文档内容
平面向量的数量积及应用
目录
题型一： 平面向量数量积的运算..................................................................................................4
题型二： 求平面向量的模...............................................................................................................6
题型三： 向量积求范围...................................................................................................................9
题型四： 平面向量中的投影.........................................................................................................16
题型五： 求平面向量的夹角.........................................................................................................18
题型六： 平面向量的垂直问题....................................................................................................20
题型七： 平面向量与三角函数....................................................................................................22
知识点总结
1．向量数量积的定义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b(如图
所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹
角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做
向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a · b ＝ | a | | b |cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．向量的投影(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A
和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到A1B1，则称上述变换为向
1 1
量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影
向量是 | a |cos θ e .
3．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝ | a |cos θ .
(2)a⊥b⇔ a · b ＝ 0 .
(3)当a与b同向时，a·b＝ | a | | b |；当a与b反向时，a·b＝ － | a || b |.特别地，a·a＝ | a | 2 或|a|＝.
(4)|a·b|≤ | a | | b |.
4．向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝ b · a ；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ a ·( λ b ) ；
(3)(a＋b)·c＝ a · c ＋ b · c .
5．数量积的坐标表示设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
(1)a·b＝xx ＋ yy；a2＝ x ＋ y ；
1 2 1 2
|a|＝.
(2)a⊥b⇔xx ＋ yy ＝ 0.
1 2 1 2
(3)|xx＋yy|≤.
1 2 1 2
(4)设θ是a与b的夹角，则
cos θ＝＝.
常用结论与知识拓展
1．数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
例题精讲
题型一：平面向量数量积的运算
【要点讲解】(1)利用定义：a·b＝ | a | | b |cos 〈 a ， b 〉 ．(2)利用坐标运算：若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx ＋ yy．
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【例1】若向量 ，且 ，则 ＝（ ）
A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．13
【解答】解：由向量 ，
因为 ，可得x×2﹣（﹣3）×（﹣4）＝0，
解得x＝6，即 ，
所以 ．
故选：A．
【变式训练1】在△ABC 中，AB＝2，AC＝3， ，M 是 BC 中点，则 ＝
（ ）
A． B．5 C．6 D．7
【解答】解：由于M是BC中点，则 ，
所以
＝ ．
故选：A．
【变式训练2】已知 是边长为1的等边三角形，点 、 分别是边 、 的中点，
连接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，、 分别是边 、 的中点，且 ，
．
故选： ．
【变式训练3】如图，在平行四边形 中，已知 ， ， ，
，则 的值是 ．
【解答】解： ，
， ，
又 ， ，
，
故 ，
故答案为：22．【变式训练4】在等腰梯形 中，已知 ， ， ， ，
点 和 分别在线段 和 上，且 ， ，则 的值为
．
【解答】解： ， ， ，
， ， ，
， ，
，
故答案为：
题型二：求平面向量的模
【要点讲解】(1)定义法：|a|＝；
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝．
【例2】若向量 ， 满足 ， ， ，则 ．
【解答】解：由题意，可得 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【变式训练1】已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ．
【解答】解：【解法一】向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，
，
．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形 ；
在 中，由余弦定理得
，
即 ．
故答案为： ．
【变式训练2】已知向量 ， ，则A． B．2 C． D．50
【解答】解： ， ，
， ， ， ，
．
故选： ．
【变式训练3】已知正方形 的边长为 2，点 满足 ，则
； ．
【解答】解：由 ，可得 为 的中点，
则 ，
，
，
故答案为： ， ．
【变式训练4】平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则
A． B． C．4 D．12
【解答】解：由已知 ，
，
．
故选： ．
【变式训练5】已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则．
【解答】解：设 ．
向量 ， 满足 ， ，且 ，
， ， ， ，
，化为 ．
解得 ．
故答案为： ．
【变式训练6】设 ， ，向量 ， ， ，且 ， ，则
A． B． C． D．10
【解答】解： ，且 ，
，解得 ．
又 ，且 ，
，解之得 ，
由此可得 ， ，
，
可得 ．
故选： ．题型三：向量积求范围
【例3】已知边长为 2 的菱形 ABCD 中，点 F 为 BD 上一动点，点 E 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．3
【解答】解：由 ，可得 ，
设∠DAB＝θ，
可得 ＝
＝
＝
＝cosθ﹣1
＝ ，
所以 ，
因为θ∈[0，π]，
所以 ，
以AC与BD交点O为原点，以AC，BD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标
系，
如图所示，
则 ， ，B（0，﹣1），
设F（0，t），且﹣1≤t≤1，
则 ， ， ，
当t＝1时， ．
故选：D．【变式训练1】已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是
A． B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
则
当 ， 时，取得最小值 ，
方法2：取 的中点 ， 的中点 ，
则， ，
当且仅当 与 重合时，取得等号．
故选： ．【变式训练2】如图，在平面四边形 中， ， ， ，
．若点 为边 上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．3
【解答】解：如图所示，以 为原点，以 所在的直线为 轴，
以 所在的直线为 轴，
过点 做 轴，过点 做 轴，
， ， ， ，
， ，
，
，，
，
， ， ， ，
设 ，
， ， ， ，
，
当 时，取得最小值为 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，
，则实数 的值为 ，若 ， 是线段 上的动点，且 ，
则 的最小值为 ．【解答】解：以 为原点，以 为 轴建立如图所示的直角坐标系，
， ，
， ，
，
，
，
，
设 ， ，
， ， ， ，
，解得 ，
， ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，其中 ，， ， ， ，
，当 时取得最小值，最小
值为 ，
故答案为： ， ．
【变式训练4】已知 是边长为2的正六边形 内的一点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：画出图形如图，
，它的几何意义是 的长度与 在 向量的投影的
乘积，显然， 在 处时，取得最大值， ，可得
，最大值为6，
在 处取得最小值， ，最小值为 ，
是边长为2的正六边形 内的一点，
所以 的取值范围是 ．
故选： ．【变式训练5】已知直角梯形 中， ， ， ， ，
是腰 上的动点，则 的最小值为 ．
【解答】解：如图，以直线 ， 分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ，
则 ， ，
．
故答案为5．
【变式训练6】在边长为1的等边三角形 中， 为线段 上的动点， 且交
于点 ， 且交 于点 ，则 的值为 ；
的最小值为 ．
【解答】解：如图，设 ，是边长为1等边三角形， ，
， ， ， ，
， 是边长为 等边三角形， ，
，
则 ，
， ，
的最小值为 ．
故答案为：1， ．
【变式训练7】如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在
边 上，若 ，则 的值是 ．
【解答】解： ，，
， ，
，
故答案为：
题型四：平面向量中的投影
【例4】已知点A（﹣2，3），B（1，﹣1），则 在 方向上的数量投影为 ．
【解答】解：点A（﹣2，3），B（1，﹣1），
则 ， ，
，| |＝ ，
在 方向上的数量投影为 ．
故答案为： ．
【变式训练1】已知 ， ， ，则 在 方向上的投影是 ．
【解答】解： 在 方向上的投影是 ．
故答案为： ．
设向量 ， ，则 在 上的投影为
A． B． C．1 D．2
【解答】解： ， ，
， ，
在 上的投影为 ．故选： ．
【变式训练2】已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向
量为 ．
【 解 答 】 解 ： 由 题 意 ，
，
故向量 在向量 上的投影向量为 ．
故答案为： ．
【变式训练3】已知 的外接圆圆心为 ，且 ， ，则向量
在向量 上的投影向量为
A． B． C． D．
【解答】解： ， 是 的中点，
即 是 的外接圆的直径，
， 是等边三角形，
则 ，则 ，
则向量 在向量 上的投影为 ，
则对应的投影向量为 ，
故选： ．题型五：求平面向量的夹角
【要点讲解】(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则cos θ＝.
1 1 2 2
【例5】已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ，
A． B． C． D．
【解答】解：向量 ， 满足 ， ， ，
可得 ，
， ．
故选： ．
【变式训练1】已知 ， 为单位向量，且 ，若 ，则 ，
．
【解答】解： ，
，
，
， ．故答案为：
【变式训练2】若向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解： 向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，
．
，
．
两向量的夹角 的取值范围是 ， ，
，
与 的夹角为 ．
故选： ．
【变式训练3】已知向量 ， 满足 ， ，则向量 ， 的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设向量 ， 的夹角为 ，
若 ，则 ， ，
若 ，则 ，
解可得 ，又由 ，故 ，
故选： ．
【变式训练4】已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 与 的夹角．
【解答】解 ， ， ，
，解得 ．
（1） ；
（ 2 ） 设 与 的 夹 角 ， 则
，
又 ， ， ．
题型六：平面向量的垂直问题
【要点讲解】(1)依据：非零向量垂直的充要条件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根据两个向量垂直的充要条件判断或列出相应的⇔关系式，⇔求解参数．
【例6】已知两个单位向量 的夹角为 ，且满足 ，则实数 的值为
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由单位向量 的夹角为 ，则 ，
由 ，
可得， ，
即 ，
则 ，
解得 ．
故选： ．
【变式训练1】若非零向量 、 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设 与 的夹角为 ，
非零向量 、 满足 ，则有 ，变形可得 ，
又由 ，则有 ，即 ，即 ，
则有 ，
又由 ，则 ，
故选： ．
【变式训练2】已知向量 ， ，则 的最大值是
A．7 B．5 C．4 D．1
【解答】解：向量 ， ，则 ，其中 ．
， 的最大值是5．
故选： ．
【变式训练3】已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹
角为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设 与 的夹角为 ，
因为 ， ，
所以 ，变形可得 ．
则 ．
又由 ， ，所以 ．
故选： ．
【变式训练4】已知平面向量 ， ，且 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由平面向量 ，可得 ，
由 ，可得 ，
即 ，
则 ，
，
故选： ．题型七：平面向量与三角函数
【要点讲解】向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，解决三角函数问题，要注
意向量夹角与三角形内角的区别与联系．
【例7】在 中， ， ， 为线段 上的动点
且 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解： ， 由正弦定理可得， ，
再由余弦定理可得， ，整理得 ，即 ，
又 ，
，即 ，得 ，
，得 ，从而 ．
以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
为线段 上的一点，则存在实数 使得 ， ，
，
设 ， ， ， ， ，由 ， ， ， ，
得 ， ，则 ，
求 的最小值，则 ， 均不为0，
则 ．
当且仅当 时等号成立．
故选： ．
【例8】在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， ，
．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值．
【解答】解：（1）若 ，
则 ， ， ，
即
，即 ；（ 2 ） ， ， ，
， ，
若 与 的夹角为 ，
则 ，
即 ，
则 ，
．
， ．
则
即 ．
【变式训练1】已知 ， ， ．
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，若 ，求 ， 的值．
【解答】解：（1）由 ， ，
则 ，
由 ，
得 ．所以 ．即 ；
（2）由
得 ，① ② 得： ．
因为 ，所以 ．
所以 ， ，
代入②得： ．
因为 ．所以 ．
所以， ．
【变式训练2】设向量 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）设函数 ，求 的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得 ， ，
由 ，可得 ，即 ．
， ， ，即 ．
（ 2 ） 函 数 ， ，
．
， ， ， ，当 ， 取得最大值为 ．
【变式训练3】已知向量 ， ， ，
设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 ，
．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）若 的图象经过点 ， 求函数 在区间 ， 上的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ）
图象关于直线 对称， ，
，又 ，
时，
函数 的最小正周期为
（2）由 ，
，
，
，
故函数 在区间 ， 上的取值范围为 ，
课后练习
一．选择题（共6小题）
1．已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则
A．2 B．3 C．6 D．12
【解答】解：根据题意可得 ．
故选： ．
2．已知向量 ， 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，向量 ， 满足 ，则有 ，
变形可得 ，则有 ，
故向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选： ．
3．已知正方形 的边长为2，点 满足 ，则 的值为A．2 B． C．4 D．
【解答】解：以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得 ， ， ， ，
又 ，所以 ，
故 ， ．
故选： ．
4．若 ， ，向量 与向量 的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
在 上的投影向量为： ．
故选： ．
5．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角是
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设 与 的夹角为 ，向 量 ， 满 足 ， ， 若 ， 则
，
解可得： ，
又由 ，则 ，
故选： ．
6．若向量 ， 满足 ， ， ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．对于任意向量 ， ， ，下列命题中正确的是
A．若 ，则 与 中至少有一个为
B．向量 与向量 夹角的范围是 ，
C．若 ，则
D．
【解答】解： ，当 为非零向量，且 时， ，所以 选项错误．
，向量 与向量 夹角的范围是 ， ，所以 选项错误．，若 ，则 ， 选项正确．
， ， 选项正确．
故选： ．
8．已知平面向量 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ．
所以 ，解得： ， 错误；
所以 ， ， 正确；
则 ， 正确；
因为 ，所以 ， 正确；
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知 ， ，向量 在 方向上的投影向量是 是与 方向相同的单位向
量），则 1 2 ．
【解答】解：由题意知， 在 方向上的投影向量为 ，
所以 ．
故答案为：12．
10．已知 ，则 2 1 ．
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：21．
11．在矩形 中 ， ，点 为边 的中点，点 为线段 上的动点，
则 的取值范围是 ， ．
【解答】解：以 为坐标原点， ， 分别为 ， 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，其中 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
12．向量 在向量 方向上的投影坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 2 ） ．
【解答】解：cos＜ ， ＞＝ ＝﹣ ，| |＝ ，
与 同向的单位向量为 ＝（ ， ），
所以向量 在向量 方向上的投影坐标为| |cos＜ ， ＞• ＝
（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．
四．解答题（共3小题）
13．已知向量 ， ， ．
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
得 ，
又因为 ，
所以 ．
（2） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 的取值范围为 ， ．
14．（1）已知向量 ， ．若 ，求 的值；
（2）已知 ， ， ，判断 与 是否共线？如果共线，它们的方向
相同还是相反？【解答】解：（1）根据题意，向量 ， ．
则 ， ，
若 ，则有 ，
解可得 ．
（2）因为 ， ， ，
， ， ，
易得 ，所以 与 共线且方向相同．
15．已知平面内的三个向量 ， ， ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若向量 与向量 共线，求实数 的值．
【解答】解：（1）根据题意，向量 ， ， ．
若 ，则 ， ， ， ，
则有 ，解可得 ，故 ；
（2）根据题意， ， ，
若向量 与向量 共线，则有 ，
解可得： ．
