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专题 3-4 平行四边形（考题猜想，特殊四边形的性质在折叠问题中的巧
用）
技巧1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题
【例题1】（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图，在 中， ，现将 沿 折
叠，使点 与点A重合，点 与点落在点 处，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据折叠找到对应相等的角 然后根据
三角形内角和可算出 ，进而得出 ，再根据平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】解：由折叠性质可得：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及折叠变换，关键是找准折叠后些角是对应相等的
【变式1】（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，将平行四边形纸片 折叠，使顶点 恰好落在边
上的点 处，折痕为 ，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四边形 是平行四边形以及折叠的性质可得，四边形 是菱形，从而得到选项
正确，选项 不一定正确．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
由折叠的性质得， ，
，
，故A正确；
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
，故C正确；
由折叠的性质得， ，
∴四边形 是菱形，
，故B正确；
由题意无法得出 ，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题
关键．
【变式2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片 按如图方式折叠，使点 落
到 处，交 于点 ，折痕为 ，若 ， ，则 的度数为 ．【答案】40°/40度
【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解： 将平行四边形纸片 按如图方式折叠，使点 落到 处，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换 折叠问题 ，平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质
是解题的关键．
【变式3】（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片 中， ，将纸片沿
折叠，点A、D分别落在 ， 处，且 经过点B， 交BC于点G，连接 ，若 平分 ，
， ，则 的度数是 ．【答案】
【分析】设 ，由折叠的性质得 ， ①，再根据平行
线的性质得到 ②，，通过计算即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
根据折叠的性质得 ， ，
∵ ，
∴ ①，
∵ ，
∴ ②，
得 ，即 ，
由平角的性质得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题关键是利用参数构建方程解决问
题
【变式4】．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，将平行四边形 折叠，使得点 落在点 处，
点 落在点 处，折痕为 ，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求平行四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用翻折的性质和平行线的性质可得 ，即可证明结论；
（2）利用含 角的直角三角形的性质得 ， ，再利用勾股定理列方程求出 的长，即
可得出答案．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
将平行四边形 折叠，使得点 落在点 处，点 落在点 处，折痕为 ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：作 于 ，
， ，
，
， ，，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
解得 ，
，
平行四边形 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理列方程是
解题的关键．
【变式5】．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在点
处， 与 相交于点 ，连接 .求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】6.证明：（1）由折叠可知， .
四边形 是平行四边形， ，
， ， .
（2） ， ，
，即 ， .
， ，
， .
【变式6】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分
内容．如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片 ，将矩形纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在边
上，点 的对应点为 ，折痕为 ，点 在 上．
求证：四边形 是正方形．（请完成以下填空）
证明： 四边形 是矩形，
，
折叠， ，
四边形 是矩形（）．
折叠， ，
四边形 是正方形（）
(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片 ，将平行四边形纸片沿过点 的直线折叠，
使点 落在边 上，点 的对应点为 ，折痕为 ，点 在边 上．
①求证：四边形 是菱形．
②连结 ，若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】(1)有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形
(2)①见详解；②25
【分析】（1）由矩形的性质得 ，再由折叠的性质得： ，则
四边形 是矩形，然后由 ，即可得出结论；
（2）①由平行四边形的性质得 ，则 ，再证 ，则 ，得四边形
是平行四边形，然后由 即可得出结论；
②由菱形面积公式得 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
由折叠的性质得： ，
∴四边形 是矩形（有三个角是直角的四边形为矩形），
由折叠的性质得： ，
∴四边形 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），
故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）①证明：∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形；
②解：如图2，∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
故答案为：25．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四
边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折
叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式7】．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片
中，E为 边上任意一点，将 沿 折叠，点D的对应点为 ．
分析探究：
（1）如图1，当 ，当点 恰好落在 边上时，三角形 的形状为 ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为 边的三等分点时，连接 并延长，交 边于点G．试判断线段 与
的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当 ， 时，连接 并延长，交 边于点H．若 的面积为
24， ，请直接写出线段 的长．【答案】（1）等边三角形；（2） ；（3）
【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得 ， ，可得四边形 是
菱形，可知 ，根据 即可得 是等边三角形；
（2）利用折叠的性质可得 ， ，结合三等分点可知 ，进而可得
，利用三角形外角性质可得 ，进而可知 ，可得四边形 是平行
四边形，再结合平行四边形的性质即可得 与 的数量关系；
（3）由折叠可知： ， ，易知 为等腰直角三角形，延长 交 于
，可知 ，由平行四边形的性质可得， ， ，进
而可知 由 的面积为24， ，得 ，求得 ，可得 ，
再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，则
由折叠可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2） ，理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵E，F为 边的三等分点，
∴ ，
由折叠可知： ， ，
则 ，
∴ ，
由三角形外角可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ ；
（3）由折叠可知： ， ，
∴ ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
延长 交 于 ，则
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，即 ，
∴
∵ 的面积为24， ，即： ，
∴ ，
则 ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰
直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
【变式8】．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】
定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号）
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
【巩固新知】
（2）如图 ，折叠平行四边形 DEBF，使得顶点 E、F 分别落在边 BE、BF上的点 A、C 处，折痕为
DG、DH．
求证：四边形 ABCD 为三等角四边形．
【拓展提高】（3）如图 ，在三等角四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C，若 AB＝5， ，DC＝7，则BC的长
度为_________．
【答案】（1）③④；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】（1）利用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质判断即可求解；
（2）由平行四边形的性质可得∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，根据折叠的性质可得∠E=∠DAE，
∠F=∠DCF，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得结论；
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，
DH⊥BF于H，可得四边形DEBF是平行四边形，根据 及平行四边形的性质可得
AD=DE=BF= ，CD=DF=7，可求出AE的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AG=EG=
AE=1，CH=HF= CF，利用勾股定理可得DG的长，利用平行四边形的面积可求出DH的长，利用勾股定
理可求出CH的长，进而求出CF的长，即可求出BC的长．
【详解】解：（1）①根据平行四边形的对角相等可得平行四边形不是三等角四边形；
②根据菱形四边相等、对角相等可知菱形不是三等角四边形；
③根据矩形四个角都相等可知矩形是三等角四边形；
④根据正方形四个角都相等可知正方形是三等角四边形．
故答案为：③④；
（2）∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵折叠平行四边形 ，使得顶点 分别落在边 上的点 处，
∴DE=DA，DF=DC，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是三等角四边形
（3）如图，过点D作DE//BC，交BA延长线于E，作DF//AB，交BC延长线于F，作DG⊥BE于G，
DH⊥BF于H，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，DF=BE，∠B+∠E=180°，∠B+∠F=180°，∠E=∠F，
∵∠DAB=∠B=∠BCD，∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DCF=180°，∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F，
∴AD=DE=BF= ，CD=DF=7，
∴AE=BE-AB=CD-AB=2，
∵DG⊥BE，DH⊥BF，
∴AG=EG= AE=1，CH=HF= CF，
∴DG= ，
∴S DEBF=BE·DG=BF·DH，即7×5= DH，
平行四边形
解得：DH= ，
∴CH= = ，
∴CF=2CH= ，
∴BC=BF-CF= ．
故答案为：
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换-折叠问题，四边形的内角
和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；证
明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．
技巧2：巧用菱形的性质解决折叠问题
【例题2】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，菱形纸片 中， ，折叠菱形纸片 ，
使点 落在 （ 为 中点）所在的直线上，得到经过点 的折痕 ．则 的大小为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】连接 ，由菱形的性质及 ，得到三角形 为等边三角形， 为 的中点，利用三线
合一得到 为角平分线，得到 ， ， ，进而求出 ，由折叠
的性质得到 ，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 为菱形， ，
为等边三角形， ， ，
为 的中点，
为 的平分线，即 ，
，
由折叠的性质得到 ，
在 中， ．
故选：B．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理的综合运
用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
【变式1】．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知菱形 的边长为6，且 ，点
分别在 边上，将菱形沿 折叠，使点B正好落在 边上的点G处．若 ，则 的
长为 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质可知 是等边三角形，再通过折叠的性质和等边三角形的性质得出
，即 是菱形 的高，最后用勾股定理求高即可，
本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质并能将FG转化成菱形的高是
解题的关键．
【详解】解：如图，设 与 交于点 ， 交 于点 ．∵ 四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是菱形 的高，
即为等边三角形 的高，
∴ ．
【变式2】．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形纸片 ，将该菱形
纸片折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，折痕与边 、 分别交于点 ．则 的长为
．
【答案】
【分析】过点 作 与 的延长线交于点E，根据含 角的直角三角形的性质和勾股定理求出
和 ，设 ，则 ，用x表示出 ，然后在 中，利用勾股定理得出方程进行
解答．
【详解】解：过点 作 与 的延长线交于点E，∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由折叠的性质知： ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ， ，
即 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关
键是作辅助线构造直角三角形．
【变式3】．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， 是
边的中点，将菱形纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在直线 上的点 处，折痕为 ， 与 交
于点 ．有如下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，所
有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【分析】
由菱形的性质， ，可得 ， 是等边三角形，结合 是 边的中点，根据三线合一可得 ，根据含 角直角三角形的性质，可证③正确，
由 ，结合折叠的性质，可证①正确，
由折叠的性质得到 的度数，结合 ，得到 ，根据三角形内角和，可证
②正确，
连接 ，与 交于点 ，由 ， ，得 ，结合 ，由
，可证④正确，
本题考查了，菱形的性质，折叠的性质，含 角直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的
关键是：连接辅助线，构造全等三角形．
【详解】解：∵菱形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等边三角形， ，
∵ 是 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确，
∴ ，
由折叠的性质可得， ， ，
∴ ，故①正确，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确，
连接 ，与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
故答案为：①②③④．
【变式4】．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片 中， ．
（1） ．
（2）点E在 边上，将菱形纸片 沿 折叠，点C对应点为点 ，且 是 的垂直平分线，
则 的大小为 ．
【答案】 60 75
【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．
（1）直接根据菱形的对角相等即可求解；
（2）如图，由垂直平分线的定义得到 ，从而 ，由菱形的性质得到 ，
从而由折叠有 ，因此 ，再根据菱形的对边平行即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形 是菱形，
∴ ．
故答案为：60
（2）如图，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵在菱形 中， ，∴ ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∵在菱形 中， ，
∴ ．
故答案为：75
【变式5】．（23-24八年级下·河北保定·期中）菱形 是矩形纸片 按如图所示的方式折叠而成，
若菱形 的面积为 ，则 长为 ．
【答案】
【分析】本题解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据 的直角三角形中各边之间的关
系求得 的长．根据折叠的性质结合菱形的性质可得 ，再根据含 角的直
角三角形的性质结合勾股定理与菱形的面积即可求得结果．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
由折叠的性质可知， ，
又 ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵菱形 的面积为 ，
∴ ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【变式6】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，将菱形纸片 折叠，使点A恰好落在菱形对角线
的交点O处，折痕为 ，则点E、F分别为边 、 的中点．若 ， ，则．
【答案】
【分析】连接 、 ，根据 为 的中点，由三角形的中位线得出 ，证明 为等边
三角形，得出 ，求出 ，根据勾股定理求出 ，得出
，根据中位线性质得出 ．
【详解】解：连接 、 ，如图所示：
∵点O为对角线的交点，
∴ 、 交于点O，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ， ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E、F分别为边 、 的中点，∴ ．
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线性质，解题的关键是作出辅助线，求出
【变式7】．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形 中， ， 折叠该菱形，
使点 落在边 上的点 处，折痕分别与边 、 交于点 、 当点 与点 重合时， 的长为
；当点 的位置变化时， 长的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图 中，求出等边 的高 即可．如图 中，连接 交 于点 ，过点 作
于点 ，交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，取 的中点 ，连接 证明
，求出 的最小值，可得结论．
【详解】解：如图 中，
四边形 是菱形，
， ，
， 都是等边三角形，
当点 与 重合时， 是等边 的高，
∴
∴
．
如图 中，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 的
延长线于点 ，取 的中点 ，连接 ．， ，
，
，
四边形 是矩形，
∵
∴
∴
，
， ， ，
，
，
，
，
， ，
，
的最小值为 ，
的最大值为 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【变式8】．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形 中， ， ，点 是 上
一点，将菱形沿着 折叠，使点 落在点 处， 与 交于点 ，点 是 的中点， ，
则 的长为 ．【答案】
【分析】连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，延长
交于点 ，过点 作 于点 ，利用翻折的性质和勾股定理求出 ，然后证明
，得 ，证明 ，再利用勾股定理求出 ，进而即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 的平行线交 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，
延长 交于点 ，过点C作 于点 ，
由翻折可知： ，
∵点 是 的中点， ， 为菱形，
∴ ，
设 ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
整理得 ，
解得 (舍去负值)，由翻折可知： ，
设
在 中，由勾股定理得：
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，难度大，考查了翻折变换，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含
30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键正确作出辅助线构造全等三角形．
技巧3：巧用矩形的性质解决折叠问题
【例题3】（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，将矩形 沿对角线 所在直线折叠，点C落在
同一平面内，落点记为 ， 与 交于点E，若 ，则 的长为（ ）A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55
【答案】A
【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，由翻转变换的性质得到 ，
根据平行线的性质得到 ，得到 ，设 ，根据勾股定理列方程，解方程即可．
【详解】解：由翻转变换的性质可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
解得 ，
故选：A
【变式1】（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）如图，矩形纸片 中，E为 的中点，连接 ，将
沿 折叠得到 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接BF，交交 于点O，由折叠可知： ， ，可得 ， ，
再证 ，得到 ，在 中，利用等面积法求出 的长，最后在 中，
利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：连接 ，交 于点O，如下图：由折叠可知：
， ，
∴ ， ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折
变换和勾股定理的应用是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图1，将一张矩形纸片 沿着对角线 向上折叠，顶
点C落到点E处
(1)求证： 是等腰三角形；(2)如图2，过点D作 ，交 于点G，
①判断四边形 的形状，并说明理由；
②若 ，求 的长为 _________．
【答案】(1)见解析
(2)①四边形 是菱形，理由见解析②
【分析】（1）证明 是等腰三角形，可证明 ，可通过证明 实现，利用折叠
的性质和平行线的性质解决．
（2）①先判断四边形 是平行四边形，再由（1） 得到结论；
②要求 的长，可先求出 的长，在 中， 可由 的长及菱形的性质求得，解决问题
的关键是求出 的长．在 中，知 ，可求出 的长，问题得以解决．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可知： ，
∴ ，
∴
∴ 是等腰三角形；
（2）①四边形 是菱形．理由如下：
∵ ，
∴四边形 是平行四边形
又∵ ，
∴四边形 是菱形
②设 ，则 ，
∴
在 中， ，解得： ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中，∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、矩形的性质、菱形的性质及判定、勾股定理等知识，学会分析、
把各个知识点有机的联系在一起是解决本题的关键
【变式3】（22-23八年级下·河南商丘·期中）如图所示，折叠长方形 的一边 ，使点D落在
边的点F处， ，求 的长．
【答案】
【分析】根据勾股定理，得到 ， ，继而得到 ，设
，则 ，利用勾股定理解答即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，
折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．
【详解】矩形 中， ，
∴ ,
∴ ，
根据折叠的性质，得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴
解得 ．
．
【变式4】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 上一点.
将 沿 折叠后，得到 .点F在矩形 内部，延长 交 于点G.(1)如图①，当点E是 中点时，求 的长；
(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证： ；
(3)如图③，在矩形 中，当点F落在矩形对角线 上时， 的长是
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查矩形与折叠，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识 ：
（1）连接 ，由折叠得 ，证明 ，得 ，设 ，则
，在 中，根据勾股定理列方程求出x的值即可；
（2）延长 交 的延长线于点 ，证明 得 ，由折叠得
，得 ，即 ，从而可得结论；
（3）由勾股定理得 ，由折叠得 , ， ，设 ，则 ，
根据勾股定理列方程求出x的值即可．
【详解】（1）连接 ，如图①，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ 沿 折叠后，得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
即 ；
（2）延长 交 的延长线于点 ，如图②，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ,
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
由折叠得 ，
∴ ， ，
∴
∴ ，即 ；
（3）如图③，在 中， ，
即 ，由折叠得 , ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得， ，
即 ．
故答案为：
【变式5】（22-23八年级下·海南海口·期末）【证明推断】（1）如图1，在矩形 中， ，点
P是 的中点，将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交 于点
E，连接 ．
求证：① ；② ；③若 ，求 的长；
【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形 ”改为“平行四边形 ”，其他条件不变，（1）
中的①②结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形 中， ，点P是 的中点，将 沿直线 折
叠得到 ，点 落在 的内部，延长 交 于点E，连接 ．连接 与 交于点M，
与 交于点N．
求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③ ；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）①②根据矩形性质和折叠性质以及全等三角形的判定证明 ，根据全
等三角形的性质结合平角定义可证明结论正确；③根据矩形性质和折叠性质求得 ，进而
求得 ，利用勾股定理求解 即可；
（2）根据平行四边形的性质和折叠性质得到 ，在图2中，连接 ，根据等腰三角形的性
质和判定可证明 ；再证明 得到 ，利用平角定义证明
，即可证得 ；
（3）根据垂直平分线的判定与性质证明 垂直平分 ， 垂直平分 ，得到
，利用矩形的判定可证的结论．
【详解】解：如图1，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ， ， , ，
则 , ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
∴ ，
∴ ；故②正确；
③∵ ，
∴ ， ，则 ，
在 中， ，
∴ ；
（2）结论仍然成立．理由为：
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ， ， , ，
则 ,
∵ ，
∴ ，
在图2中，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故①成立；
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②成立；
（3）由（2）证明过程知： ， ， ， ，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，又 ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、折叠性质、全等三
角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，知识点
较多，综合性强，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想寻找知识点之间的联
系，进而推理论证
【变式6】（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）将一个矩形纸片 放置在平面直角坐标系中， ，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为 ．
(Ⅰ)如图①，将矩形纸片 折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段 ，求点D坐标；
(Ⅱ)如图②，点E，F分别在 ， 边上．将矩形纸片 沿线段 折叠，使得点B与点 重合，
若反比例函数 经过点C的对应点G，求k的值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是
菱形，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】(Ⅰ)点D的坐标为 ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)点P的坐标为 或 或 或
【分析】(Ⅰ)由矩形和折叠的性质，结合勾股定理即可求出．
(Ⅱ)过点G作 轴于点H．由折叠可知 ， ．设 ，
则 ．在 中，利用勾股定理即可求出x的值．即得出 ．再利用三角形面积
公式即可求出 ．最后利用勾股定理可求出 的长，即得出 的长，即求出点G的坐标，从而
得出k的值．
(Ⅲ)由题意可求出 的长，再分类讨论①当线段 为边，且点P在y轴右侧时；②当线段 为边，且
点P在y轴左侧时；③当 为对角线时，结合菱形的性质，利用数形结合的思想即可求出．
【详解】(Ⅰ)∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ．
∵点B坐标为 ，
∴ ．
由折叠可知， ．
∴在 ， ．∴点D的坐标为 ．
(Ⅱ)如图，过点G作 轴于点H．
∵点 ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
由折叠知，四边形 与四边形 全等，
∴ ， ．
设 ，则 ．
在 中， ，即 ．
解得： ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 中， ．
∴ ．
∴点G的坐标为 ．
又∵反比例函数 经过点C的对应点G，∴将点G的坐标代入 得： ，
解得： ，即k的值为 ；
(Ⅲ)如图，作 于点M，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ．
∴ ．
①如图，当线段 为边，且点P在y轴右侧时．
由题意结合菱形的性质可知 ，且 轴，
∵ ，
∴此时P点与A点或B点重合．
即P点坐标为 或 ，如图 和 点．②如图，当线段 为边，且点P在y轴左侧时．
∵ ，
∴P点与B点关于y轴对称，
∴P点坐标为 ．
③如图，当 为对角线时，可知此时线段 与线段 互相垂直平分．
∵ ， ，
∴ ．
根据题意可设经过点 的直线解析式为 ，
将 代入得： ，解得： ．
即经过点 的直线解析式为 ．当 时， ．
故P点坐标为 ．
综上，满足条件的点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题为四边形综合题．考查折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，线段垂直平分线
的性质、一次函数的图像与性质、求反比例函数解析式等知识，综合性强，为困难题．作出辅助线，并学
会利用数形结合的思想和分类讨论的思想解题是关键
【变式7】（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系 中，
，将 沿直线 折叠，点A落在点D处， 交 边于点E．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)求 的长．
(3)点F在y轴上，在坐标平面内找一点G，使得以O、E、F、G为顶点的四边形是以OE为边的菱形?请直
接写出点G的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3) 或
【分析】（1）根据 可得四边形 对边相等，可证四边形 是平行四边形，
再根据 可证四边形 为矩形；（2）设 ，则 ，由勾股定理可得 ，再根据 证明
，推出 ，由此列方程求出x的值即可；
（3）分“点F在y轴的正半轴上”和“点F在y轴的负半轴上”两种情况，利用菱形的性质分别求解即可．
【详解】（1）证明： ，
， ，
四边形 是平行四边形，
又 平面直角坐标系内 ，
四边形 为矩形；
（2）解：由（1）知四边形 为矩形，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
由折叠的性质可知 ， ，
在 和 中，
，
，
，
，
解得 ，
即 ；
（3）解： ， ，
．
以O、E、F、G为顶点的四边形是以OE为边的菱形时，有两种情况：
当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示：由菱形的性质可得 ， ，
点E与点G关于y轴对称，
，
；
当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示：
，
，
，
四边形 是菱形，
，
点G的坐标为 ，即 ，
综上可知，点G的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，菱形的性质等，解题的关键是熟练掌握特
殊平行四边形的性质，牢记折叠前后对应边相等，第3问注意分情况讨论
技巧4：巧用正方形的性质解决折叠问题
【例题4】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，现有一张边长为4的正方形纸片 ，将正方形纸
片折叠，使得B点落在 边上点P处（P不与A，D重合）折痕为 ，C点落在G点处， 交 于
H，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 的周长为8；④若
，则 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C
【分析】①根据 得出 ，再根据 ，得出 ；
②首先证明 ，进而得出 ，即可得出答案；
③根据 和 ，即可得出 ；
④设 ，在 中，求得 长；设 ， 在 中，求得 长；设 ，在
中求得 长，进而求出比值作出判断即可．
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，故①正确；
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图2，过B作 ，垂足为Q，
∵ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又 ， ，
在 和 中，
，∴ ，
，
∴ ，故③正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ 的周长为： ，
故③正确；
， ，
，
设 ，则 ， ， ，
在 中，
，
解得： ，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
解得： ，
，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
解得： ，
，
，故④错误；其中正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理应用及平行线的性质，注
意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用
【变式1】（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，四边形 是边长为4的正方形，F为边 上一点
且 ，E为边 上一点，把 沿着 折叠，得到 ，若 为直角三角形，则 的
长为 ．
【答案】3或
【分析】分 ， ， 三种情况讨论解答即可，
【详解】解：当 时，如图，
则 ，
∵ 是 折叠得到的，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时，如图，
∵ 是 折叠得到的，
∴ ， ， ，∴ ，
∴点 在 上，
在 中，
由勾股定理，得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，
由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ；
（3）当 时，
∵E为边 上一点，
∴此时点 应在 上，
∴ ，
这与折叠时 矛盾，
∴此种情况不存在，
综上所述， 或 ．
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是利用正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．分
情况讨论是解题的关键
【变式2】（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在正方形 中，E是 边上一点（不与B、C重
合），将正方形 沿 折叠，使点B落在点F处，延长 交 于点G，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ．
①求 的周长：
②若点E是 的中点， 是 的平分线，求 的长【答案】(1)见解析
(2)①4；②
【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质可得 ， ，根据 即可得证；
（2）①根据全等三角形的性质可得 ，再根据 的周长为 求解
即可；
②先证明 ，可得 ，设 ，在 中，根据勾股定理列方程，
求出 的长，再设 ，在 中，根据勾股定理列方程，即可求出 的长．
【详解】（1）证明：在正方形 中， ， ，
根据折叠， ， ，
， ，
在 和 中，
，
；
（2）解：① ，
，
，
，
的周长为 ；
②过点 作 于点 ，如图所示：
是 的平分线， ，
，
在 和 中，
，
，
，
是 的中点，，
，
，
即点 和点 重合，
设 ，
则 ，
，
，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
解得 ，
，
设 ，则 ，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
解得 ，
．
【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握
正方形的性质是解题的关键
【变式3】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形 中， 是边 的中点，将 沿
折叠，得到 ，延长 交边 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由正方形的性质得 ， ，由折叠得 ，，则 ， ，可证明 ，得 ；
（2）由 ， 是边 的中点，得 ， ，由勾股定理得
，求得 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ， 是边 的中点，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运
用这些知识是解题的关键
【变式4】．（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）【模型建立】如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE⊥BF，AE与BF相交于点P．AE，BF有
什么数量关系?请说明理由．
【迁移应用】
如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明）
（1）以AB为边画正方形ABCD；
（2）取CD中点E，连接AE：
（3）在AD上找点G，连接BG，使BG=AE．
【拓展提升】
如图3，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将正方形沿EF折叠，点A，D的对应点分别为
A'，D'，使得点A'始终落在边BC上，A'D与CD相交于点G．
（1）若AB=5，BA'=2，求DF的长度；
（2）点E，F在边AB，CD上运动时，连接AG，则∠A' AG的大小是否发生改变，若不变，求出大小，
若改变，请说明理由．【答案】模型建立：AE=BF；理由见解析；
【分析】模型建立：根据正方形的性质，证明△ABE≌△BCF，得出AE=BF即可；
迁移应用：（1）根据网格特点画正方形ABCD即可；
（2）连接MN交CD于点E，连接AE即可；
（3）取AD的中点G，连接BG即可；
拓展提升：（1）过点F作FH⊥AB于点H，证明Rt△ABA'≌Rt△FHE(HL)，得出BA'=EH=2，设
AE=A'E=x，则BE=5-x，根据勾股定理得：x2=(5-x) 2+22，求出x=2.9，即AE=2.9，得出
AH=AE-EH=2.9-2=0.9，即可得出DF=AH=0.9；
（2）证明△ABA'≌△AM A'，得出AM=AB，BA'=M A'，证明Rt△AGM≌Rt△AGD(HL)，得出
MG=DG，证明△ABA'≌△ADN，得出A A'=AN，∠BA A'=∠DAN，证明△AGA'≌△AGN，得
出∠A' AG=∠NAG，
证明∠BA A'+∠DAG=∠A' AG，根据∠BA A'+∠DAG+∠A' AG=90°，即可求出结果．
【详解】解：模型建立：AE=BF；理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠APB=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠BAP=∠EBP，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF；迁移应用：
（1）如图：四边形ABCD即为所求作的正方形；
（2）如图：AE即为所求；
（3）如图：BG即为所求；
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAG=∠ADE=90°，
∵点E、G分别为CD，AD的中点，
1 1
∴AG= AD，DE= CD，
2 2
∴AG=DE，
∴△ABG≌△DAE，
∴AE=BG；
拓展提升：
（1）过点F作FH⊥AB于点H，如图所示：根据折叠可知，A'与A关于EF对称，
∴A A'⊥EF，AE=A'E，
根据“模型建立”可知，A A'=EF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABA'=∠BAD=∠ADF=90°，
∵∠AHF=∠HAD=∠ADF=90°，
∴四边形ADFH为矩形，
∴HF=AD，DF=AH，
∴AB=HF，
∴Rt△ABA'≌Rt△FHE(HL)，
∴BA'=EH=2，
设AE=A'E=x，则BE=5-x，
根据勾股定理得：x2=(5-x) 2+22，
解得：x=2.9，
∴AE=2.9，
∴AH=AE-EH=2.9-2=0.9，
∴DF=AH=0.9；
（2）∠A' AG的大小不变；∠A' AG=45°；
延长CD，并截取DN=BA'，过点A作AM⊥A'G于点M，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DA A'=∠A A'B，
根据折叠可知，∠A A'D'=∠DA A'，
∴∠A A'B=∠A A'D'，
∵∠ABA'=∠AM A'=90°，A A'=A A'，
∴△ABA'≌△AM A'，∴AM=AB，BA'=M A'，
∵AB=AD，
∴AM=AD，
∵AG=AG，
∴Rt△AGM≌Rt△AGD(HL)，
∴MG=DG，
∴A'G=A'M+MG=BA'+DG=DN+DG=NG，
即A'G=NG，
∵∠ADN=180°-90°=90°，
∴∠ADN=∠ABA'，
∵AB=AD，BA'=DN，
∴△ABA'≌△ADN，
∴A A'=AN，∠BA A'=∠DAN，
∵AG=AG，A'G=NG，
∴△AGA'≌△AGN，
∴∠A' AG=∠NAG，
∵∠BA A'=∠DAN，
∴∠BA A'+∠DAG=∠DAN+∠DAG=∠NAG，
∴∠BA A'+∠DAG=∠A' AG，
∵∠BA A'+∠DAG+∠A' AG=90°，
∴∠A' AG=45°．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题
的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
【变式5】．（2023春·江苏南京·九年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，
连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．
【答案】(1)相等；垂直；理由见解析；
(2)见解析；
4
(3)
3
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，AF=DE，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得DF=CE，
∠ADF=∠DCE，即可证得DF⊥CE；
（2）如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根据两组对边分别平行证明四边形BFDG是
平行四边形，由三角形中位线定理的推论可得PH=CH，得BH是PC的垂直平分线，可解答；
（3）过点M作MG⊥CD于G，连接DE交MN于P，由折叠可知，DE⊥MN，证明△MNG≌△A'AB
（ASA），则MG=A'B=2，设A'M=x，由勾股定理列方程可得x的长，可求得DN的长．
【详解】（1）解：DF=CE，DF⊥CE，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠A=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中¿，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF=CE，∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDP=90°，
∴∠DCE+∠CDP=90°，
∴∠CPD=90°，
∴DF⊥CE；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，
∵E为AD中点，F为AB中点，
1
∴DE=AF= AD，
2
由（1）同理得：DF⊥CE，
∴BG∥DF，
∵BF∥DG，
∴四边形BFDG是平行四边形，1
∴DG=BF= CD，
2
∵GH∥DP，
∴CH=PH，
∴BH是PC的垂直平分线，
∴BP=BC；
（3）如图3，过点N作NG⊥AB于G，连接AA'交MN于P，
由折叠可知，AA'⊥MN，
∵∠AOG=∠PON，∠AGO=∠NPO=90°，
∴∠BAA'=∠MNG，
在△A'AB和△MNG中¿，
∴△A'AB≌△MNG（ASA），
∴MG=A'B=2，
设A'M=x，则AM=x，BM=6-x，
由勾股定理得：A'M2=BM2+A'B2，
∴x2=（6-x）2+22，
10
∴x= ，
3
10 4
∴DN=AG= -2= ．
3 3
4
故答案为： ．
3
【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以
及三角形中位线的定理的运用．注意作辅助线构建三角形全等，掌握三角形中位线定理是关键．
【变式6】．（2023春·广东江门·九年级统考期末）综合与实践：
如图1，已知正方形纸片ABCD．
实践操作
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD
相交于点O．
第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交
于点G，然后展平，连接GE，EF．问题解决
（1）∠AGD的度数是______；
（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；
探索发现
（3）如图3，若AB=1，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，
N．求M N2的值．
【答案】（1）67.5°；（2）四边形BGEF是菱形，理由见解析；（3）4-2❑√2．
【分析】（1）由正方形的性质，折叠的性质在△GAO中利用三角形内角和即可求出答案；
（2）由正方形的性质，折叠的性质得出BG=EF，且BG∥EF，一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形，得出四边形BGEF是平行四边形，又BF=EF，一组邻边相等的平行四边形是菱形，就可判断得出答
案；
（3）做辅助线由正方形的性质，折叠的性质得出条件证明△ABF≌△NKM(ASA)，全等三角形对应边相
等，故MN=AF，由等角对等边得出BF的长，最后根据勾股定理求出AF2，即可求出答案．
【详解】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
AC⊥BD，∠BAO=45∘
∠GOA=90∘，
由折叠的性质得∠EAF=∠BAF=22.5∘，
在△GAO中，
∠AGD=180∘-∠GOA-∠EAG=67.5∘．
（2）结论：四边形BGEF是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AC⊥BD．
由折叠可知，∠AEF=∠ABF=90°，BF=EF．
∴∠AEF+∠BOC=180°．
∴EF∥BG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°．
由折叠可知，1
∠BAF=∠CAF= ∠BAC=22.5°．
2
∴∠AFB=∠AGD=67.5°．
∵∠BGF=∠AGD，
∴∠AFB=∠BGF．
∴BG=BF．
∴BG=EF，且BG∥EF，
∴四边形BGEF是平行四边形．
又∵BF=EF，
∴平行四边形BGEF是菱形．
（3）如图，过点N作NK⊥AB于点K，交AF于点I，
则∠AKN=∠NKM=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD=AB．
∴四边形ADNK为矩形．
∴KN=AD=AB．
由折叠，可知MN⊥AF．
∴∠BAF+∠AIK=∠KNM+∠FIN=90°．
又∵∠AIK=∠FIN，
∴∠BAF=∠KNM．
在△ABF和△NKM中，
¿
∴△ABF≌△NKM(ASA)．
∴AF=MN．
∵AB=1，
∴BD=❑√AB2+AD2=❑√2．
∵∠GAD=∠BAD-∠BAF=90°-22.5°=67.5°，
又∠AGD=67.5°，
∴∠AGD=∠GAD．
∴DG=AD=1．∴BG=BD-DG=❑√2-1．
∴BF=BG=❑√2-1．
在Rt△ABF中，由勾股定理，
得AF2=AB2+BF2=1+(❑√2-1) 2=4-2❑√2．
∴M N2=AF2=4-2❑√2．
