文档内容
专题 08 平面向量小题全面梳理与精细分类
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：平面向量基本定理及其应用................................................................................................2
题型二：平面向量共线的充要条件及其应用....................................................................................3
题型三：平面向量的数量积................................................................................................................3
题型四：平面向量的模与夹角............................................................................................................4
题型五：等和线问题............................................................................................................................4
题型六：极化恒等式............................................................................................................................4
题型七：矩形大法................................................................................................................................5
题型八：平面向量范围与最值问题....................................................................................................5
题型九：等差线、等商线问题............................................................................................................6
题型十：奔驰定理与向量四心............................................................................................................6
题型十一：阿波罗尼斯圆问题............................................................................................................7
题型十二：平行四边形大法................................................................................................................8
重难点突破：向量对角线定理............................................................................................................8
02 重难创新练......................................................................................................................................8题型一：平面向量基本定理及其应用
1．（2024·山东滨州·二模）在 中， 为 的重心， 为 上一点，且满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．在 中， 若 是 的内心， 的延长线交 于 ， 则有 称之为三角形的内角平
分线定理， 现已知 ， ， 且 ， 则实数 （ ）
A． B． C． D．
3．在平行四边形 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上，且满足 ，记
，则 （ ）
A． B．
C． D．题型二：平面向量共线的充要条件及其应用
4．在 中，点 满足 ，直线 与 交于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·高三·江苏南通·期中）在 中， ， ， ， .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024·高三·安徽亳州·期中）在 中， ， ， 与 交于点
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
题型三：平面向量的数量积
7．如图，在 中，两直角边 ， ，点E，F分别为斜边AB的三等分点，则
.
8．在边长为1的正 中， ，则 的值等于 ．
9．已知菱形 的边长为 2，且 ，若点 满足 ，则
.题型四：平面向量的模与夹角
10．已知 ，且 ，则 .
11．已知向量 的夹角为 ，则 .
12．若 是夹角为 的两个单位向量，则 与 的夹角为 .
题型五：等和线问题
13．四边形 是正方形，延长 至点 ，使得 ，若 为 中点， 为 中点，点 在
线段 上移动（包含端点），设 ，求 的取值范围 ．
14．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形 是边长为1的正方形，延长CD至E，使得 ．
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， ，则 的取值范
围为 ．
15．在如图所示的直角梯形 中， 为梯形 内一动点，
且 ，若 ，则 的最大值为 .题型六：极化恒等式
16．已知圆O的半径为2，A，B是圆O上两点，且 ， 是圆O的一条直径，若动点P满足
( ， )，且 ，则 的最小值为 .
17．如图，在 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点 ， ，则
的值是 .
18．（2024·高三·上海松江·期末）已知点P为椭圆 上任意一点， 为圆 的
任意一条直径，则 的取值范围是 ．
题型七：矩形大法
19．设向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．1
20．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量 ， ， 满足 ， ，若
，则 的最大值是 ．题型八：平面向量范围与最值问题
21．设 都是单位向量，且 ，则 的最小值为 ．
22．已知 ， ， 为平面向量，如果 ， ， ，则 的最小值为
.
23．（2024·上海崇明·一模）已知不平行的两个向量 满足 ， ．若对任意的 ，都有
成立，则 的最小值等于 ．
题型九：等差线、等商线问题
24．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°，点C在以
O为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中x、 .则 的最大值为 ； 的取值
范围是 .
25．（2023·高一单元测试）如图，在 中， ， ， ，若延长CB到点D，使
，当点E在线段AB上移动时，设 ，当 取最大值时， 的值是 .
26．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在 中，点D满足 ，当点E在射线AD（不含点A）
上移动时，若 ，则 的最小值为 ．题型十：奔驰定理与向量四心
27．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设 为三角形 内一点，且满足：
，则 （ ）
A． B． C． D．
28．在 中， ， ， 是 的外心，则 的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
29．若 的三边为a，b，c，有 ，则 是 的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
题型十一：阿波罗尼斯圆问题
30．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点 满足，则 的范围为 .
31．已知平面向量 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量 ， ， 满足 ⊥ ，且 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十二：平行四边形大法
33．（2023·浙江·模拟预测）已知 为单位向量，平面向量 ， 满足 ， 的取值范围是
____.
重难点突破：向量对角线定理
34．在平面四边形ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF= ,CD= ，若
，则 的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
35．在四边形 中，点 分别是边 的中点，设 ， .若 ，
， ，则（ ）A． B．
C． D．
36．在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，设 ， ，若 ，
， ，则xy的最小值为 ．
1．如图，边长为 的等边 ，动点 在以 为直径的半圆上.若 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．3．已知向量 ， ，若向量 在向量 上的投影向量 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．7
4．已知△ABC是边长为1的正三角形， 是BN上一点且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 ， ，点 为 中点，则
（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．点P在边长为1的正三角形 的外接圆上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．在半径为2的圆上任取三个不同的点 且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）如图， 是边长为 的等边三角形， ，点 在以 为直径的半圆上（含端点），设 ，则（ ）
A． 的值不可能大于 B．
C． 的最小值为 D． 的最大值为1
10．（多选题）若等边三角形 的边长为 为 的中点，且 交于点 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B．若点 为 的中点，则
C． 为定值
D． 的最小值为
11．（多选题）已知 为 的外心， ，则（ ）
A． 与 不共线 B． 与 垂直
C． D．
12．（多选题）如图，已知 中， ， ， 是 的中点，动点 在以 为直径
的半圆弧上.则（ ）A．
B． 最小值为-2
C． 在 上的投影向量为
D．若 的最大值为
13．已知平面向量 满足： ， ，且对任意的单位向量 满足 ，则
的最大值为 .（用含 的式子表示）
14．在平行四边形 中， ， ，点 在边 上，满足 ，则向量 在
向量 上的投影向量为 （请用 表示）；若 ，点 ， 分别为线段 ， 上的动
点，满足 ，则 的最小值为 ．
15．已知点O，A，B，C均在同一平面内， ， ， ，当 取最大值时，
．
16．在四边形 中， ， ， ， ， ， 分别为线段 、
的中点，若设 ， ，则 可用 ， 表示为 ； .
17．如图，在平面四边形 中， ，则 .
