文档内容
第 01 讲 平面向量的数量积及其应用 5 种常见考法归类
1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；
2．了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；
3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
4．能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角；
1.向量数量积的定义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b(如图所示)，则
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们
说a与b垂直，记作a⊥b.
(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的
数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的投影
(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下的变换：过AB的起点A和终点B，
分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A1B1，则称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1
1 1
叫做向量a在向量b上的投影向量.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|
cosθe.
注： 叫做向量 在 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；当 为钝角时，它是负数；
当 为直角时，它是0．
3.平面向量数量积的几何意义
的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上射影 的乘积．
4.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.
注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.
(4) ．
注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.
(5) ．
注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.
5.向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6.数量积的坐标表示
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
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的充要
条件
的充要
条件
与
(当且
仅当 时等号成立)
的关系
7.数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0.
1、向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数
量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为 ）
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
2、求向量模的一般思路及常用公式
(1)求向量模的常见思路
(2)常用公式
①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；
②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
3、解决向量垂直问题一般思路
解决向量垂直问题常用向量数量积的性质 a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中
有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.
4、求向量a，b的夹角θ的思路
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借
助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
5、解决向量投影问题应注意以下三点
(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b
共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．
(2)向量a在b方向上的投影向量·.
(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表
示为|b|cos θ.
6、数量积的坐标表示
设a＝(x，y)，b＝(x，y)，则
1 1 2 2
①a·b＝xx＋yy；a2＝x＋y；＝.
1 2 1 2
②a⊥b⇔xx＋yy＝0.
1 2 1 2
③≤.
④设θ是a与b的夹角，则
cosθ＝＝.
考点一：平面向量的数量积运算
例1．已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．72
【答案】A
【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为 ，且 与 夹角的余弦值为 ，
所以 .
故选：A.
变式1：已知 ， ， 均为单位向量，且 ，则 （ ）
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将原等式转化为 ，平方后化简即可求解.
【详解】 , , , ，
， ， 均为单位向量， ， .
故选：C
变式2：已知 ， ， 与 的夹角为 ．求：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义即可得到答案；
（2）将式子展开化简，结合向量 的模和数量积即可得到答案；
（3）先将 化为 ，进而展开化简可得答案.
【详解】（1）因为 ， ， 与 的夹角为 ，
所以 ；
（2）由（1） ，
所以 ；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等（3）由（1） ，
所以 .
例2．在边长为6的正 中，若点 满足 ，则 __________.
【答案】
【分析】以 、 作为一组基底表示出 、 ，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
，
所以
.
故答案为：
变式1：在 中， ，点D在 上， ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C．12 D．16.
【答案】C
【分析】用 表示出 ，从而根据数量积的定义及题中条件 和 可求出 的值.
【详解】在 中，因为 ，
所以 ，
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故选：C．
变式2：已知等边 的边长为 是边 上的中点，则 __________．
【答案】
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的定义进行求解即可.
【详解】因为 是边 上的中点，
所以 ，因此
故答案为：
变式3：在 中， ， 是 边上的中线，且 ， ，则 （ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】B
【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.
【详解】由题意如图所示：
由 ，所以
又 ，所以 为 的中点，
所以 ，
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故选：B．
例3．在平行四边形 中，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量加法与减法的坐标运算求出 和 的坐标，再根据数量积运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，从而 ，所以
．
故选：A
变式1：在边长为3的正方形ABCD中，点E满足 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到 ， ，利用数量积的坐标运算计算即可.
【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，
由题意得 ，
所以 ， ，
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故选：A.
变式2：在边长为2的正三角形 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，利用数量积运算求解.
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
则 设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，即 ，
则 ，
所以 ，
故选：D
变式3：【多选】如图，在直角梯形ABCD中， ， ， ， 是 的
中点，则（ ）
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C． D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，利用坐标法计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则 ，
对A， ，正确；
对B， ， ，正确；
对C， ，正确；
对D， ， ，错误.
故选：ABC.
例4．在四边形ABCD中， ，作 于点H．若 ，则 （ ）
A． B．10 C． D．12
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【答案】D
【分析】设AC与BD交于点O，由已知可得 ，则 ，且 即可
求结果.
【详解】设AC与BD交于点O，因为 ，所以 ．
又 于点H，且 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D
变式1：如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则 的取值范
围为______
【答案】
【分析】易得 ，再由 表示 在
上的投影求解.
【详解】解：由正六边形的性质得： ，
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，
而 表示 在 上的投影，
当点P在C处时，投影最大为 ，当点P在F处时，投影最小为0，
所以 的取值范围为 ，
故答案为：
变式2：在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则 的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用数量积的几何意义去求 的取值范围即可解决.
【详解】正六边形ABCDEF中，过点B作 于 ，则
又
即 ，故 的取值范围为
故答案为：
考点二：平面向量的垂直问题
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等例5．已知向量 ，若 ，则 ___________.
【答案】 /
【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】由题意可得 ，
因为 ，
则 ，解得 .
故答案为：
变式1：已知O为坐标原点， ， ，若 ，则实数m的值为______．
【答案】
【分析】由题设得 ，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值即可.
【详解】由题设 ，又 ，
所以 ，可得 .
故答案为：
变式2：已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量坐标的加减法运算，及向量垂直的坐标表示，即可求出 .
【详解】由题可知， ， ，
则 ，
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即： ，解得： .
故选：D
变式3：设向量 ， ，如果 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为 ，再将 ， 分别用坐标表示出来，最后根据
坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出 的值.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以
故选：C
变式4：已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，若 ，则 ______.
【答案】 ##
【分析】根据已知可得 ，代入即可求得 的值.
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【详解】由已知可得， ， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案为： .
考点三：平面向量的模长问题
例6．已知向量 的夹角为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的定义及运算性质求解.
【详解】因为向量 的夹角为 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：C
变式1：已知向量 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出 ，求模即可.
【详解】∵ ， ，∴ ，
∴ .
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变式2：已知向量 ， ，且 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出 、 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数 的值，最后
根据向量模的坐标表示计算可得.
【详解】因为 ， ，所以 ，
，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 .
故选：A
变式3：若平面向量 两两的夹角相等且不为 ，且 ， ，则 ____________
【答案】
【分析】首先确定 两两的夹角为 ，根据平面向量数量积的定义和运算律可求得 ，进而
可得 .
【详解】 两两的夹角相等且不为 ， 两两的夹角为 ，
， ，
，
.
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例7．已知向量 ， ，若 ，则 ________．
【答案】
【分析】根据向量模的展开计算，得出 ，从而进一步利用向量的线性计算求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
故答案为： .
变式1：已知向量 ， 满足 ， ， ，则实数 ______．
【答案】1
【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求得 ，根据向量的模的坐标运算列方程即可得实
数 的值.
【详解】解：已知向量 ， 满足 ， ，所以 ，
则 ，解得 .
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变式2：已知向量 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】直接求出 与 的坐标，根据模相等即可解得 的值.
【详解】由已知可得， ， ，
因为 ，所以 ，
解得， .
故选：C.
例8．已知平面向量 满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】0
【分析】根据数量积的定义确定 的范围，在根据向量模与数量积的关系 可得 的范围，即可得
的最小值.
【详解】解：因为平面向量 满足 ，又 ，
所以 ，
则 ，由 ，则 ，故 ，
则 的最小值为0.
故答案为：0.
变式1：已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 的最小值是__________.
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【分析】 ，展开计算得 ，根据 ，则得到其最小值.
【详解】 .
因为 ,所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ,则 的最小值是 .
故答案为： .
变式2：已知向量 ， 的夹角为 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，由已知条件得 ，把等式改写为关于 的方程，方程有
解，判别式 ，可求 的最大值.
【详解】向量 ， 的夹角为 ， ，
则有 ，
设 ， ，
∴ ，即 ， 存在，方程有解，
则有 ，解得 ，则 的最大值为 .
故选：B
考点四：平面向量的夹角问题
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等例9:在 中， ， ， ，D是AC的中点，则 与 的夹角为______．
【答案】
【分析】根据向量的夹角的定义求解．
【详解】如图， 中， ，所以 ，而 ， ， ，所以
， 是 的中点，则 ， ，
所以 与 的夹角等于 ．
故答案为： ．
变式1：设 ， ，则向量 ， 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】根据题意和平面向量的几何意义与数量积的坐标表示求出 ，结合平面向量的数量积的定
义计算即可求解.
【详解】由题意知，
，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
所以 .
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变式2：已知向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为______．
【答案】
【分析】由 可得 ， ，后由向量夹角的坐标表示可得答案.
【详解】 ，则 ，则 ，又
，则
故答案为： .
变式3：若非零向量 满足 ，则向量 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出 ，根据 可得 ,代入化简求解夹角余弦值即可.
【详解】设 与 的夹角为 ，
因为 ，所以 ，
.
.
故选：D.
变式4：已知 ，向量 在向量 上的投影为 ，则 与 的夹角为（ ）
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【答案】B
【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出 与 夹角的余弦值，即可得出夹角大小.
【详解】记向量 与向量 的夹角为 ，
在 上的投影为 .
在 上的投影为 ，
，
，
.
故选：B.
例10．已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 ______.
【答案】
【分析】依据向量数量积列出关于x的方程，解之即可求得x的值.
【详解】向量 ， ，则 ，
又 与 的夹角为 ，则 ，
解之得 或 （舍）
故答案为：
变式1：已知向量 ， ， ， ，则 ___________．
【答案】 ##
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为向量 ， ， ，
所以 ，因为 ，
所以有 ，
故答案为：
例11．已知 ， ，若 与 的夹角是锐角，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【分析】由 ，求得 ，再设 ，求得 ，进而得到 的取值范围.
【详解】因为向量 ， ，
由 ，可得 ，解得 ，
设 ，可得 ，即 ，解得 ，此时向量 与 共线，
所以当 与 的夹角是锐角时，则满足 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
变式1：已知向量 ，则“ ”是“ 与 夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】根据向量数量积的定义及坐标表示，由题设条件间的推出关系，结合充分、必要条件即可得答案.
【详解】由题设：
当 时， ， ，注意当 时， ，故充分性不成立.
当 与 的夹角为锐角时， ，解得 .
故必要性成立.
故选：B.
变式2：已知平面向量 ， 满足 ， ， .
（1）求 ；
（2）若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)由给定条件求出 ，再根据向量模的计算公式即可得解；
(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.
【详解】（1）依题意， ，得 ，
，
所以 ；
（2）由向量 与 的夹角为锐角，可得 ，即有 ，解得 ，
而当向量 与 同向时，可知 ，
综上所述 的取值范围为 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等变式3：设两个向量 满足 ， .
(1)若 ，求 的夹角 ；
(2)若 的夹角为 ，向量 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律求出 ，再求出 ，即可得解；
（2）由向量 与 的夹角为钝角，可得 ，注意排除相反向量这一情况.
【详解】（1）解：由 ，得 ,
又 , 所以 ，
所以 ，
又因为 ,
所以 的夹角为 ；
（2）解：由已知得 ，
则 ，
因为向量 与 的夹角为钝角, 所以 , 解得 ，
设 ,
则 , 无解, 故两个向量的夹角不可能为 ,
所以向量 与 的夹角为钝角时, 的取值范围为 .
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等考点五：平面向量的投影、投影向量
例12．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影是_______________.
【答案】
【分析】根据向量投影的知识求得正确答案.
【详解】 在 方向上的投影是 .
故答案为：
变式1：已知点 ， ， ， ，则向量 在 方向上的数量投影为______．
【答案】
【分析】先求得向量 ， 的坐标，再根据数量投影的定义即可求得答案.
【详解】 ，
所以向量 在 方向上的数量投影为 .
故答案为： .
变式2：设平面向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用投影向量的计算公式求解．
【详解】解： ， ，
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故选：A.
变式3：已知非零向量 ， 满足 ，且 则向量 在向量 上的投影为______.
【答案】 ##0.5
【分析】根据向量数量积的性质由 ，可得 ，再根据投影的概念计算即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以向量 在向量 上的投影为 .
故答案为： .
变式4：已知 ， ．若 在 方向上的数量投影为3，则实数 ______．
【答案】
【分析】由 在 方向上的投影为 ，代入计算即可得到答案．
【详解】由题意知， ，
因为 在 方向上的投影为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
例13．已知向量 ， ，且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
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【答案】D
【分析】根据向量的线性运算可得 ，可求得 ，即可利用投影向量得
出答案.
【详解】∵ ， ，且 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 在 方向上的投影向量为 ，
故选：D．
变式1：已知 ，则向量 在向量 上的投影向量为__________．
【答案】 ##
【分析】由题知 ，进而根据投影向量的概念求解即可.
【详解】解：因为
所以 ，解得 ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为
故答案为：
变式2：已知向量 ，且 ，则 __________， 在 方向上的投影向量的坐标为
__________.
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【分析】①根据平面向量垂直的判定条件求解 的值即可；
②首先根据投影的计算公式求出 在 方向上的投影，进而求出 在 方向上的投影向量.
【详解】①已知 ， ，由于 ，所以 ，解得 ；
②由①知： ， ，得 ，
则 ， ，
故 在 方向上的投影为 ，
得 在 方向上的投影向量为 .
故答案为： ；
1．已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
4．设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 _________．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运
算律计算可得．
【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
5．已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
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【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
6．若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
1．已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量数量积的运算律直接计算.
【详解】由 ， ，
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故选：D.
2．若向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面垂直向量和向量数量积的定义可得 ，即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
得 ，又 ，
所以 .
故选：A．
3．在四边形 中， ，且 ，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】结合向量运算以及平行四边形、矩形、菱形、正方形等知识，确定正确答案.
【详解】由 ，可得四边形ABCD是平行四边形．
由 ， ，
所以 ，所以四边形ABCD为菱形．
故选：C
4．已知 和 是两个正交单位向量， ， 且 ，则 （ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
【答案】B
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等【分析】根据题意得到 ， ，求得 ，集合向量模的计算公式，列出方程，即
可求解.
【详解】因为 和 是正交单位向量， ， ，
可得 ，所以 ，解得 或 .
故选：B．
5．已知平面向量 与 的夹角为 ，若 ， ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】由 两边平方化简可求得答案
【详解】由 平方可得 ，
因为 ，平面向量 与 的夹角为 ，
所以 即 ，
解得 或 （舍去），
故选：D
6．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八
卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正
八边形ABCDEFGH的边长为 ，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则 的最小值是
（ ）．
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】过点 作直线 的垂线 ，垂足为点 ，计算出 ，分析可知当点 在线段 上时，
在 方向上的投影 取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果.
【详解】过点 作直线 的垂线 ，垂足为点 ，
，
如图，由平面向量数量积的几何意义可知， 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
当点 在线段 上时， 在 方向上的投影 取最小值，
此时 ， ， ， ，
故 的最小值为 .
故选：B.
7．已知向量 是非零向量，λ、 ，则“ ”是“ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据 得 ，两边平方化简即可得即 或 ，由
此即可判断．
【详解】若 ，则 ，
两边平方可得 ，
即 ，即 ，
即 或 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A．
8．已知 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，记 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据条件 ，其中 ，则 起点相同，且终点共线，采取数形结合法
进行解决.
【详解】如图， ， ，则 ，则 ，
因为 ，其中 ，
则 与 共起点，且终点共线，即在直线AB上，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等于是 （即 为 ，其中 ）时， 最小，最小值为 .
故选：A.
9．【多选】已知单位向量 的夹角为 ，则使 为钝角的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】当 时即可判断A，将 两边平方，得到 ，从而求出 即可判断B选项，利
用向量数量积的运算展开即可判断 的值或范围即可得到C选项，由 得 ，当 即可判
断选项D.
【详解】若 ，则 可能为 ，A选项不是 为钝角的充分条件，
故A不正确，
若 ，两边平方得 ，
即向量 的余弦值为 ，所以 ，
B选项是 为钝角的一个充分条件；
故B选项正确，
若 ，则 ，
即向量 的余弦值为 ，所以 且 为钝角，，
C选项是 为钝角的充分条件，
故C选项正确，
若 ，两边平方得 ，当 时满足题意
所以 不一定为钝角，D不是 为钝角的充分条件，
故D不正确，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等故选：BC.
10．【多选】如图，矩形 中， ，若 ，点 分别为边 的中点，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】建立平面直角坐标系，运用平面向量加法、数量积、向量夹角的坐标公式求解即可.
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，分别以AB、AD为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
对于A项，设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，故A项正确；
对于B项，因为 ，所以 与 不垂直，故B项不成立；
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等对于C项， ，故C项正确；
对于D项， ，故D项不成立.
故选：AC.
11．【多选】下列说法正确的是（ ）
A．向量 与 共线是 四点共线的必要不充分条件
B．若 ，则存在唯一实数 使得
C．已知 ， ，则 与 + 的夹角为锐角的充要条件是
D．在 中， 为 的中点，若 ，则 是 在 上的投影向量
【答案】AD
【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A；根据向量共线的充要条件可判断B；当 时，
，此时 与 的夹角为 ，可判断C；由平面向量加法和已知条件可得 为 的平分
线，又因为 为 的中线，所以 ，可判断 D．
【详解】对于A：A，B，C，D四点共线 向量 与 共线，反之不成立，可能 ，不一定四点
共线，所以A正确；
对于B：当 ， 时，不存在实数 使得 ，
当 ， 时，存在无数个实数 使得 ，故B错误；
对于C：当 时， ，此时 与 的夹角为 ，不是锐角，故C错误；
对于D：由平面向量加法可知， 表示：与 的平分线表示的向量平行的向量，
关注精品公众号【偷着学】，免费获取更多高中精品资源、最新网课、讲义等因为 ，所以 为 的平分线，
又因为 为 的中线，所以 ，所以 是 在 的投影向量，故D正确.
故选：AD.
12．已知 ，则 在 方向上的数量投影为_______．
【答案】
【分析】根据投影的定义求解即可.
【详解】解：由 ，
得 ，
所以 在 方向上的数量投影为 .
故答案为： .
13．如图，在 中，P为线段AB上一点，则 ，若 ， ， ，且
与 的夹角为 ，则 的值为_______.
【答案】-3
【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用 表示 与 ，然后利用数量积的运算律求解
即可
【详解】因为 ，所以 ，
所以
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即 ，
故答案为：-3
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