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第 13 讲 两条直线平行和垂直的判定 3 种常见考法归类
能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
知识点1 两条直线平行
对于两条不重合的直线l，l，其斜率分别为k，k，有l∥l⇔k＝k.
1 2 1 2 1 2 1 2
注：（1）l∥l⇔k＝k 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l 与l 不重合．
1 2 1 2 1 2
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时， 与 的倾斜角都是 ，则 .
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或 ， 斜率都不存在.
知识点2 两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之
积等于－1，那么它们互相垂直，即l⊥l⇔k·k＝－1.
1 2 1 2
注：（1）l⊥l⇔k·k＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k≠0且k≠0.
1 2 1 2 1 2
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
1、两条直线平行的判定及应用
k ＝k⇔l∥l 是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注
1 2 1 2
意利用图形．
2、利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
3、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
考点一：两条直线平行的判定及应用
（一）两条直线平行的概念辨析
例1．（2023·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件
B．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件
C．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件
D．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件
【答案】B
【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可.
【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A错误；
的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B正确；
倾斜角相等时，两直线可能重合，故C错误；
法向量平行时，两直线可能重合，故D错误.
故答案为：B变式1．（2023秋·北京·高二人大附中校考期中）若 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 ，
，斜率分别为 ， ，则下列命题
①若 ，则斜率 ； ②若斜率 ，则 ；
③若 ，则倾斜角 ；④若倾斜角 ，则 ，
其中正确命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．
【详解】由于 与 为两条不重合的直线且斜率分别为 ， ，所以 ，故①②正确；
由于 与 为两条不重合的直线且倾斜角分别为 ， ，所以 ，故③④正确，
所以正确的命题个数是4．
故选：D．
变式2．【多选】（2023秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若 与 为两条不重
合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则它们的斜率相等 B．若 与 的斜率相等，则
C．若 ，则它们的倾斜角相等 D．若 与 的倾斜角相等，则
【答案】BCD
【分析】由两直线斜率不存在可知A错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD正确.
【详解】对于A，当 和 倾斜角均为 时， ，但两直线斜率不存在，A错误；
对于B，若 和 斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知 ，B正确；
对于C，若 ，可知两直线倾斜角相等，C正确；
对于D，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知 ，D正确.故选：BCD.
（二）两条直线平行关系的判定
例2．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线 与 是否平行．
(1) 经过点 ， ， 经过点 ， ；
(2) 经过点 ， ， 经过点 ， ．
【答案】(1)不平行
(2)平行
【分析】（1）求出 、 ，即可判断；
（2）求出 、 的方程，即可判断.
【详解】（1）因为 经过点 ， ，所以 ，
又 经过点 ， ，所以 ，
因为 ，所以 与 不平行；
（2）直线 经过点 ， 的方程为 ，
直线 经过点 ， 的方程为 ，
故直线 和直线 平行；
变式1．（2023秋·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线 与直线 是否平行或重合：
（1） 经过点 ， ； 经过点 ， ；( )
（2） 的斜率为 ， 经过点 ， ；( )
（3） 平行于 轴， 经过点 ， ；( )
（4） 经过点 ， ， 经过点 ， ．( )【答案】 不平行 平行或重合 平行 重合
【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判
断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）.
【详解】（1） ， ，
，所以 与 不平行．
（2） 的斜率 ， 的斜率 ，即 ，无法判断两直线是否重合，
所以 与 平行或重合．
（3）由题意，知 的斜率不存在，且不是 轴， 的斜率也不存在，恰好是 轴，
所以 ．
（4）由题意，知 ， ，所以 与 平行或重合．
需进一步研究 ， ， ， 四点是否共线， ．所以 ， ， ， 四点共线，所以
与 重合．
变式2．【多选】（2023秋·高二课时练习）满足下列条件的直线 与 一定平行的是（ ）
A． 经过点 ， ， 经过点 ，
B． 的斜率为1， 经过点 ，
C． 经过点 ， ， 经过点 ，
D． 经过点 ， ， 经过点 ，
【答案】CD
【分析】求出设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系；【详解】设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ．
对于A． ， ， ， 与 不平行．
对于B， ， ， ，故 或 与 重合
对于C， ， ，则有 ．又 ，则A，B，M不共线．
故 .
对于D，由已知点的坐标，得 与 均与x轴垂直且不重合，故有 ．
故选：CD
变式3．（2023秋·高二课时练习）过点 和点 的直线与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
【答案】B
【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.
【详解】过点 和点 的直线方程为 ，斜率为0，
又因为直线 斜率为0，所以两直线平行.
故选：B
变式4．（2023·全国·高二专题练习）判断 三点是否共线，并说明理由．
【答案】共线，理由见解析.
【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.
【详解】这三点共线，理由如下：
由直线斜率公式可得： ，
直线 的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点 ，
所以这三点共线.（三）已知两条直线平行求参数
例3．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线 的倾斜角为 ，直线 ，
则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.
【详解】因为直线 的倾斜角为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知过 和 的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值
是（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【答案】A
【分析】由两点的斜率公式表示出直线 的斜率 ，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.
【详解】由题意可知， ，解得 ．
故选：A
变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线 的倾斜角为 ，直线 的斜率为 ，若 ∥ ，
则 的值为________．
【答案】 /2或 / 或2
【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线 的斜率为 ，再由两直线平行，斜率相等列出等
式，即可求出答案.【详解】由题意知 ，解得 .
故答案为：
考点二：两条直线垂直的判定及应用
（一）两条直线垂直的概念辨析
例4．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．斜率均不存在的两条直线可能重合
B．若直线 ，则这两条直线的斜率的乘积为
C．若两条直线的斜率的乘积为 ，则这两条直线垂直
D．两条直线 ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则
【答案】ACD
【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，若 ，则 斜率均不存在，但两者重合，故A正确；
对于BD，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为
，故B错误；D正确；
对于C，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为 时，这两条直线垂直，故C正确.
故选：ACD.
变式1．【多选】（2023秋·高二课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．若两直线平行，则两直线的斜率相等
B．若两直线的斜率相等，则两直线平行
C．若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直
D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于
【答案】BC
【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.
【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误；
对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B正确；
对于C，若两直线的斜率乘积等于 ，则两直线垂直，故C正确；
对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于 ，故D错误；
故选：BC
变式2．（2023·高二课时练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．每一条直线都有倾斜角和斜率
B．若直线倾斜角为 ，则斜率为
C．若两直线的斜率 ， 满足 ，则两直线互相垂直
D．直线 与直线 （ ）一定互相平行
【答案】C
【分析】根据直线的倾斜角与斜率的定义及关系，以及两直线的位置的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，每条直线都有倾斜角，当倾斜角为 ，直线的斜率不存在，所以A错误；
对于B中，当直线倾斜角为 ，此时直线的斜率不存在，所以B错误；
对于C中，若两直线的斜率分别为 ， ，当 ，则两直线互相垂直，所以C正确；
对于D中，当 时，直线 与直线 为重合直线，所以D错误.
故选：C.
（二）两条直线垂直关系的判定
例5．【多选】（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线 互相垂直的是（ ）
A． 的斜率为 ， 经过点 ，
B． 的倾斜角为 ， 经过点
C． 经过点 ， 经过点
D． 的斜率为2， 经过点
【答案】ABC
【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为 ，从而可选出正确答案.
【详解】 的斜率为 ，因为 ，所以 成立，故A正确；
的斜率为 ， 的斜率为 ，由 ，
则 成立，故B正确；
的斜率为 ， 的斜率为 ，由
则 成立，故C正确；
的斜率为 ，由 ，所以 不成立，故D错误.
故选：ABC．
变式1．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．
(1) 经过点 经过点 ；
(2) 经过点 经过点 ．
【答案】(1)不垂直，理由见解析
(2)垂直，理由见解析
【分析】（1）由题知直线 ， 的斜率存在，分别计算出 、 的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；
（2）由题知 轴， 轴，即可判断（2）组直线垂直.
【详解】（1）由题知直线 ， 的斜率存在，分别设为 ，
，
，，
∴ 与 不垂直．
（2）由题意知 的倾斜角为90°，
则 轴；
由题知直线 的斜率存在，设为 ，
，
则 轴，
∴ ．
变式2．（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线 与 是否垂直：
(1) 的倾斜角为 ， 经过 ， 两点；
(2) 的斜率为 ， 经过 ， 两点；
(3) 的斜率为 ， 的倾斜角为 ， 为锐角，且 .
【答案】(1)
(2) 与 不垂直
(3)
【分析】（1） 的斜率为 ，根据过两点的斜率公式可求 的斜率，判断斜率的乘积是否为
即可；
（2）根据过两点的斜率公式可求 的斜率，判断斜率的乘积是否为 即可；
（3）根据二倍角的正切公式求出 的值，判断斜率的乘积是否为 即可.
（1）因为 的倾斜角为 ，所以 的斜率为 .
因为 经过 ， 两点，
所以 的斜率为 .
因为 ，所以 .
（2）
因为 经过 ， 两点，
所以 的斜率为 .
因为 的斜率为 ，且 ，
所以 与 不垂直.
（3）
记 的斜率为 ，因为 ，
所以 ，解得 或 .
因为 为锐角，所以 .
因为 的斜率为 ，且 ，
所以 .
变式3．（2023秋·福建三明·高二校联考期中）已知直线 经过 ， 两点，直线 倾斜角为
，那么 与 （ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直【答案】B
【分析】根据两点求出直线 的斜率，根据倾斜角求出直线 的斜率，可知斜率乘积为 ，从而得到垂直
关系.
【详解】由题意可得：直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
∵ ，则 与 垂直.
故选：B.
变式4．【多选】（2023·江苏·高二假期作业）以 为顶点的三角形，下列结论正确的
有（ ）
A．
B．
C．以 点为直角顶点的直角三角形
D．以 点为直角顶点的直角三角形
【答案】AC
【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算 判断，对于D，通过计算 判
断.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，所以A正确，
对于B，因为 ，所以 ，所以B错误，
对于C，因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 以 点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，
对于D，因为 ， ，所以 ，所以D错误，
故选：AC
变式5．（2023秋·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线 的斜率是方程 的两个根，则
（ ）A． B．
C． 与 相交但不垂直 D． 与 的位置关系不确定
【答案】C
【分析】由 可知两直线不垂直，且 知两直线不平行，由此可得结论.
【详解】设直线 的斜率为 ，则 ，
， 不垂直，A错误；
若 ，则 ，与 矛盾， ， 不平行，B错误；
不平行，也不垂直， 相交但不垂直，C正确，D错误.
故选：C.
变式6．【多选】（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）（多选）若 ， ， ，
，下面结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.
【详解】 ， ，且C不在直线AB上，∴ ，故A正确；
又∵ ，∴ ，∴ ，故B正确；
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，故C正确；
又∵ ， ，∴
∴ ，故D错误．
故选:ABC．（三）已知两直线垂直求参数
例6．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点 和点 的直
线 与经过点 和点 的直线 互相垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】求出直线 的斜率为 ，分 、 两种情况讨论，在 时，由两直线斜率之积为 可
求得实数 的值；在 时，直接验证 .综合可得结果.
【详解】直线 的斜率 ．
①当 时，直线 的斜率 ．
因为 ，所以 ，即 ，解得 ．
②当 时， 、 ，此时直线 为 轴，
又 、 ，则直线 为 轴，显然 ．
综上可知， 或 .
故选：C.
变式1．（2023秋·高二课时练习）已知直线 经过点 ，直线 经过点
，若 ，则 的值为________________.
【答案】0或5
【分析】分类讨论直线 斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.
【详解】因为直线 经过点 ，且 ，所以 的斜率存在，而 经过点 ，则其斜率可能不存在，
当 的斜率不存在时， ，即 ，此时 的斜率为0，则 ，满足题意；
当 的斜率存在时， ，即 ，此时直线 的斜率均存在，
由 得 ，即 ，解得 ；
综上，a的值为0或5.
故答案为：0或5.
变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为 ，直线 经过点 ， ，且 与l
垂直，直线 与直线 平行，则 等于（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【分析】由直线l的倾斜角为 ， 与l垂直可得 ，再由直线 与直线 平行求得 ，由 过 求得
，进而求 .
【详解】由题意知： ，而 与l垂直，即 ，
又直线 与直线 平行，则 ，故 ，
又 经过点 ， ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知 的顶点为 ， ， ，是否存在 使
为直角三角形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案】存在， 或 或
【分析】对 的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果.【详解】
若A为直角，则 ，
∴ ，
即 ，解得 ；
若B为直角，则 ，
∴ ，
即 ，解得 ；
若C为直角，则 ，
∴ ，
即 ，解得 ．
综上所述，存在 或 或 ，使 为直角三角形．
变式4．（2023秋·青海海东·高二校考期中）已知点 ， ， ， 是 的垂心．则
点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设点C的坐标,再求出直线 的斜率，则可求出直线 的斜率和直线 的倾斜角，联
立方程组求出C的坐标；
【详解】设C点标为 ，直线AH斜率 ，∴ ，而点B的横坐标为6，则 ，
直线BH的斜率 ，
∴直线AC斜率 ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ．
故选: .
变式5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点 ， ，直线 过点 ，交 轴于点 ， 是
坐标原点，且 ， ， ， 四点共圆，那么 的值是________．
【答案】 /4.75
【分析】由题易知 ，即 为圆的直径，即 ,由 列出方程，即可求出答案.
【详解】由题易知 ，即 为圆的直径，即 ,
∴ ，
即 ，解得 ．
故答案： .
变式6．（2023·江苏·高二假期作业）已知 ， ， ．
(1)求点 的坐标，满足 ， ；
(2)若点 在x轴上，且 ，求直线 的倾斜角．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；
（2）根据条件可得 即可求出结果.
【详解】（1）设 ，
由已知得 ，
又 ，可得 ，
即 ． ①
由已知得 ，
又 ，可得 ，
即 ． ②
联立①②解得 ，
∴ ．
（2）设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
解得 ．
∴ ，又∵ ，
∴ 轴，
故直线MQ的倾斜角为90°．
变式7．【多选】（2023秋·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形 的直角顶点为 ，
点 的坐标为 ，则点 的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据三角形 为等腰直角三角形列方程组，即可求解.
【详解】设 ，由题意可得
，可化为 ，
解得: 或 ，即 或 ．
故选：AC
考点三：两直线平行与垂直的综合应用
例7．【多选】（2023秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知两条不重合的直线 ，
，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】根据直线的位置关系与斜率关系即可判断.【详解】对A，若 ，则 ，故A正确；
对B，若 ，又两直线不重合，则 ，故B正确；
对C，若 ，则 与 不垂直，故C错误；
对D，若 ，则 ，故D正确.
故选：ABD.
变式1．【多选】（2023秋·山东济南·高二校考期中）若 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是
，斜率分别为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若斜率 ，则 B．若 ，则
C．若倾斜角 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项 ，举反例可判断D.
【详解】对于A, 若两直线斜率 ，则它们的倾斜角 ，则 ，正确；
对于B，由两直线垂直的条件可知，若 ，则 ，正确；
对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角 ，则 ，正确；
对于D, 若 ，不妨取 ，
则 ，不满足 ， 不垂直，D错误，
故选：
例8．（2023秋·全国·高二期中）已知 三点，则△ABC为__________ 三角形.
【答案】直角
【分析】根据直线斜率关系即得.
【详解】如图，猜想 是直角三角形，由题可得边 所在直线的斜率 ,边 所在直线的斜率 ，
由 ，得 即 ，
所以 是直角三角形.
故答案为：直角.
变式1．（2023秋·河南商丘·高二校联考期中）若 ， ， ，则 的外接圆面积为
______．
【答案】
【分析】由斜率得 ，从而可得 是直角三角形的斜边，也是 的外接圆的直径，求得
长后得圆半径，从而得圆面积．
【详解】 ， ， ，∴ ， 是直角三角形的斜边，也是
的外接圆的直径，
，外接圆半径为 ，
圆表面积为 ．
故答案为： ．
变式2．（2023秋·高二课时练习）以 为顶点的四边形是（ ）
A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形【答案】D
【分析】先在坐标系内画出ABCD点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD的形状.
【详解】
在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中 ，
，
，
所以四边形ABCD是直角梯形；
故选：D.
变式3．（2023·高二课时练习）已知 ，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，
求点D的坐标.
【答案】 或 或 .
【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标.
【详解】由题， ，
所以kAC=2， ，kBC=－3，
设D的坐标为（x，y），分以下三种情况：
①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC，
所以， ， ，
得x=7，y=5，即
②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以， ，
得x=－1，y=9，即
③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC
所以 ，
得x=3，y=－3，即
所以D的坐标为 或 或 .
变式4．（2023·江苏·高二假期作业）已知四边形 的顶点坐标为 ，求
证：四边形 为矩形．
【答案】证明见解析
【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线
的斜率乘积为 ，可得一组邻边垂直，从而可得结论.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ∥ ， ∥ ，
所以四边形 为平行四边形，
因为 ，
所以 ，
所以四边形 为矩形.
变式5．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形 的顶点.
(1)求斜率 与斜率 ；
(2)求证：四边形 为矩形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用斜率公式求解即可；
（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得 ， ， ，从而得证.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以 ，
所以四边形 为矩形.
变式6．（2023·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形 的顶点坐标按逆时针顺
序依次为 ， ， ， ，其中 ．则四边形 的形状为______.
【答案】矩形
【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案；
【详解】由斜率公式得 ， ， ，
，所以 ， ，从而 ， ．所以四边形 为平行四边形．
又 ，所以 ，故四边形 为矩形．
故答案为：矩形.
变式7．（2023·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.
【答案】证明见解析
【分析】建立坐标系，根据 得出 ，从而证明菱形的对角线互相垂直.
【详解】以AB为x轴，过A作AB的垂线为y轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为
因为四边形是菱形 ，所以
由 ，
所以 ，菱形的对角线互相垂直.
一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若 ，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
【答案】C
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；
若 ，则 或 ， 的斜率都不存在，B错误；
若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；
若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．
故选：C.
2．（2023·高二课时练习）“直线 与 平行”是“直线 与 的斜率相等”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】D
【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可.
【详解】充分性：直线 与 平行，但是 和 都没有斜率，即当 和 都垂直于 轴时， 与 仍然平行，
但是，此时不满足直线 与 的斜率相等，故充分性不成立；
必要性：直线 与 的斜率相等，则直线 与 平行或重合，故必要性不成立；
综上，“直线 与 平行”是“直线 与 的斜率相等”的既非充分又非必要条件.
故选：D
3．（2023·全国·高二专题练习）已知A(-4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(-3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，
则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形【答案】D
【分析】由斜率的两点式分别求出 ，进而可判断直线 的位置关系，即可知
正确选项.
【详解】∵
∴AB CD，AD⊥AB，AD⊥CD，
AD与BC不平行，
∴四边形ABCD为直角梯形.
故选：D.
4．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）若直线 的斜率为 ， 经过点 ， ，则直线
和 的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合
【答案】B
【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可.
【详解】因为直线 经过点 ， ，
所以直线 的斜率为： ，
又因为 ，
所以两直线垂直，
故选：B
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知两条直线l，l 的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l 与
1 2 1
l 的位置关系是（ ）
2
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
【答案】B【分析】由韦达定理可知 ，由此可作出判断.
【详解】解析由方程3x2＋mx－3＝0，知 ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l 与l 的斜率k，k 均存在．设两根为x，x，则kk＝xx＝－1，所以l⊥l．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
故选：B
6．（2023·江苏·高二假期作业）过点 和点 的直线与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据斜率公式求得 的斜率，得出直线 的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，点 和点 ，可得 ，所以 的方程为 ，
又由直线 的斜率为0，且两直线不重合，
所以两直线平行.
故选：B.
7．（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）已知直线 经过 ， 两
点，直线 的倾斜角为 ，那么 与
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】根据两点求出直线 的斜率，根据倾斜角求出直线 的斜率；可知斜率乘积为 ，从而得到垂直
关系.
【详解】 直线 经过 ， 两点 直线 的斜率：
直线 的倾斜角为 直线 的斜率：
本题正确选项：
【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根
据斜率关系求得位置关系.8．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）若直线 与直线 平行，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k的值.
【详解】因为直线 与直线 平行，
所以两直线斜率相等，即 .
故选：D.
9．（2023春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为 ，
， ，则 边上的高的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知求出 的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系即可求解.
【详解】 ， ，
设 边上的高的斜率为 ，则 ，
故选：C
10．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点 和 ，点 在 轴上，且
为直角，则点 坐标为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】设点 ，由 为直角，得 ，然后由 列式计算即可.
【详解】由题意，设点 ，
为直角， ，由 ，
，
解得 或 ，所以点 的坐标为 或
故选：B
二、多选题
11．（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知直线 与 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则斜率
B．若斜率 ，则
C．若倾斜角 ，则
D．若 ，则倾斜角
【答案】BCD
【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
【详解】A选项， ，可能直线 与 的倾斜角都是 ，斜率不存在，所以A选项错误.
B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确.
C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确.
D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确.
故选：BCD
12．（2023·全国·高二专题练习）(多选)下列直线l 与直线l 平行的有（ ）
1 2
A．直线l 经过点A(2，1)，B(-3，5)，直线l 过点C(3，-3)，D(8，-7)
1 2
B．直线l 经过点A(0，1)，B(-2，-1)，直线l 过点C(3，4)，D(5，2)
1 2
C．直线l 经过点A(1， )，B(2，2 )，直线l 的倾斜角为60°且过原点
1 2
D．直线l 经过点A(0，2)，B(0，1)，直线l 的斜率为0
1 2
【答案】AC【分析】直接利用两直线平行的条件进行判断.
【详解】A选项中， ，且两直线不重合，故l l；
1 2
B选项中， ，∵ ∴两直线不平行；
C选项中， ，且两直线不重合，故l l；
1 2
D选项中，l 斜率不存在，l 的斜率为0，∴两直线不平行.
1 2
故选：AC
【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:
(1)若两直线斜率都不存在, 两直线平行;
(2)两直线的斜率都存在,且k=k,b≠b,则两直线平行;
1 2 1 2
(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要AB=A B ,BC ≠BC
1 2 2 1 1 2 2 1
三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D
的坐标为________.
【答案】(3,4)
【分析】设D为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求D的坐标.
【详解】设顶点D的坐标为(x,y)，
∵AB DC，AD BC，
∴ ，解得 ，
∴点D的坐标为(3,4).
故答案为：(3,4).
14．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知经过点 和点 的直线l 与经过
1
点 和点 的直线 互相垂直，则实数 _____.
【答案】
【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解．【详解】因为 ， ，所以 ，
因为两条直线相互垂直，所以直线 的斜率必然存在，
又 ， ，则 ， ，
又所以 ，解得 ．
所以 ．
故答案为： .
四、解答题
15．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．
(1) 经过点 ， 经过点 ；
(2) 的斜率为 ， 经过点 .
【答案】(1)不平行，理由见解析
(2)不平行，理由见解析
【分析】（1）分别计算出 和 的斜率，再比较两斜率是否相等即可；
（2）求出 的斜率，再与 的斜率比较即可.
【详解】（1）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
因为 经过点 ， 经过点 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 与 不平行；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ，
因为 经过点 ，
所以 ，所以 ，
所以 与 不平行.
16．（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线 与 是否平行.
（1） 的斜率为2， 经过 ， 两点；
（2） 经过 ， 两点， 平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3） 经过 ， 两点， 经过 ， 两点．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.
（2）根据直线 的斜率即可判断.
（3）求出两直线的斜率即可求解.
【详解】（1） 经过 ， 两点，则 ，
则 ，可得两直线平行.
（2） 经过 ， 两点，可得 平行于x轴，
平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以 ；
（3） 经过 ， 两点， ，
经过 ， 两点，则 ，
所以 .
17．（2023·全国·高二专题练习）判断下列各小题中的每对直线是否垂直
(1)l 的斜率为 ，l 经过点A（1，1），B（0， ）
1 2
(2)l 的倾斜角为45°，l 经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6）
1 2
(3)l 经过点M（1，0），N（4，﹣5），l 经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3）
1 2【答案】(1)垂直
(2)不垂直
(3)垂直
【分析】分别求出两直线的斜率，利用kk=﹣1判断两直线是否垂直即可.
1 2
【详解】（1）∵l 经过点A（1，1），B（0， ），∴l 的斜率为 ，
2 2
又∵l 的斜率为 ，且 ，∴l 与l 垂直.
1 1 2
（2）∵l 的倾斜角为45°，∴l 的斜率为 ，∵l 经过点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣6），∴l 的斜率为
1 1 2 2
，而 ，∴l 与l 不垂直.
1 2
（3）∵l 经过点M（1，0），N（4，﹣5），∴l 的斜率为 ，
1 1
∵l 经过点R（﹣6，0），S（﹣1，3），∴l 的斜率为 ，又∵ ，
2 2
∴l 与l 垂直.
1 2
18．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点 ， ， ， ，试判定四边
形ABCD的形状．
【答案】直角梯形
【分析】求出四边斜率，然后再判断形状．
【详解】由斜率公式可得：
，与BC不平行
又 ，
，
故四边形ABCD是直角梯形．
【点睛】本题考查四边形形状的判断，要关注四条边的斜率关系，是否有垂直或者平行，是基础题．
19．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知 的点 ， ， ．
判断 的形状；
设D，E分别为AB，AC的中点，求直线DE的斜率；
【答案】（1） 是等腰直角三角形；（2） .
【分析】 由已知点的坐标分别求出AB，AC，BC及BC边上中线的斜率，由斜率关系可得 的形状；
由已知可得 ，则直线DE的斜率可求．
【详解】 ， ， ，
， ， ．
设F为BC的中点，则 ， ．
由于 ， ，
是等腰直角三角形；
由于D，E分别为AB，AC的中点，
，即 ．故直线DE的斜率为 ．
【点睛】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查三角形性质的判断，是中档题．
