文档内容
第 02 讲平面向量的数量积及其应用
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解平面向量的意义、 平面向量数量积的运算、化简、证明
几何表示及向量相等的含 及数量积的应用问题，如证明垂直、
义． 距离等是每年必考的内容，单独命题
（2）掌握向量的加法、减法 时，一般以选择、填空形式出现．交
运算，并理解其几何意义及 汇命题时，向量一般与解析几何、三
2023年I卷第3题，5分
向量共线的含义． 角函数、平面几何等相结合考查，而
2023年II卷第13题，5分
（3）了解平面向量基本定理 此时向量作为工具出现．向量的应用
2023年甲卷（理）第4题，5分
及其意义 是跨学科知识的一个交汇点，务必引
2022年II卷第4题，5分
（4）会用坐标表示平面向量 起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几
的加法、减法与数乘运算
何意义及坐标运算，同时与三角函数
及解析几何相结合的解答题也是热
点．知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即
= ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影： 叫做向量 在 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；当 为钝角时，
它是负数；当 为直角时，它是0．
② 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上射影 的乘积．
③设 ， 是两个非零向量，它们的夹角是 与 是方向相同的单位向量， ，过
的起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到 ，我们称上述变换为向量
向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量．记为 ．
知识点二．数量积的运算律已知向量 、 、 和实数 ，则：
① ；
② ；
③ ．
知识点三．数量积的性质
设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
① ．② ．
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 ．
④ ．⑤ ．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与 （当且仅
的关系 当 时等号成立）
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且 ．
（2）当 时，由 不能推出 一定是零向量，这是因为任一与 垂直的非零向量 都有
．
当 时，且 时，也不能推出一定有 ，当 是与 垂直的非零向量， 是另一与 垂
直的非零向量时，有 ，但 ．
（3）数量积不满足结合律，即 ，这是因为 是一个与 共线的向量，而
是一个与 共线的向量，而 与 不一定共线，所以 不一定等于 ，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当 且 （或 ，且
【解题方法总结】
（1） 在 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意 时， ，但 时不能得到 或 ，因为 时，
也有 ．
（3）根据平面向量数量积的性质： ， ， 等，所以平面向量
数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若 、 、 是实数，则 （ ）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量
、 、 满足 （ ），则不一定有 ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时
乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即 ，这是由于 表示一个与 共线的向量，
表示一个与 共线的向量，而 与 不一定共线，因此 与 不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量 ， 满足 ，且 与
的夹角为 ，则 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，向量 在 方向上投影向量是 ，则 为
（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1， ，G是菱形ABCD
内一点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量 ，且 ，若 ，
，则 （ ）
A．1 B．12 C． 或2 D． 或1变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量 绕坐标原点 顺时针旋转 得到 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在 中， ， ，
为 上一点，且满足 ，若 ， ，则 的值为（ ）.
A． B． C． D．
变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足同向共线，且 ，
，则 （ ）
A．3 B．15 C． 或15 D．3或15
变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形 中， 与 相交于
点 ，过点 作 于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量
数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量 在向量 方向上的
投影为 ．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同： ； ； 公式都可通用
异：整式： ， 仅仅表示数；向量： （ 为 与 的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求 最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例4．（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量 ， 满足 ，则向量 ， 夹角的余弦值为
____________．
例5．（2023·四川·校联考模拟预测）若 是夹角为 的两个单位向量，则 与
的夹角大小为________.
例6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量 和 满足： ， ， ，
则 与 的夹角为__________．
变式7．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量 与 不共线也不垂直， 且 ，
则向量夹角 ________.
变式8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知 是同一个平面上的向量，若 ，
且 ，则 __________.
变式9．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量 ， 满足 ， ，
，则向量 与 的夹角大小为___________.
变式10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，则向量 与 的
夹角为______．
变式11．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量 ， ，若非零向量 与 ，
的夹角均相等，则 的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）
【解题方法总结】
求夹角，用数量积，由 得 ，进而求得
向量 的夹角．
题型三：平面向量的模长
例7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，且.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ， 是非零向量， ， ，
向量 在向量 方向上的投影为 ，则 ________.
例9．（2023·海南·高三校联考期末）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
__________．
变式12．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知 为单位向量，且满足 ，则
______.
变式13．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量 满足 ,且 ，则
=_________________ ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ， ，则 ______．
变式15．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点， ， ，点P在线段AB上，
且 ，则点P的坐标为______．
变式16．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知 ， ，若 ，则 ______．
【解题方法总结】
求模长，用平方， ．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量 ， ，则 在 方向上的
数量投影为______.
例11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知 若向量 在向
量 方向上的数量投影为 ，则实数 _______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 为单位向量，当向量 、 的夹角等于 时，则向
量 在向量 上的投影向量是________．
变式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量 ，向量 ，则向量 在
向量 方向上的投影为_________.
变式18．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 在向量 方向上的投影为______.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足 ，且向量 在向量 方向
的投影向量是 ，则向量 与 的夹角是________.
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向
量为__________.
【解题方法总结】
设 ， 是两个非零向量，它们的夹角是 与 是方向相同的单位向量， ，过 的
起点 和终点 ，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到 ，我们称上述变换为向量 向
向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量．记为 ．
题型五：平面向量的垂直问题
例13．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量 ，若 ，则
___________.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，其中 ， 为单位向量，且 ，若 ______，
则 .
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
例15．（2023·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量 ， 的夹角为 ．若 ，且
，则 ____________．
变式21．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量 的夹角为 ，若
，且 ，则实数 _________．
变式22．（2023·海南·校考模拟预测）已知 为单位向量，向量 在向量 上的投影向量是 ，且
，则实数 的值为______．
变式23．（2023·全国·模拟预测）向量 ，且 ，则实数 _________．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）非零向量 ， ，若 ，则
______.
变式25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知向量 ，若 ，则
________．
变式26．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量 ， 不共线， ， ，写出一个符合条件的向量 的坐标：______.
变式27．（2023·河南开封·统考三模）已知向量 ， ，若 ，则 ______.
【解题方法总结】
题型六：建立坐标系解决向量问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且
，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
例18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环
的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五
个圆的圆心分别为 、 、 、 、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形 中，
.若 为 的中点，则 的值为（ ）A．-3 B． C． D．3
变式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知 是面积为 的等边三角形，
四边形 是面积为2的正方形，其各顶点均位于 的内部及三边上，且恰好可在 内任意旋
转，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
变式30．（2023·河南安阳·统考三模）已知正方形 的边长为 为正方形的中心， 是 的中点，
则 （ ）
A． B． C． D．1
【解题方法总结】
y a 3 y y y
C ( 2 , 2 a) D (0, a) C(a,a)
C (bcosθ，bsinθ) D(0,b) C(a,a)
θ
A B(a, 0) x A B (a, 0) x A B(a, 0) x A B(a, 0) x
边长为a的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
y y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ)
D
(0，asinθ) C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ)C(a-bcosθ,bsinθ) A(rcosθ,rsinθ)
x
O
θ x x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A B(a, 0)
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆建系必备（1）三角函数知识 ；（2）向量三点共线知识 ．
题型七：平面向量的实际应用
例19．（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力 ， ， （单位：牛顿）
的作用而处于平衡状态，已知 ， 成120°角，且 ， 的大小都为6牛顿，则 的大小为______牛顿.
例20．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为 的斜面上，物体处于平衡状
态，且受到三个力的作用，即重力 ，垂直斜面向上的弹力 ，沿着斜面向上的摩擦力 .已知：
，则 的大小为___________.
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条
绳上的拉力分别是 ， ，且 ， 与水平夹角均为 ， ，则物体的重力大小为
___________ .
变式31．（2023·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则 与 大小
之比为___________．
变式32．（2023·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸 ，以 的速度向垂直于对岸的方向划去，
到达对岸时，船的实际行程为 ，则河水的流速是________ ．
【解题方法总结】用向量方法解决实际问题的步骤
1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量 ， ．若 ，则
A． B． C． D．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知向量 ， ， ，若 ， ， ，则
A． B． C．5 D．6
3．（2022•北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，
则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
