶
19(cid:160)(cid:273)23-24(cid:24)(cid:141)(cid:193)·(cid:323)(cid:274)(cid:316)(cid:429)·(cid:426)(cid:430)(cid:281)(cid:140)(cid:44)(cid:39)(cid:422)(cid:57) (cid:132)(cid:84) // (cid:84) =90 (cid:84) = = =4(cid:84)
∘
(cid:63) (cid:106) (cid:202)(cid:204)(cid:35)(cid:132)(cid:63). 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 ∠𝐷𝐴𝐵 𝐴𝐵 2𝐴𝐷 2𝐷𝐶
(1)𝐹(cid:220)(cid:63)𝐵𝐶(cid:299)(cid:300) =2 (cid:84)(cid:181) = + (cid:84)(cid:65) + (cid:35)(cid:292)(cid:174)
𝐸 𝐷𝐸 𝐸𝐶 𝐸𝐹 𝜆𝐴𝐵 𝜇𝐴𝐷 𝜆 𝜇(2)(cid:220)(cid:63) (cid:106)(cid:184)(cid:341) (cid:204)(cid:35)(cid:331)(cid:63)(cid:273)(cid:72)(cid:334)(cid:63)(cid:281)(cid:84)(cid:65) (cid:35)(cid:243)(cid:292)(cid:294)(cid:295).
𝑃 𝐴𝐹 𝐴𝑃⋅𝐷𝑃
