第14讲导数的概念与运算_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第14讲 导数的概念与运算 知识梳理 知识点一：导数的概念和几何性质 1、概念 Δy f(x +Δx)-f(x ) 函数f(x)在x=x 处瞬时变化率是lim =lim 0 0 ，我们称它为函数y= 0 Δx Δx Δx→0 Δx→0 fx  在x=x 0 处的导数，记作f(x 0 )或yx=x 0 ． 知识点诠释： ①增量Δx可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要 多近有 多近，即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数； ②当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常 数与 Δy f(x +Δx)-f(x ) = 0 0 无限接近； Δx Δx ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移 在这一时 Δy f(x +Δx)-f(x ) 刻的瞬间变化率，即f(x )=lim =lim 0 0 ． 0 Δx Δx Δx→0 Δx→0 2、几何意义 函数y=f(x)在x=x 处的导数f(x )的几何意义即为函数y=f(x)在点P(x ，y )处的切线 0 0 0 0 的斜率． 3、物理意义 函数s=s(t)在点t 处的导数s(t )是物体在t 时刻的瞬时速度v，即v=s(t )；v=v(t)在 0 0 0 0 点t 的导数v(t )是物体在t 时刻的瞬时加速度a，即a=v(t )． 0 0 0 0 知识点二：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=0 f(x)=xa(a∈Q) f(x)=axa-1 f(x)=ax(a>0，a≠1) f(x)=axlna f(x)=log a x(a>0，a≠1) f(x)= 1 xlna f(x)=ex f(x)=ex f(x)=lnx f(x)= 1 x f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=cosx f(x)=-sinx 第 页 共 页 106 10432、导数的四则运算法则 (1)函数和差求导法则：[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)； (2)函数积的求导法则：[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x)；  f(x) (3)函数商的求导法则：g(x)≠0，则  g(x)  f(x)g(x)-f(x)g(x) = ． g2(x) 3、复合函数求导数 复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间关系为y=yu： x u x 【解题方法总结】 1、在点的切线方程 切线方程y-f(x )=f(x )(x-x )的计算：函数y=f(x)在点A(x ，f(x ))处的切线方 0 0 0 0 0 y =f(x ) 程为y-f(x 0 )=f(x 0 )(x-x 0 )，抓住关键  k 0 =f(x 0 ) ． 0 2、过点的切线方程 设切点为P(x ，y )，则斜率k=f(x )，过切点的切线方程为：y-y =f(x )(x-x )， 0 0 0 0 0 0 又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y =f(x )(m-x )然后解出x 的值．(x 有几 0 0 0 0 0 个值，就有几条切线) 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 必考题型全归纳 1 题型一：导数的定义 406 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=fx  的图象如图所示，函数y=fx  的导数为 y=fx  ，则 ( ) A. f(2)0 a  的图 象存在公切线，则实数a的取值范围为 ( ) 1 A. 0, 3  1 B.   ,+∞  3  2 C.   ,1  3  1 2 D.   ,  3 3  429 (2024·宁夏银川·银川一中校考二模)若直线y=k(x+1)-1与曲线y=ex相切，直线y 1 =k (x+1)-1与曲线y=lnx相切，则kk 的值为 . 2 1 2 430 (2024·河北邯郸·统考三模)若曲线y=ex与圆(x-a)2+y2=2有三条公切线，则a的取 值范围是 ． 431 (2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测)若曲线C:f(x)=x2+a和曲线C :g(x)= 1 2 2lnx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ． 432 (2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知曲线C 1 :f(x)=x2与曲线C 2 :gx  = aex+1(a>0)有且只有一条公切线，则a= ． 433 (2024·福建南平·统考模拟预测)已知曲线y=alnx和曲线y=x2有唯一公共点，且这两 条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为 ． 434 (2024·江苏·校联考模拟预测)若曲线y=xlnx有两条过e,a  的切线，则a的范围是 . 第 页 共 页 109 1043435 (2024·山东聊城·统考三模)若直线y=x+b与曲线y=ex-ax相切，则b的最大值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.e a 436 (2024·重庆·统考三模)已知直线y=ax-a与曲线y=x+ 相切，则实数a= ( ) x 1 4 3 A.0 B. C. D. 2 5 2 437 (2024·海南·校联考模拟预测)已知偶函数fx  =a-1  x2-3bx+c-d-1在点 1,f1    a-b 处的切线方程为x+y+1=0，则 = ( ) c-d A.-1 B.0 C.1 D.2 1 438 (2024·全国·高三专题练习)已知M是曲线y=lnx+ x2+ax上的任一点，若曲线在M 2 π 点处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，则实数a的取值范围是 ( ) 4 A. 2,+∞  B. -1,+∞  C. -∞,2  D. -∞,-1  1 439 (2024·全国·高三专题练习)已知m>0，n>0，直线y= x+m+1与曲线y=lnx-n e 1 1 +2相切，则 + 的最小值是 ( ) m n A.16 B.12 C.8 D.4 440 (2024·河北·高三校联考阶段练习)若过点(m,n)可以作曲线y=log x的两条切线，则 2 ( ) A.m>log n B.n>log m C.m-1)在点 A x 1 ,fx 1    ,B x 2 ,fx 2    x 1 2e-2 e e 446 (2024·全国·高三专题练习)若函数fx  =ax+sinx的图象上存在两条相互垂直的切线， 则实数a的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 447 (2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末)若函数y=f(x)的图像上存在两个不同 的点P,Q，使得在这两点处的切线重合，则称f(x)为“切线重合函数”，下列函数中不是“切 线重合函数”的为 ( ) A.y=x4-x2+1 B.y=sinx C.y=x+cosx D.y=x2+sinx 448 (2024·全国·高三专题练习)已知A，B是函数fx  x2+x+a, x≤0  = ，图象上不同的两 xlnx-a, x>0 点，若函数y=fx  在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是 ( ) 1 A. -∞, 2  1 B.  - ,+∞  2  C. 0,+∞  1 D.   ,+∞  2  449 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=ex+1上，点Q在曲线y=-1+lnx上，则 |PQ|最小值为 ( ) A. 2 B.2 2 C. 2(1+ln2) D. 2(1-ln2) 1 450 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y= lnx上，则|PQ| 2 的最小值为 ( ) 2 2 A. (1-ln2) B. 2(1-ln2) C. 2(1+ln2) D. (1+ln2) 2 2 451 (2024·全国·高三专题练习)设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=lnx-ln2上，则 |PQ|的最小值为 ( ) A.1-ln2 B. 2(1-ln2) C.2(1+ln2) D. 2(1+ln2) 452 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c，d满足|ln(a-1)-b|+|c-d+2|=0，则 (a-c)2+(b-d)2的最小值为 ( ) A.2 2 B.8 C.4 D.16 453 (2024·全国·高三专题练习)设函数f(x)=(x-a)2+4(lnx-a)2，其中x>0，a∈R．若 4 存在正数x ，使得f(x )≤ 成立，则实数a的值是 ( ) 0 0 5 1 2 1 A. B. C. D.1 5 5 2 454 (2024·宁夏银川·银川二中校考一模)已知实数x,y满足2x2-5lnx-y=0，m∈R，则 x2+y2-2mx+2my+2m2的最小值为 ( ) 9 3 2 2 1 A. B. C. D. 2 2 2 2 455 (2024·四川成都·川大附中校考二模)若点P是曲线y=lnx-x2上任意一点，则点P到直 线l:x+y-4=0距离的最小值为 ( ) 第 页 共 页 111 10432 A. B. 2 C.2 2 D.4 2 2 456 (2024·湖北咸宁·校考模拟预测)英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方 法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r是fx  =0的根， 选取x 0 作为r的初始近似值，过点 x 0 ,fx 0    做曲线y=fx  的切线l：y-fx 0  = fx 0  x-x 0  ，则l与x轴交点的横坐标为x =x - fx 0 1 0  fx 0  fx 0   ≠0  ，称x 是r的一次 1 近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中x =x - fx n n+1 n  fx n  fx n   ≠0  ，称x 是 n+1 r的n+1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数fx  = lnx+x-3的零点一次近似值为( )(精确到小数点后3位，参考数据：ln2=0.693) A.2.207 B.2.208 C.2.205 D.2.204 457 (多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程 根的一种解法.具体步骤如下：设r是函数y=fx  的一个零点，任意选取x 作为r的初 0 始近似值，过点 x 0 fx 0    作曲线y=fx  的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标为x ，并称 1 1 1 x 1 为r的1次近似值；过点 x 1 fx 1    作曲线y=fx  的切线l ，设l 与x轴交点的横坐标 2 2 为x 2 ，称x 2 为r的2次近似值.一般地，过点 x n fx n    (n∈N*)作曲线y=fx  的切线 l ，记l 与x轴交点的横坐标为x ，并称x 为r的n+1次近似值.对于方程x3-x n+1 n+1 n+1 n+1 +1=0，记方程的根为r，取初始近似值为x =-1，下列说法正确的是 ( ) 0 A.r∈-2,-1  B.切线l ：23x-4y+31=0 2 C. x 3 -x 2  1 2x3-1 > D.x = n 8 n+1 3x2-1 n 458 (多选题)(2024·全国·模拟预测)牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数 值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点x 0 ，如图，在x=x 0 处作fx  图象的切线，切线与 x轴的交点横坐标记作x ：用x 替代x 重复上面的过程可得x ；一直继续下去，可得到一 1 1 0 2 系列的数x ，x ，x ，⋯，x ，⋯在一定精确度下，用四舍五入法取值，当x ，x n∈N* 0 1 2 n n-1 n  近似值相等时，该值即作为函数fx  的一个零点r.若要求 36的近似值r(精确到0.1)，我 们可以先构造函数fx  =x3-6，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为 36的近似值， 则下列说法正确的是 ( ) A.对任意n∈N*，x