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第 01 讲 平面向量的数量积及其应用 5 种常见考法归类
1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；
2．了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；
3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
4．能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角；
1.向量数量积的定义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b(如图所示)，则
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们
说a与b垂直，记作a⊥b.
(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的
数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的投影
(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，
分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1
1 1
叫做向量a在向量b上的投影向量.(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|
cosθe.
注： 叫做向量 在 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；当 为钝角时，它是负数；
当 为直角时，它是0．
3.平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上射影 的乘积．
4.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.
注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.
(4) ．
注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.
(5) ．
注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.
5.向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.数量积的坐标表示
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
(当且
仅当 时等号成立)
的关系
7.数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.
1、向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数
量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为 ）
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
2、求向量模的一般思路及常用公式
(1)求向量模的常见思路
(2)常用公式
①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；
②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
3、解决向量垂直问题一般思路
解决向量垂直问题常用向量数量积的性质 a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中
有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.4、求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借
助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
5、解决向量投影问题应注意以下三点
(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b
共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．
(2)向量a在b方向上的投影向量·.
(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表
示为|b|cos θ.
6、数量积的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
①a·b＝xx＋yy；a2＝x＋y；＝.
1 2 1 2
②a⊥b⇔xx＋yy＝0.
1 2 1 2
③≤.
④设θ是a与b的夹角，则
cosθ＝＝.
考点一：平面向量的数量积运算
例1．已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．72
变式1：已知 ， ， 均为单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式2：已知 ， ， 与 的夹角为 ．求：(1) ；
(2) ；
(3) ．
:
例2．在边长为6的正 中，若点 满足 ，则 __________.
变式1：在 中， ，点D在 上， ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．16.
变式2：已知等边 的边长为 是边 上的中点，则 __________．
变式3：在 中， ， 是 边上的中线，且 ， ，则 （ ）
A． B．5 C． D．8
例3．在平行四边形 中，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1：在边长为3的正方形ABCD中，点E满足 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．4
变式2：在边长为2的正三角形 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式3：【多选】如图，在直角梯形ABCD中， ， ， ， 是 的
中点，则（ ）A． B．
C． D．
例4．在四边形ABCD中， ，作 于点H．若 ，则 （ ）
A． B．10 C． D．12
变式1：如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则 的取值范
围为______
变式2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则 的取值范围为______.
考点二：平面向量的垂直问题
例5．已知向量 ，若 ，则 ___________.
变式1：已知O为坐标原点， ， ，若 ，则实数m的值为______．
变式2：已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
变式3：设向量 ， ，如果 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．变式4：已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，若 ，则 ______.
考点三：平面向量的模长问题
例6．已知向量 的夹角为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．7
变式1：已知向量 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
变式2：已知向量 ， ，且 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
变式3：若平面向量 两两的夹角相等且不为 ，且 ， ，则 ____________
例7．已知向量 ， ，若 ，则 ________．
变式1：已知向量 ， 满足 ， ， ，则实数 ______．
变式2：已知向量 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
例8．已知平面向量 满足 ，则 的最小值为___________.
变式1：已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 的最小值是__________.变式2：已知向量 ， 的夹角为 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点四：平面向量的夹角问题
例9:在 中， ， ， ，D是AC的中点，则 与 的夹角为______．
变式1：设 ， ，则向量 ， 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
变式2：已知向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为______．
变式3：若非零向量 满足 ，则向量 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式4：已知 ，向量 在向量 上的投影为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
例10．已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ______.
变式1：已知向量 ， ， ， ，则 ___________．例11．已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．
变式1：已知向量 ，则“ ”是“ 与 夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2：已知平面向量 ， 满足 ， ， .
（1）求 ；
（2）若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
变式3：设两个向量 满足 ， .
(1)若 ，求 的夹角 ；
(2)若 的夹角为 ，向量 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
考点五：平面向量的投影、投影向量
例12．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影是_______________.
变式1：已知点 ， ， ， ，则向量 在 方向上的数量投影为______．
变式2：设平面向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
变式3：已知非零向量 ， 满足 ，且 则向量 在向量 上的投影为______.变式4：已知 ， ．若 在 方向上的数量投影为3，则实数 ______．
例13．已知向量 ， ，且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
变式1：已知 ，则向量 在向量 上的投影向量为__________．
变式2：已知向量 ，且 ，则 __________， 在 方向上的投影向量的坐标为
__________.
1．已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
4．设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 _________．
5．已知向量 ，若 ，则 __________．
6．若向量 满足 ，则 _________.1．已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．在四边形 中， ，且 ，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．已知 和 是两个正交单位向量， ， 且 ，则 （ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
5．已知平面向量 与 的夹角为 ，若 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．4
6．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八
卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正
八边形ABCDEFGH的边长为 ，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则 的最小值是
（ ）．
A． B． C． D．47．已知向量 是非零向量，λ、 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，记 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．【多选】已知单位向量 的夹角为 ，则使 为钝角的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
10．【多选】如图，矩形 中， ，若 ，点 分别为边 的中点，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．【多选】下列说法正确的是（ ）
A．向量 与 共线是 四点共线的必要不充分条件
B．若 ，则存在唯一实数 使得
C．已知 ， ，则 与 + 的夹角为锐角的充要条件是
D．在 中， 为 的中点，若 ，则 是 在 上的投影向量12．已知 ，则 在 方向上的数量投影为_______．
13．如图，在 中，P为线段AB上一点，则 ，若 ， ， ，且
与 的夹角为 ，则 的值为_______.
