第14讲导数的概念与运算_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第14讲 导数的概念与运算
知识梳理
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
Δy f(x +Δx)-f(x )
函数f(x)在x=x 处瞬时变化率是lim =lim 0 0 ，我们称它为函数y=
0 Δx Δx
Δx→0 Δx→0
fx  在x=x 0 处的导数，记作f(x 0 )或yx=x 0 ．
知识点诠释：
①增量Δx可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要
多近有
多近，即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数；
②当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常
数与
Δy f(x +Δx)-f(x )
= 0 0 无限接近；
Δx Δx
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移
在这一时
Δy f(x +Δx)-f(x )
刻的瞬间变化率，即f(x )=lim =lim 0 0 ．
0 Δx Δx
Δx→0 Δx→0
2、几何意义
函数y=f(x)在x=x 处的导数f(x )的几何意义即为函数y=f(x)在点P(x ，y )处的切线
0 0 0 0
的斜率．
3、物理意义
函数s=s(t)在点t 处的导数s(t )是物体在t 时刻的瞬时速度v，即v=s(t )；v=v(t)在
0 0 0 0
点t 的导数v(t )是物体在t 时刻的瞬时加速度a，即a=v(t )．
0 0 0 0
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f(x)=0
f(x)=xa(a∈Q) f(x)=axa-1
f(x)=ax(a>0，a≠1) f(x)=axlna
f(x)=log
a
x(a>0，a≠1) f(x)= 1
xlna
f(x)=ex f(x)=ex
f(x)=lnx f(x)= 1
x
f(x)=sinx f(x)=cosx
f(x)=cosx f(x)=-sinx
第 页 共 页
227 34272、导数的四则运算法则
(1)函数和差求导法则：[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)；
(2)函数积的求导法则：[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)；
 f(x)
(3)函数商的求导法则：g(x)≠0，则
 g(x)
 f(x)g(x)-f(x)g(x)
= ．
g2(x)
3、复合函数求导数
复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间关系为y=yu：
x u x
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程y-f(x )=f(x )(x-x )的计算：函数y=f(x)在点A(x ，f(x ))处的切线方
0 0 0 0 0
y =f(x )
程为y-f(x 0 )=f(x 0 )(x-x 0 )，抓住关键  k 0 =f(x 0 ) ．
0
2、过点的切线方程
设切点为P(x ，y )，则斜率k=f(x )，过切点的切线方程为：y-y =f(x )(x-x )，
0 0 0 0 0 0
又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y =f(x )(m-x )然后解出x 的值．(x 有几
0 0 0 0 0
个值，就有几条切线)
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
必考题型全归纳
1 题型一：导数的定义
406 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=fx  的图象如图所示，函数y=fx  的导数为
y=fx  ，则 ( )
A. f(2)<f(3)<f(3)-f(2) B. f(3)<f(2)<f(3)-f(2)
C. f(2)<f(3)-f(2)<f(3) D. f(3)<f(3)-f(2)<f(2)
【答案】D
【解析】由fx  图象可知f3 
f3
<
 -f2 
<f2
2-1
 ，
即f3  <f3  -f2  <f2  .
故选：D
407 (2024·云南楚雄·高三统考期末)已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且
1
容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h= t3+t2，当t=t
3 0
时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当t=t +1时，液体上升高度的瞬时变化率
0
为 ( )
第 页 共 页
228 3427A.5cm/s B.6cm/s C.8cm/s D.10cm/s
【答案】C
1
【解析】由h= t3+t2，求导得：h=t2+2t.
3
当t=t 时，h=t2+2t =3，解得t =1(t =-3舍去).
0 0 0 0 0
故当t=t +1=2时，液体上升高度的瞬时变化率为22+2×2=8cm/s.
0
故选：C
408 (2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末)已知函数fx  的导函数是fx  ，若fx 0  =
1
fx + Δx
0 2
2，则lim
Δx→0
 -f(x )
0
= ( )
Δx
1
A. B.1 C.2 D.4
2
【答案】B
【解析】因为fx 0  =2
1
fx + Δx
0 2
所以lim
Δx→0

1
-f(x ) fx + Δx
0 1 0 2
= lim
Δx 2
Δx→0
 -f(x )
0 1
= f(x )=1
1 2 0
Δx
2
故选：B
409 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  在x 处可导，且lim fx 0 +2Δx 0
Δx→0
 -fx 0  =1，则 2Δx
fx 0  = ( )
1
A.1 B.-1 C.2 D.
2
【答案】A
【解析】由导数定义可得lim fx 0 +2Δx
Δx→0
 -fx 0  2Δx =fx 0  ，
所以fx 0  =1．
故选：A．
410 (2024·高三课时练习)若fx  在x 0 处可导，则fx 0  可以等于( )．
A. lim fx 0
Δx→0
 -fx 0 -Δx  B. lim fx 0 +Δx
Δx
Δx→0
 -fx 0 -Δx 
Δx
C. lim fx 0 +2Δx
Δx→0
 -fx 0 -Δx  D. lim fx 0 +Δx
Δx
Δx→0
 -fx 0 -2Δx 
Δx
【答案】A
【解析】由导数定义fx 0  =lim fx 0 +Δx
Δx→0
 -fx 0  ， Δx
对于A，fx 0  =lim fx 0 Δx→0  -fx 0 -Δx  x 0 -x 0 -Δx  =lim fx 0 Δx→0  -fx 0 -Δx  ，A满足； Δx
对于B，fx 0  =lim fx 0 +Δx Δx→0  -fx 0 -Δx  x 0 +Δx  -x 0 -Δx  =lim fx 0 +Δx Δx→0  -fx 0 -Δx  ， 2Δx
fx 0  = 1 lim fx 0 +Δx 2
Δx→0
 -fx 0 -Δx  ，B不满足； Δx
对于C，fx 0  =lim fx 0 +2Δx Δx→0  -fx 0 -Δx  x 0 +2Δx  -x 0 -Δx  =lim fx 0 +2Δx Δx→0  -fx 0 -Δx  ， 3Δx
第 页 共 页
229 3427fx 0  = 1 lim fx 0 +2Δx 3
Δx→0
 -fx 0 -Δx  ，C不满足； Δx
对于D，fx 0  =lim fx 0 +Δx Δx→0  -fx 0 -2Δx  x 0 +Δx  -x 0 -2Δx  =lim fx 0 +Δx Δx→0  -fx 0 -2Δx  ， 3Δx
fx 0  = 1 lim fx 0 +Δx 3
Δx→0
 -fx 0 -2Δx  ，D不满足. Δx
故选：A.
【解题方法总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接
写出．
2 题型二：求函数的导数
411 (2024·全国·高三专题练习)求下列函数的导数．
(1)fx  =-2x+1  2；
(2)fx  =ln4x-1  ；
(3)fx  =23x+2
(4)fx  = 5x+4；
【解析】(1)因为fx  =-2x+1  2=4x2-4x+1，所以fx  =8x-4.
(2)因为fx  =ln4x-1  ，所以fx 
4
= .
4x-1
(3)因为fx  =23x+2，所以fx  =3×23x+2ln2
(4)因为fx  = 5x+4，所以fx 
1 5 5
= =
2 5x+4 2 5x+4
412 (2024·高三课时练习)求下列函数的导数：
(1)y=3x2+2x+1  cosx；
3x2+x x-5 x+1
(2)y= ；
x
(3)y=x18+sinx-lnx；
(4)y=2xcosx-3xlog x；
3
(5)y=3xsinx-3log x；
3
(6)y=excosx+tanx．
【解析】(1)y=3x2+2x+1  cosx+3x2+2x+1  ⋅cosx  
=(6x+2)cosx-3x2+2x+1  sinx.
3x2+x x-5 x+1 3 -1
(2)y= =3x2+x-5+x 2，
x
3 1 1 -3 9 1 1 -3
所以y=3× ⋅x2+1- ⋅x 2= x2- x 2+1.
2 2 2 2
1
(3)y=18x17+cosx- .
x
(4)y=2x  cosx+2x cosx  -3 x  log 3 x+xlog 3 x    
=2xln2  cosx-2xsinx-3log x-3log e. 3 3
(5)y=3x  sinx+3x sinx 
1
-3⋅ =3xln3 xln3 
1
sinx+3xcosx- ⋅3log e. x 3
sinx
(6)y=excosx+tanx=excosx+ ，
cosx
故y=ex  cosx+ex⋅cosx 
sinx
+
 cosx-cosx  sinx
cos2x
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230 34271
=excosx-exsinx+ .
cos2x
413 (2024·海南·统考模拟预测)在等比数列a n  中，a 3 =2，函数fx 
1
= 2 xx-a 1  x-a 2 
⋯x-a 5  ，则f0  = ．
【答案】-16
【解析】因为fx  1 = x 2   x-a 1  x-a 2  ⋯x-a 5    +
1
2 x x-a 1  x-a 2  ⋯x-a 5    
1
= 2 x-a 1  ⋅x-a 2  ⋯x-a 5   
1
+ 2 x x-a 1  x-a 2  ⋯x-a 5    ，
所以f0 
1
=- aa ⋯a ． 2 1 2 5
因为数列a
n
 为等比数列，所以aa =a a =a2=4，
1 5 2 4 3
于是f0 
1
=- ×42×2=-16．
2
故答案为：-16
414 (2024·辽宁大连·育明高中校考一模)已知可导函数fx  ，gx  定义域均为R，对任意x满
足fx 
1
+2x2g x
2
 =x-1，且f1  =1，求f1 
1
+g
2
 = .
【答案】3
【解析】由题意可知，令x=1，则f1 
1
+2×12×g ×1
2

1
=1-1，解得g
2

f1
=-

=
2
1
- ，
2
由fx  1 +2x2g x
2
 =x-1，得fx  +2x2  1 g x
2
 1 +2x2 g x
2
  

 =x-1  ，即fx 
1
+4xg x
2

1
+x2g x
2
 =1，
令x=1，得f1 
1
+4×1×g ×1
2

1
+12×g ×1
2
 =1，即f1 
1
+4g
2

1
+g
2
 =1，
解得f1 
1
+g
2

1
=1-4g
2

1
=1-4×-
2
 =3.
故答案为：3.
415 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数fx  的导函数为fx  ，且fx  =x2f1  +x
+2，则f1  = ．
【答案】-1
【解析】因为fx  =x2f1  +x+2，则fx  =2xf1  +1，故f1  =2f1  +1，故f1 
=-1．
故答案为：-1.
416 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=f(0)e2x-e-x，则f(0)= .
【答案】-2
【解析】由函数f(x)=f(0)e2x-e-x求导得：f(x)=2f(0)e2x+e-x，当x=0时，f(0)=
2f(0)+1，解得f(0)=-1，
因此，f(x)=-e2x-e-x，所以f(0)=-2.
故答案为：-2
【解题方法总结】
第 页 共 页
231 3427对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数
求导问题．
3 题型三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
417 (2024·广东广州·统考模拟预测)曲线y=2x-1  3在点1,1  处的切线方程为 ．
【答案】6x-y-5=0
【解析】函数y=2x-1  3的导函数为y=62x-1  2，
所以函数y=2x-1  3在x=1处的导数值yx=1=6，
所以曲线y=2x-1  3在点1,1  处的切线斜率为6，
所以曲线y=2x-1  3在点1,1  处的切线方程为y-1=6x-1  ，即6x-y-5=0，
故答案为：6x-y-5=0.
3
418 (2024·全国·高三专题练习)曲线f(x)=ln(x+2)+ 在点 0,f0
2
   处的切线方程为
．
【答案】x-2y+2ln2+3=0
3
【解析】因为f(x)=ln(x+2)+ ，
2
1
所以 f(x)= ，
x+2
则f0 
1
= ，
2
3
又f(0)=ln2+ ，
2
所以曲线在点 0,f0   
3 1
处的切线方程为y-ln2- = x，
2 2
即x-2y+2ln2+3=0．
故答案为：x-2y+2ln2+3=0.
1 π
419 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x3+bx2+cos x
3 2
 ，fx  为fx  的导函
数.若fx  的图象关于直线x=1对称，则曲线y=fx  在点 2,f2    处的切线方程为
7
【答案】y=-
3
π π
【解析】f(x)=x2+2bx- sin x
2 2
 ，
π π
令g(x)=x2+2bx，h(x)=- sin x
2 2
 ，则fx  =gx  +hx  ，
π π
令 x=kπ+ ，k∈Z，解得x=2k+1，k∈Z，
2 2
当k=0时，x=1，所以直线x=1为hx  的一条对称轴，
故gx 
2b
的图象也关于直线x=1对称，则有- =1，解得b=-1，
2
1 π
则f(x)= x3-x2+cos x
3 2

π π
，f(x)=x2-2x- sin x
2 2
 ，
7
f(2)=- ，f2
3
 =0，
7
故切线方程为y=- .
3
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232 34277
故答案为；y=- .
3
420 (2024·湖南·校联考模拟预测)若函数fx  =λx3+λ-2  x2 x∈R  是奇函数，则曲线y=
fx  在点 λ,fλ    处的切线方程为 ．
【答案】24x-y-32=0
【解析】因为fx  =λx3+λ-2  x2 x∈R  是奇函数，
所以f-x  +fx  =0对∀x∈R恒成立，
即-λx3+λ-2

x2+λx3+λ-2

x2=2λ-2

x2=0对∀x∈R恒成立，
所以λ=2，则fx  =2x3，故fx  =6x2，所以f2  =2×23=16,f2  =6×22=24，
所以曲线y=fx  在点2,16  处的切线方程为y-16=24x-2  ，
化简得24x-y-32=0.
故答案为：24x-y-32=0
方向2、过点P的切线
421 (2024·江西·校联考模拟预测)已知过原点的直线与曲线y=lnx相切，则该直线的方程是
．
1
【答案】y= x
e
【解析】由题意可得fx 
1
= ，
x
设该切线方程y=kx，且与y=lnx相切于点x 0 ,y 0  ，
y =kx 0 0
y =lnx
0 0
k=fx 0 
 

，整理得lnx =1，  1 0
  =  x
0
1 1
∴x =e，可得k= ，∴y= x.
0 e e
1
故答案为：y= x.
e
422 (2024·浙江金华·统考模拟预测)已知函数fx  =x3-ax+1，过点P2,0  存在3条直线
与曲线y=fx  相切，则实数a的取值范围是 .
1 9
【答案】 ,
2 2

【解析】由f(x)=3x2-a，设切点为(m,n)，则切线斜率为f(m)=3m2-a，
所以，过P2,0  的切线方程为y=(3m2-a)(x-2)，
综上， 

n
n
=
=
(
m
3
3
m
-
2
a
-
m
a)
+
(m
1
-2) ，即(3m2-a)(m-2)=m3-am+1，
所以2a=-2m3+6m2+1有三个不同m值使方程成立，
即y=2a与g(m)=-2m3+6m2+1有三个不同交点，而g(m)=-6m2+12m，
故(-∞,0)、(2,+∞)上g(m)<0，g(m)递减，(0,2)上g(m)>0，g(m)递增；
所以g(m)极小值为g(0)=1，极大值为g(2)=9，故1<2a<9时两函数有三个交点，
1 9
综上，a的取值范围是 ,
2 2
 .
1 9
故答案为： ,
2 2

2
423 (2024·浙江绍兴·统考模拟预测)过点- ,0
3
 作曲线y=x3的切线，写出一条切线方程：
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233 3427.
【答案】y=0或y=3x+2(写出一条即可)
【解析】由y=x3可得y=3x2，
2
设过点- ,0
3
 作曲线y=x3的切线的切点为(x ,y )，则y =x3，
0 0 0 0
则该切线方程为y-y =3x2(x-x )，
0 0 0
2
将- ,0
3

2
代入得-x3=3x2- -x
0 0 3 0
 ，解得x =0或x =-1，
0 0
故切点坐标为(0,0)或(-1,-1)，
故切线方程为y=0或y=3x+2，
故答案为：y=0或y=3x+2
424 (2024·海南海口·校联考模拟预测)过x轴上一点Pt,0  作曲线C:y=x+3  ex的切线，
若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为 ．
【答案】-4，-5，-6，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为 x 0 ,x 0 +3   ex0  ，因为y=x+4  ex，所以切线方程为y-x 0 +3  ex0=
x 0 +4  ex0x-x 0  ．
因为切线l经过点P，所以-x 0 +3  ex0=x 0 +4  ex0t-x 0  ，
由题意关于x 0 的方程x2 0 -t-3  x -4t-3=0没有实数解， 0
则Δ=(t-3)2+44t+3  <0，解得-7<t<-3．
因为t为整数，所以t的取值可能是-6，-5，-4.
故答案为：-4，-5，-6，只需写出一个答案即可
425 (2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线y=x+2  ex的切线，则切点的横坐标为
.
【答案】-1+ 3或-1- 3
【解析】由y=x+2  ex可得y=x+3  ex，设切点坐标为x 0 ,y 0  ，
所以切线斜率k=(x 0 +3)ex0，又因为y 0 =x 0 +2  ex0，
则切线方程为y-x 0 +2  ex0=x 0 +3  ex0x-x 0  ，
把0,0  代入并整理可得x2+2x -2=0，解得x =-1+ 3或x =-1- 3. 0 0 0 0
故答案为：-1+ 3或-1- 3
426 (2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)若过点P1,a  a∈R  有n条直线与函数fx 
=x-2  ex的图象相切，则当n取最大值时，a的取值范围为 .
【答案】-3,-e 
【解析】设过点P1,a  的直线l与fx  的图象的切点为 x 0 ,x 0 -2   ex0  ，
因为fx  =x-1  ex，
所以切线l的斜率为fx 0  =x 0 -1  ex0，
所以切线l的方程为y-x 0 -2  ex0=x 0 -1  ex0x-x 0  ，
将P1,a  代入得a-x 0 -2  ex0=x 0 -1  ex01-x 0  ，
即a=x 0 -1  ex01-x 0  +x 0 -2  ex0=-x2 0 +3x 0 -3  ex0，
设gx  =-x2+3x-3  ex，则gx  =-x2+3x-3  ex+-2x+3  ex=-x2+x  ex，
由gx  =0，得x=0或x=1，
当x<0或x>1时，gx  <0，所以gx  在-∞,0  ,1,+∞  上单调递减；
当0<x<1时，gx  >0，所以gx  在0,1  上单调递增，
第 页 共 页
234 3427所以g(x) =g0
极小值
 =-3,g(x) =g1
极大值
 =-e，
3 又-x2+3x-3=-x-
2
 2 3 - <0，所以gx
4
 <0恒成立，
所以gx  的图象大致如图所示，
由图可知，方程a=-x2 0 +3x 0 -3  ex0最多3个解，
即过点P1,a  a∈R  的切线最多有3条，
即n的最大值为3，此时-3<a<-e.
故答案为：-3,-e  .
427 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx 
1
= x3+f1
3
 x2+1，其导函数为fx  ，则曲线
fx  过点P3,1  的切线方程为 ．
【答案】y=1或y=3x-8
【解析】设切点为Mx 0 ,y 0  ，由fx 
1
= x3+f1 3  x2+1，得fx  =x2+2f1  x，
∴f1  =1+2f1  ，得f1  =-1，∴fx 
1
= x3-x2+1，fx
3
 =x2-2x，
1
∴切点M为x , x3-x2+1 0 3 0 0  ，fx 0  =x2-2x ， 0 0
∴曲线fx 
1
在点M处的切线方程为y- x3-x2+1 3 0 0  =x2 0 -2x 0  x-x 0  ①，
又∵该切线过点P3,1 
1
，∴1- x3-x2+1 3 0 0  =x2 0 -2x 0  3-x 0  ，解得x =0或x =3． 0 0
将x =0代入①得切线方程为y=1；
0
将x 0 =3代入①得切线方程为y-1=3x-3  ，即y=3x-8．
∴曲线fx  过点P3,1  的切线方程为y=1或y=3x-8．
故答案为：y=1或y=3x-8
方向3、公切线
428 (2024·云南保山·统考二模)若函数fx  =4lnx+1与函数gx 
1
= x2-2xa>0
a
 的图
象存在公切线，则实数a的取值范围为 ( )
1
A. 0,
3

1
B.   ,+∞
 3

2
C.   ,1
 3

1 2
D.   ,
 3 3

【答案】A
【解析】由函数fx  =4lnx+1，可得fx 
4
= ，
x
因为a>0，设切点为t,4lnt+1  ，则ft 
4
= ，
t
4
则公切线方程为y-4lnt-1= x-t
t

4
，即y= x+4lnt-3，
t
1 1 4
与y= x2-2x联立可得 x2-2+
a a t
 x-4lnt+3=0，
第 页 共 页
235 34274
所以Δ=2+
t

2 1
-4× ×3-4lnt
a

2
 +1
1 t
=0，整理可得 =
a

2
，
3-4lnt
又由

a>0 ，可得3-4lnt>0，解得0<t<e 3 4，
t>0
令ht 
2
 +1
t
=

2
3
，其中0<t<e4，可得ht
3-4lnt

4 2
 +1
t t
=

t+4lnt-1
⋅
t
3-4lnt 
，
2
令φt  =t+4lnt-1，可得φt 
4
=1+ >0，函数φt
t

3
在0,e4  上单调递增，且φ1 
=0，
当0<t<1时，φt  <0，即ht  <0，此时函数ht  单调递减，
3
当1<t<e4时，φt  >0，即ht  >0，此时函数ht  单调递增，
所以ht  =h1
min
 =3，且当t→0+时，ht  →+∞，所以函数ht  的值域为3,+∞  ，所
1 1 1
以 ≥3且a>0，解得0<a≤ ，即实数a的取值范围为0,
a 3 3
 .
故选：A.
429 (2024·宁夏银川·银川一中校考二模)若直线y=k(x+1)-1与曲线y=ex相切，直线y
1
=k (x+1)-1与曲线y=lnx相切，则kk 的值为 .
2 1 2
【答案】1
【解析】设f(x)=ex，则f(x)=ex，设切点为(x,y)，则k =ex1，
1 1 1
则切线方程为y-y =ex1(x-x)，即y-ex1=ex1(x-x)，
1 1 1
直线y=k(x+1)-1过定点(-1,-1)，
1
所以-1-ex1=ex1(-1-x)，所以xex1=1，
1 1
1 1
设g(x)=lnx，则g(x)= ，设切点为(x ,y )，则k = ，
x 2 2 2 x
2
1 1
则切线方程为y-y = (x-x )，即y-lnx = (x-x )，
2 x 2 2 x 2
2 2
直线y=k(x+1)-1过定点(-1,-1)，
1
1
所以-1-lnx = (-1-x )，所以x lnx =1，
2 x 2 2 2
2
1
则x,x 是函数f(x)=ex和g(x)=lnx的图象与曲线y= 交点的横坐标，
1 2 x
1
易知f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，而曲线y= 也关于直线y=x对称，
x
因此点(x,y),(x ,y )关于直线y=x对称，
1 1 2 2
从而x =ex1，x =lnx ，
2 1 2
ex1
所以kk = =1．
1 2 x
2
故答案为：1.
430 (2024·河北邯郸·统考三模)若曲线y=ex与圆(x-a)2+y2=2有三条公切线，则a的取
值范围是 ．
【答案】1,+∞ 
【解析】曲线y=ex在点x 0 ,y 0  处的切线方程为y-ex0=ex0x-x 0  ，
由于直线y-ex0=ex0x-x 0  与圆x-a  2+y2=2相切，得
ex0a-x
0  
+ex0
 = 2(*) 1+e2x0
因为曲线y=ex与圆x-a

2+y2=2有三条公切线，故(*)式有三个不相等的实数根，
第 页 共 页
236 3427即方程e2x0 x 0 -a-1   2-2  =2有三个不相等的实数根.
令gx  =e2x x-a-1   2-2  ，则曲线y=gx  与直线y=2有三个不同的交点.
显然，gx  =2e2x x-a-2  x-a+1  .
当x∈-∞,a-1  时，gx  >0，当x∈a-1,a+2  时，gx  <0，当x∈a+2,+∞ 
时，gx  >0，
所以，gx  在-∞,a-1  上单调递增，在a-1,a+2  上单调递减，在a+2,+∞  上单
调递增；
且当x→-∞时，gx 
x-a-1
=
 2-2
→0，当x→+∞时，gx
e-2x
 =e2x x-a-1   2-2  →
+∞，
ga-1
因此，只需
 >2
ga+2 
 e2a-1
，即 
<2
 >1
-e2a+2 

 ，
<2
解得a>1.
故答案为：1,+∞ 
431 (2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)若曲线C:f(x)=x2+a和曲线C :g(x)=
1 2
2lnx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(-1,+∞)
2
【解析】由题意得f(x)=2x,g(x)= ，(x>0)，
x
设与曲线f(x)=x2+a相切的切点为x 1 ,x2 1 +a  ，与曲线g(x)=2lnx相切的切点为
x 2 ,2lnx 2  ，
则切线方程为y=2x 1x-x 1  +x2+a，即y=2xx-x2+a， 1 1 1
2
y= x x-x 2
2

2
+2lnx ，即y= x+2lnx -2， 2 x 2
2
2
2x = ,
由于两切线为同一直线，所以 1 x 2 ，得a=x2 1 -2lnx 1 -2x 1 >0
-x2+a=2lnx -2
1 2
 ．
2 2(x+1)(x-1)
令φ(x)=x2-2lnx-2(x>0)，则φ(x)=2x- = ，
x x
当0<x<1时，φ(x)<0，φ(x)在(0,1)单调递减，
当x>1时，φ(x)>0，φ(x)在(1,+∞)单调递增．
即有x=1处φ(x)取得极小值，也为最小值，且为φ(1)=-1．
又两曲线恰好存在两条公切线，即a=φ(x)有两解，
结合当x→0时，x2趋近于0，lnx趋于负无穷小，故φ(x)趋近于正无穷大，
当x→+∞时，x2趋近于正无穷大，且增加幅度远大于lnx的增加幅度，故φ(x)趋近于正
无穷大，
由此结合图像可得a的范围是(-1,+∞)，
故答案为：(-1,+∞)
第 页 共 页
237 3427432 (2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知曲线C 1 :f(x)=x2与曲线C 2 :gx  =
aex+1(a>0)有且只有一条公切线，则a= ．
4
【答案】
e3
【解析】设曲线y=f(x)在x=x 处的切线与曲线y=g(x)相切于x=x 处，
1 2
f(x)=2x，故曲线y=f(x)在x=x 处的切线方程为y-x2=2x(x-x)，
1 1 1 1
整理得y=2xx-x2.
1 1
gx  =aex+1，故曲线y=g(x)在x=x 2 处的切线方程为y-aex2+1=aex2+1 x-x 2  ，
整理得y=aex2+1x-aex2+1 x 2 -1  .
2x =aex2+1 故 1
-x2 1 =-aex2+1 x 2 -1 
 1


2 
由(1)再结合a>0知x >0，将(1)代入(2) ，得-x2=-2x(x -1)，
1 1 1 2
解得x =2(x -1)且x >1，
1 2 2
将x 1 =2(x 2 -1)代入(1) ，解得4x 2 -1  =aex2+1且x >1， 2
即a= 4x 2 -1  4t-2 且x >1，令t=x +1，则a=
ex2+1 2 2
 ，t>2.
et
令ht 
4t-2
=

，ht
et

43-t
=

，
et
则h(t)在区间(2,3)单调递增，在区间(3,+∞)单调递减，且h3 
4
= ，
e3
4t-2
又两曲线有且只有一条公切线，所以a=
 4
只有一个根，由图和a>0知a= .
et e3
4
故答案为： .
e3
433 (2024·福建南平·统考模拟预测)已知曲线y=alnx和曲线y=x2有唯一公共点，且这两
条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为 ．
【答案】2 ex-y-e=0
【解析】设曲线g(x)=alnx和曲线f(x)=x2在公共点(x ,y )处的切线相同，
0 0
则fx  =2x,gx 
a
= ，
x
由题意知fx 0  =gx 0  ,fx 0  =gx 0  ，
a
2x =
即 0 x 0 ，解得a=2e,x 0 = e，
x2=alnx
0 0
故切点为( e,e)，切线斜率为k=fx 0  =2 e，
所以切线方程为y-e=2 e(x- e)，即2 ex-y-e=0，
第 页 共 页
238 3427故答案为：2 ex-y-e=0
方向4、已知切线求参数问题
434 (2024·江苏·校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过e,a  的切线，则a的范围是
.
【答案】-∞,e 
【解析】设切线切点为x 0 ,y 0 
xlnx
，因
 =lnx+1 
 ，则切线方程为：y= y =x lnx
0 0 0
lnx 0 +1  x-x 0  +x 0 lnx 0 =lnx 0 +1  x-x . 0
因过e,a  ，则a=lnx 0 +1  e-x 0 ，由题函数fx  =lnx+1  e-x图象
与直线y=a有两个交点.fx 
e e-x
= -1= ，
x x
得fx  在0,e  上单调递增，在e,+∞  上单调递减.
又fx  =fe
max
 =e，x→0,fx  →-∞，x→+∞,fx  →-∞.
据此可得fx  大致图象如下.则由图可得，当a∈-∞,e  时，曲线y=xlnx有两条过
e,a  的切线.
故答案为：-∞,e 
435 (2024·山东聊城·统考三模)若直线y=x+b与曲线y=ex-ax相切，则b的最大值为
( )
A.0 B.1 C.2 D.e
【答案】B
【解析】设切点坐标为x 0 ,y 0  ，因为y=ex-ax，
所以y=ex-a，故切线的斜率为：ex0-a=1，
ex0=a+1，则x 0 =lna+1  .
又由于切点x 0 ,y 0  在切线y=x+b与曲线y=ex-ax上，
所以x 0 +b=ex0-ax 0 ，所以b=a+1  -x 0a+1  =a+1  1-lna+1    .
令a+1=t，则b=t1-lnt  ，设f(t)=t1-lnt  ，
f(t)=1-lnt 
1
+t⋅-
t
 =-lnt，令f(t)=0得：t=1，
所以当t∈0,1  时，f(t)>0，f(t)是增函数；
当t∈1,+∞  时，f(t)<0，f(t)是减函数.
所以f(t) =f(1)=1.
max
所以b的最大值为：1.
故选：B.
a
436 (2024·重庆·统考三模)已知直线y=ax-a与曲线y=x+ 相切，则实数a= ( )
x
1 4 3
A.0 B. C. D.
2 5 2
第 页 共 页
239 3427【答案】C
a a
【解析】由y=x+ 且x不为0，得y=1-
x x2
设切点为x 0 ,y 0 
  y 0 =ax 0 -a a
，则 y 0 =x 0 + x a ，即   ax 0 -a=x 0 + x 0 ，  0  x2
 a a= 0
  1- x2 =a  x2 0 +1
0
x3 x2 x 4
所以 0 - 0 =x + 0 ，可得x =-2,a= .
x2+1 x2+1 0 x2+1 0 5
0 0 0
故选：C
437 (2024·海南·校联考模拟预测)已知偶函数fx  =a-1  x2-3bx+c-d-1在点
1,f1   
a-b
处的切线方程为x+y+1=0，则 = ( )
c-d
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】因为fx  是偶函数，所以f-x  =a-1  x2+3bx+c-d-1=fx  ，即b=0；
由题意可得：f1  =a-1-3b+c-d-1=-1+1  ⇒c-d=-a=-a+b，
a-b
所以 =-1.
c-d
故选：A
1
438 (2024·全国·高三专题练习)已知M是曲线y=lnx+ x2+ax上的任一点，若曲线在M
2
π
点处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，则实数a的取值范围是 ( )
4
A. 2,+∞  B. -1,+∞  C. -∞,2  D. -∞,-1 
【答案】B
1
【解析】函数y=lnx+ x2+ax的定义域为0,+∞
2

1
，且y= +x+a，
x
1 π
因为曲线y=lnx+ x2+ax在其上任意一点M点处的切线的倾斜角均是不小于 的
2 4
锐角，
1 π 1
所以，y= +x+a≥tan =1对任意的x>0恒成立，则1-a≤x+ ，
x 4 x
1 1
当x>0时，由基本不等式可得x+ ≥2 x⋅ =2，当且仅当x=1时，等号成立，
x x
所以，1-a≤2，解得a≥-1.
故选：B.
1
439 (2024·全国·高三专题练习)已知m>0，n>0，直线y= x+m+1与曲线y=lnx-n
e
1 1
+2相切，则 + 的最小值是 ( )
m n
A.16 B.12 C.8 D.4
【答案】D
1
【解析】对y=lnx-n+2求导得y= ，
x
1 1 1
由y= = 得x=e，则 ⋅e+m+1=lne-n+2，即m+n=1，
x e e
第 页 共 页
240 34271 1
所以 + =m+n
m n

1 1
 +
m n

n m
=2+ + ≥2+2=4，
m n
1
当且仅当m=n= 时取等号．
2
故选：D．
方向5、切线的条数问题
440 (2024·河北·高三校联考阶段练习)若过点(m,n)可以作曲线y=log x的两条切线，则
2
( )
A.m>log n B.n>log m C.m<log n D.n<log m
2 2 2 2
【答案】B
【解析】作出函数y=log x的图象，由图象可知点(m,n)在函数图象上方时，过此点可以
2
作曲线的两条切线，
所以n>log m，
2
故选：B．
441 (2024·全国·高三专题练习)若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则 ( )
A.a<lnb B.b<lna C.lnb<a D.lna<b
【答案】D
【解析】
1 1
设切点坐标为(x ,y )，由于y= ，因此切线方程为y-lnx = (x-x )，又切线过点
0 0 x 0 x 0
0
第 页 共 页
241 3427a-x a
(a,b)，则b-lnx = 0，b+1=lnx + ，
0 x 0 x
0 0
a a
设f(x)=lnx+ ，函数定义域是(0,+∞)，则直线y=b+1与曲线f(x)=lnx+ 有两
x x
1 a x-a
个不同的交点，f(x)= - = ，
x x2 x2
当a≤0时，f(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，不合题意；当a>0时，0<x<
a时，f(x)<0，f(x)单调递减，
x>a时，f(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x) =f(a)=lna+1，结合图像知b+1>
min
lna+1，即b>lna.
故选：D.
442 (2024·湖南·校联考二模)若经过点a,b  可以且仅可以作曲线y=lnx的一条切线，则下
列选项正确的是 ( )
A.a≤0 B.b=lna C.a=lnb D.a≤0或b=lna
【答案】D
【解析】设切点Px 0 ,lnx 0 
1
．因为y=lnx，所以y= ， x
1
所以点P处的切线方程为y-lnx 0 = x x-x 0
0
 ，
又因为切线经过点a,b 
1
，所以b-lnx 0 = x a-x 0
0

a
，即b+1=lnx + . 0 x
0
令fx 
a
=lnx+ (x>0)，则y=b+1与fx
x

a
=lnx+ (x>0)有且仅有1个交点，
x
fx 
1 a x-a
= - = ，
x x2 x2
当a≤0时，fx  >0恒成立，所以fx  单调递增，显然x→+∞时，f(x)→+∞，于是符合
题意；
当a>0时，当0<x<a时，fx  <0，f(x)递减，当x>a时，fx  >0，f(x)递增，所
以f(x) min =fa  =lna+1，
则b+1=lna+1，即b=lna．
综上，a≤0或b=lna．
故选：D
方向6、切线平行、垂直、重合问题
2x-m
443 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=lnx+x与g(x)= 的图象有一条公共切
x-1
线，且该公共切线与直线y=2x+1平行，则实数m= ( )
17 17 17 17
A. B. C. D.
8 6 4 2
【答案】A
【解析】设函数fx 
1
=lnx+x图象上切点为(x ,y )，因为f(x)= +1，所以f(x )= 0 0 x 0
1
+1=2，得x =1，所以y =f(x )=f(1)=1，所以切线方程为y-1=2(x-1)，即y=
x 0 0 0
0
2x-1，设函数gx 
2x-m
= 的图象上的切点为(x,y)(x ≠1)，因为g(x)= x-1 1 1 1
2(x-1)-(2x-m) m-2 m-2
= ，所以g(x)= =2，即m=2x2-4x +4，又y =
(x-1)2 (x-1)2 1 (x -1)2 1 1 1
1
第 页 共 页
242 34272x -m
2x -1=g(x)= 1 ，即m=-2x2+5x -1，所以2x2-4x +4=-2x2+5x -1，即
1 1 x -1 1 1 1 1 1 1
1
5 5 4x2-9x +5=0，解得x = 或x =1(舍)，所以m=2×
1 1 1 4 1 4
 2 5 17 -4× +4= ．
4 8
故选：A
444 (2024·全国·高三专题练习)已知直线x-9y-8=0与曲线{S }相交于A,B，且曲线C
n
在A,B处的切线平行，则实数p的值为 ( )
A.4 B.4或-3 C.-3或-1 D.-3
【答案】B
【解析】设A(x,y),B(x ,y )，由y=x3-px2+3x得y=3x2-2px+3，
1 1 2 2
2
由题意3x2-2px +3=3x2-2px +3，因为x ≠x ，则有x +x = p．
1 1 2 2 1 2 1 2 3
x-8
把y= 代入y=x3-px2+3x得9x3-9px2+26x+8=0，
9
2
由题意x, p-x 都是此方程的解，即9x3-9px2+26x +8=0①，
1 3 1 1 1 1
2
9 p-x
3 1

3 2
-9p p-x
3 1

2 2
+26 p-x
3 1
 +8=0，
4 52
化简为9x3-9px2+26x + p3- p-8=0②，
1 1 1 3 3
把①代入②并化简得p3-13p-12=0，即(p+1)(p+3)(p-4)=0，p=-1,-3,4，
当p=-1时，①②两式相同，说明x =x ，舍去．所以p=-3,4．
1 2
故选：B．
445 (2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试)已知曲线fx  =ex-1  (x>-1)在点
A x 1 ,fx 1    ,B x 2 ,fx 2    x 1 <x 2  处的切线l,l 互相垂直，且切线l,l 与y轴分别交于点 1 2 1 2
D,E，记点E的纵坐标与点D的纵坐标之差为t，则 ( )
2 2
A. -2<t<0 B.2-2e<t<0 C.t< -2 D.t>2e-2
e e
【答案】A
【解析】由题意知x 1 <x 2 ，当-1<x<0时，fx  =1-ex,fx  =-ex，
当x>0时，fx  =ex-1,fx  =ex，
因为切线l 1 ,l 2 互相垂直，所以fx 1  fx 2  =-1，
所以-1<x <0<x ,-ex1ex2=-ex1+x2=-1，所以x +x =0,∴0<x <1，
1 2 1 2 2
直线l 1 的方程为y-1-ex1  =-ex1x-x 1  ，令x=0，得y=x 1 -1  ex1+1，
故D 0,x 1 -1   ex1+1  ，
直线l 2 的方程为y-ex2-1  =ex2x-x 2  ，令x=0，得y=1-x 2  ex2-1，
故E 0,1-x 2   ex2-1  ，
所以t=1-x 2  ex2-x 1 -1  ex1-2=1-x 2  ex2+x 2 +1  e-x2-2，
设gx  =1-x  ex+x+1  e-x-2,(0<x<1)，则gx  =-xex+e-x  <0，
gx  在0,1  上单调递减，所以g1  <g(x)<g0 
2
，即 -2<t<0，
e
故选：A.
446 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  =ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，
则实数a的值是 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
第 页 共 页
243 3427【答案】C
【解析】因为fx  =ax+sinx，所以fx  =a+cosx，
因为函数fx  =ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数fx  =ax+sinx在x=x 和x=x 的切线互相垂直， 1 2
则a+cosx 1  a+cosx 2  =-1，即a2+acosx 2 +cosx 1  +1+cosx cosx =0①， 2 1
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以Δ=cosx 2 +cosx 1  2-41+cosx 2 cosx 1  ≥0，
即cosx 1 -cosx 2  2≥4，解得cosx -cosx ≥2或cosx -cosx ≤-2， 1 2 1 2
又|cosx|≤1，所以cosx =1,cosx =-1或cosx =-1,cosx =1，Δ=0，
1 2 1 2
所以方程①变为a2=0，所以a=0，故A，B，D错误.
故选：C.
447 (2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末)若函数y=f(x)的图像上存在两个不同
的点P,Q，使得在这两点处的切线重合，则称f(x)为“切线重合函数”，下列函数中不是“切
线重合函数”的为 ( )
A.y=x4-x2+1 B.y=sinx C.y=x+cosx D.y=x2+sinx
【答案】D
【解析】对于A，fx  =x4-x2+1 显然是偶函数，fx  =4x3-2x=
2
4xx+
2

2
x-
2
 ，
2
当x<- 时，fx
2

2
<0 ，单调递减，当- <x<0 时，fx
2
 >0 单调递增，
2
当0<x< 时，fx
2

2
<0 ，单调递减，当x> 时，单调递增；
2
2
在x=± 时，fx
2
 =0 ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故
A是“切线重合函数”；
对于B，fx  =sinx 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察Aπ,π-1  ,B3π,3π-1  两点处的切线方程，∵ y=1-sinx ，
∴A,B 两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为y-π-1  =1∙x-π  ，化
简得：y=x+1 ，
在B点处的切线方程为y-3π-1  =1∙x-3π  ，化简得y=x+1 ，显然重合，
∴ C是“切线重合函数”；
对于D，y=2x+cosx ，令gx  =2x+cosx ，则gx  =2-sinx>0 ，
gx  是增函数，不存在x 1 ≠x 2 时，gx 1  =gx 2  ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
448 (2024·全国·高三专题练习)已知A，B是函数fx 
x2+x+a, x≤0

= ，图象上不同的两
xlnx-a, x>0
点，若函数y=fx  在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是 ( )
1
A. -∞,
2

1
B.  - ,+∞
 2
 C. 0,+∞ 
1
D.   ,+∞
 2

【答案】B
【解析】当x≤0时，fx  =x2+x+a的导数为f(x)=2x+1；
当x>0时，f(x)=xlnx-a的导数为f(x)=lnx+1，
设A x 1 ,fx 1    ，B x 2 ,fx 2    为函数图象上的两点，且x <x ， 1 2
第 页 共 页
244 3427当x <x ≤0或0<x <x 时，f(x)≠f(x )，故x ≤0<x ，
1 2 1 2 1 2 1 2
当x 1 ≤0时，函数fx  在A x 1 ,fx 1    处的切线方程为：y-(x2+x +a)=(2x +1)(x- 1 1 1
x)；
1
当x 2 >0时，函数fx  在B x 2 ,fx 2    处的切线方程为y-x lnx +a=(lnx +1)(x- 2 2 2
x ).
2
两直线重合的充要条件是lnx +1=2x +1①，-x -a=a-x2②，
2 1 2 1
1
由①②得：a= (x2-e2x1)，x ≤0，
2 1 1
1
∴令g(x)= (x2-e2x)(x≤0)，则g(x)=x-e2x，
2
令h(x)=g(x)=x-e2x，则h(x)=1-2e2x，
1 1 1 1
由h(x)=0，得x= ln ，即x= ln 时hx
2 2 2 2

1 1
有最大值h ln
2 2

1 1 1
= ln - <
2 2 2
0，
∴gx  在-∞,0 
1
上单调递减，则g(x)≥g(0)=- .
2
1
∴ a的取值范围是 - ,+∞
 2
 .
故选：B.
方向7、最值问题
449 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=ex+1上，点Q在曲线y=-1+lnx上，则
|PQ|最小值为 ( )
A. 2 B.2 2 C. 2(1+ln2) D. 2(1-ln2)
【答案】B
【解析】∵y=ex+1与y=-1+lnx互为反函数，其图像关于直线y=x对称
先求出曲线y=ex+1上的点到直线y=x的最小距离．
设与直线y=x平行且与曲线y=ex+1相切的切点P(x ，y )．
0 0
y′=ex+1，ex0+1=1，解得x =-1．∴y =e-1+1=1．
0 0
|-1-1|
得到切点P(-1,1)，点P到直线y=x的距离d= = 2．
2
∴|PQ|最小值为2 2．
故选：B．
1
450 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y= lnx上，则|PQ|
2
的最小值为 ( )
2 2
A. (1-ln2) B. 2(1-ln2) C. 2(1+ln2) D. (1+ln2)
2 2
【答案】D
1
【解析】y=e2x与y= lnx互为反函数，它们图像关于直线y=x对称；
2
故可先求点P到直线y=x的最近距离d，
1 1
又y=2e2x，当曲线上切线的斜率k=2e2x0=1时，得x =- ln2，y =e2x0= ，
0 2 0 2
第 页 共 页
245 34271 1
则切点P- ln2,
2 2

2
到直线y=x的距离为d= (1+ln2)，
4
2
所以|PQ|的最小值为2d= (1+ln2)．
2
故选：D．
451 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=lnx-ln2上，则
|PQ|的最小值为 ( )
A.1-ln2 B. 2(1-ln2) C.2(1+ln2) D. 2(1+ln2)
【答案】D
【解析】∵y=2ex与y=lnx-ln2互为反函数，
所以y=2ex与y=lnx-ln2的图像关于直线y=x对称，
设f(x)=2ex-x(x∈R)，则f(x)=2ex-1，
1
令f(x)=0得x=ln ，
2
1 1
则当x<ln 时，f(x)<0，当x>ln 时，f(x)>0，
2 2
1
所以f(x)在-∞,ln
2

1
单调递减，在ln ,+∞
2
 单调递增，
1
所以f(x)≥fln
2

1
=1-ln >0，
2
所以y=2ex与y=x无交点，则y=lnx-ln2与y=x也无交点，
下面求出曲线y=2ex上的点到直线y=x的最小距离，
设与直线y=x平行且与曲线y=2ex相切的切点P(x ，y )，
0 0
∵y′=2ex，
1
∴2ex0=1，解得x =ln =-ln2，
0 2
ln1
∴y =2e 2=1，
0
|-ln2-1| 2(1+ln2)
得到切点P(-ln2,1)，到直线y=x的距离d= = ，
2 2
|PQ|的最小值为2d= 2(1+ln2)，
故选：D．
452 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c，d满足|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0，则
(a-c)2+(b-d)2的最小值为 ( )
A.2 2 B.8 C.4 D.16
【答案】B
【解析】由|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0得，ln(a-1)-b=0，c-d+2=0，即b=ln(a
-1)，d=c+2，
第 页 共 页
246 3427(a-c)2+(b-d)2的几何意义为曲线b=ln(a-1)上的点(a,b)到直线d=c+2上的点
(c,d)连线的距离的平方，
不妨设曲线y=ln(x-1)，直线y=x+2，设与直线y=x+2平行且与曲线y=ln(x-
1)相切的直线方程为y=x+m，
显然直线y=x+2与直线y=x+m的距离的平方即为所求，
1
由y=ln(x-1)，得y= ，设切点为(x ，y )，
x-1 0 0
1
  =1 x =2
x -1  0
0
则
y =x +m
，解得m=-2，
  0 0 y =0
y =ln(x -1) 0
0 0
|2+2|
∴直线y=x+2与直线y=x+m的距离为 =2 2，
2
∴(a-c)2+(b-d)2的最小值为8．
故选：B.
453 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=(x-a)2+4(lnx-a)2，其中x>0，a∈R．若
4
存在正数x ，使得f(x )≤ 成立，则实数a的值是 ( )
0 0 5
1 2 1
A. B. C. D.1
5 5 2
【答案】A
【解析】函数f(x)可以看作是动点M(x,2lnx)与动点N(a,2a)之间距离的平方，
动点M在函数y=2lnx的图像上，N在直线y=2x的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
2
由y=2lnx得，当y= =2时，解得x=1，即曲线上斜率为2的切线，切点为1,0
x
 ，
2 5 4
∴曲线上点M(1,0)到直线y=2x的距离d= ，则f(x)≥ ，
5 5
4 4
根据题意，要使f(x )≤ ，则f(x )= ，此时N恰好为垂足，
0 5 0 5
2a-0 1 1
由k = =- ，解得a= ．
MN a-1 2 5
故选：A．
454 (2024·宁夏银川·银川二中校考一模)已知实数x,y满足2x2-5lnx-y=0，m∈R，则
x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值为 ( )
9 3 2 2 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】B
【解析】∵ x2+y2-2mx+2my+2m2= x-m  2+y+m  2，又y=2x2-5lnx，
第 页 共 页
247 3427∴ x2+y2-2mx+2my+2m2表示点m,-m  与曲线y=2x2-5lnx上的点之间的距
离；
∵点m,-m  的轨迹为y=-x，∴ x2+y2-2mx+2my+2m2表示直线y=-x上的点
与曲线y=2x2-5lnx上的点之间的距离；
令fx  =2x2-5lnx，则fx 
5
=4x- ，
x
令fx 
5 5
=-1，即4x- =-1，解得：x=1或x=- (舍)，
x 4
又f1  =2-5ln1=2，
∴ x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值即为点1,2 
1+2
到直线y=-x的距离d∵d=
2
3 2 3 2
= ，∴ x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值为 .
2 2
故选：B.
455 (2024·四川成都·川大附中校考二模)若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P到直
线l:x+y-4=0距离的最小值为 ( )
2
A. B. 2 C.2 2 D.4 2
2
【答案】C
【解析】过点P作曲线y=lnx-x2的切线，当切线与直线l:x+y-4=0平行时，点P到
直线l:x+y-4=0距离的最小.
1
设切点为P(x ,y )(x >0)，y= -2x，
0 0 0 x
1
所以，切线斜率为k= -2x ，
x 0
0
1 1
由题知 -2x =-1得x =1或x =- (舍)，
x 0 0 0 2
0
|1-1-4|
所以，P(1,-1)，此时点P到直线l:x+y-4=0距离d= =2 2.
2
故选：C
方向8、牛顿迭代法
456 (2024·湖北咸宁·校考模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方
法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r是fx  =0的根，
选取x 0 作为r的初始近似值，过点 x 0 ,fx 0    做曲线y=fx  的切线l：y-fx 0  =
fx 0  x-x 0  ，则l与x轴交点的横坐标为x =x - fx 0 1 0  fx 0  fx 0   ≠0  ，称x 是r的一次 1
近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中x =x - fx n n+1 n  fx n  fx n   ≠0  ，称x 是 n+1
r的n+1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数fx  =
lnx+x-3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693)
A.2.207 B.2.208 C.2.205 D.2.204
【答案】C
【解析】易知fx  =lnx+x-3在定义域上单调递增，f2  =2+ln2-3<0<f3  =
ln3，即函数的零点有且只有一个，且在区间2,3  上.
不妨取x 0 =2作为初始近似值，fx 
1
= +1， x
第 页 共 页
248 3427f2
由题意知x =2-
1

f2 
ln2-1 2ln2-2 0.614
=2- =2- =2+ ≈2.205.
1 3 3 +1
2
故选：C.
457 (多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程
根的一种解法.具体步骤如下：设r是函数y=fx  的一个零点，任意选取x 作为r的初 0
始近似值，过点 x 0 fx 0    作曲线y=fx  的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，并称 1 1 1
x 1 为r的1次近似值；过点 x 1 fx 1    作曲线y=fx  的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标 2 2
为x 2 ，称x 2 为r的2次近似值.一般地，过点 x n fx n    (n∈N*)作曲线y=fx  的切线
l ，记l 与x轴交点的横坐标为x ，并称x 为r的n+1次近似值.对于方程x3-x
n+1 n+1 n+1 n+1
+1=0，记方程的根为r，取初始近似值为x =-1，下列说法正确的是 ( )
0
A.r∈-2,-1  B.切线l ：23x-4y+31=0 2
C. x 3 -x 2 
1 2x3-1
> D.x = n 8 n+1 3x2-1
n
【答案】ABD
【解析】由fx  =x3-x+1，可得f-1  >0,f-2  <0，即f-1  f-2  <0，
根据函数零点的存在性定理，可得r∈-2,-1  ，所以A正确；
又由fx  =3x2-1，设切点P(x n ,x3 n -x n +1)，则切线的斜率为k=fx n  =3x2-1， n
所以切线方程为y-x3 n +x n +1=3x2 n -1  x-x n  ，
-x3+x +1 2x3-1
令y=0，可得x = n n +x = n ，所以D正确；
n+1 3x2-1 n 3x2-1
n n
3 3
当x =-1时，可得x =- ，则f-
0 1 2 2

7 3
=- ,f-
8 2

23
= ，
4
7 23 3
所以l 的方程为y+ = x+
2 8 4 2
 ，即23x-4y+31=0，所以B正确；
3 2x3-1 31 2x3-1 71749
由x 1 =- 2 ，可得x 2 = 3x 1 2-1 = 23 ，x 3 = 3x 2 2-1 = 54142 ，此时x 3 -x 2
1 2

1
< ， 8
所以C错误；
故选：ABD
458 (多选题)(2024·全国·模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数
值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点x 0 ，如图，在x=x 0 处作fx  图象的切线，切线与
x轴的交点横坐标记作x ：用x 替代x 重复上面的过程可得x ；一直继续下去，可得到一
1 1 0 2
系列的数x ，x ，x ，⋯，x ，⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x ，x n∈N*
0 1 2 n n-1 n

近似值相等时，该值即作为函数fx  的一个零点r.若要求 36的近似值r(精确到0.1)，我
们可以先构造函数fx  =x3-6，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为 36的近似值，
则下列说法正确的是 ( )
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249 3427A.对任意n∈N*，x <x
n n-1
2 2
B.若x ∈Q，且x ≠0，则对任意n∈N*，x = x +
0 0 n 3 n-1 x2
n-1
C.当x =2时，需要作2条切线即可确定r的值
0
D.无论x 0 在2,3  上取任何有理数都有r=1.8
【答案】BCD
【解析】A，因为fx  =x3-6，则fx  =3x2，
设x 0 =1，则切线方程为y+5=3x-1  ，
8
切线与x轴的交点横坐标为x = ≈2.7，所以x >x ，故A错误；
1 3 1 0
B，x=x n-1 处的切线方程为y=3x n-1  2 x-x n-1  +x 3-6， n-1
2 2x
所以与x轴的交点横坐标为x = + n-1，故B正确；
n x 2 3
n-1
2 2 11 1
C，因为x = + ×2= ≈1.8，x =
1 22 3 6 2 11

6

2 11
+ × ≈1.8，
2 3 6
所以两条切线可以确定r的值，故C正确；
D，由选项C可知，r=1.8，所以无论x 0 在2,3  上取
任何有理数都有r=1.8，故D正确.
故选：BCD
459 (2024·全国·高三专题练习)牛顿迭代法(Newton'smethod)又称牛顿-拉夫逊方法
(Newton-Raphsonmethod)，是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，
设r是fx  =0的根，选取x 0 作为r初始近似值，过点 x 0 ,fx 0    作曲线y=fx  的切线
l,l与x轴的交点的横坐标x =x - fx 0 1 0  f'x 0  f'x 0   ≠0  ，称x 是r的一次近似值，过点 1
x 1 ,fx 1    作曲线y=fx  的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x ，称x 是r的二 2 2
次近似值．重复以上过程，直到r的近似值足够小，即把x n 作为fx  =0的近似解．设
x ，x ，x ，⋯，x 构成数列x
1 2 3 n n
 ．对于下列结论：
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250 3427①x =x - fx n
n n-1

fx n 
(n≥2)；
②x =x - fx n-1
n n-1

fx n-1 
(n≥2)；
③x =x - fx 1
n 1

fx 1 
- fx 2 
fx 2 
-⋯- fx n 
fx n 
；
④x =x - fx 1
n 1

fx 1 
- fx 2 
fx 2 
-⋯- fx n-1 
fx n-1 
(n≥2)．
其中正确结论的序号为 ．
【答案】②④
【解析】由题意，过点 x 0 ,fx 0    作曲线y=fx  的切线方程为y-fx 0  =
fx 0  x-x 0  ，
令y=0，解得x =x - fx 0 1 0  fx 0  fx 0   ≠0  ，
过点 x 1 ,fx 1    作曲线y=fx  的切线方程为y-fx 1  =fx 1  x-x 1  ，
令y=0，解得x =x - fx 1 2 1  fx 1  fx 1   ≠0  ，
过点 x 2 ,fx 2    作曲线y=fx  的切线方程为y-fx 2  =fx 2  x-x 2  ，
令y=0，解得x =x - fx 2 3 2  fx 2  fx 2   ≠0  ，
重复以上过程，当n≥2时，
则过点 x n-1 ,fx n-1    作曲线y=fx  的切线方程为y-fx n-1  =fx n-1  x-x n-1  ，
令y=0，解得x =x - fx n-1 n n-1  fx n-1  fx n-1   ≠0，n≥2  ，故①错误，②正确.
将x ，x ，⋯，x 累加，得
2 3 n
x +x +⋯+x =x - fx 1
2 3 n 1

fx 1 
+x - fx 2
2

fx 2 
+⋯+x - fx n-1
n-1

fx n-1 
(n≥2)，
∴x =x - fx 1
n 1

fx 1 
- fx 2 
fx 2 
-⋯- fx n-1 
fx n-1 
(n≥2)，故③错误，④正确.
故答案为：②④.
【解题方法总结】
函数y=f(x)在点x 处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x ,f(x ))处的切线的斜率．这
0 0 0
里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．(1)已知f(x)在点(x ,
0
f(x ))处的切线方程为y-y =f(x )(x-x )．(2)若求曲线y=f(x)过点(a,b)的切线
0 0 0 0
方程，应先设切点坐标为(x ,f(x ))，由y-y =f(x )(x-x )过点(a,b)，求得x 的值，从
0 0 0 0 0 0
而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上
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