高数7-2（仅数一、数三）综合测试_考研_数学_04.武忠祥_25武忠祥《学习包》答案_02.强化班学习包_00.高数学习包习题汇总

公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 幂级数与傅里叶级数（仅数一、数三做）  n2 +1 1. = . n! n=0  n 2. = . (n+1)2n n=0   a 3.设幂级数a (x−2)n 在x=6处条件收敛，则幂级数 n (x−2)2n 的收敛半 n n+1 n=0 n=0 径为（ ）. （A）2. （B）4. （C） 2. （D）无法确定.    4.设a 0(n=1,2, )，级数a 发散，(−1)n−1a 收敛，则幂级数a 2nx2n的 n n n n n=1 n=1 n=1 收敛域为__________．   1 n 5.已知幂级数a  x−  在x=2处发散，在x=−1处收敛，则幂级数 n  2 n=1  a (x−1)n的收敛域是__________． n n=1  1 1  6.幂级数  +  xn的收敛域为__________，和函数S(x)=__________． n 2n  n=1 - 1 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍  2n+1 7.幂级数(−1)n x2n的和函数S(x)=________（x__________）． (2n)! n=1 x2 x4 x6 x2n 8.幂级数1− + − + +(−1)n + 的和函数S(x)=__________． 2 24 246 (2n)!! 9.设 f (x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy+y=ex的满足limy(x)=1 x→0 的解. （1）求F(x)关于x的幂级数；  n （2）求 的和. (n+1)! n=1  a 10.设 f (x)= n xn ,且a =1,a =a +n(n=0,1,2, ) . n! 0 n+1 n n=0 （1）求 f (x)满足的微分方程；（2）求  a n . n! n=0 - 2 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 7  1  11.设 a =1,a =−2,a = ,a =− 1+ a (n2) .证明：当 x 1时，幂级数   0 1 2 2 n+1  n+1 n  a xn收敛，并求其和函数S(x). n n=0  x2n+1 12.幂级数 的和函数S(x)=__________． (2n+1)! n=0 13． f(x)=ln ( 2+x−3x2) 在x=0处的泰勒展开式为__________． 14.设 f(x)= xarctanx−ln 1+x2 ，则 f(x)的幂级数展开式是__________． - 3 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 P(1,0) x y= x2 Q (1,1) Q 15.（97-3）从点 1 作 轴的垂线，交抛物线 于点 1 ；再从 1作 P P Q x x 这条抛物线的切线与 轴交于 2，然后又从 2作 轴的垂线，交抛物线于点 2， P,Q;P,Q ; ;P,Q ; 依次重复上述过程得到一系列的点 1 1 2 2 n n . （1）求OP ； n （2）求级数QP +Q P + +Q P + 的和，其中n(n1)为自然数，而M M 表 1 1 2 2 n n 1 2 示点M 与M 之间的距离. 1 2 x3 x6 x9 x3n 16.（02-1;3）（I）验证函数y(x)=1+ + + + + + (− x+)满 3！ 6！ 9！ (3n)! 足微分方程y+ y+ y=ex；  x3n  （II）利用（I）的结果求幂级数 的和函数. (3n)! n=0 - 4 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 4 6 8 x x x 17.（04-3）设级数 + + + (− x+)的和函数为S(x). 24 246 2468 求：（I）S(x)所满足的一阶微分方程；（II）S(x)的表达式.  18.（07-1）设幂级数 a xn 在 (−,+) 内收敛，其和函数 y(x) 满足 n n=0 y−2xy−4y=0,y(0)=0,y(0)=1 . 2 a = a ,n=1,2, n+2 n+1 n （I）证明 ；  1 x,0 x   2 a  19. （ 仅 数 一 做 ） 设 f (x)= ， S(x)= 0 +a cosnπx(n= 1 2 n  2−2x,  x1 n=1  2 1  5 0,1,2 ;−x+，其中a =2 f (x)cosnπxdx，则S  − 为（ ）. n 0  2 - 5 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 1 1 3 3 （A） . （B）− . （C） . （D）− . 2 2 4 4 x, 0 x1 20.（仅数一做）设 f(x)是周期为2 的周期函数且 f(x)= ， f(x)的 0, 1 x2 a  傅里叶级数为 0 +(a cosnπx+b sinnπx)，则n1时，a =__________． 2 n n n n=1 - 6 -「公众号：研池大叔，免费分享」