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重难点 01 利用基本不等式求最值【八大题型】
【新高考专用】
基本不等式是每年高考的必考内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通常为
选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数
等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函数
或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要
紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
【知识点1 利用基本不等式求最值的解题策略】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存
在取等号的条件．
2．常见的求最值模型
n √ n
mx+ ≥2√mn(m>0,n>0) x=
(1)模型一： x ，当且仅当 m 时等号成立；
n n √ n
mx+ =m(x−a)+ +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0) x−a=
(2)模型二： x−a x−a ，当且仅当 m 时等号
成
立；
x 1 1
= ≤ (a>0 , c>0)
ax2 +bx+c
ax+b+
c 2√ac+b
x=
√c
(3)模型三： x ，当且仅当 a 时等号成立；
mx(n−mx) 1 mx+n−mx n2 n n
x(n−mx)= ≤ ⋅（ ) 2 = (m>0,n>0,00，则x−4+ 的最小值为（ ）
xA．－2 B．0 C．1 D．2√2
7
【变式1-1】（2024·甘肃定西·一模）x2+ +√7的最小值为（ ）
x2
A．2√7 B．3√7 C．4√7 D．5√7
2a b
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知ab为正数，则 + （ ）
b a
A．有最小值，为2 B．有最小值，为2√2
C．有最小值，为4 D．不一定有最小值
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）( 3+ 1 ) (1+4x2) 的最小值为（ ）
x2
A．9√3 B．7+4√2 C．8√3 D．7+4√3
【题型2 配凑法求最值】
1
【例2】（2024·全国·模拟预测）函数y=x2+ (x2>5)的最小值为（
）
x2−5
A．2 B．5 C．6 D．7
4
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知a>0,b>0，则a+2b+ 的最小值为（ ）
a+2b+1
A．6 B．5 C．4 D．3
4
【变式2-2】（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+ ，的最小
x−2
值为（ ）
A．7 B．8 C．14 D．15
8
【变式2-3】（2024·山西忻州·模拟预测）已知a>2，则2a+ 的最小值是（ ）
a−2
A．6 B．8 C．10 D．12
【题型3 常数代换法求最值】
1 1
【例3】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+ y=1，则 + 的最小值为（ ）
2x 1+ y
3+2√2 3+2√2 4
A． B． C．2 D．
2 4 3
9 1
【变式3-1】（2024·云南大理·模拟预测）已知a≥0，b≥0且2a+b=1，则 + 的最小值为（ ）
a+1 a+b
A．4 B．6 C．8 D．10x+ y
【变式3-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知x>0，y>0，且2x+ y=1，则 的最小值为（ ）
xy
A．4 B．4√2 C．6 D．2√2+3
1 1
【变式3-3】（2024·四川成都·模拟预测）若a,b是正实数，且 + =1，则a+b的最小值为
3a+b 2a+4b
（ ）
4 2
A． B． C．1 D．2
5 3
【题型4 消元法求最值】
y2
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知x,y,z∈(0,+∞)，且满足x−2y+3z=0．则 的最小值为（ ）
xz
A．12 B．6 C．9 D．3
xy
【变式4-1】（2024·北京·模拟预测）设正实数x、y、z满足4x2−3xy+ y2−z=0，则 的最大值为
z
（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
【变式4-2】（2024·浙江绍兴·三模）若x,y,z>0，且x2+xy+2xz+2yz=4，则2x+ y+2z的最小值是
．
【变式4-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x2+xy+ yz+xz+x+z=6，则
3x+2y+z的最小值是 .
【题型5 齐次化求最值】
x+6 y+6
【例5】（2024·江西新余·二模）已知x，y为正实数，且x+ y=2，则 的最小值为（ ）
xy
25 6√2−3
A．12 B．3+2√2 C． D．
2 2
x2+ y
【变式5-1】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数x,y满足x+2y=1，则 的最小值为
xy
（ ）
1 1
A． B．2√2 C． D．2√2+1
2√2 2√2+1
1 x−4 y
【变式5-2】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知xy=1，且00 y>0
x2+9 y2+2
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
ab+bc
【例6】（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
a2+2b2+c2
1 1 √2 √3
A． B． C． D．
2 4 2 2
z 4 1
【变式6-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+ =2，则当 + 取得最小值时，
x y z
y+z的值为（ ）
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
1 2
【变式6-2】（23-24高三下·浙江·开学考试）已知a、b、c、d均为正实数，且 + =c2+d2=2，则
a b
b
a+ 的最小值为（ ）
cd
A．3 B．2√2
3+√2 3+2√2
C． D．
2 2
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知 为非零实数， ， 均为正实数，则 a2b+a2c 的最大值为
a b c
4a4+b2+c2
（ ）
1 √2 √2 √3
A． B． C． D．
2 4 2 4
【题型7 实际应用中的最值问题】
【例7】（23-24高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄
金100g，售货员先将50g砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将50g砝码放在天平
右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（
）
A．小于100g B．等于100g
C．大于100g D．与左右臂的长度有关
【变式7-1】（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y （单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货
1
物费y （单位：元）与x成正比；若在距离车站6km处建仓库，则y =4 y .要使这家公司的两项费用之和
2 2 1
最小，则应该把仓库建在距离车站（ ）
A．2km B．3km C．4km D．5km
【变式7-2】（24-25高一上·四川泸州·期中）如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩
形花室．
(1)若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值；
(2)若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值．
【变式7-3】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100
平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如
下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面
以及其他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
320a(1+x)
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为 (a>0)元，若无论左面
x
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a的取值范围.
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】
【例8】（23-24高三上·山西运城·阶段练习）在 中，已知 → → ， ， 的
△ABC
AB⋅AC=9
b=c⋅cosA △ABC→ →
→ CA CB 1 1
面积为6，若P为线段AB上的点（点P不与点A，点B重合），且CP=x⋅ + y⋅ ，则 +
| → | | → | x 3 y+2
CA CB
的最小值为（ ）
3 9 1
A．9 B． C． D．
4 14 2
【变式8-1】（2020·全国·高考真题）设 为坐标原点，直线 与双曲线 x2 y2 的两
O x=a C: − =1(a>0,b>0)
a2 b2
条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【变式8-2】（23-24高三·全国·阶段练习）在ΔABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
(acosC+ccosA)tan A=√3b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=√3，求bc的最大值．
【变式8-3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研
a+b
究和证明中占有重要的位置，基本不等式 ≥√ab(a>0,b>0)就是最简单的平均值不等式.一般地，假
2
设 为n个非负实数，它们的算术平均值记为 a +a +⋅⋅⋅+a 1 n （注：
a ,a ,⋅⋅⋅,a A = 1 1 n= ∑a
1 2 n n n n i
i=1
n ），几何平均值记为 1 ( n ) 1 亦（注：
∑a =a +a +⋅⋅⋅+a G =(a a ⋅⋅⋅⋅⋅a )n= Πa n
i 1 1 n n 1 2 n i
i=1 i=1
n
Πa =a a ⋅⋅⋅⋅⋅a ），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：
i 1 1 n
i=1
a +a +⋅⋅⋅+a
1 1 n≥√n a a ⋅⋅⋅⋅⋅a ，即A ≥G ，当且仅当a =a =⋅⋅⋅=a 时等号成立，上述不等式
n 1 1 n n n 1 2 n称为平均值不等式，或简称为均值不等式.
8
(1)已知x>y>0，求x+ 的最小值；
y(x−y)
(2)已知正项数列 ，前n项和为 .
{a } S
n n
n n
（i）当S =1时，求证：Π(1−a2)≥(n2−1) n Πa2；
n i i
i=1 i=1
（ii）求证： n n Si .
Π(1+a )≥∑ n
i i!
i=1 i=0
一、单选题
1 1
1．（2024·河北·模拟预测）已知x>1，y>0，且 + =1，则4x+ y的最小值为（ ）
x−1 y
15+5√5
A．13 B． C．14 D．9+√65
2
2．（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+ y=xy−3，则xy的最小值为（ ）
A．3 B．2√3 C．6 D．9
3 6
3．（2024·江苏宿迁·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，则 + 的最小值为（ ）
a b
A．9 B．18 C．24 D．27
4．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
1 1
A．若正实数a,b满足a+b=1，则 + 有最小值4
a b
B．若正实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b≥2√2
C．y=√x2+3+ 1
的最小值为
4√3
√x2+3 3
D．若a>b>1，则ab+1b>0，若a2+λb2≤ ，则实数λ的最大值为（ ）
a−bA．2+2√2 B．4 C．2+√2 D．2√2
6．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世
纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观
《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均为
正数）.则 ， ”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好
(a+b) 2=4ab+(b−a) 2 (a+b) 2=2c2−(b−a) 2
奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），
请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
y
7．（2024·福建宁德·模拟预测）若两个正实数x，y满足4x+ y=2xy，且不等式x+ 2}
C．{m∣−21}
8．（2024·山东淄博·二模）记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则
{2 1 }
max , ,x2+4 y2 的最小值为（ ）
x y
1
A． B．1 C．2 D．4
2
二、多选题
9．（2024·贵州铜仁·模拟预测）下列不等式正确的有（ ）
A．当0−1时，x+ ≥1
x+13
D．函数y=1−2x− (x<0)最小值为1+2√6
x
10．（2024·广东佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，则（ ）
A．ab的最小值为18 B．a2+b2的最小值为36
2 1 2
C． + 的最小值为 D．a+b的最小值为3+4√2
a b 3
11．（2024·吉林长春·模拟预测）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等
号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等
式的发展影响深远，若a>0,b>0，则下面结论正确的是（ ）
1 1
A．若a>b，则 <
a b
1 4 9
B．若 + =4，则a+b有最小值
a b 4
C．若ab+b2=2，则a+b≥4
D．若a+b=2，则ab有最大值2
三、填空题
12．（2024·海南·模拟预测）已知实数a，b满足ab=2，则a2+4b2的最小值为 .
y 1
13．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知x>0,y>0，且x+ y=3，则 + 的最小值为 ．
x+1 y
1 3
14．（2024·河南郑州·模拟预测）设a>0，b>0，记M为 ，b，a+ 三个数中最大的数，则M的最小
a b
值为
．
四、解答题
1 1
15．（2024·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S= + 的最小值．
1+a 1+2b
16．（2024·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b=4√3.
(1)求证：a2+b2≥24；(2)求(a2+1)(b2+1)的最小值.
ab
17．（2024·宁夏固原·一模）已知函数f (x)=|2x+1|+3|x−1|．
(1)解不等式f (x)≤4；
2 8
(2)记（1）中不等式的解集为M, M中的最大整数值为t，若正实数a,b满足a+b=t，求 + 的最
a+1 b+2
小值．
3 2 1
18．（2024·广西河池·模拟预测）已知a，b，c都是正数，且 + + =3，证明：
a b c
(1)若b=c，则ac≥4
b+c a+c b+a
(2) + + ≥ √abc.
2√a 3√b 6√c
19．（2024·全国·模拟预测）已知x,y,z∈(0,+∞)，且x+ y+z=1．
y z x
(1)求证： + + >1+√z−z；
√x √y √z
(2)求x2+ y2+z2+5xy+4 yz+4xz的最大值．
