文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 24 讲 平面向量的数量积及其应用（精讲）
题型目录一览
①平面向量的数量积的运算
②平面向量的模长
③平面向量的夹角
④两个向量的垂直问题
⑤平面向量的投影数量、投影向量
⑥平面向量的应用
一、知识点梳理
一、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），
记作 ，即 = ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线的
垂线，垂足为点A.我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a
1
在向量b上的投影向量.
,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ).
二、数量积的运算律
已知向量 、 、 和实数 ，则：
① ；② ；③ ．
三、数量积的性质设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
① ．② ．
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 ．
④ ．⑤ ．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与 (当且仅当
的关系 时等号成立)
【常用结论】
(1) 在 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型分类精讲题型 一 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知 的外接圆圆心为 ，且 ， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量 绕坐标原点 顺时针旋转 得到 ，则
（ ）
A． B．
C． D．2．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量 ， ， （
），则 （ ）
A．5 B． C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知 的半径为2， ，则
（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．
4．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值
为 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．72
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边 的边长为2，平面内一点 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形 的边长为2，且 ，则
的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2023·全国·模拟预测）在 中，M是 的中点， ，点P在 上且满足 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1， ，G是菱形ABCD内
一点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
9．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量 满足 ，且 夹角为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形 中， 与 相交于点
，过点 作 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）圆 为锐角 的外接圆， ，则 的值可能
为（ ）．
A． B． C． D．
12．（2023·全国·模拟预测）在菱形 中， ， ，点 为线段 的中点， 和
交于点 ，则（ ）
A． B．C． D．
13．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）设 为 的外心， ， ， 的角平分线
交 于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知向量 , ,若 ，
则 ______．
15．（2023·山东威海·统考二模）已知向量 ， ， ，若 ，则t＝______．
16．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，则
______．
17．（2023·河北·校联考一模）已知O为 的外心，若 ，且 ，则
__________.
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形 中， ，则
__________.
19．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形 的边长为1， 为边 的中点， 为
正六边形的中心，则 ______．
20．（2023·北京通州·统考三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一
条直径，则 =___________.
21．（2023·广东汕头·统考三模）在 中， ， ， ， ，求_________.
22．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆 为 的外接圆， ， ， 为边 的中点，
则 ______.
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝．
(2)|a±b|＝＝．
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝．
【典例1】已知 ， 均为单位向量，且 与 夹角为 ，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
【典例2】已知向量 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知向量 ， ， ，若 ，
则实数 （ ）．
A．1或 B． 或4
C．0或8 D．0或2．（2023·全国·高三专题练习）平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知平面向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．33
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则
（ ）
A．3 B． C． D．5
5．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ， 的夹角为 ，
，则实数 （ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·重庆·校联考三模）在 ABC中， ， 且点D满足 ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
8．（2023·广东深圳·统考模拟预测）向量 满足 ， ， ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在 中， ， ， ，M为线段BC的
中点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
10．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知 ， ，若 ，则 ______．
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知 为单位向量，且满足 ，则 ______.
12．（2023·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知向量 ， ，满足 ，则
__________．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ， ，则 ______．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，则 的最大值为_________．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值是______.
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法【典例1】已知非零向量 ， ， 满足 ， ， ， .则向量 与 的夹
角（ ）
A．45° B．60° C．135° D．150°
【题型训练】
一、单选题
1．（江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知 为单位向量，且
，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（河南省青桐鸣大联考2023届高三下学期5月考试文科数学试题）在 中， ， ，D
为AC的中点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（华大新高考联盟2023届高三名校预测卷全国数学文科试题）已知平面向量 ， 满足 ， ，，则 ， 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（北京市海淀区2023届高三数学查缺补漏题（1））已知向量 是两个单位向量，则“ ”
是“ 为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件5．（湖南省郴州市九校联盟2023届高三下学期适应性测试数学试题）已知向量 满足
，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（江苏省镇江第一中学2023届高三下学期4月检测数学试题）单位向量 ， 为的夹角为 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（山东省聊城市2023届高三三模数学试题）已知向量 ， 满足 ， ，则 与
的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
8．（河北省部分学校2023届高三下学期二月联考数学试题）已知单位向量 的夹角为 ，则使 为钝角
的一个充分条件是（ ）
A． B．C． D．
三、填空题
9．（河南省驻马店市2023届高三二模理科数学试题）若单位向量 ， 满足 ，则向量 ，
夹角的余弦值为____________．
10．（湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题）已知单位向量 ， 满足 ，则向
量 与 的夹角为_______________．
11．（2023届四川省名校联考高考仿真测试（三）文科数学试题）若 是夹角为 的两个单位向量，
则 与 的夹角大小为________.
12．（重庆市第一中学校2023届高三下学期5月月考数学试题）已知向量 和 满足： ， ，
，则 与 的夹角为__________．
题型四 两个向量的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积
的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【典例1】已知非零向量 ， 满足 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A．4 B．-4 C． D．
【题型训练】一、单选题
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知向量 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量 ， 满足 ，且 与 垂直，则 与 的夹
角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知向量 满足 ，且 ，则实数 （ ）
A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或
5．（2023·湖北·统考二模）已知向量 的夹角为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量 的夹角的余弦值为 ，
， ，则 （ ）
A．-4 B．-1 C．1 D．4
7．（2023·新疆·校联考二模）平面内三个单位向量 ， ， ，满足 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知两个非零向量 ， 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知两个单位向量 ， 满足 与 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知向量 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， ， 满足 ， ， ，则
, （ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通
过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
二、填空题
13．（2023·全国·模拟预测）向量 ，且 ，则实数 _________．
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ， ．若 ，则 ______．
15．（2023春·安徽合肥·高三校考开学考试）已知向量 ， ， ．若
，且 ，则 ______．
16．（2023·全国·高三专题练习）非零向量 ， ，若 ，则
______.题型 五 平面向量的投影数量、投影向量
【典例1】向量 与 的夹角为 ， ， ， 在 上投影数量为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【典例2】已知向量 ， ，若 与 反向，则向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设非零向量 满足 ，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）若向量 ， 满足 ， ，则 在 方向上的投影
为（ ）
A．1 B． C． D．－1
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投
影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 在 方向上的
投影为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．-45．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量 ，且满足 ，则
向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 在 方向
上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与非零向量 共线，则
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．当且仅当 时， B． 在 上的投影向量为
C．存在θ，使得 D．存在θ，使得
三、填空题
10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知 ，则向量 在向量 上的
投影向量为___________.
11．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则向量
在 方向上的投影为______．
12．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）设 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标
为_________．
13．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）已知向量 ， 的夹角为60°，向量 在向量 上的投影向量的长度
为1， ，则 ______．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足 ，且向量 在向量 方向的投
影向量是 ，则向量 与 的夹角是________.
题型 六 平面向量的应用
策略方法
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还
会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为
向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
【典例1】已知 中， ， ，则此三角形为（ ）A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东深圳·校考一模）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足同向共线，且 ，
，则 （ ）
A．3 B．15 C． 或15 D．3或15
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方形ABCD中，已知| |=2，若点N为正方形内(含边界)
任意一点，则 的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）设 均为非零向量，则“ ”是“对于任意的实数 ，都有
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不允分也不必要条件
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）在 中，已知 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形 中， 与 相交于点 ，
过点 作 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知平面向量 ， ， 均为单位向量，且
， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知点 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， 的夹角为锐角，则 且
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1， ，点C、D分别为线段OA、
OB上的动点，且 ，点E为 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为0 B． 的最小值为C． 的最大值为1 D． 的最小值为0
三、填空题
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量 ， 不共线， ， ，写出
一个符合条件的向量 的坐标：______.
11．（2023春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）在 中，O为BC的中点，向量 ，
的夹角为 ， ，则线段AC的长度是______.
12．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ， 是非零向量， ， ，
向量 在向量 方向上的投影为 ，则 ________.
13．（2023·天津·校考模拟预测）已知O为矩形ABCD内一点，满足 ， ， ，则
__________．
14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中， ，AC
与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则 的最大值为________．
15．（2023春·四川成都·高三校联考期末）在 中， ， ， 为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围为______．
