第14讲导数的概念与运算_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第14讲 导数的概念与运算
知识梳理
知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
Δy f(x +Δx)-f(x )
函数f(x)在x=x 处瞬时变化率是lim =lim 0 0 ，我们称它为函数y=
0 Δx Δx
Δx→0 Δx→0
fx  在x=x 0 处的导数，记作f(x 0 )或yx=x 0 ．
知识点诠释：
①增量Δx可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要
多近有
多近，即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数；
②当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常
数与
Δy f(x +Δx)-f(x )
= 0 0 无限接近；
Δx Δx
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移
在这一时
Δy f(x +Δx)-f(x )
刻的瞬间变化率，即f(x )=lim =lim 0 0 ．
0 Δx Δx
Δx→0 Δx→0
2、几何意义
函数y=f(x)在x=x 处的导数f(x )的几何意义即为函数y=f(x)在点P(x ，y )处的切线
0 0 0 0
的斜率．
3、物理意义
函数s=s(t)在点t 处的导数s(t )是物体在t 时刻的瞬时速度v，即v=s(t )；v=v(t)在
0 0 0 0
点t 的导数v(t )是物体在t 时刻的瞬时加速度a，即a=v(t )．
0 0 0 0
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f(x)=0
f(x)=xa(a∈Q) f(x)=axa-1
f(x)=ax(a>0，a≠1) f(x)=axlna
f(x)=log
a
x(a>0，a≠1) f(x)= 1
xlna
f(x)=ex f(x)=ex
f(x)=lnx f(x)= 1
x
f(x)=sinx f(x)=cosx
f(x)=cosx f(x)=-sinx
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106 10432、导数的四则运算法则
(1)函数和差求导法则：[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)；
(2)函数积的求导法则：[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)；
 f(x)
(3)函数商的求导法则：g(x)≠0，则
 g(x)
 f(x)g(x)-f(x)g(x)
= ．
g2(x)
3、复合函数求导数
复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间关系为y=yu：
x u x
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程y-f(x )=f(x )(x-x )的计算：函数y=f(x)在点A(x ，f(x ))处的切线方
0 0 0 0 0
y =f(x )
程为y-f(x 0 )=f(x 0 )(x-x 0 )，抓住关键  k 0 =f(x 0 ) ．
0
2、过点的切线方程
设切点为P(x ，y )，则斜率k=f(x )，过切点的切线方程为：y-y =f(x )(x-x )，
0 0 0 0 0 0
又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y =f(x )(m-x )然后解出x 的值．(x 有几
0 0 0 0 0
个值，就有几条切线)
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
必考题型全归纳
1 题型一：导数的定义
406 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=fx  的图象如图所示，函数y=fx  的导数为
y=fx  ，则 ( )
A. f(2)<f(3)<f(3)-f(2) B. f(3)<f(2)<f(3)-f(2)
C. f(2)<f(3)-f(2)<f(3) D. f(3)<f(3)-f(2)<f(2)
407 (2024·云南楚雄·高三统考期末)已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且
1
容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h= t3+t2，当t=t
3 0
时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当t=t +1时，液体上升高度的瞬时变化率
0
为 ( )
A.5cm/s B.6cm/s C.8cm/s D.10cm/s
408 (2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末)已知函数fx  的导函数是fx  ，若fx 0  =
1
fx + Δx
0 2
2，则lim
Δx→0
 -f(x )
0
= ( )
Δx
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107 10431
A. B.1 C.2 D.4
2
409 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  在x 处可导，且lim fx 0 +2Δx 0
Δx→0
 -fx 0  =1，则 2Δx
fx 0  = ( )
1
A.1 B.-1 C.2 D.
2
410 (2024·高三课时练习)若fx  在x 0 处可导，则fx 0  可以等于( )．
A. lim fx 0
Δx→0
 -fx 0 -Δx  B. lim fx 0 +Δx
Δx
Δx→0
 -fx 0 -Δx 
Δx
C. lim fx 0 +2Δx
Δx→0
 -fx 0 -Δx  D. lim fx 0 +Δx
Δx
Δx→0
 -fx 0 -2Δx 
Δx
2 题型二：求函数的导数
411 (2024·全国·高三专题练习)求下列函数的导数．
(1)fx  =-2x+1  2；
(2)fx  =ln4x-1  ；
(3)fx  =23x+2
(4)fx  = 5x+4；
412 (2024·高三课时练习)求下列函数的导数：
(1)y=3x2+2x+1  cosx；
3x2+x x-5 x+1
(2)y= ；
x
(3)y=x18+sinx-lnx；
(4)y=2xcosx-3xlog x；
3
(5)y=3xsinx-3log x；
3
(6)y=excosx+tanx．
413 (2024·海南·统考模拟预测)在等比数列a n  中，a 3 =2，函数fx 
1
= 2 xx-a 1  x-a 2 
⋯x-a 5  ，则f0  = ．
414 (2024·辽宁大连·育明高中校考一模)已知可导函数fx  ，gx  定义域均为R，对任意x满
足fx 
1
+2x2g x
2
 =x-1，且f1  =1，求f1 
1
+g
2
 = .
415 (2024·河南·高三校联考阶段练习)已知函数fx  的导函数为fx  ，且fx  =x2f1  +x
+2，则f1  = ．
416 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=f(0)e2x-e-x，则f(0)= .
3 题型三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
417 (2024·广东广州·统考模拟预测)曲线y=2x-1  3在点1,1  处的切线方程为 ．
3
418 (2024·全国·高三专题练习)曲线f(x)=ln(x+2)+ 在点 0,f0
2
   处的切线方程为
．
第 页 共 页
108 10431 π
419 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= x3+bx2+cos x
3 2
 ，fx  为fx  的导函
数.若fx  的图象关于直线x=1对称，则曲线y=fx  在点 2,f2    处的切线方程为
420 (2024·湖南·校联考模拟预测)若函数fx  =λx3+λ-2  x2 x∈R  是奇函数，则曲线y=
fx  在点 λ,fλ    处的切线方程为 ．
421 (2024·江西·校联考模拟预测)已知过原点的直线与曲线y=lnx相切，则该直线的方程是
．
422 (2024·浙江金华·统考模拟预测)已知函数fx  =x3-ax+1，过点P2,0  存在3条直线
与曲线y=fx  相切，则实数a的取值范围是 .
2
423 (2024·浙江绍兴·统考模拟预测)过点- ,0
3
 作曲线y=x3的切线，写出一条切线方程：
.
424 (2024·海南海口·校联考模拟预测)过x轴上一点Pt,0  作曲线C:y=x+3  ex的切线，
若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为 ．
425 (2024·全国·模拟预测)过坐标原点作曲线y=x+2  ex的切线，则切点的横坐标为
.
426 (2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测)若过点P1,a  a∈R  有n条直线与函数fx 
=x-2  ex的图象相切，则当n取最大值时，a的取值范围为 .
427 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx 
1
= x3+f1
3
 x2+1，其导函数为fx  ，则曲线
fx  过点P3,1  的切线方程为 ．
428 (2024·云南保山·统考二模)若函数fx  =4lnx+1与函数gx 
1
= x2-2xa>0
a
 的图
象存在公切线，则实数a的取值范围为 ( )
1
A. 0,
3

1
B.   ,+∞
 3

2
C.   ,1
 3

1 2
D.   ,
 3 3

429 (2024·宁夏银川·银川一中校考二模)若直线y=k(x+1)-1与曲线y=ex相切，直线y
1
=k (x+1)-1与曲线y=lnx相切，则kk 的值为 .
2 1 2
430 (2024·河北邯郸·统考三模)若曲线y=ex与圆(x-a)2+y2=2有三条公切线，则a的取
值范围是 ．
431 (2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)若曲线C:f(x)=x2+a和曲线C :g(x)=
1 2
2lnx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
432 (2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知曲线C 1 :f(x)=x2与曲线C 2 :gx  =
aex+1(a>0)有且只有一条公切线，则a= ．
433 (2024·福建南平·统考模拟预测)已知曲线y=alnx和曲线y=x2有唯一公共点，且这两
条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为 ．
434 (2024·江苏·校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过e,a  的切线，则a的范围是
.
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109 1043435 (2024·山东聊城·统考三模)若直线y=x+b与曲线y=ex-ax相切，则b的最大值为
( )
A.0 B.1 C.2 D.e
a
436 (2024·重庆·统考三模)已知直线y=ax-a与曲线y=x+ 相切，则实数a= ( )
x
1 4 3
A.0 B. C. D.
2 5 2
437 (2024·海南·校联考模拟预测)已知偶函数fx  =a-1  x2-3bx+c-d-1在点
1,f1   
a-b
处的切线方程为x+y+1=0，则 = ( )
c-d
A.-1 B.0 C.1 D.2
1
438 (2024·全国·高三专题练习)已知M是曲线y=lnx+ x2+ax上的任一点，若曲线在M
2
π
点处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，则实数a的取值范围是 ( )
4
A. 2,+∞  B. -1,+∞  C. -∞,2  D. -∞,-1 
1
439 (2024·全国·高三专题练习)已知m>0，n>0，直线y= x+m+1与曲线y=lnx-n
e
1 1
+2相切，则 + 的最小值是 ( )
m n
A.16 B.12 C.8 D.4
440 (2024·河北·高三校联考阶段练习)若过点(m,n)可以作曲线y=log x的两条切线，则
2
( )
A.m>log n B.n>log m C.m<log n D.n<log m
2 2 2 2
441 (2024·全国·高三专题练习)若过点(a,b)可以作曲线y=lnx的两条切线，则 ( )
A.a<lnb B.b<lna C.lnb<a D.lna<b
442 (2024·湖南·校联考二模)若经过点a,b  可以且仅可以作曲线y=lnx的一条切线，则下
列选项正确的是 ( )
A.a≤0 B.b=lna C.a=lnb D.a≤0或b=lna
2x-m
443 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)=lnx+x与g(x)= 的图象有一条公共切
x-1
线，且该公共切线与直线y=2x+1平行，则实数m= ( )
17 17 17 17
A. B. C. D.
8 6 4 2
444 (2024·全国·高三专题练习)已知直线x-9y-8=0与曲线{S }相交于A,B，且曲线C
n
在A,B处的切线平行，则实数p的值为 ( )
A.4 B.4或-3 C.-3或-1 D.-3
445 (2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试)已知曲线fx  =ex-1  (x>-1)在点
A x 1 ,fx 1    ,B x 2 ,fx 2    x 1 <x 2  处的切线l,l 互相垂直，且切线l,l 与y轴分别交于点 1 2 1 2
D,E，记点E的纵坐标与点D的纵坐标之差为t，则 ( )
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110 10432 2
A. -2<t<0 B.2-2e<t<0 C.t< -2 D.t>2e-2
e e
446 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  =ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线，
则实数a的值是 ( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
447 (2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末)若函数y=f(x)的图像上存在两个不同
的点P,Q，使得在这两点处的切线重合，则称f(x)为“切线重合函数”，下列函数中不是“切
线重合函数”的为 ( )
A.y=x4-x2+1 B.y=sinx C.y=x+cosx D.y=x2+sinx
448 (2024·全国·高三专题练习)已知A，B是函数fx 
x2+x+a, x≤0

= ，图象上不同的两
xlnx-a, x>0
点，若函数y=fx  在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是 ( )
1
A. -∞,
2

1
B.  - ,+∞
 2
 C. 0,+∞ 
1
D.   ,+∞
 2

449 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=ex+1上，点Q在曲线y=-1+lnx上，则
|PQ|最小值为 ( )
A. 2 B.2 2 C. 2(1+ln2) D. 2(1-ln2)
1
450 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y= lnx上，则|PQ|
2
的最小值为 ( )
2 2
A. (1-ln2) B. 2(1-ln2) C. 2(1+ln2) D. (1+ln2)
2 2
451 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=lnx-ln2上，则
|PQ|的最小值为 ( )
A.1-ln2 B. 2(1-ln2) C.2(1+ln2) D. 2(1+ln2)
452 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c，d满足|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0，则
(a-c)2+(b-d)2的最小值为 ( )
A.2 2 B.8 C.4 D.16
453 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=(x-a)2+4(lnx-a)2，其中x>0，a∈R．若
4
存在正数x ，使得f(x )≤ 成立，则实数a的值是 ( )
0 0 5
1 2 1
A. B. C. D.1
5 5 2
454 (2024·宁夏银川·银川二中校考一模)已知实数x,y满足2x2-5lnx-y=0，m∈R，则
x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值为 ( )
9 3 2 2 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
455 (2024·四川成都·川大附中校考二模)若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P到直
线l:x+y-4=0距离的最小值为 ( )
第 页 共 页
111 10432
A. B. 2 C.2 2 D.4 2
2
456 (2024·湖北咸宁·校考模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方
法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r是fx  =0的根，
选取x 0 作为r的初始近似值，过点 x 0 ,fx 0    做曲线y=fx  的切线l：y-fx 0  =
fx 0  x-x 0  ，则l与x轴交点的横坐标为x =x - fx 0 1 0  fx 0  fx 0   ≠0  ，称x 是r的一次 1
近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中x =x - fx n n+1 n  fx n  fx n   ≠0  ，称x 是 n+1
r的n+1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数fx  =
lnx+x-3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693)
A.2.207 B.2.208 C.2.205 D.2.204
457 (多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程
根的一种解法.具体步骤如下：设r是函数y=fx  的一个零点，任意选取x 作为r的初 0
始近似值，过点 x 0 fx 0    作曲线y=fx  的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，并称 1 1 1
x 1 为r的1次近似值；过点 x 1 fx 1    作曲线y=fx  的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标 2 2
为x 2 ，称x 2 为r的2次近似值.一般地，过点 x n fx n    (n∈N*)作曲线y=fx  的切线
l ，记l 与x轴交点的横坐标为x ，并称x 为r的n+1次近似值.对于方程x3-x
n+1 n+1 n+1 n+1
+1=0，记方程的根为r，取初始近似值为x =-1，下列说法正确的是 ( )
0
A.r∈-2,-1  B.切线l ：23x-4y+31=0 2
C. x 3 -x 2 
1 2x3-1
> D.x = n 8 n+1 3x2-1
n
458 (多选题)(2024·全国·模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数
值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点x 0 ，如图，在x=x 0 处作fx  图象的切线，切线与
x轴的交点横坐标记作x ：用x 替代x 重复上面的过程可得x ；一直继续下去，可得到一
1 1 0 2
系列的数x ，x ，x ，⋯，x ，⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x ，x n∈N*
0 1 2 n n-1 n

近似值相等时，该值即作为函数fx  的一个零点r.若要求 36的近似值r(精确到0.1)，我
们可以先构造函数fx  =x3-6，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为 36的近似值，
则下列说法正确的是 ( )
A.对任意n∈N*，x <x
n n-1
2 2
B.若x ∈Q，且x ≠0，则对任意n∈N*，x = x +
0 0 n 3 n-1 x2
n-1
第 页 共 页
112 1043C.当x =2时，需要作2条切线即可确定r的值
0
D.无论x 0 在2,3  上取任何有理数都有r=1.8
459 (2024·全国·高三专题练习)牛顿迭代法(Newton'smethod)又称牛顿-拉夫逊方法
(Newton-Raphsonmethod)，是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，
设r是fx  =0的根，选取x 0 作为r初始近似值，过点 x 0 ,fx 0    作曲线y=fx  的切线
l,l与x轴的交点的横坐标x =x - fx 0 1 0  f'x 0  f'x 0   ≠0  ，称x 是r的一次近似值，过点 1
x 1 ,fx 1    作曲线y=fx  的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x ，称x 是r的二 2 2
次近似值．重复以上过程，直到r的近似值足够小，即把x n 作为fx  =0的近似解．设
x ，x ，x ，⋯，x 构成数列x
1 2 3 n n
 ．对于下列结论：
①x =x - fx n
n n-1

fx n 
(n≥2)；
②x =x - fx n-1
n n-1

fx n-1 
(n≥2)；
③x =x - fx 1
n 1

fx 1 
- fx 2 
fx 2 
-⋯- fx n 
fx n 
；
④x =x - fx 1
n 1

fx 1 
- fx 2 
fx 2 
-⋯- fx n-1 
fx n-1 
(n≥2)．
其中正确结论的序号为 ．