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第14讲 导数的概念与运算
知识梳理
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
Δy f(x +Δx)-f(x )
函数f(x)在x=x 处瞬时变化率是lim =lim 0 0 ，我们称它为函数y=
0 Δx Δx
Δx→0 Δx→0
fx 在x=x 0 处的导数，记作f(x 0 )或yx=x 0 ．
知识点诠释：
①增量Δx可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要
多近有
多近，即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数；
②当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常
数与
Δy f(x +Δx)-f(x )
= 0 0 无限接近；
Δx Δx
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移
在这一时
Δy f(x +Δx)-f(x )
刻的瞬间变化率，即f(x )=lim =lim 0 0 ．
0 Δx Δx
Δx→0 Δx→0
2、几何意义
函数y=f(x)在x=x 处的导数f(x )的几何意义即为函数y=f(x)在点P(x ，y )处的切线
0 0 0 0
的斜率．
3、物理意义
函数s=s(t)在点t 处的导数s(t )是物体在t 时刻的瞬时速度v，即v=s(t )；v=v(t)在
0 0 0 0
点t 的导数v(t )是物体在t 时刻的瞬时加速度a，即a=v(t )．
0 0 0 0
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f(x)=0
f(x)=xa(a∈Q) f(x)=axa-1
f(x)=ax(a>0，a≠1) f(x)=axlna
f(x)=log
a
x(a>0，a≠1) f(x)= 1
xlna
f(x)=ex f(x)=ex
f(x)=lnx f(x)= 1
x
f(x)=sinx f(x)=cosx
f(x)=cosx f(x)=-sinx
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227 34272、导数的四则运算法则
(1)函数和差求导法则：[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)；
(2)函数积的求导法则：[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)；
f(x)
(3)函数商的求导法则：g(x)≠0，则
g(x)
f(x)g(x)-f(x)g(x)
= ．
g2(x)
3、复合函数求导数
复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间关系为y=yu：
x u x
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程y-f(x )=f(x )(x-x )的计算：函数y=f(x)在点A(x ，f(x ))处的切线方
0 0 0 0 0
y =f(x )
程为y-f(x 0 )=f(x 0 )(x-x 0 )，抓住关键 k 0 =f(x 0 ) ．
0
2、过点的切线方程
设切点为P(x ，y )，则斜率k=f(x )，过切点的切线方程为：y-y =f(x )(x-x )，
0 0 0 0 0 0
又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y =f(x )(m-x )然后解出x 的值．(x 有几
0 0 0 0 0
个值，就有几条切线)
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
必考题型全归纳
1 题型一：导数的定义
406 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=fx 的图象如图所示，函数y=fx 的导数为
y=fx ，则 ( )
A. f(2)0，g(m)递增；
所以g(m)极小值为g(0)=1，极大值为g(2)=9，故1<2a<9时两函数有三个交点，
1 9
综上，a的取值范围是 ,
2 2
.
1 9
故答案为： ,
2 2
2
423 (2024·浙江绍兴·统考模拟预测)过点- ,0
3
作曲线y=x3的切线，写出一条切线方程：
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233 3427.
【答案】y=0或y=3x+2(写出一条即可)
【解析】由y=x3可得y=3x2，
2
设过点- ,0
3
作曲线y=x3的切线的切点为(x ,y )，则y =x3，
0 0 0 0
则该切线方程为y-y =3x2(x-x )，
0 0 0
2
将- ,0
3
2
代入得-x3=3x2- -x
0 0 3 0
，解得x =0或x =-1，
0 0
故切点坐标为(0,0)或(-1,-1)，
故切线方程为y=0或y=3x+2，
故答案为：y=0或y=3x+2
424 (2024·海南海口·校联考模拟预测)过x轴上一点Pt,0 作曲线C:y=x+3 ex的切线，
若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为 ．
【答案】-4，-5，-6，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为 x 0 ,x 0 +3 ex0 ，因为y=x+4 ex，所以切线方程为y-x 0 +3 ex0=
x 0 +4 ex0x-x 0 ．
因为切线l经过点P，所以-x 0 +3 ex0=x 0 +4 ex0t-x 0 ，
由题意关于x 0 的方程x2 0 -t-3 x -4t-3=0没有实数解， 0
则Δ=(t-3)2+44t+3 <0，解得-71时，gx <0，所以gx 在-∞,0 ,1,+∞ 上单调递减；
当00，所以gx 在0,1 上单调递增，
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234 3427所以g(x) =g0
极小值
=-3,g(x) =g1
极大值
=-e，
3 又-x2+3x-3=-x-
2
2 3 - <0，所以gx
4
<0恒成立，
所以gx 的图象大致如图所示，
由图可知，方程a=-x2 0 +3x 0 -3 ex0最多3个解，
即过点P1,a a∈R 的切线最多有3条，
即n的最大值为3，此时-30
a
的图
象存在公切线，则实数a的取值范围为 ( )
1
A. 0,
3
1
B. ,+∞
3
2
C. ,1
3
1 2
D. ,
3 3
【答案】A
【解析】由函数fx =4lnx+1，可得fx
4
= ，
x
因为a>0，设切点为t,4lnt+1 ，则ft
4
= ，
t
4
则公切线方程为y-4lnt-1= x-t
t
4
，即y= x+4lnt-3，
t
1 1 4
与y= x2-2x联立可得 x2-2+
a a t
x-4lnt+3=0，
第 页 共 页
235 34274
所以Δ=2+
t
2 1
-4× ×3-4lnt
a
2
+1
1 t
=0，整理可得 =
a
2
，
3-4lnt
又由
a>0 ，可得3-4lnt>0，解得00
令ht
2
+1
t
=
2
3
，其中00，函数φt
t
3
在0,e4 上单调递增，且φ1
=0，
当00，即ht >0，此时函数ht 单调递增，
所以ht =h1
min
=3，且当t→0+时，ht →+∞，所以函数ht 的值域为3,+∞ ，所
1 1 1
以 ≥3且a>0，解得00，当x∈a-1,a+2 时，gx <0，当x∈a+2,+∞
时，gx >0，
所以，gx 在-∞,a-1 上单调递增，在a-1,a+2 上单调递减，在a+2,+∞ 上单
调递增；
且当x→-∞时，gx
x-a-1
=
2-2
→0，当x→+∞时，gx
e-2x
=e2x x-a-1 2-2 →
+∞，
ga-1
因此，只需
>2
ga+2
e2a-1
，即
<2
>1
-e2a+2
，
<2
解得a>1.
故答案为：1,+∞
431 (2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)若曲线C:f(x)=x2+a和曲线C :g(x)=
1 2
2lnx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(-1,+∞)
2
【解析】由题意得f(x)=2x,g(x)= ，(x>0)，
x
设与曲线f(x)=x2+a相切的切点为x 1 ,x2 1 +a ，与曲线g(x)=2lnx相切的切点为
x 2 ,2lnx 2 ，
则切线方程为y=2x 1x-x 1 +x2+a，即y=2xx-x2+a， 1 1 1
2
y= x x-x 2
2
2
+2lnx ，即y= x+2lnx -2， 2 x 2
2
2
2x = ,
由于两切线为同一直线，所以 1 x 2 ，得a=x2 1 -2lnx 1 -2x 1 >0
-x2+a=2lnx -2
1 2
．
2 2(x+1)(x-1)
令φ(x)=x2-2lnx-2(x>0)，则φ(x)=2x- = ，
x x
当01时，φ(x)>0，φ(x)在(1,+∞)单调递增．
即有x=1处φ(x)取得极小值，也为最小值，且为φ(1)=-1．
又两曲线恰好存在两条公切线，即a=φ(x)有两解，
结合当x→0时，x2趋近于0，lnx趋于负无穷小，故φ(x)趋近于正无穷大，
当x→+∞时，x2趋近于正无穷大，且增加幅度远大于lnx的增加幅度，故φ(x)趋近于正
无穷大，
由此结合图像可得a的范围是(-1,+∞)，
故答案为：(-1,+∞)
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237 3427432 (2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知曲线C 1 :f(x)=x2与曲线C 2 :gx =
aex+1(a>0)有且只有一条公切线，则a= ．
4
【答案】
e3
【解析】设曲线y=f(x)在x=x 处的切线与曲线y=g(x)相切于x=x 处，
1 2
f(x)=2x，故曲线y=f(x)在x=x 处的切线方程为y-x2=2x(x-x)，
1 1 1 1
整理得y=2xx-x2.
1 1
gx =aex+1，故曲线y=g(x)在x=x 2 处的切线方程为y-aex2+1=aex2+1 x-x 2 ，
整理得y=aex2+1x-aex2+1 x 2 -1 .
2x =aex2+1 故 1
-x2 1 =-aex2+1 x 2 -1
1
2
由(1)再结合a>0知x >0，将(1)代入(2) ，得-x2=-2x(x -1)，
1 1 1 2
解得x =2(x -1)且x >1，
1 2 2
将x 1 =2(x 2 -1)代入(1) ，解得4x 2 -1 =aex2+1且x >1， 2
即a= 4x 2 -1 4t-2 且x >1，令t=x +1，则a=
ex2+1 2 2
，t>2.
et
令ht
4t-2
=
，ht
et
43-t
=
，
et
则h(t)在区间(2,3)单调递增，在区间(3,+∞)单调递减，且h3
4
= ，
e3
4t-2
又两曲线有且只有一条公切线，所以a=
4
只有一个根，由图和a>0知a= .
et e3
4
故答案为： .
e3
433 (2024·福建南平·统考模拟预测)已知曲线y=alnx和曲线y=x2有唯一公共点，且这两
条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为 ．
【答案】2 ex-y-e=0
【解析】设曲线g(x)=alnx和曲线f(x)=x2在公共点(x ,y )处的切线相同，
0 0
则fx =2x,gx
a
= ，
x
由题意知fx 0 =gx 0 ,fx 0 =gx 0 ，
a
2x =
即 0 x 0 ，解得a=2e,x 0 = e，
x2=alnx
0 0
故切点为( e,e)，切线斜率为k=fx 0 =2 e，
所以切线方程为y-e=2 e(x- e)，即2 ex-y-e=0，
第 页 共 页
238 3427故答案为：2 ex-y-e=0
方向4、已知切线求参数问题
434 (2024·江苏·校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过e,a 的切线，则a的范围是
.
【答案】-∞,e
【解析】设切线切点为x 0 ,y 0
xlnx
，因
=lnx+1
，则切线方程为：y= y =x lnx
0 0 0
lnx 0 +1 x-x 0 +x 0 lnx 0 =lnx 0 +1 x-x . 0
因过e,a ，则a=lnx 0 +1 e-x 0 ，由题函数fx =lnx+1 e-x图象
与直线y=a有两个交点.fx
e e-x
= -1= ，
x x
得fx 在0,e 上单调递增，在e,+∞ 上单调递减.
又fx =fe
max
=e，x→0,fx →-∞，x→+∞,fx →-∞.
据此可得fx 大致图象如下.则由图可得，当a∈-∞,e 时，曲线y=xlnx有两条过
e,a 的切线.
故答案为：-∞,e
435 (2024·山东聊城·统考三模)若直线y=x+b与曲线y=ex-ax相切，则b的最大值为
( )
A.0 B.1 C.2 D.e
【答案】B
【解析】设切点坐标为x 0 ,y 0 ，因为y=ex-ax，
所以y=ex-a，故切线的斜率为：ex0-a=1，
ex0=a+1，则x 0 =lna+1 .
又由于切点x 0 ,y 0 在切线y=x+b与曲线y=ex-ax上，
所以x 0 +b=ex0-ax 0 ，所以b=a+1 -x 0a+1 =a+1 1-lna+1 .
令a+1=t，则b=t1-lnt ，设f(t)=t1-lnt ，
f(t)=1-lnt
1
+t⋅-
t
=-lnt，令f(t)=0得：t=1，
所以当t∈0,1 时，f(t)>0，f(t)是增函数；
当t∈1,+∞ 时，f(t)<0，f(t)是减函数.
所以f(t) =f(1)=1.
max
所以b的最大值为：1.
故选：B.
a
436 (2024·重庆·统考三模)已知直线y=ax-a与曲线y=x+ 相切，则实数a= ( )
x
1 4 3
A.0 B. C. D.
2 5 2
第 页 共 页
239 3427【答案】C
a a
【解析】由y=x+ 且x不为0，得y=1-
x x2
设切点为x 0 ,y 0
y 0 =ax 0 -a a
，则 y 0 =x 0 + x a ，即 ax 0 -a=x 0 + x 0 ， 0 x2
a a= 0
1- x2 =a x2 0 +1
0
x3 x2 x 4
所以 0 - 0 =x + 0 ，可得x =-2,a= .
x2+1 x2+1 0 x2+1 0 5
0 0 0
故选：C
437 (2024·海南·校联考模拟预测)已知偶函数fx =a-1 x2-3bx+c-d-1在点
1,f1
a-b
处的切线方程为x+y+1=0，则 = ( )
c-d
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】因为fx 是偶函数，所以f-x =a-1 x2+3bx+c-d-1=fx ，即b=0；
由题意可得：f1 =a-1-3b+c-d-1=-1+1 ⇒c-d=-a=-a+b，
a-b
所以 =-1.
c-d
故选：A
1
438 (2024·全国·高三专题练习)已知M是曲线y=lnx+ x2+ax上的任一点，若曲线在M
2
π
点处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，则实数a的取值范围是 ( )
4
A. 2,+∞ B. -1,+∞ C. -∞,2 D. -∞,-1
【答案】B
1
【解析】函数y=lnx+ x2+ax的定义域为0,+∞
2
1
，且y= +x+a，
x
1 π
因为曲线y=lnx+ x2+ax在其上任意一点M点处的切线的倾斜角均是不小于 的
2 4
锐角，
1 π 1
所以，y= +x+a≥tan =1对任意的x>0恒成立，则1-a≤x+ ，
x 4 x
1 1
当x>0时，由基本不等式可得x+ ≥2 x⋅ =2，当且仅当x=1时，等号成立，
x x
所以，1-a≤2，解得a≥-1.
故选：B.
1
439 (2024·全国·高三专题练习)已知m>0，n>0，直线y= x+m+1与曲线y=lnx-n
e
1 1
+2相切，则 + 的最小值是 ( )
m n
A.16 B.12 C.8 D.4
【答案】D
1
【解析】对y=lnx-n+2求导得y= ，
x
1 1 1
由y= = 得x=e，则 ⋅e+m+1=lne-n+2，即m+n=1，
x e e
第 页 共 页
240 34271 1
所以 + =m+n
m n
1 1
+
m n
n m
=2+ + ≥2+2=4，
m n
1
当且仅当m=n= 时取等号．
2
故选：D．
方向5、切线的条数问题
440 (2024·河北·高三校联考阶段练习)若过点(m,n)可以作曲线y=log x的两条切线，则
2
( )
A.m>log n B.n>log m C.mlog m，
2
故选：B．
441 (2024·全国·高三专题练习)若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则 ( )
A.a0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；当a>0时，0a时，f(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x) =f(a)=lna+1，结合图像知b+1>
min
lna+1，即b>lna.
故选：D.
442 (2024·湖南·校联考二模)若经过点a,b 可以且仅可以作曲线y=lnx的一条切线，则下
列选项正确的是 ( )
A.a≤0 B.b=lna C.a=lnb D.a≤0或b=lna
【答案】D
【解析】设切点Px 0 ,lnx 0
1
．因为y=lnx，所以y= ， x
1
所以点P处的切线方程为y-lnx 0 = x x-x 0
0
，
又因为切线经过点a,b
1
，所以b-lnx 0 = x a-x 0
0
a
，即b+1=lnx + . 0 x
0
令fx
a
=lnx+ (x>0)，则y=b+1与fx
x
a
=lnx+ (x>0)有且仅有1个交点，
x
fx
1 a x-a
= - = ，
x x2 x2
当a≤0时，fx >0恒成立，所以fx 单调递增，显然x→+∞时，f(x)→+∞，于是符合
题意；
当a>0时，当0a时，fx >0，f(x)递增，所
以f(x) min =fa =lna+1，
则b+1=lna+1，即b=lna．
综上，a≤0或b=lna．
故选：D
方向6、切线平行、垂直、重合问题
2x-m
443 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=lnx+x与g(x)= 的图象有一条公共切
x-1
线，且该公共切线与直线y=2x+1平行，则实数m= ( )
17 17 17 17
A. B. C. D.
8 6 4 2
【答案】A
【解析】设函数fx
1
=lnx+x图象上切点为(x ,y )，因为f(x)= +1，所以f(x )= 0 0 x 0
1
+1=2，得x =1，所以y =f(x )=f(1)=1，所以切线方程为y-1=2(x-1)，即y=
x 0 0 0
0
2x-1，设函数gx
2x-m
= 的图象上的切点为(x,y)(x ≠1)，因为g(x)= x-1 1 1 1
2(x-1)-(2x-m) m-2 m-2
= ，所以g(x)= =2，即m=2x2-4x +4，又y =
(x-1)2 (x-1)2 1 (x -1)2 1 1 1
1
第 页 共 页
242 34272x -m
2x -1=g(x)= 1 ，即m=-2x2+5x -1，所以2x2-4x +4=-2x2+5x -1，即
1 1 x -1 1 1 1 1 1 1
1
5 5 4x2-9x +5=0，解得x = 或x =1(舍)，所以m=2×
1 1 1 4 1 4
2 5 17 -4× +4= ．
4 8
故选：A
444 (2024·全国·高三专题练习)已知直线x-9y-8=0与曲线{S }相交于A,B，且曲线C
n
在A,B处的切线平行，则实数p的值为 ( )
A.4 B.4或-3 C.-3或-1 D.-3
【答案】B
【解析】设A(x,y),B(x ,y )，由y=x3-px2+3x得y=3x2-2px+3，
1 1 2 2
2
由题意3x2-2px +3=3x2-2px +3，因为x ≠x ，则有x +x = p．
1 1 2 2 1 2 1 2 3
x-8
把y= 代入y=x3-px2+3x得9x3-9px2+26x+8=0，
9
2
由题意x, p-x 都是此方程的解，即9x3-9px2+26x +8=0①，
1 3 1 1 1 1
2
9 p-x
3 1
3 2
-9p p-x
3 1
2 2
+26 p-x
3 1
+8=0，
4 52
化简为9x3-9px2+26x + p3- p-8=0②，
1 1 1 3 3
把①代入②并化简得p3-13p-12=0，即(p+1)(p+3)(p-4)=0，p=-1,-3,4，
当p=-1时，①②两式相同，说明x =x ，舍去．所以p=-3,4．
1 2
故选：B．
445 (2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试)已知曲线fx =ex-1 (x>-1)在点
A x 1 ,fx 1 ,B x 2 ,fx 2 x 1 2e-2
e e
【答案】A
【解析】由题意知x 1 0时，fx =ex-1,fx =ex，
因为切线l 1 ,l 2 互相垂直，所以fx 1 fx 2 =-1，
所以-10 单调递增，
2
当0 时，单调递增；
2
2
在x=± 时，fx
2
=0 ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故
A是“切线重合函数”；
对于B，fx =sinx 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察Aπ,π-1 ,B3π,3π-1 两点处的切线方程，∵ y=1-sinx ，
∴A,B 两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为y-π-1 =1∙x-π ，化
简得：y=x+1 ，
在B点处的切线方程为y-3π-1 =1∙x-3π ，化简得y=x+1 ，显然重合，
∴ C是“切线重合函数”；
对于D，y=2x+cosx ，令gx =2x+cosx ，则gx =2-sinx>0 ，
gx 是增函数，不存在x 1 ≠x 2 时，gx 1 =gx 2 ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
448 (2024·全国·高三专题练习)已知A，B是函数fx
x2+x+a, x≤0
= ，图象上不同的两
xlnx-a, x>0
点，若函数y=fx 在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是 ( )
1
A. -∞,
2
1
B. - ,+∞
2
C. 0,+∞
1
D. ,+∞
2
【答案】B
【解析】当x≤0时，fx =x2+x+a的导数为f(x)=2x+1；
当x>0时，f(x)=xlnx-a的导数为f(x)=lnx+1，
设A x 1 ,fx 1 ，B x 2 ,fx 2 为函数图象上的两点，且x 0时，函数fx 在B x 2 ,fx 2 处的切线方程为y-x lnx +a=(lnx +1)(x- 2 2 2
x ).
2
两直线重合的充要条件是lnx +1=2x +1①，-x -a=a-x2②，
2 1 2 1
1
由①②得：a= (x2-e2x1)，x ≤0，
2 1 1
1
∴令g(x)= (x2-e2x)(x≤0)，则g(x)=x-e2x，
2
令h(x)=g(x)=x-e2x，则h(x)=1-2e2x，
1 1 1 1
由h(x)=0，得x= ln ，即x= ln 时hx
2 2 2 2
1 1
有最大值h ln
2 2
1 1 1
= ln - <
2 2 2
0，
∴gx 在-∞,0
1
上单调递减，则g(x)≥g(0)=- .
2
1
∴ a的取值范围是 - ,+∞
2
.
故选：B.
方向7、最值问题
449 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=ex+1上，点Q在曲线y=-1+lnx上，则
|PQ|最小值为 ( )
A. 2 B.2 2 C. 2(1+ln2) D. 2(1-ln2)
【答案】B
【解析】∵y=ex+1与y=-1+lnx互为反函数，其图像关于直线y=x对称
先求出曲线y=ex+1上的点到直线y=x的最小距离．
设与直线y=x平行且与曲线y=ex+1相切的切点P(x ，y )．
0 0
y′=ex+1，ex0+1=1，解得x =-1．∴y =e-1+1=1．
0 0
|-1-1|
得到切点P(-1,1)，点P到直线y=x的距离d= = 2．
2
∴|PQ|最小值为2 2．
故选：B．
1
450 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y= lnx上，则|PQ|
2
的最小值为 ( )
2 2
A. (1-ln2) B. 2(1-ln2) C. 2(1+ln2) D. (1+ln2)
2 2
【答案】D
1
【解析】y=e2x与y= lnx互为反函数，它们图像关于直线y=x对称；
2
故可先求点P到直线y=x的最近距离d，
1 1
又y=2e2x，当曲线上切线的斜率k=2e2x0=1时，得x =- ln2，y =e2x0= ，
0 2 0 2
第 页 共 页
245 34271 1
则切点P- ln2,
2 2
2
到直线y=x的距离为d= (1+ln2)，
4
2
所以|PQ|的最小值为2d= (1+ln2)．
2
故选：D．
451 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=lnx-ln2上，则
|PQ|的最小值为 ( )
A.1-ln2 B. 2(1-ln2) C.2(1+ln2) D. 2(1+ln2)
【答案】D
【解析】∵y=2ex与y=lnx-ln2互为反函数，
所以y=2ex与y=lnx-ln2的图像关于直线y=x对称，
设f(x)=2ex-x(x∈R)，则f(x)=2ex-1，
1
令f(x)=0得x=ln ，
2
1 1
则当xln 时，f(x)>0，
2 2
1
所以f(x)在-∞,ln
2
1
单调递减，在ln ,+∞
2
单调递增，
1
所以f(x)≥fln
2
1
=1-ln >0，
2
所以y=2ex与y=x无交点，则y=lnx-ln2与y=x也无交点，
下面求出曲线y=2ex上的点到直线y=x的最小距离，
设与直线y=x平行且与曲线y=2ex相切的切点P(x ，y )，
0 0
∵y′=2ex，
1
∴2ex0=1，解得x =ln =-ln2，
0 2
ln1
∴y =2e 2=1，
0
|-ln2-1| 2(1+ln2)
得到切点P(-ln2,1)，到直线y=x的距离d= = ，
2 2
|PQ|的最小值为2d= 2(1+ln2)，
故选：D．
452 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c，d满足|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0，则
(a-c)2+(b-d)2的最小值为 ( )
A.2 2 B.8 C.4 D.16
【答案】B
【解析】由|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0得，ln(a-1)-b=0，c-d+2=0，即b=ln(a
-1)，d=c+2，
第 页 共 页
246 3427(a-c)2+(b-d)2的几何意义为曲线b=ln(a-1)上的点(a,b)到直线d=c+2上的点
(c,d)连线的距离的平方，
不妨设曲线y=ln(x-1)，直线y=x+2，设与直线y=x+2平行且与曲线y=ln(x-
1)相切的直线方程为y=x+m，
显然直线y=x+2与直线y=x+m的距离的平方即为所求，
1
由y=ln(x-1)，得y= ，设切点为(x ，y )，
x-1 0 0
1
=1 x =2
x -1 0
0
则
y =x +m
，解得m=-2，
0 0 y =0
y =ln(x -1) 0
0 0
|2+2|
∴直线y=x+2与直线y=x+m的距离为 =2 2，
2
∴(a-c)2+(b-d)2的最小值为8．
故选：B.
453 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=(x-a)2+4(lnx-a)2，其中x>0，a∈R．若
4
存在正数x ，使得f(x )≤ 成立，则实数a的值是 ( )
0 0 5
1 2 1
A. B. C. D.1
5 5 2
【答案】A
【解析】函数f(x)可以看作是动点M(x,2lnx)与动点N(a,2a)之间距离的平方，
动点M在函数y=2lnx的图像上，N在直线y=2x的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
2
由y=2lnx得，当y= =2时，解得x=1，即曲线上斜率为2的切线，切点为1,0
x
，
2 5 4
∴曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离d= ，则f(x)≥ ，
5 5
4 4
根据题意，要使f(x )≤ ，则f(x )= ，此时N恰好为垂足，
0 5 0 5
2a-0 1 1
由k = =- ，解得a= ．
MN a-1 2 5
故选：A．
454 (2024·宁夏银川·银川二中校考一模)已知实数x,y满足2x2-5lnx-y=0，m∈R，则
x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值为 ( )
9 3 2 2 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】B
【解析】∵ x2+y2-2mx+2my+2m2= x-m 2+y+m 2，又y=2x2-5lnx，
第 页 共 页
247 3427∴ x2+y2-2mx+2my+2m2表示点m,-m 与曲线y=2x2-5lnx上的点之间的距
离；
∵点m,-m 的轨迹为y=-x，∴ x2+y2-2mx+2my+2m2表示直线y=-x上的点
与曲线y=2x2-5lnx上的点之间的距离；
令fx =2x2-5lnx，则fx
5
=4x- ，
x
令fx
5 5
=-1，即4x- =-1，解得：x=1或x=- (舍)，
x 4
又f1 =2-5ln1=2，
∴ x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值即为点1,2
1+2
到直线y=-x的距离d∵d=
2
3 2 3 2
= ，∴ x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值为 .
2 2
故选：B.
455 (2024·四川成都·川大附中校考二模)若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P到直
线l:x+y-4=0距离的最小值为 ( )
2
A. B. 2 C.2 2 D.4 2
2
【答案】C
【解析】过点P作曲线y=lnx-x2的切线，当切线与直线l:x+y-4=0平行时，点P到
直线l:x+y-4=0距离的最小.
1
设切点为P(x ,y )(x >0)，y= -2x，
0 0 0 x
1
所以，切线斜率为k= -2x ，
x 0
0
1 1
由题知 -2x =-1得x =1或x =- (舍)，
x 0 0 0 2
0
|1-1-4|
所以，P(1,-1)，此时点P到直线l:x+y-4=0距离d= =2 2.
2
故选：C
方向8、牛顿迭代法
456 (2024·湖北咸宁·校考模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方
法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r是fx =0的根，
选取x 0 作为r的初始近似值，过点 x 0 ,fx 0 做曲线y=fx 的切线l：y-fx 0 =
fx 0 x-x 0 ，则l与x轴交点的横坐标为x =x - fx 0 1 0 fx 0 fx 0 ≠0 ，称x 是r的一次 1
近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中x =x - fx n n+1 n fx n fx n ≠0 ，称x 是 n+1
r的n+1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数fx =
lnx+x-3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693)
A.2.207 B.2.208 C.2.205 D.2.204
【答案】C
【解析】易知fx =lnx+x-3在定义域上单调递增，f2 =2+ln2-3<0 D.x = n 8 n+1 3x2-1
n
【答案】ABD
【解析】由fx =x3-x+1，可得f-1 >0,f-2 <0，即f-1 f-2 <0，
根据函数零点的存在性定理，可得r∈-2,-1 ，所以A正确；
又由fx =3x2-1，设切点P(x n ,x3 n -x n +1)，则切线的斜率为k=fx n =3x2-1， n
所以切线方程为y-x3 n +x n +1=3x2 n -1 x-x n ，
-x3+x +1 2x3-1
令y=0，可得x = n n +x = n ，所以D正确；
n+1 3x2-1 n 3x2-1
n n
3 3
当x =-1时，可得x =- ，则f-
0 1 2 2
7 3
=- ,f-
8 2
23
= ，
4
7 23 3
所以l 的方程为y+ = x+
2 8 4 2
，即23x-4y+31=0，所以B正确；
3 2x3-1 31 2x3-1 71749
由x 1 =- 2 ，可得x 2 = 3x 1 2-1 = 23 ，x 3 = 3x 2 2-1 = 54142 ，此时x 3 -x 2
1 2
1
< ， 8
所以C错误；
故选：ABD
458 (多选题)(2024·全国·模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数
值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点x 0 ，如图，在x=x 0 处作fx 图象的切线，切线与
x轴的交点横坐标记作x ：用x 替代x 重复上面的过程可得x ；一直继续下去，可得到一
1 1 0 2
系列的数x ，x ，x ，⋯，x ，⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x ，x n∈N*
0 1 2 n n-1 n
近似值相等时，该值即作为函数fx 的一个零点r.若要求 36的近似值r(精确到0.1)，我
们可以先构造函数fx =x3-6，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为 36的近似值，
则下列说法正确的是 ( )
第 页 共 页
249 3427A.对任意n∈N*，x x ，故A错误；
1 3 1 0
B，x=x n-1 处的切线方程为y=3x n-1 2 x-x n-1 +x 3-6， n-1
2 2x
所以与x轴的交点横坐标为x = + n-1，故B正确；
n x 2 3
n-1
2 2 11 1
C，因为x = + ×2= ≈1.8，x =
1 22 3 6 2 11
6
2 11
+ × ≈1.8，
2 3 6
所以两条切线可以确定r的值，故C正确；
D，由选项C可知，r=1.8，所以无论x 0 在2,3 上取
任何有理数都有r=1.8，故D正确.
故选：BCD
459 (2024·全国·高三专题练习)牛顿迭代法(Newton'smethod)又称牛顿-拉夫逊方法
(Newton-Raphsonmethod)，是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，
设r是fx =0的根，选取x 0 作为r初始近似值，过点 x 0 ,fx 0 作曲线y=fx 的切线
l,l与x轴的交点的横坐标x =x - fx 0 1 0 f'x 0 f'x 0 ≠0 ，称x 是r的一次近似值，过点 1
x 1 ,fx 1 作曲线y=fx 的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x ，称x 是r的二 2 2
次近似值．重复以上过程，直到r的近似值足够小，即把x n 作为fx =0的近似解．设
x ，x ，x ，⋯，x 构成数列x
1 2 3 n n
．对于下列结论：
第 页 共 页
250 3427①x =x - fx n
n n-1
fx n
(n≥2)；
②x =x - fx n-1
n n-1
fx n-1
(n≥2)；
③x =x - fx 1
n 1
fx 1
- fx 2
fx 2
-⋯- fx n
fx n
；
④x =x - fx 1
n 1
fx 1
- fx 2
fx 2
-⋯- fx n-1
fx n-1
(n≥2)．
其中正确结论的序号为 ．
【答案】②④
【解析】由题意，过点 x 0 ,fx 0 作曲线y=fx 的切线方程为y-fx 0 =
fx 0 x-x 0 ，
令y=0，解得x =x - fx 0 1 0 fx 0 fx 0 ≠0 ，
过点 x 1 ,fx 1 作曲线y=fx 的切线方程为y-fx 1 =fx 1 x-x 1 ，
令y=0，解得x =x - fx 1 2 1 fx 1 fx 1 ≠0 ，
过点 x 2 ,fx 2 作曲线y=fx 的切线方程为y-fx 2 =fx 2 x-x 2 ，
令y=0，解得x =x - fx 2 3 2 fx 2 fx 2 ≠0 ，
重复以上过程，当n≥2时，
则过点 x n-1 ,fx n-1 作曲线y=fx 的切线方程为y-fx n-1 =fx n-1 x-x n-1 ，
令y=0，解得x =x - fx n-1 n n-1 fx n-1 fx n-1 ≠0，n≥2 ，故①错误，②正确.
将x ，x ，⋯，x 累加，得
2 3 n
x +x +⋯+x =x - fx 1
2 3 n 1
fx 1
+x - fx 2
2
fx 2
+⋯+x - fx n-1
n-1
fx n-1
(n≥2)，
∴x =x - fx 1
n 1
fx 1
- fx 2
fx 2
-⋯- fx n-1
fx n-1
(n≥2)，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
【解题方法总结】
函数y=f(x)在点x 处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x ,f(x ))处的切线的斜率．这
0 0 0
里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．(1)已知f(x)在点(x ,
0
f(x ))处的切线方程为y-y =f(x )(x-x )．(2)若求曲线y=f(x)过点(a,b)的切线
0 0 0 0
方程，应先设切点坐标为(x ,f(x ))，由y-y =f(x )(x-x )过点(a,b)，求得x 的值，从
0 0 0 0 0 0
而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上
第 页 共 页
251 3427
